06 模拟信号数字处理.

ya (t)xˆa (xtax)(a(nngTT()tg) (ttnnTT) ) nn


n
xa
(nT
)
sin( (t nT ) / T (t nT ) / T
)
5.时域采样定理内容 （Nyquist 或 Shannon 采样定理）
1. 对模拟信号xa(t)等间隔采样，形成采样信号 xa t
(4) 用DFT(FFT)对模拟信号近似频谱分析的方法和步骤
主要内容
6.1 模拟信号数字处理的原理框图
6.2 采样频率的确定 6.3 将模拟信号转换成数字信号(A/DC) 6.4 将数字信号转换成模拟信号(D/AC) 6.5 对数字信号处理部分的考虑 6.6 线性模拟系统的数字模拟 6.7 用DFT(FFT)对连续信号进行频域分析
6.2.1 时域采样定理
模拟信号采样理想采样信号理想采样信号频谱 如何由理想采样信号恢复原模拟信号 时域采样定理
6.2.2 由模拟信号到时域离散信号采样间隔的确定
6.3 将模拟信号转换成数字信号(A/DC) 6.4 将数字信号转换成模拟信号(D/AC) 6.5 对数字信号处理部分的考虑 6.6 线性模拟系统的数字模拟 6.7 用DFT(FFT)对连续信号进行频域分析
（c）
－ Ωs s 2 0 s 2 Ω s ＾Xa(jΩ )
Ω c. 无频谱混叠的采样信号频谱
（d）
－ Ωs
0 Ω cΩ s
Ω d. 有频谱混叠的采样信号频谱
s
2
一般称Xa(jΩ) 为基带谱，fs /2为折叠频率。
当信号最高频率不超过折叠频率时，基带谱和其 它周期延拓形成的频谱、相邻延拓谱之间才不会重叠。
1 e jks t dt T k
理想采样信号的频谱导出(1)
3.理想采样信号的频域分析(续2)—周期信号傅立叶变换导出
由于 所以
j FT (t) (t)e jtdt e0 1

(t)

IFT

n
xa
nT

t

nT

e
jt dt


xa nT
t nT e jt dt

n


xa
nT e jnT



t nT dt

xa
nT e jnT
n
1、模拟信号采样
对模拟信号进行采样,可以看 成让模拟信号xa(t)通过一个电子 开关S。
设电子开关S 每隔周期T合上 一次，每次合上时间τ<<T，在 电子开关输出端得到信号 xa (t) .
该过程相当于将模拟信号 xa(t) 乘上一个周期性矩形脉冲串PT(t):
xa (t) xa t PT t
(1)时域离散信号频谱与理想采样信号频谱关系 (2)时域离散信号频谱与(被采样的)模拟信号频谱关系
6.3 将模拟信号转换成数字信号(A/DC) 6.4 将数字信号转换成模拟信号(D/AC) 6.5 对数字信号处理部分的考虑 6.6 线性模拟系统的数字模拟 6.7 用DFT(FFT)对连续信号进行频域分析
1 2
2 T


X a ( j ) ( ks )d
k
1 T k

X
a
(
j
)


ks


d

1 T
k
Xa

j

jks

上式表明：采样信号频谱是原模拟信号频谱沿频率轴，每
间隔采样角频率Ωs重复出现一次。或者说，采样信号频


n
xa (nT
)
(

nT
) g (t

)d

xa (nT ) ( nT )g(t )d n
内插函数


sin t nT / T
xa (nT )g(t nT ) xa (nT )
G( j)
T,


1 2
s
Ω
0,


1 2

s
0 G(jΩ )
T

Ya j X a jG j FT ya (t)
－ π/T 0 π/ T
Ω ya (t) IFT Ya j
Xa(jΩ )
ya(t ) xa(t )
c

1 2
s
0
Ω
n

X a ( j)
FT


x
a
(t
)


1
2
X a ( j) P

j
问题1：采样信号的频谱与模拟信号频谱是什么关系？

X a ( j)
FT


xa
(t
)

1
2
X a ( j) P ( j)

1
2


Xa(
j )P

j d
2.理想采样
开关闭合时间 0
周期性单位冲击串：

P (t) (t nT ) n
采样信号：


xa (t) xa (t) P (t) xa (t) (t nT )
n

xa (nT ) (t nT ) n
3.理想采样信号的频域分析
通过一个增益为T、截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器， 可以唯一地恢复出原模拟信号xa(t)。
如果采样角频率Ωs<2Ωc，会造成采样信号中的频谱混 叠现象，不能无失真地恢复原模拟信号。
----实质：采样频率(或采样周期)的选择依据
主要内容
6.1 模拟信号数字处理的原理框图 6.2 采样频率的确定
6.2.1 时域采样定理 6.2.2 由模拟信号到时域离散信号采样间隔的确定
理想采样信号的频谱情况
模拟信号xa (t)的傅里叶变换：
Xa ( j) FT
xa (t)


xa
(t
)e

jt
dt
逆向傅里叶变换：
xa (t)

IFT
Xa
(
j)

1
2

X
a
(
j)e
jt
d

当

P (t) (t nT ) 时

n
P
(t)



n
(t

nT )

1 T
k
e
jk s t
其中
2
s T
P ( j) FT
P (t)


n


(t

nT
)
e
jt
dt


1 T
k
e
jkst

e
jt dt
有
P
(
j)

FT
P
(t)
2
T

( k
k
2
T
)

2
T

( ks )
k
其中
模拟信号采样角频率
s

2
T
2
fs 弧度/秒
3.理想采样信号的频域分析(续1)—周期信号傅立叶变换导出
周期信号展开成傅里叶级数形式：

1 T
n
X a ( j
jns )

1 T
k
Xa(
j

T

jn
2
T
)
此式即为时域离散信号频谱和模拟信号频谱之间的关系式
结论： 从模拟信号到时域离散信号的采样频率仍要按照理
想采样定理确定，即采样频率必须大于等于模拟信号最 高频率的２倍以上，才能保证频谱无混叠现象。
谱是原模拟信号频谱以Ωs为周期，进行周期延拓而成。
Xa(jΩ )
若模拟信号xa(t)为有限带宽 ( 即：带限)信号,且最高
（a）
－ Ωc 0 Ω c
Ω
截止频率为Ωc，其频谱
Xa(jΩ)如图a所示。
P (jΩ )
δ
a.模拟信号xa(t)频谱
Ω
（b）
－ Ωs
0
Ωs
＾Xa(jΩ )
b.周期性单位冲击串信号频谱


j

1
2
1 e jtd 1

2
e jt d

2 (t) e jtd 2 (t)
从而
e

jks t dt

2
(

ks )
所以
1
P ( j) T k
e jks t dt
n
n
t nT / T

sin t nT / T
xa (t) xa (nT )
n
t nT / T
在采样点上，恢复的xa(t)等
于原采样值；

ya在(t)采 样点[ 之x间a (n，T是) (各 采nT样)]值g(t ) n 乘而以成 g(t-nT)的xa波(nT形)伸(展 叠nT加)g(t n
则采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样 频率为周期，进行周期性延拓形成。

X
a(
j)

1 T
k
Xa

j

jks

--实质：理想采样前后，信号频谱之间的关系
5.时域采样定理内容—续
(2)设模拟信号xa(t)是带限信号，最高截止角频率为Ωc.
如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么让采样信号 xa (t)
(1)时域离散信号频谱与理想采样信号频谱关系
xa (t) t
xˆa (t)
t
x(n) n
模拟信号 xa t、理想采样信号 xˆa t 和时域离散信号 xn的波形
对理想采样信号 xˆa t 进行傅里叶变换:
X a j

xˆa
t
e jt dt

n
对时域离散信号 xn 进行傅里叶变换:

X e j
x n e jn
n
由于 x n xa nT
T
所以
X
e j

Xˆ a
(
j

T
)

Xˆ a
(
j)
(2)时域离散信号频谱与(被采样的)模拟信号频谱关系
X e j X e jT X a j
若采样频率过低，使得Ωs <2Ωc,或者 fs <2 fc,超过
fs /2的频谱会折叠回来形成混叠现象，在基带谱与延 拓谱、相邻延拓谱之间产生频谱混叠现象。因此频率 混叠均产生在fs /2附近。
4.由采样信号恢复原模拟信号—理想恢复
＾xa(t)
G(jΩ )
ya(t)
理想低通滤波器的传输函数
＾Xa(jΩ )
数字信号处理 第六章
模拟信号数字处理 河北师范大学数信学院 张朝晖
2010年11月16日
本章学习目标
(1) 模拟信号数字处理的原理框图、各部分作用及主要 技术指标的考虑
(2) 时域采样定理、采样信号频谱和原模拟信号频谱关 系；由模拟信号采样得到时域离散信号的采样间隔 的确定
(3) 数字频率与原模拟信号的模拟频率关系
sin st / 2
st / 2
sin( t / T ) t /T
其中：s

2
T
2
fs
理想低通滤波器的输出ya(t)

Ya j X a jHale Waihona Puke BaiduG j
ya (t) xˆa (t) g(t)

xa ( )g(t )d
ya(t ) xa(t )
c

1 2
s
由低通滤波器的传输函数G(jΩ)推导其单位冲激响应g(t)
g t 1 G j e jtd
2
1 s /2 Te jt d
2 s /2
T
1
e e jts /2
jts /2
2 jt
主要内容
6.1 模拟信号数字处理的原理框图 6.2 采样频率的确定
6.2.1 时域采样定理 6.2.2 由模拟信号到时域离散信号采样间隔的确定
6.3 将模拟信号转换成数字信号(A/DC) 6.4 将数字信号转换成模拟信号(D/AC) 6.5 对数字信号处理部分的考虑 6.6 线性模拟系统的数字模拟 6.7 用DFT(FFT)对连续信号进行频域分析


2
T

( ks )
k
理想采样信号的 频谱导出(2)
3.理想采样信号的频域分析(续3)
根据频域卷积定理，有 两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号
各自傅里叶变换的卷积。
由于 所以


xa (t) xa (t) P (t) xa (nT ) (t nT )
1. 模拟信号数字处理的原理框图
xa(t) 预滤
A/DC
数字信号处理
D/AC
平滑滤波 ya(t)
采样 量化编码
2. 方法： 先将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信
号；再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕， 如果需要，再转换成模拟信号。
主要内容
6.1 模拟信号数字处理的原理框图 6.2 采样频率的确定