高考数学考前冲刺每日一练23

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最新高考数学一轮复习-第三周-每日一练【含答案】

第三周[周一]1．(2023·长春模拟)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i3＋i a 等于()A ．－3 B.13C ．3D ．－13答案A 解析因为a －i 3＋i ＝(a －i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3a －1－(a ＋3)i 10＝3a －110－a ＋310i 为实数，则－a ＋310＝0，即a ＋3＝0，所以a ＝－3.2．(2023·青岛模拟)已知函数f (x )＝x 3－12sin x ，若θa ＝f ((cos θ)sin θ)，b ＝f ((sin θ)sin θ)，c＝－fa ，b ，c 的大小关系为()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案A解析因为f (－x )＝(－x )3－12sin(－x )3－12sin f (x )，所以f (x )在R 上是奇函数．所以c ＝－f f 对f (x )＝x 3－12sin x 求导得，f ′(x )＝3x 2－12cos x ，令g (x )＝3x 2－12cos x ，则g ′(x )＝6x ＋12sin x ，当12<x <1时，g ′(x )>0，所以g (x )则当12<x <1时，g (x )>＝34－12cos 12>34－12×1>0，即f ′(x )>0，所以f (x )因为θ所以cos θ>12>sin θ，因为y ＝xsin θ(0，＋∞)上单调递增，所以(cos θ)sin θ>(sin θ)sin θ.令h (x )＝x ln x ＋ln 2，则h ′(x )＝ln x ＋1，所以当0<x <1e 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x >1e 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以h (x )≥＝1e ln 1e ＋ln 2＝ln 2－1e ，而2e >e ，即2>1ee ，所以ln 2>1e ，即ln 2－1e >0.所以x ln x >－ln 2，即x x >12，则(sin θ)sin θ>12，所以(cos θ)sin θ>(sin θ)sin θ>12且(cos θ)sin θ<1，所以f ((cos θ)sin θ)>f ((sinθ)sin θ)>即a >b >c .3．(多选)(2023·锦州模拟)如果有限数列{a n }满足a i ＝a n －i ＋1(i ＝1,2，…，n )，则称其为“对称数列”，设{b n }是项数为2k －1(k ∈N *)的“对称数列”，其中b k ，b k ＋1，…，b 2k －1是首项为50，公差为－4的等差数列，则()A ．若k ＝10，则b 1＝10B ．若k ＝10，则{b n }所有项的和为590C．当k＝13时，{b n}所有项的和最大D．{b n}所有项的和可能为0答案BC解析{b n}的和S2k－1＝50k－k(k－1)2×4×2－50＝－4k2＋104k－50＝－4(k－13)2＋626，对于选项A，k＝10，则b1＝b19＝50－4×9＝14，故A错误；对于选项B，k＝10，则所有项的和为－4×9＋626＝590，故B正确；对于选项C，{b n}的和S2k－1＝－4(k－13)2＋626，当k＝13时，和最大，故C正确；对于选项D，S2k－1＝－4k2＋104k－50＝0，方程无正整数解，故D错误．4．(2023·大连模拟)甲、乙、丙三人每次从写有整数m，n，k(0<m<n<k)的三张卡片中各摸出一张，并按卡片上的数字取出相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行，当他们做了N(N≥2)次游戏后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最后一次丙摸的是k，那么N＝________.答案5解析N次游戏所取卡片数字总和为N(m＋n＋k)＝22＋9＋9＝40，又m＋n＋k≥1＋2＋3＝6，且m＋n＋k为40的因数，所以(m＋n＋k)min＝8，且N＝2,4,5.当N＝2时，m＋n＋k＝20，因为丙得9粒石子，则k≤8，所以甲得石子数小于16，不符合题意；当N＝4时，m＋n＋k＝10，因为丙得9粒石子，则k≤6，为了使甲获得石子数最多，k＝6，m＝1，n＝3，此时甲最多得21粒石子，不符合题意；当N＝5时，m＋n＋k＝8，因为丙得9粒石子，则k≤5，为了使甲获得石子数最多，k＝5，m＝1，n＝2，此时甲最多得22粒石子，甲、乙、丙三人每次得石子数如表所示，第1次第2次第3次第4次第5次甲55552乙22221丙11115故做了5次游戏，N＝5.5．(2023·大连模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bc(1＋cos A)＝4a2.(1)证明：b＋c＝3a；(2)若a＝2，cos A＝79，角B的角平分线与边AC交于点D，求BD的长．(1)证明因为bc (1＋cos A )＝4a 2，所以4a 2，所以bc ＋b 2＋c 2－a 22＝4a 2，即(b ＋c )2＝9a 2，所以b ＋c ＝3a .(2)解如图，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22＝b 2＋c 2－2bc ·79＝(b ＋c )2－2bc －149bc ，又b ＋c ＝3a ＝6，所以bc ＝9，b ＝c ＝3，由角平分线定理可得AB BC ＝AD DC ＝32，所以AD ＝35×3＝95，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＋32－2×953×79，所以BD ＝465.[周二]1．(2023·娄底模拟)某地春节联欢晚会以“欢乐中国年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样．某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为()A ．48B ．72C ．120D ．240答案C解析若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有A 22·A 44＝48(种)不同的分配方法，若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有A 33·A 24＝72(种)不同的分配方法，综上，这8张门票共有48＋72＝120(种)不同的分配方法．2．(2023·保山模拟)折纸艺术起源于中国．折纸艺术是用一张完整的纸用折叠的方法而成就的各种人物、动物或草木的形态的方法．折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，是一项具有艺术性的思维活动．现有一张半径为6，圆心为O 的圆形纸片，在圆内选定一点P 且|OP |＝4，将圆翻折一角，使圆周正好过点P ，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到O ，P 两点距离之和最小的点为M ，如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点M 的轨迹为曲线C ，在C 上任取一点Q ，则△QOP 面积的最大值是()A ．22B ．25C ．23D ．4答案B解析如图所示，设折痕为直线l ，点P 与P ′关于折痕对称，l ∩OP ′＝M ，在l 上任取一点B ，由垂直平分线的性质可知|PB |＋|BO |＝|BP ′|＋|BO |≥|OM |＋|MP ′|＝|OP ′|，当且仅当M ，B 重合时取等号．即折痕上到O ，P 两点距离之和最小的点为M ，且|PM |＋|MO |＝|OP ′|＝6>|OP |＝4.故M 的轨迹是以O ，P 为焦点，且长轴长为2a ＝6的椭圆，焦距2c ＝|OP |＝4，c ＝2，故短半轴长b ＝5，所以当Q 为椭圆上(下)顶点时，△QOP 的面积最大，最大值为12×2c ×b ＝2 5.3．(多选)(2023·湛江模拟)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点A (x 1，y 1)为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点B (x 2，0)，则下列结论正确的有()A ．0<x 2<aB ．∠F 1AB ＝∠F 2ABC ．x 1x 2＝abD ．若cos ∠F 1AF 2＝13，且F 1B —→＝3BF 2—→，则双曲线C 的离心率e ＝2答案AB解析由x 2a 2－y 2b2＝1，得y ＝b 2a2x 2－b 2(x >a )，所以y ′＝b 2a 2x b 2a2x 2－b 2，则在点A (x 1，y 1)处的切线斜率为y ′＝b 2a 2x 1b 2a 2x 21－b 2＝b 2x 1a 2y 1，所以在点A (x 1，y 1)处的切线方程为y －y 1＝b 2x 1a 2y 1(x －x 1)，又x 21a 2－y 21b 2＝1，化简得切线方程为x 1x a 2－y 1yb 2＝1，所以x 1x 2a 2－y 1×0b2＝1，所以x 1x 2＝a 2，故C 错误；由x 1x 2＝a 2，得x 2＝a 2x 1，又x 1>a ，所以0<x 2<a ，故A正确；由F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，得|F 1B |＝a 2x 1＋c ，|BF 2|＝c －a 2x 1，故|F 1B ||BF 2|＝a 2x 1＋cc －a 2x 1＝cx 1＋a 2cx 1－a 2，由x 21a 2－y 21b 2＝1，得y 21＝b 2x 21a 2－b 2，所以|AF 1|＝(x 1＋c )2＋y 21＝(x 1＋c )2＋b2x 21a2－b 2＝c 2a2x 21＋2cx 1＋a 2＝cax 1＋a ，所以|AF 2|＝|AF 1|－2a ＝cax 1－a ，所以|AF 1||AF 2|＝ca x 1＋aca x 1－a ＝cx 1＋a 2cx 1－a 2＝|F 1B ||BF 2|，设点A 到x 轴的距离为h ，则1AF B S △＝12|F 1B |h＝12|AF 1||AB |sin ∠F 1AB ，2AF B S △＝12|F 2B |h＝12|AF 2||AB |sin ∠F 2AB ，12AF BAF BS S △△＝|F 1B ||F 2B |＝|AF 1|sin ∠F 1AB|AF 2|sin ∠F 2AB，又|AF 1||AF 2|＝|F 1B ||BF 2|，所以∠F 1AB ＝∠F 2AB ，故B 正确；由上可得F 1B —→c ，BF 2—→－a 2x 1，因为F 1B →＝3BF 2—→，则a2x 1＋c ＝得x 1＝2a 2c，|AF 1|＝c a x 1＋a ＝c a ×2a 2c ＋a ＝3a ，|AF 2|＝c a x 1－a ＝c a ×2a 2c －a ＝a ，所以cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝9a 2＋a 2－4c 26a 2＝53－23e 2＝13，解得e ＝2，故D 错误．4．(2023·白山模拟)在正四棱锥S －ABCD 中，M 为SC 的中点，过AM 作截面将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V2V 1的最大值是________．答案2解析记正四棱锥S －ABCD 的体积为V ，求V2V 1的最大值，由V 1＋V 2＝V 为定值知，只需求V 1的最小值，设过AM 的截面分别交SB 和SD 于E ，F ，平面SAC 与平面SBD 的交线为SO ，SO 与AM 相交于G ，如图，则SG ＝23SO ，令SE SB ＝x ，SFSD ＝y ，则SG →＝13(SD →＋SB →)＝13x SE →＋13y SF →，即有13x ＋13y＝1，V 1＝V S －AFM ＋V S －AEM ＝V F －SAM ＋V E －SAM ＝SF SD ·V D －SAM ＋SESB·V B －SAM ＝y ·12V D －SAC ＋x ·12V B －SAC＝V4(x ＋y )＝V4(x ＋y＋y x ＋≥V 3，当且仅当x ＝y ＝23时取等号，此时V 2V 1＝V －V 1V 1＝VV 1－1≤V V 3－1＝2，所以V 2V 1的最大值是2.5．(2023·济南模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)由a n ，b n 构成的n ×n 阶数阵如图所示，求该数阵中所有项的和T n .1b 1，a 1b 2，a 1b 3，…，a 12b 1，a 2b 2，a 2b 3，…，a 23b 1，a 3b 2，a 3b 3，…，a 3…n b 1，a n b 2，a n b 3，…，a n 解(1)因为S n ＝2n ＋1－2，当n ＝1时，S 1＝22－2＝2，即a 1＝2，当n ≥2时，S n －1＝2n －2，所以S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)，即a n ＝2n ，经检验，当n ＝1时，a n ＝2n 也成立，所以a n ＝2n ，则b n ＝log 2a n ＝log 22n ＝n .(2)由数阵可知T n ＝a 1(b 1＋b 2＋…＋b n )＋a 2(b 1＋b 2＋…＋b n )＋…＋a n (b 1＋b 2＋…＋b n )＝(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )，因为S n ＝2n ＋1－2，b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋2＋…＋n ＝n (1＋n )2＝n 2＋n2，所以T n ＝(2n ＋1－2)·n 2＋n 2＝(2n －1)·(n 2＋n )．[周三]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＋B ＝2π3，a ＝23，c ＝5，则sin A等于()A.45B.35C.34D.23答案B解析因为A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即23sin A ＝5sin π3，所以sin A ＝35.2．已知A ，B ，P 是直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若OP →＝mAP →＋(2m －3)OB →(m ∈R )，则|PB →||PA →|等于()A ．2 B.12C ．3D.13答案A 解析∵AP →＝OP →－OA →，OP →＝mAP →＋(2m －3)OB →＝m (OP →－OA →)＋(2m －3)OB →，整理得(m －1)OP →＝mOA →＋(3－2m )OB →，当m ＝1时，0＝OA →＋OB →显然不成立，故m ≠1，∴OP →＝m m －1OA →＋3－2m m －1OB →，∵A ，B ，P 是直线l 上不同的三点，∴m m －1＋3－2m m －1＝1，解得m ＝2，∴OP →＝2OA →－OB →，设PB →＝λPA →，λ≠1，∴OB →－OP →＝λ(OA →－OP →)，∴OP →＝λλ－1OA →－1λ－1OB →，∴λλ－1＝2，解得λ＝2，即|PB →||PA →|＝2.3．(多选)(2023·保山模拟)已知函数f 3g (x )的图象关于直线x ＝π3对称，若f (x )＋g (x )＝sin x ，则()A ．函数f (x )为奇函数B ．函数g (x )的最大值是32C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称D ．函数f (x )的最小值为－32答案BC解析因为f3所以f－x )3f 3令t ＝x 3＋π3，则f f (t )，即f f (x )，由g (x )的图象关于直线x ＝π3对称，可得g (x )，－f (x )＋g (x )＝f＝联立f (x )＋g (x )＝sin x ，得g (x )＝32sinf (x )＝12sin 故函数f (x )不是奇函数，函数g (x )的最大值是32，函数f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，函数f (x )的最小值为－12.4．(2023·鞍山质检)冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜．已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A 为其在前两次射击中没有被罚时，事件B 为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么P (A |B )＝________.答案13解析由题意得P (B )＝C 13C 15C 25C 320，P (AB )＝C 15C 25C 320，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝C 15C 25C 320÷C 13C 15C 25C 320＝13.5．(2023·延边模拟)如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB ＝AC ＝25，BC ＝4.将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCED ，如图2.(1)求证：A 1O ⊥BD ；(2)求直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值；(3)若点F 在A 1C 上，是否存在点F ，使得直线DF 和BC 所成角的余弦值为357若存在，求出A 1FA 1C的值；若不存在，请说明理由．(1)证明因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC ，AD ＝AE .所以A 1D ＝A 1E ，又O 为DE 的中点，所以A 1O ⊥DE .因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，且A 1O ⊂平面A 1DE ，所以A 1O ⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCED ，所以A 1O ⊥BD .(2)解取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE ⊥OG .由(1)得A 1O ⊥OE ，A 1O ⊥OG .以O 为原点，OG ，OE ，OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，A 1(0,0,2)，B (2，－2,0)，C (2,2,0)，D (0，－1,0)．所以A 1B —→＝(2，－2，－2)，A 1D —→＝(0，－1，－2)，A 1C —→＝(2,2，－2)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．n ·A 1B —→＝0，n ·A 1D —→＝0，2x －2y －2z ＝0，－y －2z ＝0.令x ＝1，则y ＝2，z ＝－1，所以n ＝(1,2，－1)．设直线A 1C 和平面A 1BD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，A 1C —→〉|＝|n ·A 1C —→||n ||A 1C —→|＝|2＋4＋2|1＋4＋1·4＋4＋4＝223故所求角的正弦值为223.(3)解存在点F 符合题意．设A 1F —→＝λA 1C —→，其中λ∈[0,1]．设F (x 1，y 1，z 1)，则有(x 1，y 1，z 1－2)＝(2λ，2λ，－2λ)，所以x 1＝2λ，y 1＝2λ，z 1＝2－2λ，从而F (2λ，2λ，2－2λ)，所以DF →＝(2λ，2λ＋1,2－2λ)，又BC →＝(0,4,0)，所以|cos 〈DF →，BC →〉|＝|DF →·BC →||DF →||BC →|＝4|2λ＋1|4(2λ)2＋(2λ＋1)2＋(2－2λ)2＝357，整理得16λ2－24λ＋9＝0，解得λ＝34，所以线段A 1C 上存在点F 符合题意，且A 1F A 1C ＝34.[周四]1．(2023·青岛模拟)已知全集U ＝R ，A ＝{x |3<x <7}，B ＝{x ||x －2|<4}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{x |－2<x ≤3}B ．{x |－2<x <3}C ．{－1,0,1,2}D ．{－1,0,1,2,3}答案A解析|x －2|<4⇒－4<x －2<4⇒－2<x <6，∴B ＝{x |－2<x <6}．则A ∪B ＝{x |－2<x <7}，图中阴影部分为∁(A ∪B )A ＝{x |－2<x ≤3}．2．(2023·郴州、湘潭联考)已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为()A.53π3B ．53πC.73π3D ．73π答案C解析设圆台的上底面的圆心为O 1，下底面的圆心为O ，点A 为上底面圆周上任意一点，则O 1A ＝1，设圆台的高为h ，球的半径为R ＝OA ＝2，则h ＝OO 1＝R 2－O 1A 2＝4－12＝3，所以圆台的体积V ＝13(4π＋4π·π＋π)×3＝73π3.3．(多选)(2023·白山模拟)某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格．成绩60657075808590人数2335421下列结论正确的是()A ．这20人成绩的众数为75B ．这20人成绩的极差为30C ．这20人成绩的25%分位数为65D ．这20人成绩的平均数为75答案AB解析根据表格可知，这20人成绩的众数为75，故A 正确；极差为90－60＝30，故B 正确；20×25%＝5，所以25%分位数为12×(65＋70)＝67.5，故C 错误；平均数为60×2＋65×3＋70×3＋75×5＋80×4＋85×2＋9020＝74，故D错误．4．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n是它的前n项和，若a3a5＝64，且a5＋2a6＝8，则S6＝______.答案126解析设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由a3a5＝64，得a24＝a3a5＝64，而a4>0，解得a4＝8，又a5＋2a6＝8，则a4q＋2a4q2＝8，于是2q2＋q－1＝0，而q>0，解得q＝12，a1＝a4q3＝64，所以S61－12126.5．(2023·大连模拟)国学小组有编号为1,2,3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为23，答对第二题的概率为12，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第i(i＝1,2,3，…，n－1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续比赛；③若第i(i＝1,2,3，…，n－1)号同学答对第一题，则再答第二题，若该同学答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束．(1)令随机变量X n表示n名同学在第X n轮比赛结束，当n＝3时，求随机变量X3的分布列；(2)若把比赛规则③改为：若第i(i＝1,2,3，…，n－1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i＋1号同学重新从第一题开始作答．令随机变量Y n表示n名挑战者在第Y n轮比赛结束．①求随机变量Y n(n∈N*，n≥2)的分布列；②证明：随机变量Y n的数学期望E(Y n)单调递增，且小于3.(1)解由题设，X3的可能取值为1,2,3，P(X3＝1)＝23×12＝13，P(X3＝2)＝23×12×12＋13×23×12＝518，P(X3＝3)＝1－13－518＝718，因此X3的分布列为X3123P13518718(2)①解Y n 的可能取值为1,2，…，n ，每位同学两题都答对的概率为p ＝23×12＝13，则答题失败的概率为1－23×12＝23，所以当Y n ＝k (1≤k ≤n －1，k ∈N *)时，P (Y n ＝k)－1×13；当Y n ＝n 时，P (Y n ＝n)－1，故Y n 的分布列为②证明由①知，E (Y n )＝错误－1×13＋－1(n ∈N *，n ≥2)．E(Y n ＋1)－E (Y n )＝－1×13＋(n ＋－－1>0，故E (Y n )单调递增．又E (Y 2)＝53，所以E (Y n)＝E (Y 2)＋[E (Y 3)－E (Y 2)]＋[E (Y 4)－E (Y 3)]＋…＋[E (Y n )－E (Y n －1)]，所以E (Y n )＝53＋＋…－1＝531－233－2－1<3，故E (Y 2)<E (Y 3)<E (Y 4)<E (Y 5)<…<E (Y n )<3.[周五]1．(2023·淄博模拟)已知集合A ＝{x |2x >1}，B ＝{x |ln x >1}，则下列集合为空集的是()A ．A ∩(∁RB ) B.(∁R A )∩BC ．A ∩B D.(∁R A )∩(∁R B )答案B解析集合A ＝{x |2x >1}＝{x |x >0}，集合B＝{x|ln x>1}＝{x|x>e}，所以∁R A＝{x|x≤0}，∁R B＝{x|x≤e}，对于A，A∩(∁R B)＝{x|0<x≤e}，故选项A不满足题意；对于B，(∁R A)∩B＝∅，故选项B满足题意；对于C，A∩B＝{x|x>e}，故选项C不满足题意；对于D，(∁R A)∩(∁R B)＝{x|x≤0}，故选项D不满足题意．2．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，且对∀x∈R，f(x＋4)＝f(－x)恒成立，则下列选项中不正确的是()A．f(x)为偶函数B．f(3)＝0C．f fD．f(x)是以8为周期的函数答案D解析因为f(x＋1)为奇函数，所以f(1－x)＝－f(1＋x)x＋2)＝－f(－x)，2－x)＝－f(x)，又f(x＋4)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，故－f(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，A正确；f(x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(3)＝f(1)＝0，B正确；f f f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f f所以f f C正确；又f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，D错误．3．(多选)(2023·邵阳模拟)若函数f(x)＝2cosωx(cosωx－sinωx)－1(ω>0)的最小正周期为π，则()A．f＝－62B．f(x)在π2，3π4上单调递增C．f(x)在0，5π2内有5个零点D ．f (x )在－π4，π4上的值域为[－1，1]答案BC解析f (x )＝2cos ωx (cos ωx －sin ωx )－1＝2cos 2ωx －2cos ωx sin ωx －1＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝2cos ωx 由最小正周期为π，可得π＝2π2ω，解得ω＝1，故f (x )＝2cos x对于A ，f ＝2cos －π12＋＝2cosπ6＝62，故A 错误；对于B ，当x ∈π2，3π4时，2x ＋π4∈5π4，7π4⊆[π，2π]，此时f (x )单调递增，故B 正确；对于C ，令f (x )＝2cos x 0，即x 0，所以2x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，当x ∈0，5π2时，满足要求的有x ＝π8，x ＝5π8，x ＝9π8，x ＝13π8，x ＝17π8，故有5个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈－π4，π4时，2x ＋π4∈－π4，3π4，则x ∈－22，1，故f (x )∈[－1，2]，所以D 错误．4．(2023·齐齐哈尔模拟)一组数据由8个数组成，将其中一个数由4改为2，另一个数由6改为8，其余数不变，得到新的一组数据，则新数据的方差相比原数据的方差的增加值为________．答案2解析一个数由4改为2，另一个数由6改为8，故该组数据的平均数x 不变，设没有改变的6个数分别为x 1，x 2，…，x 6，原数据的方差s 21＝18[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 6－x )2＋(4－x )2＋(6－x )2]，新数据的方差s 22＝18[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 6－x )2＋(2－x )2＋(8－x )2]，所以s 22－s 21＝18[(2－x )2＋(8－x )2－(4－x )2－(6－x )2]＝2.5．(2023·苏州调研)已知抛物线y 2＝a 2x 的焦点也是离心率为32的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点F .(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交椭圆于C ，D 两点，且A 在B 左侧，C 在D 左侧，A 在C 左侧．设r ＝|AC |，s ＝μ|CD |，t ＝|DB |.①当μ＝2时，是否存在直线l ，使得r ，s ，t 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l ，使得r ，s ，t 成等差数列，求μ的范围．解(1)由题意知抛物线的焦点F (c ,0)，由于e ＝c a ＝32，即，则有a 24＝32a ，因此a ＝23，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝3，故抛物线的标准方程为y 2＝12x ，椭圆的标准方程为x 212＋y 23＝1.(2)设l ：x ＝my ＋3(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，将直线与抛物线联立，2＝12x ，＝my ＋3，整理得y2－12my－36＝0，Δ＝144m2＋36×4>0，1＋y2＝12m，1y2＝－36，于是x1x2＝(my1＋3)(my2＋3)＝m2y1y2＋3m(y1＋y2)＋9＝9，2＋4y2－12＝0，＝my＋3，得到一元二次方程(m2＋4)y2＋6my－3＝0，Δ>0，3＋y4＝－6mm2＋4，3y4＝－3m2＋4，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋m2·(y1＋y2)2－4y1y2＝12(m2＋1)，|CD|＝(x3－x4)2＋(y3－y4)2＝1＋m2·(y3＋y4)2－4y3y4＝1＋m236m2(m2＋4)2＋12m2＋48(m2＋4)2＝43(m2＋1)m2＋4，|AC|＋|DB|＝|AB|－|CD|＝12(m2＋1)－43(m2＋1)m2＋4.①当μ＝2时，s＝2|CD|，假设存在直线l，使得r，s，t成等差数列，即|AC|＋|DB|＝4|CD|，即有12(m2＋1)－43(m2＋1)m2＋4＝4×43(m2＋1)m2＋4，整理得12m2＝203－48，方程无解，因此不存在l满足题设．②若存在直线l，使得r，s，t成等差数列，只需使得方程12(m2＋1)－43(m2＋1)m2＋4＝2μ×43(m 2＋1)m 2＋4有解即可．整理得m 2＝3＋23μ－123，故m 2＝3＋23μ－123>0，解得μ[周六]1．(2023·泉州质检)已知复数z 满足(1－i)z ＝4i ，则z ·z 等于()A ．－8B ．0C ．8D ．8i 答案C 解析因为(1－i)z ＝4i ，所以z ＝4i 1－i ＝4i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－4＋4i 2＝－2＋2i ，所以z ＝－2－2i ，因此，z ·z ＝(－2＋2i)(－2－2i)＝4＋4＝8.2．(2023·娄底模拟)已知夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积之比为k (常数)，那么这两个几何体的体积之比也为k .则椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为(注：椭圆的面积S ＝πab ，其中a ，b 分别为长半轴、短半轴的长)()A.43πa 2b B.43πab 2C.43πa 3 D.43πb 3答案B 解析如图所示，直线y ＝h 交半椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(y ≥0)于A ，B 两点，交半圆x 2＋y 2＝b 2(y ≥0)于C ，D 两点，由题意可得|AB ||CD |＝＝abb2－h2b2－h2＝ab，将半椭圆x2a2＋y2b2＝1(y≥0)和半圆x2＋y2＝b2(y≥0)绕着x轴旋转一圈后，利用垂直于y轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为S，S′，由题意可知SS′＝14π·|AB|·|CD|14π·|CD|2＝ab，设半椭圆x2a2＋y2b2＝1(y≥0)绕x轴旋转一圈所得的几何体体积为V，半圆绕x轴旋转一圈所得的几何体体积为V′，则VV′＝ab，所以V＝abV′＝ab·4πb33＝4πab23.3．(多选)(2023·青岛模拟)在x的展开式中，下列说法正确的是()A．常数项是1120B．第四项和第六项的系数相等C．各项的二项式系数之和为256D．各项的系数之和为256答案AC解析x的通项公式为T k＋1＝C k828－k(－1)k x8－2k，对于A，常数项为C4824(－1)4＝1120，故A正确；对于B，第四项的系数为C3828－3(－1)3＝－1792，第六项的系数为C5828－5(－1)5＝－448，故B错误；对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确；对于D，令x＝1，得各项的系数之和为1，故D错误．4.如图是甲烷的球棍结构，它的分子结构为正四面体结构(正四面体是每个面都是正三角形的四面体)，碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点．已知相邻的两个氢原子之间的距离为7，若不计原子大小，该正四面体内放入一个圆柱，使得圆柱的下底面在正四面体的底面内，则当该圆柱的表面积取得最大值时，圆柱的底面半径为____________．答案233＋66解析如图，不计原子大小后，设5个原子所确定的四面体为正四面体ABCD ，则其棱长为7，若使圆柱最大，则圆柱的上底面为一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆，设截面正三角形边长为x ，x ∈(0,7)，设正四面体的高AO 交截面于F ，连接EF ，BO ，圆柱的高为h ，则EF ＝32x ×23＝33x ，BO ＝32×7×23＝733，AO ＝763，由几何关系可得AF AO ＝EF BO ，则AO －h AO ＝EF BO ＝x 7，则圆柱的高h＝AO ＝6(7－x )3，圆柱底面半径为r ＝13×32x ＝36x ，所以圆柱表面积S ＝2πr 2＋2πrh ＝＋2π×36x ×6(7－x )3＝x 2＋723πx ，故当x72π4＋2时，S 取得最大值，此时r ＝36x ＝36×(4＋2)＝233＋66.5．(2023·柳州模拟)已知函数f (x )＝2sin x －ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求g (x )＝f (x )－ln(x ＋1)在区间0，π6上的最小值；(2)证明：sin 12＋sin 13＋sin 14＋…＋sin 1n >ln n ＋12(n>1且n ∈N *)．(1)解由题意知当a＝1时，g (x )＝2sin x －x －ln(x ＋≤x 则g ′(x )＝2cos x －1－1x ＋1，令u (x )＝2cos x －1≤x 则u ′(x )＝－2sin x ＋1(x ＋1)2，令v (x )＝－2sin x ≤x 则v ′(x )＝－2cos x －2(x ＋1)3<0，所以v (x )在区间0，π6上单调递减，即u ′(x )在区间0，π6上单调递减．又u ′(0)＝1，u 1＋1<0，所以u ′(0)·u ，故存在x 0u ′(x 0)＝0，所以u (x )(即g ′(x ))在区间(0，x 0)上单调递增，0又g ′(0)＝0，g ＝3－1－1π6＋1>0，g ′(x )>0，所以g (x )在区间0，π6上单调递增，最小值为g (0)＝0.(2)证明由(1)可知g (x )＝2sin x －x －ln(x ＋1)≥g (0)＝0在区间0，12上恒成立，所以2sin x ≥x －ln(x ＋1)，令h (x )＝x －ln(x ＋≤x 则h (0)＝0，h ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1≥0，所以h (x )在区间0，12上单调递增，所以当0<x ≤12时，h (x )>0，即x －ln(x ＋1)>0，x >ln(x ＋1)，所以2sin x≥x＋ln(x＋1)>2ln(x＋1)，即sin x>ln(x＋1)，12上恒成立，所以sin 12sin13＋sin14＋…＋sin1n>ln32＋ln 43＋…＋lnn＋1n＝·43·…ln n＋12.。

2021年高考数学复习拓展精练23

2021年高考数学复习拓展精练23
1.是的( )
A、必要不充分条件
B、充分不必要条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
2设是等差数列的前n项和，已知，，则等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63
3在△ABC中，若，则与的大小关系为 ( )
A. B.
C. ≥
D. 、的大小关系不能确定
4 若，则下列不等式中，正确的不等式有 ( )
①②③④
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5. 在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是( )
A. B. 4 C. 2 D. 2
6．已知点在平面内，并且对空间任一点，则的值为（）A．B．C．D．
7．已知空间四边形OABC中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则=
（）
A．B．
C．D．
8设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率e（）A．5 B．C．D．
9．已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，
A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
10.已知点M(x，y)在上，则的最大值为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案
1—10 BCABB ABCDD27848 6CC8 泈Y29465 7319 猙DEo35885 8C2D 谭39011 9863 顣30889 78A9 碩OP 29634 73C2 珂@'。

高考数学考前冲刺每日一练(23)(2021年整理)

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河北省临漳县2017届高考数学考前冲刺每日一练（23）一、选择题(本大题共10小题，每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

)1. 化简cos32cos51cos58cos39-的结果等于 ( ）A 。

cos63B 。

sin63C 。

cos1 D. sin1 2. “a =2”是“直线20ax y +=与直线1x y +=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（）A.32 B 。

23 C.43 D.344. (理科）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，,,(0,1)a b c ∈，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为（ )A ．148B ．124C ．112D ．164.（文科）如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒芝麻,它落在阴影部分(圆内接正三角形）上的概率是 ( ）A.34 B 。

334C 34π D. 334π5。

巳知某几何体的三视图如下,则该几何体的表面积是（）A. 3262+ B 。

打卡第三天-【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练(新高考通用)解析版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第三天一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（2020·海南·高考真题）设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A{2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2．（2020·海南·高考真题）()()12i 2i ++=（）A ．45i +B ．5iC ．5i-D ．23i+【答案】B【分析】直接计算出答案即可.【详解】()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.4．（2019·全国·高考真题）设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．5．（2020·山东·统考高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.6．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴ 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x \的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

高考数学二轮复习选择填空狂练二十三模拟训练三理

模拟训练三一、选择题1． [2018 ·衡水中学 ]已知i是虚数单位，则复数z37i 的实部和虚部分别是（）iA．7， 3 B ． 7， 3i C． 7，3 D ． 7 ， 3i2． [2018 ·衡水中学 ]已知 P1,0, 2 ， Q y y sin ,R，则P Q（）A ．B ．0C．1,0 D ．1,0, 23． [2018 ·衡水中学 ]已知随机变量X 听从正态散布N a,4，且 P X10.5， P X 2 0.3，PX 0等于（）A． 0.2 B ．0.3C．0.7 D ．0.84． [2018 ·衡水中学 ]以下相关命题的说法正确的选项是（）A ．命题“若 xy0 ，则 x0”的否命题为“若xy0 ，则 x0”B．命题“若 x y0 ，则 x ，y互为相反数”的抗命题是真命题C．命题“ x R ，使得2x210”的否认是“x R ，都有2x2 1 0 ”D．命题“若cosx cosy ，则 x y ”的逆否命题为真命题5． [2018 ·衡水中学 ]已知知足 sin 1，则 cosππ（）4cos34A ．7B．25C．7 D ．25 181818186． [2018 ·衡水中学 ]某几何体的三视图以下图，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A ． 216 3πB． 216 4.5πC． 216 6π D ． 216 9π7．[2018 衡·水中学 ]已知函数f x2sin 2x π，现将 y f x 的图象向左平移π个单位，再将所得图象上612各点的横坐标缩短为本来的1倍，纵坐标不变，获得函数 y g x 的图象，则 g x 在0,5π的值域为（）224A． 1,2B． 0,1C． 0,2D． 1,08．[2018 衡·水中学 ]我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大条约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算术——“展转相除法”本质同样，如图的程序框图即源于“展转相除法”，当输入 a 6402 ， b 2046 时，输出的a（）A．66B．12C．36D．198x y509． [2018 ·衡水中学 ]已知实数x，y知足拘束条件 y x0，若不等式 1 a x2 2 xy 4 2a y201y x 2 02恒建立，则实数 a 的最大值为（）A ．7B ．5C．5 D ．6 3310．[2018 衡·水中学 ] 已知函数 f x lnx ， g x2m 3 x n ，若对随意的 x 0,，总有 f x g x 恒建立，记 2m 3 n 的最小值为f m,n ，则 f m, n最大值为（）A ． 1B ．1C．1 D ．1e2eex2y21 a 0,b 0 的左、右焦点分别为F1， F2，过 F2的直线与双曲线11． [2018 衡·水中学 ]设双曲线C :22a b的右支交于两点A， B，若AF1: AB3: 4 ，且F2是AB的一个四平分点，则双曲线 C 的离心率是（）A ．5B．10C．5D ． 522212． [2018 衡·水中学 ]已知偶函数f x知足 f 4 x f 4 x ，且当 x 0,4时， fln 2x，xx对于 x 的不等式f2x af x0在区间200,200上有且只有300 个整数解，则实数a的取值范围是（）A ．ln2,1B．ln2,1ln6ln6 33C．1ln6,3ln2D．1ln6,3ln2 3434二、填空题13． [2018 衡·水中学 ]已知平面向量a，b，a 1 ，b 2 且a b 1 ，若e为平面单位向量，则 a b e 的最大值为 _____．1514． [2018衡·水中学 ]二项式 x6睁开式中的常数项是__________．x x15．[2018 衡·水中学 ] 已知点 A 是抛物线 C ：x2 2 py（ p 0）上一点， O 为坐标原点，若A，B是以点 M 0,8为圆心， OA 的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点，且△ABO 为等边三角形，则 p 的值是 _______．16． [2018衡·水中学 ]已知直三棱柱ABC A1 B1C1中，BAC120 ， AB AC 1 ，AA12，若棱AA1在正视图的投影面内，且 AB 与投影面所成角为3060，设正视图的面积为 m ，侧视图的面积为 n ，当变化时， mn 的最大值是__________．答案与分析一、选择题1．【答案】 A【分析】因为复数37i3i7i 27 3i ，所以，复数37i7，虚部是 3 ，zi i 2z的实部是i应选 A．2．【答案】 C【分析】因为 Q1,1 ，所以 P Q1,0 ．应选 C．3．【答案】 B【分析】随机变量听从正态散布N a,4 ，曲线对于 x a 对称，且P X a0.5 ，由 P X 1 0.5 ，可知 a 1 ，应选 B．4．【答案】 B【分析】“若 xy 0 ，则 x0 ”的否命题为“若 xy0 ，则 x0 ”，A 错误；抗命题是“若 x ，y互为相反数，则x y0 ”，B 正确；“ x R，使得2x210”的否认是“x R ，都有2x210 ”，C错误；“若 cosx cosy ，则 x y ”为假命题，所以其逆否命题也为假命题， D 错误，应选 B．5．【答案】 A【分析】πcosπ2sin2sin cos4cos cos 4221cos2sin2 1 12sin2 1 1 2 17 ，222918应选 A．6．【答案】 D【分析】几何体以以下图所示，是一个正方体中挖去两个同样的几何体（它是1 个圆锥），4故体积为311262π 3 6 2169π43，应选 D．7．【答案】 A【分析】 f x2sin 2x π将函数 y f x的图象向左平移π个单位长度，612获得y 2sin2xππ2sin2π 的图象，再将所得图象个点的横坐标缩短为本来的 1 倍，126x32纵坐标不变，获得函数y g x 的图象，g x2sin4π，x5π，即ππ 7πx30,4x3，24361sin 4xπ1，12sin4xπ 2 ，g x 在0, 5π上的值域为1,2 ，应选 A ．23324 8．【答案】 A【分析】输入 a6402， b2046 ，第一次循环， r264 ， a2046 ， b264；第二次循环， r198 ， a264 ， b198 ；第三次循环， r66， a198， b66；第四次循环， r0 ， a66 ， b 0 ；退出循环，输出a66，应选 A．9．【答案】 A【分析】绘制不等式组表示的平面地区以下图，考察目标函数 t y ，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点 C 2,3 处获得最大值 tmaxy3x，x2在点 A 或点 B 处获得最小值 t min1 ，即 t1, 3 ．2题中的不等式即：a x 2 2 y 2x 2 2xy4 y 2 ，则 ax 2 2 xy 4 y 24t 22t1恒建立，x 2 2 y 22t 21原问题转变为求解函数f t4t 2 2t11 t 3 的最小值，2122tt 21 t1 1 t1 1整理函数的分析式有：f t 224 2 1 24 2 12，t21t 21312241t2 t121，则 1 m 1 ，令 m t2 23令 g m m 4 ，则 g m 在区间 m1 , 3上单一递减，在区间3,1 上单一递加，222且 g 12 ， g 17，据此可得，当m1， t1 时，函数 g m 获得最大值，242则此时函数 f t获得最小值，最小值为f 14 122 1 17 ．212 1 3综上可得，实数 a 的最大值为7．此题选择 A 选项．310．【答案】 C【分析】由题意得 lnx 2m 3 x n 对随意的 x 0, 恒建立，所以 2m 3 0 ，令 y ln x 2m 3 xn ，得 y1 2m 3 0 x1，x2m 3当 x1 时， y0；当 0x1 时， y11 1 n 0 ，2m2m 3 0 ；所以当 x3时， y max ln32m2m 32m3 e 1n，进而 2m 3 nn f m,n ，因为 fm,n1 n 0， n 1 ，所以当 n 1 时， f m, n 0 ；e n1e n 1当 n 1 时， f m, n0 ；所以当 n 1 时， f m, n max12 ，应选 C ．e11．【答案】 B【分析】若 AF 1 : AB 3: 4 ，则可设 AF 1 3m ， AB4m ，因为 F 2 是 AB 的一个四平分点；若 BF21 AB ，则 BF 2m ， AF 2 3m ，但此时 AFAF3m3m0 ，再由双曲线的定义，412得 AF AF22a ，获得 a0 ，这与 a0 矛盾；1若 AF21AB ，则AF2m， BF23m ，由双曲线的定义，4AF1AF22m2a BF5a222得1，则此时知足AF1AB BF1，BF2BF13m 2 a m aBF1所以△ABF1是直角三角形，且BAF190，所以由勾股定理，得22F1F222a22c210 ，AF1AF23a，得 e2应选 B．12．【答案】 D【分析】由 f 4 x f4x ，可知函数的对称轴为x 4 ，因为函数是偶函数，f4x f x 4 ，所以函数是周期为8 的周期函数，当 x0,4时， f ' x1ln2 x ，函数在0, e上递加，在e,4上递减，x222最大值 f e 2，且 f4ln83ln20 ，2e44由选项可知 a0 ，f x f x a0 ，解得 f x0 或 f x a ，依据单一性和周期性画出图象以下图，由图可知， f x0 没有整数解，依据函数为偶函数，在 0,200上有 25 个周期，且有150 个整数解，也即每个周期内有 6 个解， f 31，ln63故 f 4a f 3，解得1ln6x3ln2，应选 D．34二、填空题13．【答案】 3【分析】由 a1 ， b2 且 a b 1，得 cos a ba b 1 ， cos a b 60 ，a b2设 a 1,0 ， b 1, 3 ， e cos ,sin ，a b e 3sin，a b e 的最大值为3 ，故答案为 3 ．14．【答案】 5156 5 k3 k30 15k 15【分析】二项式 6睁开式的通项为 T k 1kk0 ，xxC 5 xx 2C 5 x 2 ，令 30k x21 5得 k4 ，即二项式x 6睁开式中的常数项是 C 545 ．x x15．【答案】23【分析】由抛物线的性质可知，点 A 和点 B 对于 y 轴对称，又因为 △ ABO 为等边三角形，所以直线OA 与 x 轴的正半轴夹角为 60 ， OA 的方程为 y3x ，代入抛物线方程得 x 22 3 px ，解得点 A 的坐标为 2 3 p,6 p ，又OAMA ，解得 p2 ．316．【答案】 3 3 【分析】AB 与投影面所成角时，平面 ABC 以下图， BC3，CAE60，BDAB sin ， DA ABcos ， AEACcos 60，ED DA AE cos 60cos ，故正视图的面积为 m ED AA 1 2 cos 60 cos ，因为 3060 ，所以 BDCE ，侧视图的面积为 n BD AA 1 2sin ，mn 4sincos 60cos4sin cos60 cos sin sin60cossin223sin 22sin 23sin23 3 cos22 3 sin2303，3060 ，3023090，1301，3 2 3 sin230 2 3 ，sin 222 3 mn 3 3 ，故得 mn 的最大值为 3 3 ，故答案为 3 3 ．。

2023届安徽省定远市高三下学期高考冲刺卷(二)数学试题【含答案】

2023届安徽省定远市高三下学期高考冲刺卷（二）数学试题一、单选题1．已知全集U Z =，集合{}{}3,1,0,1,2,|21,A B x x k k N =--==-∈，则()U A C B ⋂=A ．{}0,1,2B ．{}3,1,0--C ．{}1,0,2-D ．{}3,0,2-【答案】D【详解】集合{}|21,B x x k k N ==-∈{}1,1,3,5,7...=-,1,1,B B -∈∈ 且全集U Z =，1,1,U U C B C B ∴-∉∉则{}()3,0,2U A C B ⋂=-,故选D.点睛:本题考查集合的交并补混合运算,属于基础题目.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.在求交集时注意区间端点的取舍,熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.注意集合B 中的条件k N ∈,是解决本题的关键和易错点.2．已知i 为虚数单位，若复数()()2313i 1i z +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A ．4B ．3C ．2D ．2【答案】D【分析】应用复数的乘方、除法运算求z ，进而可求z z ⋅.【详解】()()2313i 23i 213i (13i)(1i)(13)(31)i 2i (1i)i 1(i 1)(1i)21i z +------+=====-⋅-++--，∴()221(13)[(31)]24z z ⋅=⨯-+-+=.故选：D.3．sin17sin 223cos17cos(43)︒︒+︒-︒等于A ．12B ．12-C ．32-D ．32【答案】A【详解】分析：由条件利用诱导公式、两角和差的余弦公式化简所给的式子，可得结果.详解：()sin17sin223cos17cos 43︒︒+︒-︒()sin17sin 18043cos17cos 43︒︒︒︒︒=++sin17sin 43cos17cos 43︒︒︒︒=-+()cos 1743︒︒=+cos 60︒=12=.故选：A.点睛：本题主要考查诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题.4．已知圆22:(1)(1)1C x y -+-=上两动点A ，B 满足ABC 为正三角形，O 为坐标原点，则+ OA OB 的最大值为（）A ．23B ．22C ．223-D ．223+【答案】D 【分析】由条件可得32CM =，由此确定点M 的轨迹方程，再求OM 的最大值可得结论.【详解】由题可知ABC 是边长为1的正三角形，设AB 的中点为M ，则32CM =，又()1,1C ，所以点M 的轨迹方程为223(1)(1)4x y -+-=，且2OC =．因为2OA OB OM += ，所以2OA OB OM += ，因为322OM OC MC ≤+=+ ，当且仅当点C 在线段OM 上时等号成立，所以OM 的最大值为322+，所以+ OA OB 的最大值为223+．故选：D ．5．2025年某省将实行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目.为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值（指标值满分为5分，分值越高成绩越优）整理得到如下的雷达图，则下列选择最合理的是（）A ．选考科目甲应选物理、化学、历史B ．选考科目甲应选化学、历史、地理C ．选考科目乙应选物理、政治、历史D ．选考科目乙应选政治、历史、地理【答案】D【分析】根据雷达图得到两位同学综合指标值顺序，然后根据选科要求从高到低选择即可.【详解】根据雷达图，甲同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：物理、历史（化学）、地理、生物、政治，乙同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：历史、物理（政治）、地理、生物、化学，根据新高考选科模式规则，选考科目甲应选物理、化学、地理；选考科目乙应选历史、政治、地理.故选：D6．已知抛物线C ：24y x =的焦点与椭圆E ：221(0)x y m n m n +=>>的一个焦点重合，且C 的准线与椭圆E 相交所得的弦长为3，则椭圆E 的长轴长为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【分析】求出抛物线C ：24y x =的焦点，可得1m n -=，结合C 的准线与椭圆E 相交所得的弦长列出关于,m n 方程组，即可求得答案.【详解】由题意抛物线C ：24y x =的焦点与椭圆E ：221(0)x y m n m n +=>>的一个焦点重合，且C 的准线与椭圆E 相交所得的弦长为3，抛物线C ：24y x =的焦点为()1,0，故1m n -=，抛物线准线方程为=1x -，将=1x -代入221(0)x y m n m n+=>>可得(1)n m y m -=±，结合1m n -=，得123m n n m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，得43m n =⎧⎨=⎩，则长轴长为4，故选：C ．7．函数()(1)ln 1f x x x =+-的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】由1()02f ->排除两个选项，再由2x >时，()0f x >排除一个选项后可得正确选项．【详解】∵()(1)ln 1f x x x =+-，所以113()ln 0222f -=>，故排除C ，D ，当2x >时，()(1)ln(1)0f x x x =+->恒成立，排除A ，故选：B ．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 3a B b A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设D 是BC 边的中点，且△ABC 的面积为3．则()BA DB DA ⋅+=uur uuu r uuu r （）A ．2B ．23C ．－2D ．23-【答案】C 【分析】由正弦定理可以求得23A π=，利用面积公式可求得4AB AC ⋅=，再根据向量的运算法则和向量的数量积公式即可求解.【详解】依题知，因为sin sin 3a B b A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以由正弦定理得：sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sin sin 3A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以3A A ππ+-=或3A A π=-（舍），解得：23A π=，所以BA CA 与uur uur 的夹角为：23π.由面积公式1sin 32S AB AC A =⨯⨯⨯=，解得：4AB AC ⋅=，即4BA CA ⋅=uur uur 因为D 是BC 边的中点，所以DB CD = ,所以()()BA DB DA BA CD DA BA CA ⋅+=⋅+=⋅uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uur uur ，21cos ,4cos 4232BA CA BA CA π⎛⎫=⋅⋅=⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭uur uur uur uur .故选：C.二、多选题9．已知首项为32，公比为q 的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，*n ∈N ，且33S a +，55S a +，44S a +成等差数列，记2n n n T S S =-，*n ∈N ，则（）A ．公比12q =B ．若{}n a 是递减数列，则3n S <C ．若{}n a 不单调，则{}n T 的最大项为16D ．若{}n a 不单调，则{}n T 的最小项为76-【答案】BC【分析】由等差中项的性质即可判断A ，由等比数列前n 项和n S 即可判断B ，由n S 以及n S 与n T 的关系即可判断CD.【详解】由33S a +，55S a +，44S a +成等差数列，得()5533442S a S a S a +=+++，即534a a =，241q ∴=，得12q =±，故A 错误；当12q =-时，数列{}n a 不单调，当12q =时，数列{}n a 单调递减，若{}n a 是递减数列，则3111223131212n n n S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-，故B 正确；若{}n a 不单调，则12q =-，则31[1)1221()1212n n n S ⎛⎤-- ⎥⎝⎦==--+，2n n n T S S =-，是关于n S 的增函数，当1n =时，n S 有最大值为32，则{}n T 的最大项为341236-=，故C 正确；当2n =时，n S 有最小值为34，则{}n T 的最小项为38234312-=-，故D 错误．故选：BC ．10．如图，曲线C ：22x y =的焦点为F ，直线l 与曲线C 相切于点(P 异于点)O ，且与x 轴，y 轴分别相交于点E ，T ，过点P 且与l 垂直的直线交y 轴于点G ，过点P 作准线及y 轴的垂线，垂足分别是M ，N ，则下列说法正确的是（）A ．当P 的坐标为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，切线l 的方程为2230x y --=B ．无论点(P 异于点)O 在什么位置，FM 都平分PFT∠C ．无论点(P 异于点)O 在什么位置，都满足24PT FP ON=⋅D ．无论点(P 异于点)O 在什么位置，都有PF GM PG FM GF PM ⋅<⋅+⋅成立【答案】BCD【分析】由题意，求导即可判断A ，证明四边形PFTM 为菱形即可判断B ，由4FP ON ⋅=4PM ON ⋅即可判断C ，证明四边形GFMP 为平行四边形，再结合基本不等式即可判断D.【详解】因为曲线C ：22x y =，即212y x =，所以y x '=，设点()00P x y ，，则200012y x k x ==，，所以切线l 的方程为20012y x x x =-，当01x =时，切线方程为2210x y --=，故A 错误：由题意20011100222F M x T x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，所以201122PM FT x ==+，因为//PM FT ，所以四边形PFTM 为平行四边形，又PF PM =，所以四边形PFTM 为菱形，可得FM 平分角PFT ∠，故B 正确：因为()00N y ，，()00T y -，，所以22220000||424PT x y y y =+=+，200001444242FP ON PM ON y y y y ⎛⎫⋅=⋅=+⋅=+ ⎪⎝⎭，所以2||4PT FP ON =⋅，故C 正确：直线GP 方程：0011y x y x =-++，可得()00,1G y +，所以012GF y =+，又012PM y =+，所以//GF MP 且GF MP =，所以四边形GFMP 为平行四边形，故PG FM =．2222||2PF GM PG FM GF PM PG GF +⋅+⋅=+=，因为PG 与GF 不垂直，所以PF GM ≠，所以22||2PF GM PF GM +>⋅，即PF GM PG FM GF PM ⋅<⋅+⋅成立，故D 正确；故选：BCD ．11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,,E F G 分别为11,,AB AD B C 的中点，以下说法正确的是（）A ．三棱锥C EFG -的体积为1B ．1AC ⊥平面EFGC ．异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为23D ．过点,,EFG 作正方体的截面，所得截面的面积是33【答案】ABD【分析】对于A ，根据三棱锥体积公式计算，结合正方体的性质，可得答案；对于B ，根据线面垂直，证得线线垂直，利用线面垂直判定定理，可得答案；对于C ，根据异面直线夹角的定义，利用几何法，结合余弦定理，可得答案；对于D ，利用平行进行平面延拓，根据正六边形的面积公式，可得答案.【详解】对于A ，取BC 中点H ，连接GH ，CG ，CE ，CF ，如下图：,G H Q 分别为11,BC B C 的中点，∴GH ⊥平面ABCD ，设正方形ABCD 的面积4S =，1341122CEF AEF CEB CDF S S S S S =---=---= ，113C EFG G CEF CEF V V GH S --==⋅⋅= ，故A 正确；对于B ，连接1AC 、1AB 、AC ，如下图：,E F 分别为,AB AD 的中点，且AC 为正方形ABCD 的对角线，AC EF ∴⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，且EF ⊂平面ABCD ，1AA EF ∴⊥，1AC AA A ⋂=，1,AC AA ⊂平面1AAC ，EF ∴⊥平面1A AC ，1AC ⊂ 平面1A AC ，1EF AC ∴⊥，同理可得11AB AC⊥，,F G 分别是11,AD B C 的中点，1//AF B G ∴，1AF B G =，即1//AB GF ，1AC FG ⊥，EF FG F = ，,EF FG ⊂平面EFG ，1AC ∴⊥平面EFG ，故B 正确；对于C ，连接AG ，1FC ，CE ，CF ，1C E，如下图：,F G 分别为11,AD B C 的中点，1//AF C G ∴，1AF C G =，则1//AG FC ，故1C FE ∠为异面直线EF 与AG 所成的角或其补角，222EF AE AF =+=，22221113EC CE CC CB BE C E =+=++=，222221113FC CC CF CC CD DF =+=++=，22211119292cos 26232C F EF C E C FE C F EF +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为26，故C 错误；对于D ，取1BB 的中点H ，11C D 的中点J ，1DD 的中点I ，连接EH ，HG ，GJ ，JI ，IF，如下图：易知//EF JG ，//GH FI ，//IJ EH ，且正六边形EFIJGH 为过点EFG 作正方体的截面，则其面积为()2162sin 60332S =⨯⨯⨯= ，故D 正确.故选：ABD.12．已知函数()()log 1(1)a f x x a =+>，下列说法正确的是（）．A ．函数()f x 的图象恒过定点()0,0B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减C ．函数()f x 在区间1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为0D ．若对任意[]()1,2,1x f x ∈>恒成立，则实数a 的取值范围是()1,2【答案】ACD【分析】代入验证可判断A ，由复合函数的单调性判断B ，根据绝对值的意义及对数的运算可判断C ，由函数单调性建立不等式求解可判断D.【详解】()0,0代入函数解析式()()log 1(1)a f x x a =+>，成立，故A 正确；当()0,∞+时，1(1,)x +∈+∞，又1a >，所以()()()log 1log 1a a f x x x =+=+，由复合函数单调性可知，()0,x ∈+∞时，()()()log 1log 1a a f x x x =+=+单调递增，故B 错误；当1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11[,2]2x +∈，所以()()log 1log 10a a f x x =+≥=，故C 正确；当[]1,2x ∈时，()()log 1log (1)1a a f x x x =+=+≥恒成立，所以由函数为增函数知log 21a ≥即可，解得12a <≤，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．已知a 、b 满足4a = ，b 在a 方向上的数量投影为2-，则3a b - 的最小值为______．【答案】10【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】设a 、b 的夹角为([0,])θθπ∈，因为b 在a 方向上的数量投影为2-，所以cos 2b θ⋅=- ，因此(,]2πθπ∈，因此cos [1,0)θ∈-，所以2b ≥ ，22223(3)961696cos a b a b a b a b b a b θ-=-=+-⋅=+-⋅⋅⋅ ，因此有23649a b b -=+ ，因为2b ≥ ，所以当2b = 时，3a b - 有最小值，最小值为2649210+⨯=，故答案为：1014．已知当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，有()21124212n x x x x =-+-+-++……，若对任意的11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭都有()()013112n n xa a x a x x x =++++-+……，则9a =______.【答案】228【分析】由()21124212nx x x x =-+-+-++……得到()()()123333111nx x x x=+++++-……，则可把()()3112xx x -+化为()363211242nn x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++++⨯-+++-+⎣⎦⎣⎦…………，由9a 为()()3112xx x -+展开式中9x 的系数即可求出9x .【详解】当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，有()21124212nx x x x =-+-+-++……，所以()()()123333111nx x x x =+++++-……，则()()()3632311242112n n xx x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+++++⨯-+++-+⎣⎦⎣⎦-+…………，则9a 为()()3112xx x -+展开式中9x 的系数，因为()()()8523691222228x x x x x x x ⎡⎤⋅-+⋅-+⋅-=⎣⎦，所以9228a =.故答案为：22815．已知实数0,0,1a b a b >>+=，则22a b +的最小值为___________.【答案】22【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.【详解】∵0a >，0b >，1a b +=，∴222222222a b a b a b ++≥⨯==，当且仅当22a b =即12a b ==时取等号.故答案为：22.16．已知函数()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，且()2,011,12x x x f x x x ⎧-<≤=⎨-<≤⎩，则()31022f f f ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.【答案】34-/0.75-【分析】根据奇函数的性质，结合题目中的函数解析式，可得答案.【详解】由函数()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，则333112222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()00f =，由211112224f⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()311130022244f f f⎛⎫⎛⎫-++=--+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：3 4-.四、解答题17．为响应国家使用新能源的号召，促进“碳达峰碳中和”的目标实现，某汽车生产企业在积极上市四款新能源汽车后，对它们进行了市场调研.该企业研发部门从购买这四款车的车主中随机抽取了50人，让车主对所购汽车的性能进行评分，每款车的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分及相应人数的统计结果如下表.性能评分汽车款式12345基础班基础版122310基础版244531豪华版豪华版113541豪华版200353(1)求所抽车主对这四款车性能评分的平均数和第90百分位数；(2)当评分不小于4时，认为该款车性能优秀，否则认为性能一般.根据上述样本数据，完成以下列联表，并依据0.05α=的独立性检验，能否认为汽车的性能与款式有关？并解释所得结论的实际含义.汽车性能汽车款式合计基础班豪华版一般优秀合计(3)为提高这四款新车的性能，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，记X为其中基础版1车主的人数，求X的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.100.050.010.005x α2.7063.8416.6357.879【答案】(1)平均数为3，第90百分位数为4.5；(2)答案见解析(3)分布列见解析，1【分析】（1）根据百分位数定义求解即可；（2）根据联表计算对应数据判断可得汽车的性能与款式的相关性；（3）根据超几何分布计算概率和分布列及期望得解.【详解】（1）由题意得这四款车性能评分的平均数为1(172931641355)350⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；其第90百分位数为454.52+=；（2）由题意得汽车性能汽车款式合计基础版豪华版一般201232优秀51318合计252550零假设为0H ：汽车性能与款式无关，根据列联表中的数据，经计算得到220.0550(2013125)505.556 3.841321825259x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯.根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为汽车性能与款式有关，此推断犯错误的概率不超过0.05；汽车性能一般中基础版和豪华版的频率分别为58和38，性能优秀中基础版和豪华版的频率分别为518和1318，根据频率稳定于概率的原理，可以认为性能优秀时豪华版的概率大.（3）由题意可得X 服从超几何分布，且12N =，4M =，3n =，由题意知，X 的所有可能取值为012,3，，，则38312C 14(0)C 55P X ===，1482123C C (1)C 2855P X ===，824312112C C (2)C 55P X ===，34312C 1(3)C 55P X ===所以X 的分布列为X 0123P1455285512551551428121()0123155555555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.18．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，cos cos 2cos a B b A c B +=．(1)求角B 的大小；(2)ABC 的面积为43，ABC 的外接圆半径长为433，求a 、b 、c ．【答案】(1)3B π=(2)4a b c ===【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cos B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用正弦定理可求得b 的值，利用三角形的面积公式可得ac 的值，结合余弦定理可求得a 、c 的值，即可得解.【详解】（1）解：由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C B +=⋅，即()sin 2sin cos A B C B +=⋅，即()2sin cos sin sin C B C C π=-=，()0,C π∈ ，则sin 0C >，可得1cos 2B =，()0B π∈ ,，3B π∴=.（2）解：13sin 4324ABC S ac B ac ===△，可得16ac =，由正弦定理得83sin 3b B =，所以，833432b =⨯=，由余弦定理2211622a c ac =+-⨯，所以，22a c ac ac +-=，可得a c =，所以，216ac a ==，则4a c ==，因此，4a b c ===.19．设数列{}{}n n a b ､的前n 项和分别为n n S T ､，且21(37)2n S n n =+，2(1)(N*)n n T b n =-∈.(1)求数列{}{}n n a b ､的通项公式；(2)令n n n c a b =，求{}n c 的前n 项和n U .【答案】(1)32n a n =+，2nn b =(2)1(31)22n n U n +=-⨯+【分析】（1）根据21(37)2n S n n =+可得1a ，利用1(2)n n n a S S n -=-≥即可求得32n a n =+；同理利用当2n ≥时，1n n n b T T -=-可求得12n n b b -=，利用等比数列的通项公式求得答案；（2）由（1）的结果可得n n n c a b =的表达式，利用错位相减法即可求得答案.【详解】（1）由21(37)2n S n n =+得115a S ==，当2n ≥时，()()22111(37)317122n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦32n =+，当1n =时，1325a =+=也适合，故32n a n =+.由2(1)n n T b =-得1112(1)b T b ==-，得12b =，当2n ≥时，112(1)2(1)n n n n n b T T b b --=-=---，得12n n b b -=，又12b =，所以12nn b b -=，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=,综上所述：32n a n =+，2nn b =.（2）(32)2n n n n c a b n ==+⨯，所以1235282112(32)2nn U n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ，所以234125282112(32)2n n U n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ ，所以2312523(222)(32)2n n n n U U n +-=⨯++++-+⨯ ，所以23143(2222)(32)2n n n U n +-=+++++-+⨯ 12(12)43(32)212n n n +-=+⨯-+⨯-(62)22n n =-+⨯-，所以1(31)22n n U n +=-⨯+.20．如图，三棱柱111ABC A B C -中，面ABC ⊥面111,,2AA C C AB AC AA AB AC ⊥===，160A AC ∠= ．过1AA 的平面交线段11B C 于点E （不与端点重合），交线段BC 于点F ．(1)求证：四边形1AA EF 为平行四边形；(2)若B 到平面1AFC 的距离为2，求直线11A C 与平面1AFC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)24.【分析】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，利用线面平行、面面平行的性质推理作答.（2）在平面11AAC C 内过点A 作Az AC ⊥，以点A 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，1BB ⊂平面11BB C C ，1AA ⊄平面11BB C C ，则1//AA 平面11BB C C ，又平面1AA EF 平面11BB C C EF =，1AA ⊂平面1AA EF ，于是得1//AA EF ，而平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF 平面ABC AF =，平面1AA EF 平面1111A B C A E =，则1//A E AF ，所以四边形1AA EF 为平行四边形.（2）在平面11AAC C 内过点A 作Az AC ⊥，因平面ABC ⊥平面11AAC C ，平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，于是得Az ⊥平面ABC ，又AB AC ⊥，以点A 为原点，建立如图所以的空间直角坐标系，因12AA AB AC ===，160A AC ∠=，则11(2,0,0),(0,2,0),(0,1,3),(0,3,3)B C A C ，1(2,0,0),(0,3,3),(2,2,0),(0,2,0)AB AC CB AC ===-=，(0,2,0)(2,2,0)(2,22,0)(01)AF AC CF AC tCB t t t t =+=+=+-=-<<，设平面1AFC 的法向量(,,)n x y z = ，则13302(22)0n AC y z n AF tx t y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令y t =，得(1,,3)n t t t =--，点B 到平面1AFC 的距离22222||2(1)2(1)2||(1)4(1)(3)n AB t t d n t t t t t ⋅--====-+-++-，解得13t =，因此，213(,,)333n =-- ，而11(0,2,0)AC = ，设直线11AC 与平面1AFC 所成角为θ，于是得1111112222||23sin |cos ,|4||||213()()()2333n A C n A C n A C θ⋅=〈〉===-++-⨯，所以直线11A C 与平面1AFC 所成角的正弦值为24.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的离心率为2，且双曲线C 经过点66,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．(1)求双曲线C 的方程；(2)设M 是直线12x =上任意一点，过点M 作双曲线C 的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，试判断直线AB 是否过定点．若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．【答案】(1)2213y x -=(2)直线AB 过定点()2,0；理由见详解【分析】（1）根据双曲线的离心率为2，可得223b a =，再将点P 的坐标代入即可解得21a =，从而得到23b =，进而即可双曲线C 的方程；（2）设1,2M t ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，1l 的方程为()11y y k x x -=-，再联立双曲线C 的方程和1l 的方程即可得到关于x 的一元二次方程，再令Δ0=，结合题意可得()11130x k y y =≠，从而得到1l 的方程，同理可得到2l 的方程，再将点1,2M t ⎛⎫⎪⎝⎭代入整理即可得解．【详解】（1）因为双曲线的离心率为2，所以2241b a=+，即223b a =，所以双曲线C 的方程为222213x y a a -=．把点66,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的坐标代入双曲线C 的方程，得22661434a a -=⨯，解得21a =，所以23b =，双曲线C 的方程为2213y x -=．（2）设1,2M t ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，1l 的方程为()11y y k x x -=-，联立()112213y y k x x y x ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，消y 整理得()()()22211113230k x k y kx x y kx ⎡⎤-----+=⎣⎦．()()()()222222111111Δ44334393k y kx k y kx y kx k ⎡⎤⎡⎤=-+--+=-+-⎣⎦⎣⎦，令Δ0=，得()221130y kx k -+-=，即()22211111230x k x y k y --++=．又221113y x -=，所以22211112303y k kx y x -+=，进一步可化为()21130y k x -=，所以()11130x k y y =≠，所以1l 的方程可化为()11113x y y x x y -=-，化简得1113y y x x -=．同理可得2l 的方程为2213y yx x -=．又点1,2M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线1l 和2l 上，所以112211231123ty x ty x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以过点()11,A x y ，()22,B x y 的直线为1123tyx -=上，令0y =，得2x =，故直线AB 过定点()2,0．22．已知,R a b ∈，函数()sin ln f x x a x b x =++.(1)当0,1a b ==-时，求()f x 的单调区间；(2)当1,02a b =-≠时，设()f x 的导函数为()f x '，若()0f x ¢>恒成立，求证：存在0x ，使得()01f x <-；(3)设01,0a b <<<，若存在()12,0,x x ∈+∞，使得()()()1212f x f x x x =≠，证明：1221bx x a -+>+.【答案】(1)()f x 的递增区间为()1,+∞，递减区间()0,1.(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）当0,1a b ==-时，求得()1x f x x-'=，结合导数的符号，即可求解；（2）当1,02a b =-≠时，求得()11cos 2b f x x x '=-+，根据题意11cos 02b x x -+>恒成立，取30e b x -=，得到()01f x <-，即可求解；（3）设12x x <，得到212121()(sin sin )(ln ln )x x a x x b x x -+=--，转化为2211ln(1)()x b a x x x -<+-，设()1ln 21x h x x x -=-⨯+，求得()()22(1)01x h x x x -'=≥+，根据()()10h x h >=，得到1ln 21x x x ->⨯+，进而得到212121ln4x x x x x x ->⨯+，进而证得结论.【详解】（1）解：由函数()sin ln f x x a x b x =++，可得其定义域为()0,∞+，当0,1a b ==-时，可得()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，可得()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，可得()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间()0,1.（2）解：当1,02a b =-≠时，可得()1sin ln 2f x x x b x =-+，则()11cos 2b f x x x '=-+，因为()0f x ¢>恒成立，即11cos 02bx x-+>恒成立，令()11cos ,02b h x x x x =-+>，若0b <，则0b x <，存在2bx =-，使得1()1cos()0222b b h -=---<，即()0f x '<，不符合题意，所以0b >，取30e bx -=，则001x <<，可得()3333301esin eln eesin e 312bbbbb f x a b -----=++=--<-，即存在0x ，使得()01f x <-.（3）解：由函数()sin ln f x x a x b x =++，可得()1cos b f x a x x'=++，设12x x <，因为()()12f x f x =，可得111222sin ln sin ln x a x b x x a x b x ++=++则212121()(sin sin )(ln ln )x x a x x b x x -+=--又由sin y x x =-，可得1cos 0y x '=-≥，所以函数sin y x x =-为单调递增函数，所以2211sin sin x x x x ->-，即2121sin sin x x x x -<-，所以2121(ln ln )(1)()b x x a x x --<+-，即2211ln(1)()x b a x x x -<+-，设()1ln 21x h x x x -=-⨯+，可得()()()22214(1)011x h x x x x x -'=-=≥++，所以当1x >时，()()10h x h >=，即1ln 21x x x ->⨯+，所以1ln 21x x x ->⨯+，即1ln 41x x x ->⨯+，所以21212122111ln441x x x x x x x x x x -->⨯=⨯++，代入可得：()21212121214(1)()(1)()()x x b a x x a x x x x x x -⋅-⨯<+-=+-++，则2214()1b x x a -⋅<++，所以1221bx x a -+>+.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

2023届高三数学冲刺卷解析

2023届高三新高考冲刺卷数学1.已知集合{|15}A x z x =∈- ，2{|ln(4)}B x y x x ==-+，则A B ⋂真子集的个数为()A.6B.7C.8D.16【答案】B 【解析】由240xx -+>，得04x <<，因为{1,0,1,2,3,4,5}A =-，所以{1,2,3}A B ⋂=，所以A B ⋂子集的个数为328=个，真子集的个数为7个.故选：.B 2.已知ln m a b b =+，ln n b b a =+，若0a b >>，则m ，n 的大小关系是()A.m n >B.m n <C.m n =D.大小不确定【答案】A 【解析】【分析】本题考查两个数的大小的比较，考查导数在比较大小中的应用．ln ln ()lnb m n a b b b b a a b b a -=-+-=-+，得到1ln m n b b b a a a a-=-+，构造函数，利用函数单调性，即可得到结果．【解答】解：ln m a b b =+ ，ln n b b a =+，0ab >>，ln ln m n a b b b b a ∴-=-+-()(ln ln )a b b b a =-+-()lnba b b a=-+，所以1ln m n b b ba a a a-=-+，令，设，，在上单调减，所以，0m na->，所以m n >，故选：.A3.已知平面向量a ，b 满足||2a =，(1,1)= ，||a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为()A.2222B.(1,1)C.(1,1)-- D.22(,22-【答案】B 【解析】【分析】本题考查投影向量，向量的数量积，平面向量的坐标运算，属于基础题.设向量a ，b 的夹角为θ，由||a b += 利用向量数量积求出cos 2θ=，再由投影向量公式可得.【解答】解：设向量a ，b 的夹角为θ，||b = ，222||242210a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯+= ，所以cos 2θ=，从而a 在b 上的投影向量的坐标为||cos (1,1).||ba b θ⋅=4.某县选派7名工作人员到A ，B ，C 三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有()A.1176B.2352C.1722D.1302【答案】A 【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题.把7名工作人员分别分为(1,1,5)，(2,2,3)，(3,3,1)三种情况讨论.解：把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同安排方法有1153765322126C C C A A ⋅=种，把7名工作人员分为2，2，3三组，则不同安排方法有2233753322630C C C A A ⋅=种，把7名工作人员分为3，3，1三组，则不同安排方法有3313741322420C C C A A ⋅=种，共有1266304201176++=种.5.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是“设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和(d ac 、b 、c 、*)d N ∈，则b d a c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．”我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令141053π<<，则第一次用“调日法”后，可得3是π的更精确的不足近似值，即103.3π<<若每次都取最简分数，则第五次用“调日法”后，得到π的近似值为()A.165 B.196 C.258 D.227【答案】D【解析】【分析】利用“调日法”结合弧度制与角度制，即可求出第五次用“调日法”后，得到π的近似值．【解答】解：由题意知，第一次用“调日法”后，可得3是π的更精确的不足近似值，即1033π<<，第二次“调日法”后，可得134是π的更精确的不足近似值，即1334π<<，第三次“调日法”后，可得165是π的更精确的不足近似值，即1635π<<，第四次“调日法”后，可得196是π的更精确的不足近似值，即1936π<<，第五次“调日法”后，可得227是π的更精确的不足近似值，即2237π<<，故第五次用“调日法”后，得到π的近似值为22.7故本题选.D 6.已知x ，2[,]y e e ∈，且.x y ≠若ln ln x y y xa y x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是()A.1aB.0a >C.1a -D.0a <【答案】C 【解析】【分析】本题考查函数单调性，利用导数求函数单调性，属于中档题.不妨设y x >，先化简不等式，将其变形为ln ln x a y ax y++<，再利用x ，y 的大小关系，得到ln ()x af x x+=为递增函数，从而求出a 所满足的不等式，最后得到a 的取值范围.解：不妨设y x >，从而ln ln ln ln x y y xa ay ax x y y x y x-<⇒-<--，故(ln )(ln )y x a x y a +<+，由于x ，0y >，从而ln ln x a y ax y ++<，故ln ()x a f x x +=为2[,]e e 上的单调递增函数，即21ln ()0x a f x x--'= 在2[,]e e 上恒成立，即1ln a x - ，2[,]x e e ∈恒成立，故21ln 1.a e -=- 故选.C 7.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,M N 两点在双曲线C上，且12//F F MN ，12||6||F F MN =，线段1F N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为()A.5B.6C.423D.322【答案】D 【解析】【分析】列出点N 、Q 的坐标.可设01(,)6N c y ，016(,)22c c y Q -+代入双曲线方程消去202y b 即可求解.【解答】解：12//MNF F ，12||6||F F MN =，因为12||2F F c =，所以1||3MN c =，所以可设01(,)6N c y ，016(,22c cy Q -+代入双曲线方程，，消去202y b 得2292c a =，即292e =，所以322e =.故选.D 8.在三棱锥P ABC-中，二面角P AB C--、P AC B--和P BC A --的大小均等于3π，::3:4:5AB AC BC =，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ，则POOQ=()A.14B.2C.3D.4【答案】D【分析】解决本题的关键是根据题意找出O 点及Q 点的位置.【解答】解：如图，过P 作PD ⊥平面ABC ，D 为垂足，因为::3:4:5AB AC BC =，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥，取线段BC 的中点E ，则OE ⊥平面ABC ，由已知可得D 为直角三角形ABC 的内心，做DM 垂直于AC 与M ，则DMAC ⊥，因为PD ⊥平面ABC ，AC ABC ⊂平面，所以PD AC ⊥，又PD DM D ⋂=，且都在平面PDM 上，AC PDM ∴⊥平面，又PM PDM ⊂平面，所以AC PM ⊥，所以PMD ∠即是平面PAC 和平面ABC 的二面角，设.OE x =因为::3:4:5AB AC BC =，不妨设3,4,5AB AC BC ===，由几何关系可得34512DM+-==，3PMD π∠=，得PD =，，52AE =，由勾股定理得222OA OE AE =+，222()OP DE PD OE =++，又因为OA OP =，所以22255)44x x +=+，解得33x =，故3PD PQ OE QO ==，即4PO OQ=，故选.D 9.已知O 为坐标原点，圆Ω：22(cos )(sin )1x y θθ-+-=，则下列结论正确的是()A.Ω恒过原点OB.Ω与圆224x y +=内切C.直线2x y +=被ΩD.直线cos sin 0x y αα+=与Ω相离【答案】ABC 【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，弦长的最大值问题，属中档题．把点(0,0)O 代入圆的方程可判断1|12|==-，可判断B ；直线322x y +=被圆Ω所截得弦长为C ；圆心到直线cos sin 0x y αα+=距离为|cos(，可判断【解答】解：把点(0,0)O 代入圆的方程得22(0cos )(0sin )1θθ-+-=，所以点O 在圆Ω上，故A正确；1|12|==-，即两圆圆心距离等于两圆半径之差的绝对值，故B 正确；直线2x y +=被圆Ω所截得弦长为=sin cos [4πθθθ+=+∈，∴即直线322x y +=被圆Ω，故C 正确；圆心到直线cos sin 0x y αα+=距离为|cos()|1θα=- ，故直线cos sin 0x y αα+=与圆Ω相切或相交，故D 不正确；故选：.ABC 10.在正方体1111ABCD A B C D -中，若棱长为1，点E ，F 分别为线段11B D ，1BC 上的动点，则下列结论正确的是()A.1DB ⊥平面1ACD B.平面11//A C B 平面1ACD C.点F 到平面1ACD的距离为3D.直线AE 与平面11BB D D 所成角的正弦值为13【答案】ABC 【解答】解：以A为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，设(,,1)E x y ，，即(1,,0)(,,0)x y λλ-=-，(1,,1)E λλ∴-，设(1,,)F y z ''，，即(0,,)(0,,)y z μμ''=，(1,,).F μμ∴对于A 选项：1(1,1,1)DB =- ，AC (1,1,0)=，1(0,1,1)AD =，，11DB AD ⊥，又AC ⊂平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，1AC AD A ⋂=，1DB ∴⊥平面1ACD ，故A 正确;对于B 选项：1DB ⊥ 平面1ACD ，1(1,1,1)DB ∴=-为平面1ACD 的一个法向量，11(1,1,0)AC = ，1(1,0,1)A B =- ，111DB A C ∴⊥，11DB A B ⊥，又11A C ⊂平面11A C B ，1A B ⊂平面11A C B ，1111A C A B A ⋂=，1DB ∴⊥平面11A C B ，∴平面11//A C B 平面1ACD ，故B 正确;对于C 选项：AF (1,,)μμ= ，∴点F 到平面1ACD的距离11|AF |3||DB d DB ⋅===，为定值，故C 正确;对于D 选项：该几何体为正方体，AC ∴⊥平面11BB D D ，AC (1,1,0)∴=是平面11BB D D 的一个法向量，设直线AE 与平面11BB D D 所成的角为θ，AE (1,,1)λλ=-，|AC AE |sin |AC ||AE |θ⋅∴==⋅，不是定值，故D 错误.故选.ABC 11.函数3()f x x ax b =++，其中a ，b 为实数，则能使函数()f x 仅有一个零点的是()A.3a =-，3b =- B.3a =-，2b =C.0a =，2b = D.1a =，2b =【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的零点，属于中档题.【解答】解：由已知可得()f x 的定义域为.R 对于A ：当3a =-，3b =-时，3()33f x x x =--，则2()333(1)(1).f x x x x '=-=-+当1x <-或1x >时，()0;f x '>当1-时，()0f x '<，故()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)-上单调递减，故()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=-，在1x =处取得极小值(1) 5.f =-又因为当x →-∞时，();f x →-∞当x →+∞时，()f x →+∞，且()f x 的图象连续不断，故()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，故此时()f x 有且只有一个零点，故A 正确.对于B ：当3a =-，2b =时，3()32f x x x =-+，则2()333(1)(1).f x x x x '=-=-+当1x <-或1x >时，()0;f x '>当11x -<<时，()0f x '<，故()f x 在1x =-处取得极大值(1)4f -=，在1x =处取得极小值(1)0.f =又因为当x →-∞时，();f x →-∞当x →+∞时，()f x →+∞，且()f x 的图象连续不断，故()f x 的图象与x 轴有且只有两个交点，故此时()f x 有且只有两个零点，故B 错误.对于C ：当0a =，3b =-时，3()3f x x =-，则2()30f x x '= 在R 上恒成立，当且仅当0x =时取等号，故()f x 在R 上单调递增，又因为当x →-∞时，();f x →-∞当x →+∞时，()f x →+∞，且()f x 的图象连续不断，故()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，故此时()f x 有且只有一个零点，故C 正确.对于D ：当1a =，2b =时，3()2f x x x =++，则2()310f x x '=+>在R 上恒成立，故()f x 在R 上单调递增，又因为当x →-∞时，();f x →-∞当x →+∞时，()f x →+∞，且()f x 的图象连续不断，故()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，故此时()f x 有且只有一个零点，故D 正确.12.如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上1个台阶或2个台阶，设爬上第n 个台阶的方法数为n a ，则下列结论正确的是()A.613a = B.223n n n a a a -+=+C.123751a a a a ++++= D.222212311n n n a a a a a a +++++=⋅- 【答案】ABD【分析】本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的求和，属于中档题.根据题意可得21n n n a a a ++=+，由递推公式逐项判定，即可求解.【解答】解：根据题意可得21n n n a a a ++=+，11a =，22a =，33a =，45a =，58a =，613a =，所以A 正确;721a =，则123753a a a a ++++= ，则C 不正确;211121223n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --+-++-+=++=++-+-=+，所以B 正确;211a =，222312321()a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅，233423432()a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅，2111()n n n n n n n a a a a a a a +-+=⋅-=⋅-⋅1n a -，累加可得222212311n n n a a a a a a +++++=⋅- ，所以D 正确，故选.ABD 13.若31i zi-=-，则z =__________，z在复平面内对应的点位于第__________象限.【答案】2i-四【分析】本题考查复数运算，几何意义，共轭复数，属于基础题.321iz z i i -==- 复数的四则运算，2z i =-得出复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.【解答】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i izi i i i --++====+--+，所以2z i =-，复数z 在复平面内对应的点为点(2,1)-，位于第四象限.故答案为2i -，四.14.写出一个同时满足①②两个条件的函数解析式，即()f x =__________.①函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称;②x ∀，y R ∈，()()().f x y f x f y ⋅=⋅【答案】(x 答案不唯一)【解答】解：同时满足条件，函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称；②x ∀，y ∈R ，可取，验证满足上述两个条件.15.如图，三棱锥P ABC -的底面ABC 的斜二测直观图为A B C ''' ，已知PB ⊥底面ABC ，PB =，A D D C ''=''，1A O OB O D ''=''=''=，则三棱锥P ABC -外接球的体积V =__________.【答案】1256π【解析】【分析】本题考查了斜二测画法，球的切接问题，属于中档题.由斜二测画法得原地面三角形中2ABCπ∠=，2AB =，4BC =，把三棱锥补成长方体，长方体对角线为外接球的直径，由此求得球的半径，再由球的体积公式求解.【解答】解：由题意得//O D B C ''''，且1.2O D B C ''=''所以由斜二测画法得，在原图ABC中，2ABC π∠=，2AB =，4BC =，原图中的三棱锥中已知PB ⊥底面ABC ，故BA ，BC ，BP 两两垂直，把三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体过同一顶点的三条棱长分别为BA ，BC ，BP ，故三棱锥P ABC-外接球的半径222522AB BC PB r ++==，则34125.36V r ππ==故答案为125.6π16.直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点(1,0)F 且与抛物线交于A 、B 两点，则2||||AF BF -的最小值为__________.【答案】222【解析】【分析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及其应用，由基本不等式求最值，属于中档题.先求抛物线方程，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，求出11||||AF BF +的值，再运用基本不等式求出2||||AF BF -的最小值.【解答】解：已知12p=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =，若直线l 与x 轴重合，这时该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为1xmy =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，则212121616044m y y m y y ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，所以1212111111||||1122AF BF x x my my +=+=+++++1212212121222()4(2)(2)2()4my my m y y my my m y y m y y +++++==+++++22244 1.484m m m +==-++所以111||||BF AF =-，则当且仅当||AF =时，等号成立，故2||||AF BF -的最小值为 2.-故答案为： 2.-17.设正项数列满足11a =，且(1)证明：数列是等差数列；并求数列的通项公式；(2)设n b =，证明：数列的前n 项和3.2nS <【答案】解：(1)因为2221(1)(1)n nna n a n n n n +-+=+=+，所以222111n n n a a a n n +-+=，又11a =，故2111a =，所以2{}n a n是首项为1，公差为1的等差数列，故21(1)1na n n n=+-⨯=，则n a n =±，因为数列{}n a 是正项数列，所以.n a n =(2)由(1)得n b ==，当1n =时，1113;22S b ==<当2n 时，1n b n ==<=<=，所以133(1;222n S <+-+++= 综上：3.2n S <18.在ABC 中，(2sin)cos 1cos sin 2cos sin .A B A B B C --=-(1)求;B (2)证明：2222.a cb + 【答案】解：(1)由(2sin)cos 1cos sin 2cos sin A B A B B C --=-，得2cos 1cos sin sin cos 2cos sin B A B A B B C -=+-，即2cos 1sin 2cos sin B C B C -=-，2cos 2cos sin 1sin B B C C +=+，2(1sin )cos 1sin C B C +=+，因为0C π<<，所以sin 0C >，所以1sin 0C +>，所以2cos 1B =，即1cos 2B =，又因为0B π<<，所以.3B π=(2)依题要证明2222a c b + ，即证明2222a c b + ，由(1)及正弦定理得：22222222sin sin 4(sin sin )sin 3a c A C A Cb B ++==+41cos 21cos 242((cos 2cos 2)32233A C A C --=+=-+，又因为23A CB ππ+=-=，所以4223C A π=-，所以4cos 2cos(2)cos 2cos(2)33A A A A ππ+-=--cos 2coscos 2sin sin 233A A A ππ=--13cos 2sin 2cos(2223A A A π=-=+，因为203A π<<，所以52333A πππ<+<，所以当23A ππ+=时，cos(2)13A π+=-此时42(cos 2cos 2)33A C -+有最大值2，即2222a c b + ，所以2222a c b + 得证.【解析】本题考查三角恒等变换、正弦定理，属较难题.19.在三棱柱111ABC A B C =中，AB BC ⊥，1AB AA ⊥，123A AC π∠=，点M 为棱1CC 的中点，点T 是线段M 上的一动点，12 2.AA AC AB ===(1)求证：1;CC AT ⊥(2)求平面11B BCC 与平面11A ACC 所成的二面角的正弦值.【答案】解：(1)证明：因为11//CC AA ，1AB AA ⊥，所以1CC AB ⊥，连接AM ，1AC ，由题意知1ACC 是正三角形，因为点M 为棱1CC 的中点，所以1CC AM⊥，又AB ，AM ⊂平面ABM ，AB AM A ⋂=，所以1CC ⊥平面ABM ，又AT ⊂平面ABM ，所以1.CC AT ⊥(2)由(1)知1CC ⊥平面ABM ，而BM ，AM ⊂平面ABM ，则1CC BM⊥，1CC AM⊥，于是AMB ∠即为平面11B BCC 与平面11A ACC 所成的二面角的平面角或其补角，在正三角形1ACC 中，2AC =，于是AM =1AB AA ⊥，11//AA BB ，于是1AB BB ⊥，又AB BC ⊥，且1BB ，BC ⊂平面11B BCC ，1BB BC B ⋂=，所以AB ⊥平面11.B BCC 因为BM ⊂平面11B BCC ，所以AB BM ⊥，在Rt ABM 中，AM =1AB =，从而3sin3AB AMB AM ∠==，于是平面11B BCC 与平面11A ACC 所成的二面角的正弦值为3.3【点睛】本题考查了求二面角、直线与直线垂直的证明、线面垂直的判定与性质，属中档题.20.第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，易知121,0.p p ==①试证明：1{}3np -为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为n q ，比较10p 与10q 的大小．【答案】解：(1)依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为111339p =⨯=，门将在前三次扑到点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，易知1~(3,)9X B ，所以3318()(()99k k k P Xk C -==⨯⨯，0,1,2,3k =，故X 的分布列为：X 0123P5127296424382431729所以X 的期望11()3.93E X =⨯=(2)①第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，则当2n 时，第1n -次传球之前球在甲脚下的概率为1n p -，第1n -次传球之前球不在甲脚下的概率为11n p --，则1111110(1)222n n n n p p p p ---=⨯+-⨯=-+，即1111(323n n p p --=--，又11233p -=，所以1{}3n p -是以23为首项，公比为12-的等比数列．②由①可知1211(323n n p -=-+，所以9102111()3233p =-+<，所以91010112211(1)[()]223323q p =-=-->，故1010.p q <【点睛】本题考查离散型随机变量分布列以及二项分布期望的求解、数列与概率的综合应用，为较难题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，短轴长为，离心率为22过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A 、B 两点，AB 的中垂线交x 轴于点M，交直线x =.N (1)求||||AB FM ；(2)证明：A 、M 、B 、N 四点共圆．【答案】(1)解：由题意得，解得，所以椭圆C 的方程为221.42x y +=点F ，因为直线l 不与坐标轴垂直，所以设直线AB方程为(0)y k x k =≠，点11(,)A x y ，22(,).B x y 将直线l 与椭圆C 的方程联立，消去y得2222(12)440k x x k +-+-=，由2222)16(12)(1)0k k =-+-> ，得216160k +>，21224212x x k +=+，21224412k x x k-=+，所以AB 的中点D 的坐标为，所以AB 的中垂线的方程为2222122(1212y x k k k +=--++令0y =，得22212M x k =+，所以22222222(1)2(1)||||||121212k k FM k k k ++=-==+++，又21224(1)||||12k AB x x k +=-==+，所以2224(1)||12||2(1)12k AB k FM k +==+(3)证明：由(1)可知224(1)||12k AB k +=+，所以222(1)||.12k AD k +=+由(1)得点D 的坐标为，22212M x k =+，所以|||||||M D D N DM DN x x x x =--2222222122222(1||||121212k k k k =+--+++2222222221222224(1)(1||||1212(12)k k k k k --+=+=+++，所以2||||||AD DM DN =，所以||||.||||AD DN DM AD =又因为90ADM NDA ∠=∠=︒，可得ADM ∽NDA ，所以MAD AND ∠=∠，AMD NAD∠=∠由180MAD AND AMD NAD ∠+∠+∠+∠=︒，得90MAN MAD NAD ∠=∠+∠=︒，同理90MBN ∠=︒，所以A 、M 、B 、N 四点共圆．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系及其应用，椭圆中的定点、定值、定直线问题，椭圆的标准方程，椭圆中的中点弦问题，属于较难题．(1)由题意结合222a b c =+得到关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆的标准方程；由直线l不与坐标轴垂直，可设直线AB 方程为(0)y k x k =-≠，点11(,)A x y ，22(,).B x y 将直线l 与椭圆C 的方程联立，消去y 并结合韦达定理求出AB 的中点D 的坐标，从而得到AB 的中垂线的方程为2221(1212y x k k k +=--++，求出点M 的坐标，然后求出||AB ，||FM 即可求出||||AB FM 的值；(3)由(1)得224(1)||12k AB k +=+，可得222(1)||12k AD k +=+，求出点D 的坐标，求出||||DMDN ，证明ADM ∽NDA ，由此证明四点共线．22.已知0a>，函数()()()F x f x g x =-的最小值为2，其中1()x f x e -=，()ln().g x ax =(1)求a ；(2)(0,)x ∀∈+∞，有(1)1()f x m kx k g ex +-+- ，求2mk k -的最大值．【答案】解：1(1)()ln()x F x e ax -=-，11()x F x e x-'=-，()F x '在(0,)+∞上递增，注意到(1)0F '=，()F x ∴在(0,1)上单调递减;(1,)+∞上单调递增，min ()(1)1ln 2ln 1F x F a a ∴==-⇒⇒=-，1.a e=(2)由1()x f x e -=，()ln 1g x x =-，(1)x m f x m e -+-=，()ln g ex x=1ln x m e kx k x -∴+- ，显然0k >，令()ln 1h x kx x k =-+-，1()h x k x'=-()h x 在1(0,k 上单调递减1;(,)k +∞上单调递增，min 11()(1ln 1ln 0.h x h k k k k k∴==-+-=+令()1x m x e kx k ϕ-=-+-，()0x m x e k ϕ-'=-=()i ∴当m k e - 时，()0m x e k ϕ-'>- ，()x ϕ∴在(0,)+∞上单调递增，故只需(0)10ln m m e k k e m kϕ--=+-⇒⇒- 22ln mk k k k k ∴--- ，令2()ln (ln )0H k k k k k k k =--=-+ ()ii 当m k e ->时，令()0ln x x m kϕ'=⇒=+且当0ln x m k <<+时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减;当ln x m k >+时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，故只需min ()(ln )(ln )11ln 0x m k k k m k k km k k ϕϕ=+=-++-=--1ln mk k k ⇒- ，221ln 1mk k k k k ∴--- 当且仅当ln 0k k +=且1ln mk k k =-时取等号，综上：2max () 1.mk k -=【点睛】本题考查利用导数求函数最值及利用最值求参，考查分类讨论思想，为较难题.。

高考数学冲刺过关检测试题23.doc

江苏省高三数学冲刺过关（23）1、设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且CcA a sin cos =，那么=A2、如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为________.3、如图是函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象,则x 12+x 22等于________.4、数列{a n }的通项公式是a n =1-2n ,其前n 项和为S n ,则数列{nS n}的11项和为_____ 5设函数()sin()()3f x x x R π=+∈，则()f x 的单调递增区间为6、已知函数2()f x x x =-，若2(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围是．7、已知函数)(x f 是R 上的减函数，)2,3(),2,0(--B A 是其图象上的两点，那么不等式|2|)2(>-x f 的解集是8、过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 90≠=，且关于x 的函数f(x)=x x x ⋅++232131在R 上有极值，则与的夹角范围为_ ___． 10、直线b x y +=与曲线29y x -=恰有一个公共点,则b 的取值范围是 .11、已知线段AB 为圆O 的弦，且AB =2，则AO AB ⋅= ． *12、已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,（,a b 为整数），值域是[]1,0，则满足条件的整数数对),(b a 共有_________个.13.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=．（1）求角B 的大小；（2）设(sin ,1),(3,cos 2)m A n A ==，试m n ⋅求的取值范围．第2题图正视图俯视图 A B D C D CA B14．如图，在组合体中，1111D C B A ABCD -是一个长方体，ABCD P -是一个四棱锥．2=AB ，3=BC ，点D D CC P 11平面∈且2==PC PD ．（Ⅰ）证明：PBC PD 平面⊥；（Ⅱ）若a AA =1，当a 为何值时，D AB PC 1//平面．参考答案1、4π2、323、9164、-665、)(,6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 6、(1,1)-7、),2()1,(+∞--∞ 8、32 9、）ππ,3(10、}23{]3,3(-⋃- 11、2 12、5 13、解：（1）因为(2)cos cos a c B b C -=，所以(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，即 2s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n (A B C B B C C B A =+=+= 而 s i n 0A >，所以1cos 2B =．故 60B = （2）因为 (s i n,1),(3,c om A n A == 所以 223173sin cos 23sin 12sin 2(sin )48m n A A A A A ⋅=+=+-=--+．由09060090A B C ⎧<<⎪=⎨⎪<<⎩得090012090A A ⎧<<⎪⎨<<⎪⎩- 所以 3090A <<从而1sin (,1)2A ∈ 故m n ⋅的取值范围是17(2,]8．14、(Ⅰ)证明：因为2==PC PD ，2==AB CD ，所以PCD ∆为等腰直角三角形，所以PC PD ⊥． ……1分因为1111D C B A ABCD -是一个长方体，所以D D CC BC 11面⊥，而D D CC P 11平面∈，所以D D CC PD 11面⊂，所以PD BC ⊥． ……3分因为PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，由线面垂直的判定定理，可得D 1C 1B 1A 1PDCBA第14题图PBC PD 平面⊥．…6分(Ⅱ)解：当2=a 时，D AB PC 1//平面． ……9分当2=a 时，四边形D D CC 11是一个正方形，所以0145=∠DC C ，而045=∠PDC ，所以0190=∠PDC ，所以PD D C ⊥1． ……12分而PD PC ⊥，D C 1与PC 在同一个平面内，所以D C PC 1//． ……13分而D C AB D C 111面⊂，所以D C AB PC 11//面，所以D AB PC 1//平面． ……14分。

步步高高考23题逐题特训数学二轮专题强化练

二轮专题强化练专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质A组专题通关1.点P从(1,0)出发,沿单位圆,r+y2=l逆时针方向运动学弧长到达Q点，则点。

的坐标为.2.已知tana=-2,且一vavu,贝0sincr+cos6r=.23.若函数/(x)=sin"«+f](/>0)的最小正周期为兀，则的值是.4.(2018•南通市通州区模拟)将函数f(x)=2sin]2x-j的图象向左平移9(?>。

)个单位长度，若所得到图象关于原点对称，则(p的最小值为.5.己知函数/(x)=sin cox-2cos2-^+l(<w>0)，将/'(x)的图象向右平移个单位长度，所得函数g(x)的部分图象如图所示，则0的值为.切＞0,0＜0＜：］,/(^)=2,/(x2)=0.若的最小值为!，6.已知函数/*(%)=2sin(g+?)且"9=1，则/(X)的单调递增区间为7.(2017•全国III改编)设函数/(a-)=cos A-+1,则下列结论正确的是(填序号)/*(尤)的一个周期为-2冗；①②y=/3)的图象关于直线x=y对称；③/*(%+&)的一个零点为x=%；④/'(x)在上单调递减.8.设函数/(x)(xe7?)满足/(x-)〃=(力*i n,当一丸＜丕,。

时，/(x)=0,则』2018兀)■4丁尸——.9.(2018•扬州质检)已知函数/(%)=1+4cos%-4sin2%,xe，则f(x)的值域为.10.已知向量秫=(J5sin必,1),n=(cos6t?x,cos2cx+1),设函数f^x)=m-n+b.(1)若函数了(工)的图象关于直线x=-对称，且当口司0,3］时，求函数六尤)的单调增区间；67TT(2)在(1)的条件下，当xe0,——时，函数/'(x)有且只有一个零点，求实数力的取值范围.B组能力提周11.如图，单位圆。

点点练 23新高考数学天天练系列高考数学

点点练23 数列求和1．已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )A ．9B ．18C ．36D ．722．数列112，214，318，4116，…，n 12n ，…的前n 项和等于( ) A.12n ＋n 2＋n 2 B ．－12n ＋n 2＋n 2＋1C ．－12n ＋n 2＋n 2D ．－12n ＋1＋n 2－n 2 3．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n ＋1＋n 的前2 017项的和为( ) A. 2 018＋1 B. 2 018－1C. 2 017＋1D. 2 017－14．已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A ．1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 1245．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．06．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2B ．2n ＋1－n ＋2C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －27．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31＝________.8．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 1 009＋a 1 010>0，a 1 009·a 1 010<0，则使其前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是________．1．[2019·全国卷Ⅰ]记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.2．[2016·浙江卷]设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝____________，S 5＝____________.3．[2012·福建卷]数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.4．[2017·全国卷]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝________. 5．[2015·江苏卷]设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和为________．1．[2020·辽宁省实验中学模拟]已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，那么数列{b n }的前10项和等于( )A ．130B ．120C ．55D ．502．[2020·浙江杭州模拟]若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1a 1＋a 2＋…＋a n，则数列{b n }的前n 项和T n 为( ) A.n ＋12(n ＋2) B.34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)C.n －1n ＋2D.34－2n ＋3(n ＋1)(n ＋2)3．[2020·福建厦门质检]数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ＋2，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 20＝( ) A.1910 B.1920C.1021D.20214．[2020·河南南阳模拟]已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n＝12n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为( )A ．－442B ．－446C ．－450D ．－4545．[2020·广东深圳月考]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a 2＝2，S n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1(n ∈N *)，则S n ＝________.6．[2020·四川成都模拟]已知数列{a n }中，a n ＋1＝2a n －1，a 1＝2，设其前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，(S n ＋1－n )k ≥2n －3恒成立，则k 的最小值为________．1．[2020·河南名校联盟联考]已知等比数列{a n }是递增数列，其公比为q ，前n 项和为S n ，并且满足a 2＋a 3＋a 4＝28，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 21a n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使T n ＋n ·2n ＋1＝30成立的正整数n 的值．2．[2020·广东汕头模拟]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＋1＝4a n ，数列{b n }满足b 1＝2，a n ＋1b n ＝2a n b n ＋1－2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝log 2(4a n )，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋1c n 的前n 项和T n .。

高考数学考前突击练23含详解A 试题

高三数学强化训练〔23〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日1．函数22()lg(sin cos )f x x x =-的定义城是 A.322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ B.522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭ C.,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ D.3,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭2．函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()(),66f x f x ππ+=-那么()6f π等于A. 2或者0B. 2-或者2C. 0D. 2-或者03．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，假设cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 那么15()4f π-等于 A. 1C. 0D.4．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2[0,]πω上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，那么以下对,A a 的描绘正确的选项是A.13,22a A => B.13,22a A =≤ C.1,1a A =≥D.1,1a A =≤5．假设函数()sin 2tan 1f x a x b x =++，且(3)5,f -=那么(3)f π+=___________。

6．函数)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移2π，这样得到的曲线和x y sin 2=的图象一样，那么函数)(x f y =的解析式为_______________________________.7．求ϕ使函数)sin(3)y x x ϕϕ=---是奇函数。

2020年高考理科数学天天练 23

当n≥12时，an＝－n＋11<0，
|a1|＋|a2|＋…＋|a11|＋|a12|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－…－an
＝S11－(Sn－S11)＝－Sn＋2S11
＝n2－n＋110.
综上，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝
天天练23数列求和
小题狂练小题是基础练小题提分快
一、选择题
1．[2019·广东中山华侨中学模拟]已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于()
A．9B．18
C．36D．72
答案：B
解析：∵a2·a8＝4a5，即a＝4a5，∴a5＝4，
10．[2019·广东深圳月考]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2，Sn＋1＝an＋2－an＋1(n∈N*)，则Sn＝________.
答案：2n－1
解析：∵Sn＋1＝an＋2－an＋1(n∈N*)，∴Sn＋1＝Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)，则Sn＋2＋1＝2(Sn＋1＋1)．由a1＝1，a2＝2，可得S2＋1＝2(S1＋1)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)对任意的n∈N*都成立，∴数列{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1.
课时测评综合提能力课时练赢高分
一、选择题
1．[2019·九江十校联考]已知数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)在经过点(10,6)的定直线l上，则数列{an}的前19项和S19＝()
A．110 B．114
C．119 D．120
答案：B
解析：因为点(n，an)(n∈N*)在经过点(10,6)的定直线l上，故数列{an}为等差数列，且a10＝6，所以S19＝＝＝19×a10＝19×6＝114，选B.

2023年高考-数学(理科)考试备考题库附带答案7

2023年高考-数学（理科）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共50题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) (1+1/x2)(1+x)6展开式中x2的系数为A. 15B. 20C. 30D. 35正确答案：C,2.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线i1,i2,直线i1与C交于A,B两点，直线i2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 10正确答案：A,3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 1+2i/1-2i=A. 4/5/3/5iB. 4/5+3/5iC. 3/5-4/5iD. 3/5+4/5i正确答案：D,4.(单项选择题)(每题5.00 分) 若f(x)=cos x-sin x在[-α，α]是减函数，则α的最值是A. π/4B. π/2C. π3/4D. π正确答案：A,5.(填空题)(每题 5.00 分) 设 Sn 是数列 { a n }的前 n 项和，且 a1 = -1 ， a n+1 = Sn S n+1 ，则 Sn = _______ .正确答案：- 1/n，6.(填空题)(每题 5.00 分) 已知a,b，c分别为△ABC三个内角A,B，C的对边，a=2,且（2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，则△ABC面积的最大值为_______.正确答案：√3，7.(单项选择题)(每题 5.00 分) 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种正确答案：D,8.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1 = 2 + i, 则z1z2 =A. -5B. 5C. -4 + iD. -4 - i正确答案：A,9.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知集合A=x∣x2-x-2>0}，则CRA={A. x∣-12}{D. {x∣x≦-1}∪{x∣x≧2}正确答案：B,10.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设函数f(x)=x3+(α-1)x2+αx,.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0.0）处的切线方程为A. y=-2xB. y=-xC. y=2x;D. y=x正确答案：D,11.(单项选择题)(每题 5.00 分) .甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。

备战高考高中数学理科试卷习题点点练 23

点点练23__数列求和一基础小题练透篇1．[2023·贵州省六校联盟高三联考]若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝2(n ∈N *)，则其前2 023项和为( )A ．1 360B ．1 358C ．1 350D ．1 3482．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ＋1，则S 100的值为( )A ．5 050B ．2 600C ．2 550D ．2 4503．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n ＋1＋n，则S 99＝( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．104．已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A.1 121 B ．1 122 C ．1 123 D ．1 1245．设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ，若b n ＝4n 2＋8n ＋5a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝( )A ．n ⎝⎛⎭⎫1－26n ＋9 B ．43 ＋2n 6n ＋9 C ．n ⎝⎛⎭⎫1＋16n ＋9 D ．n ⎝⎛⎭⎫1＋26n ＋9 6．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2a n log 2a n ＋1 的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )A ．110B ．15C ．111D ．2117．[2023·山东省潍坊市联考]已知数列{}a n 满足a 1＝1，a n a n ＋1＝2n ，则数列{}a n 的前2n 项和S 2n ＝________．8．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 1 009＋a 1 010＞0，a 1 009·a 1 010＜0，则使其前n 项和S n ＞01.[2023·湘豫名校联考摸底考试]已知数列{a n }是递增的等差数列，a 3是a 1与a 11的等比中项，且a 2＝5.若b n ＝a n ＋1 －a n ，则数列{b n }的前n 项和S n ＝( )A ．3n ＋2 －2B ．3n ＋5 －2C ．3n ＋2 －5D ．3n ＋5 －52．[2023·四川省成都市树德中学考试]已知数列{}a n 的前n 项和S n 满足S n ＝n (4n ＋1)()n ∈N * ，若数列{}b n 满足b n ＝a n ＋34 ，则1b 1b 2 ＋1b 2b 3 ＋…＋1b 2 021b 2 022＝( ) A ．5052 021 B ．2 0202 021C ．2 0212 022D ．2 0218 0883．[2023·黑龙江省大庆铁人中学月考]将等比数列{}b n 按原顺序分成1项，2项，4项，…，2n －1项的各组，再将公差为2的等差数列{}a n 的各项依次插入各组之间，得到新数列{}c n ：b 1，a 1，b 2，b 3，a 2，b 4，b 5，b 6，b 7，a 3，…，新数列{}c n 的前n 项和为S n .若c 1＝1，c 2＝2，S 3＝134，则S 200＝( ) A ．13 ⎣⎡⎦⎤172－⎝⎛⎭⎫12384 B ．13 ⎣⎡⎦⎤130－⎝⎛⎭⎫12386 C ．13 ⎣⎡⎦⎤172－⎝⎛⎭⎫12386 D ．130－⎝⎛⎭⎫12 384 4．[2023·河南省豫南九校联考]已知数列{}a n 的通项公式为a n ＝(－1)n ()n 2－n ，前n 项和为S n ，则满足S 2n ＋1≤－2 023的最小正整数n 的值为( )A ．28B ．30C ．31D ．325．[2023·江苏省南京高三一模]在等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足S 2n S n ＝4n ＋2n ＋1，n ＝1，2，…，则1S 1 ＋1S 2 ＋…＋1S 2 021＝________． 6．[2023·山西省临汾市高三考试]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2n ＝a n －1，a 2n ＋1＝n －a n ，则S 100＝________．1.[2021·浙江卷]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *).记数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．12<S 100<3 B ．3<S 100<4 C ．4<S 100<92 D ．92<S 100<5 2．[2020·全国卷Ⅱ]0－1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a 1a 2…a n …满足a i ∈{0，1}(i ＝1，2，…)，且存在正整数m ，使得a i ＋m ＝a i (i ＝1，2，…)成立，则称其为0－1周期序列，并称满足a i ＋m ＝a i (i ＝1，2，…)的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0－1序列a 1a 2…a n …，C (k )＝1m ∑m i ＝1 a i a i ＋k(k ＝1，2，…，m －1)是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0－1序列中，满足C (k )≤15(k ＝1，2，3，4)的序列是( ) A ．11010… B ．11011…C ．10001…D ．11001…3．[全国卷Ⅰ]几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110 4．[2020·浙江卷]我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n （n ＋1）2 就是二阶等差数列．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n （n ＋1）2 (n ∈N *)的前3项和是________． 5．[2019·全国卷Ⅰ]记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13 ，a 24＝a 6，则S 5＝________． 6．[2021·新高考Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20 dm ×12 dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm ×12 dm ，20 dm ×6 dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240 dm 2，对折2次共可以得到5 dm ×12dm ，10 dm ×6 dm ，20 dm ×3 dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180 dm 2.以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么∑k ＝1n S k ＝________ dm 2.1.[2023·河南省十所名校考试]已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n .(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n －1 为等差数列； (2)求数列{}S n 的前n 项和T n .2．[2023·湖北省襄阳市部分学校试题]已知数列{}a n 满足2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n ×2n＋2－2n ＋1＋2.(1)求{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝3a n ＋2＋42a n ＋1a n a n ＋1a n ＋2，证明：5672 ≤b 1＋b 2＋…＋b n <1120 .。

高考数学备考基础知识训练23试题

备考2021高考数学根底知识训练〔23〕班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题〔每一小题5分，一共70分〕1 ．在复平面中，复数i(i 1iz =+为虚数单位〕所对应的点位于第________象限．2 ．用演绎法证明函数3x y=是增函数时的大前提是3 ．43x y=在点Q 〔16，8〕处的切线斜率是___________-．4 ．命题“01,2≥+-∈∀x xR x 〞为_____命题〔填真、假〕5 ．以下关于算法的说法，正确的选项是①求解某一类问题的算法是唯一的； ②算法必须在有限步操作之后停顿；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或者模糊； ④算法执行后一定产生确定的结果6 ．某班5次数学测验中，甲、乙两同学的成绩如下：甲：90 92 88 92 88 乙：94 86 88 90 92那么甲、乙两人成绩相比拟，得出结论是______________稳定．7 ．如图，某人向圆内投镖，假如他每次都投中圆内，那么他投中正方形区域的概率为________ 〔结果用分数表示〕8 ．圆O:522=+y x和点A(1,2),那么过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_____________9 ．一个球的内接长方体的长、宽、高分别为1、2、3，那么这个球的外表积是________．10．a<0, -1<b<0, 那么a, a·b, a·b 2的大小关系为_____________.11．假设等差数列{}a n中，公差d =2，且aa a 12100200+++=…，那么a a a a 51015100++++…的值是___________12．向量a ,b ,c 满足++=0a b c ,⊥a b ,()-⊥a b c ,M =++a b cb c a,那么M =________.13．=++o o o o43tan 17tan 343tan 17tan14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，那么12f f ++（）（）345f f f ++=（）（）（） ________．二、解答题：本大题一一共6小题，一共90分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．15．)2(0,,54sin παα∈=. 试求以下各式的值：〔Ⅰ〕α2sin ；〔Ⅱ〕)4sin(πα-．16．如图,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.(1)求证:AC ⊥平面B 1 BDD 1 (2)求三棱锥B-ACB 1体积.17．如图，圆心坐标为)1,3(M 的⊙M 与x 轴及直线x y 3=均相切，切点分别为A 、B ，D CBA 1CDBA另一个圆⊙N 与⊙M 、x 轴及直线x y 3=均相切，切点分别为C 、D ．〔1〕求⊙M 和⊙N 的方程；〔2〕过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被⊙N 截得的弦的长度．18．光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,为a ,通过x 块玻璃后强度为y . 〔1〕写出y 关于x 的函数关系式；〔2〕通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈19．数列{}n a 满足412311=-=+a ,a a a n n n 。

高考数学专题4第23练

第23练平面向量中的线性问题题型一平面向量的线性运算例1 如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于( ) A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →破题切入点顺次连接，选好基底．答案 D解析在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 题型二平面向量基本定理及其应用例2 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.破题切入点利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量．解在△ADM 中， AD →＝AM →－DM →＝c －12AB →.① 在△ABN 中，AB →＝AN →－BN →＝d －12AD →.② 由①②得AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．题型三平面向量的坐标运算例3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .破题切入点向量坐标表示下的线性运算．解 (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89. (2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613. (3)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或(5,3)．总结提高 (1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础．(2)对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆，如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．1．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45) D ．(－45，35) 答案 A解析由题意知AB →＝(3，－4)，所以与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝(35，－45)． 2．(2014·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC → 答案 C解析如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →) ＝12·2AD →＝AD →. 3．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( )A.12B.23C.56D.712答案 C 解析 ∵AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋μDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋μDC →)＝AB →·AD →＋μAB →·DC →＋λBC →·AD →＋λμBC →·DC →＝2×2×(－12)＋4μ＋4λ＋2×2×(－12)λμ ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1.∴2(λ＋μ)－λμ＝32.① ∵CE →·CF →＝(1－λ)CB →·(1－μ)CD →＝(λμ－λ－μ＋1)CB →·CD →＝2×2×(－12)(λμ－λ－μ＋1) ＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－23， ∴λμ－(λ＋μ)＋1＝13，即λμ－(λ＋μ)＝－23.② 由①②解得λ＋μ＝56. 4．(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →答案 D解析因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →.5.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝2，|OB →|＝32，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则( ) A ．λ＝4，μ＝2B ．λ＝83，μ＝32C ．λ＝2，μ＝43D ．λ＝32，μ＝43 答案 C解析设与OA →，OB →同方向的单位向量分别为a ，b ，依题意有OC →＝4a ＋2b ，又OA →＝2a ，OB →＝32b ，则OC →＝2OA →＋43OB →，所以λ＝2，μ＝43. 6．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →(m ，n >0)，则1m ＋4n的最小值为( )A ．2B ．4 C.92D ．9答案 C解析 MO →＝AO →－AM → ＝AB →＋AC →2－1m AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m AB →＋12AC →. 同理NO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n AC →＋12AB →，M ，O ，N 三点共线，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m AB →＋12AC →＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n AC →＋12AB →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m －λ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ2＋λn AC →＝0，由于AB →，AC →不共线，根据平面向量基本定理得12－1m －λ2＝0且12－λ2＋λn＝0，消掉λ即得m ＋n ＝2，故1m ＋4n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥12(5＋4)＝92. 7．(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12. 8．(2013·四川)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.答案 2解析由于ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.9．(2014·北京)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.答案 5解析 ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λa |＝|－b |＝|b |＝22＋12＝5，∴|λ|·|a |＝ 5.又|a |＝1，∴|λ|＝ 5.10．在平面内，已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n∈R )，则m n＝________.答案 ±3解析因为∠AOC ＝30°，所以〈OA →，OC →〉＝30°.因为OC →＝mOA →＋nOB →，OA →·OB →＝0，所以|OC →|2＝(mOA →＋nOB →)2＝m 2|OA →|2＋n 2|OB →|2＝m 2＋3n 2，即|OC →|＝m 2＋3n 2.又OA →·OC →＝OA →·(mOA →＋nOB →)＝mOA →2＝m ，则OA →·OC →＝|OA →|·|OC →|cos30°＝m ，即1×m 2＋3n 2×32＝m ，平方得m 2＝9n 2，即m 2n2＝9，所以m n ＝±3.11．已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．(1)证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，∴AB →与BD →共线，且有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2.由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.12．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线．(3)解当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2)．又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。

高考数学复习题库 (23)

要
创
点梳
(2)因为东城小区每周有 20%的人加入“低碳家
新设
理
庭”行列，经过两周后，两类家庭占东城小区总家庭计
· 基
数的比例如下：
· 素
础
能
落实
A 小区低碳家庭非低碳家庭
培优
P
17 25
8 25
由题意，两周后东城小区 5 个家庭中的“低碳家
考
综
点突破
庭”的个数 ξ 服从二项分布，即 ξ～B5，1275，∴Eξ
综
点突破
P(X＝6)＝CC3647＝47，
·
合训练 ·
规
所以随机变量 X 的分布列为：
律
能力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
要
创
点
新
梳
设
理
计
·
·
基础
X3 4 6
素能
落
培
实
P
1 35
2 5
4 7
优
所以随机变量 X 的数学期望
考点
EX＝3×315＋4×25＋6×47＝13759.
们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的
二氧化碳排放量(千克)＝耗电度数×0.785，家用天然气
的二氧化碳排放量 ( 千克 ) ＝天然气使用立方数 ×0.19
考等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的综
点突
活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个
素能
落
培
实