2014-2015学年浙江省宁波外国语学校八年级(下)期末数学试卷(解析版)

2014-2015学年浙江省宁波外国语学校八年级（下）期末数学试
卷
一、选择题：每题2分，共24分
1．（2分）如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的一组对应边上的中线之比是（）
A．9：16 B．3：7 C．3：4 D．4：3
2．（2分）已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，则x等于（）A．36 B．6 C．﹣6 D．6或﹣6
3．（2分）二次函数y=x2+bx+c的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为y=x2﹣2x+1，则b与c分别等于（）A．6，4 B．﹣8，14 C．﹣6，6 D．﹣8，﹣14
4．（2分）函数y=ax2与y=﹣ax+b的图象可能是（）
A．B．C． D．
5．（2分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）满足当x=1时，y的最大值为3，且当x ≥m时，函数y随自变量x的增大而减小，则字母m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．m≥1 D．m≤1
6．（2分）如图，在四边形ABCD中，EF∥AD∥BC，若AD=12，BC=18，且AE：EB=3：2，则EF=（）
A．16 B．15.8 C．15.6 D．15.4
7．（2分）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）
A．B．C．D．
8．（2分）二次函数y=﹣ax2+4ax﹣1对于x的任何值都为负值，则字母a的取值范围是（）
A．0＜a＜B．a＞C．a＜0 D．不存在
9．（2分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，若当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于（）
A．﹣B．C． D．c
10．（2分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（）
A．9：4 B．3：2 C．16：9 D．4：3
11．（2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c=0；③a＞；④b＞1；其中正确的结论是（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在两坐标轴的正半轴上，B点的坐标为（4，3），平行于对角线AC的一条直线m从原点O
出发沿x轴正半轴方向以每秒1个单位的速度运动，直线与矩形OABC的两边分别交于点M，N，设直线的运动时间为t（秒），△OMN的面积为y，则下图哪个曲线能够最准确反映y与t之间的函数关系（）
A．B．C．
D．
二、填空题：每题3分，共24分
13．（3分）在比例尺是1：8 000 000的《中国政区》地图上，量得福州与上海之间的距离为7.5厘米，那么福州与上海两地的实际距离是千米．14．（3分）小芳的身高是1.6米，在某一时刻，她的影长2米，此刻测得某建筑物的影长是18米，则此建筑物的高是米．
15．（3分）如图，在三角形ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE=．
16．（3分）如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则△ABC的边长为．
17．（3分）如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，则∠AFB+∠ACB=．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CE⊥AB于点E，BE=2AE，且四边形AECD的面积为21，则△EBC的面积=．
19．（3分）已知函数y=kx2﹣3x+3与x轴有且仅有一个交点，则k的值是．20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB 的延长线于点E．若AB=1，AC=2，则AE=．
三、解答题：共52分.
21．（6分）某研究室在研究两个物理变量的时候，通过仪器观察得到变量y与变量x的数据如表格所示：
（1）研究人员发现上述表格的数据恰好满足我们初中学过的某种常见函数，请你判断是哪种函数，并写出y关于x的解析式；
（2）将所求的函数先向下平移2个单位，然后再向右平移3个单位，最后关于x轴对称，此时图象分别于x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，求：△ABC 的面积．
22．（6分）周老伯想利用一边长为12米的旧墙及24米长的篱笆围建猪舍三间，它们的平面图（如图）是一排大小相等的长方形．
（1）如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x（米）有怎样的函数关系？
（2）问：猪舍的总面积有没有最大值和最小值？如果有，请你算出相应的最值，如果没有，请说明理由？
23．（6分）如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．
（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有对；
（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C 点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止．设移动的时间为t秒．
（1）当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
（2）求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（3）在P，Q移动过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值．
25．（12分）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D 的坐标．
26．（12分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，
延长BE交AC于点F．，求的值；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若，请探究并直接写出
的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．
27．（5分）如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，AB=a，AC=b，弦AD平分∠BAC．求AD的长（用a、b表示）．
28．已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．
2014-2015学年浙江省宁波外国语学校八年级（下）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每题2分，共24分
1．（2分）如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的一组对应边上的中线之比是（）
A．9：16 B．3：7 C．3：4 D．4：3
【分析】根据相似三角形对应边的比叫相似比，对应中线的比等于相似比解答．【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，
∴它们的对应中线的比是3：4，
故选：C．
2．（2分）已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，则x等于（）A．36 B．6 C．﹣6 D．6或﹣6
【分析】根据已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【解答】解：∵a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，
∴=，
∴x2=ab=4×9=36，
∴x=±6，x=﹣6（舍去）．
故选：B．
3．（2分）二次函数y=x2+bx+c的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为y=x2﹣2x+1，则b与c分别等于（）A．6，4 B．﹣8，14 C．﹣6，6 D．﹣8，﹣14
【分析】先把y=x2﹣2x+1配方得到y=（x﹣1）2，根据题意反向平移，即把y=（x
﹣1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣6x+6，则可确定b与c的值．
【解答】解：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
把y=（x﹣1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣6x+6，
所以b=﹣6，c=6，
故选：C．
4．（2分）函数y=ax2与y=﹣ax+b的图象可能是（）
A．B．C． D．
【分析】可根据a＞0时，﹣a＜0和a＜0时，﹣a＞0分别判定．
【解答】解：当a＞0时，﹣a＜0，二次函数开口向上，当b＞0时一次函数过一，二，四象限，当b＜0时一次函数过二，三，四象限；
当a＜0时，﹣a＞0，二次函数开口向下，当b＞0时一次函数过一，二，三象限，当b＜0时一次函数过一，三，四象限．
所以B正确．
故选：B．
5．（2分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）满足当x=1时，y的最大值为3，且当x ≥m时，函数y随自变量x的增大而减小，则字母m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．m≥1 D．m≤1
【分析】根据当x=1时，y的最大值为3，可得出顶点坐标（1，3），根据a的符号可得出函数的增减性．
【解答】解：∵当x=1时，y的最大值为3，
∴顶点坐标（1，3），
∴当a＜0时，x＞1，y随自变量x的增大而减小，
∵当x≥m时，函数y随自变量x的增大而减小，
∴m≥1，
故选：C．
6．（2分）如图，在四边形ABCD中，EF∥AD∥BC，若AD=12，BC=18，且AE：EB=3：2，则EF=（）
A．16 B．15.8 C．15.6 D．15.4
【分析】作AG∥CD交EF与点H，交BC于点G，根据平行四边形的性质得到GC=HF=AD=12，然后利用平行线分线段成比例定理得到EH的长，从而确定答案．【解答】解：如图，作AG∥CD交EF与点H，交BC于点G，
∵EF∥AD∥BC，AD=12，
∴GC=HF=AD=12，
∵BC=18，
∴BG=BC﹣CG=18﹣12=6，
∵AE：EB=3：2，
∴AE：AB=3：5，
∴AE：AB=EH：BG=3：5，
即EH：6=3：5，
∴EH=3.6，
∴EF=EH+HF=3.6+12=15.6，
故选：C．
7．（2分）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件先求出△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，再根据相似三角形的性质解答．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，
∴△ADE∽△EFC，∴，，．故选C．
8．（2分）二次函数y=﹣ax2+4ax﹣1对于x的任何值都为负值，则字母a的取值范围是（）
A．0＜a＜B．a＞C．a＜0 D．不存在
【分析】根据二次函数y=﹣ax2+4ax﹣1对于x的任何值都为负值，即可得出关于a的一元二次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围．
【解答】解：由已知得：，
解得：0＜a＜．
故选：A．
9．（2分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，若当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于（）
A．﹣B．C． D．c
【分析】由抛物线的对称性可知抛物线的对称轴为直线x=﹣=，进而可得出x1+x2=﹣，将x=﹣代入二次函数解析式中求出y值，即可得出结论．【解答】解：∵当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=，
∴x1+x2=﹣，
∴当x=x1+x2时，y=a×（﹣）2+b×+c=c．
故选：D．
10．（2分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（）
A．9：4 B．3：2 C．16：9 D．4：3
【分析】设BF=x，则CF=3﹣x，B'F=x，在Rt△B′CF中，利用勾股定理求出x的值，继而判断△DB′G∽△CFB′，根据面积比等于相似比的平方即可得出答案．
【解答】解：设BF=x，则CF=3﹣x，B'F=x，
又点B′为CD的中点，
∴B′C=1，
在Rt△B′CF中，B'F2=B′C2+CF2，即x2=1+（3﹣x）2，
解得：x=，即可得CF=3﹣=，
∵∠DB′G+∠DGB'=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，
∴∠DGB′=∠CB′F，
∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′，
根据面积比等于相似比的平方可得：△FCB′与△B′DG的面积之比为：（）2=16：9．
故选：C．
11．（2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c=0；③a＞；④b＞1；其中正确的结论是（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【分析】由图象开口向上，交y轴于负半轴，由﹣＜0，可得abc＜0，当x=1时，y=2，代入y=ax2+bx+c，可得a+b+c=2，将x=﹣1代入y=ax2+bx+c，得a﹣b+c ＜0再与a+b+c=2相减，得﹣2b＜﹣2，即b＞1，由对称轴x=﹣＞﹣1，解得：a＞，可得a＞．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上可得a＞0，交y 轴于负半轴可得c＜0，由﹣＜0，可得b＞0，
∴abc＜0，故①错误，
∵当x=1时，y=2，
∴a+b+c=2；故②错误，
∵由图可知，当x=﹣1时，对应的点在第三象限，将x=﹣1代入y=ax2+bx+c，得a﹣b+c＜0
∴将a﹣b+c＜0与a+b+c=2相减，得﹣2b＜﹣2，即b＞1，故④正确，
∵对称轴x=﹣＞﹣1，解得：a＞，
又∵b＞1，
∴a＞，故③正确．
故选：D．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在两坐标轴的正半轴上，B点的坐标为（4，3），平行于对角线AC的一条直线m从原点O 出发沿x轴正半轴方向以每秒1个单位的速度运动，直线与矩形OABC的两边分别交于点M，N，设直线的运动时间为t（秒），△OMN的面积为y，则下图哪个曲线能够最准确反映y与t之间的函数关系（）
A．B．C．
D．
【分析】分两种情形①如图1中，当0＜t≤4时，②如图2中，当4＜t≤8时，分别求出y与t的函数关系式即可解决问题．
【解答】解：如图1中，当0＜t≤4时，
∵MN∥CA，
∴OM：OA=ON：OC，
∴OM：ON=OA：OC=4：3，
∴OM=t，ON=t，
∴y=•OM•ON=t2．
如图2中，当4＜t≤8时，
y=S△EOF﹣S△EON﹣S△OFM=t2﹣•t•（t﹣4）﹣•t•（t﹣4）=﹣t2+3t．
综上所述y=，
故选：D．
二、填空题：每题3分，共24分
13．（3分）在比例尺是1：8 000 000的《中国政区》地图上，量得福州与上海之间的距离为7.5厘米，那么福州与上海两地的实际距离是600千米．
【分析】比例尺=图上距离：实际距离．列出比例式，求解即可得出两地的实际距离．
【解答】解：设福州与上海两地的实际距离是x千米，根据比例尺为1：8 000 000，列出比例式：1：8000=7.5：x，解得x=600（千米）．答案600．
14．（3分）小芳的身高是1.6米，在某一时刻，她的影长2米，此刻测得某建筑物的影长是18米，则此建筑物的高是14.4米．
【分析】设旗杆的高为x，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的方程，求出x的值即可．
【解答】解：设旗杆的高为x，
∵某一时刻身高1.6米的小芳的影长为2米，建筑物的影长为18米，
∴=
解得x=14.4（米）．
故答案为：14.4．
15．（3分）如图，在三角形ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE=16或9．
【分析】因为对应边不明确，所以分①AD与AC是对应边，②AD与AB是对应边，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：①AD与AC是对应边时，
∵AB=24，AC=18，AD=12，
∴=，
即=，
解得AE=16；
②AD与AB是对应边时，
∵AB=24，AC=18，AD=12，
∴=，
即=，
解得AE=9，
∴AE=16或9．
故答案为：16或9．
16．（3分）如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则△ABC的边长为3．
【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°﹣60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°﹣60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴，
∵CD=，CP=BC﹣BP=x﹣1，BP=1，
即，
解得：AB=3．
故答案为3．
17．（3分）如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，则∠AFB+∠ACB=45°．
【分析】由正方形的性质得出∠AEB=45°，AB=BE=EF=FC=a，∠B=90°，EC=2a，由
勾股定理求出AE=a，证出=，再由公共角∠AEF=∠CEA，得出△AEF∽△CEA，得出对应角相等∠AFB=∠EAC，再由三角形的外角性质即可得出结论【解答】解：∵四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，
∴∠AEB=45°，AB=BE=EF=FC=a，∠B=90°，
∴EC=2a，AE==a，
∵==，==，
∴=，
又∵∠AEF=∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴∠AFB=∠EAC，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACB=45°，
∴∠AFB+∠ACB=45°．
故答案为45°．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CE⊥AB于点E，BE=2AE，且四边形AECD的面积为21，则△EBC的面积=24．
【分析】延长BA、CD交于点F，过点D作DM⊥AF于点M，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定与性质即可得出FM=FE，再根据平行线的性质即可得出，利用三角形的面积即可得出EF•CE的值，由此即可得出结论．【解答】解：延长BA、CD交于点F，过点D作DM⊥AF于点M，如图所示．∵∠BCD的平分线CE⊥AB于点E，
∴∠B=∠F，CB=CF，BE=EF．
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠B，
∴∠FAD=∠F，
∴DA=DF，
∵DM⊥AF，
∴FM=AF．
∵BE=EF，BE=2AE，
∴AF=AE，
∴FM=AF=FE．
∵DM⊥AF，CE⊥AB，
∴DM∥CE，
∴，
∵S
=S△CEF﹣S△DAF=EF•CE﹣AF•DM=EF•CE﹣EF•DM=21，四边形AECD
∴EF•CE=48，
∴EF•CE=24．
故答案为：24．
19．（3分）已知函数y=kx2﹣3x+3与x轴有且仅有一个交点，则k的值是．【分析】函数与x轴有且仅有一个交点，则△=0，代入计算求出k的值．
【解答】解：△=（﹣3）2﹣4k×3=0，
9﹣12k=0，
k=，
故答案为：．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB
的延长线于点E．若AB=1，AC=2，则AE=．
【分析】根据勾股定理得到BC=，根据已知条件得到AD=BC=，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，
∴BC=，
∵D是BC中点，
∴AD=DC，AD=BC=，
∴∠C=∠DAC．
∵AE⊥AD，
∴∠EAB=∠DAC=∠C，
∵∠E是公共角，
∴△BAE∽△ACE，
∴==，
∴AE=2BE，
∴AE2=CE•BE=（+BE）•BE=4BE2，
∴BE=，
∴AE=．
故答案为：．
三、解答题：共52分.
21．（6分）某研究室在研究两个物理变量的时候，通过仪器观察得到变量y与变量x的数据如表格所示：
（1）研究人员发现上述表格的数据恰好满足我们初中学过的某种常见函数，请你判断是哪种函数，并写出y关于x的解析式；
（2）将所求的函数先向下平移2个单位，然后再向右平移3个单位，最后关于x轴对称，此时图象分别于x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，求：△ABC 的面积．
【分析】（1）y是x的二次函数．由表格可知，二次函数的顶点坐标（0，0），利用待定系数法即可解决问题．
（2）写出平移后的解析式，求出A、B、C三点坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）y是x的二次函数．由表格可知，二次函数的顶点坐标（0，0），设抛物线解析式为y=ax2，把（1，2）代入解析式得到a=2，
所以二次函数的解析式为y=2x2．
（2）平移后的解析式为y=2（x﹣3）2﹣2，
令x=0，得y=16，所以点C（0，16），
令y=0，得2（x﹣3）2﹣2=0，解得x=4或2，
不妨设A（0，4），B（0，2），
∴S
=×2×16=16．
△ABC
22．（6分）周老伯想利用一边长为12米的旧墙及24米长的篱笆围建猪舍三间，它们的平面图（如图）是一排大小相等的长方形．
（1）如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x（米）有怎样的函数关系？
（2）问：猪舍的总面积有没有最大值和最小值？如果有，请你算出相应的最值，如果没有，请说明理由？
【分析】（1）先根据栅栏的总长度24表示出三间猪舍与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），再根据长方形的面积公式表示即可得到s关于x的函数关系式；（2）根据题意得出矩形面积，进而利用二次函数的最值求出即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，三间猪舍与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），则
S=（24﹣4x）x=﹣4x2+24x；
（2）∵S=﹣4x2+24x，
∵a=﹣4＜0，
∴猪舍的总面积有最大值，
==36（米2）．
故S
最大
23．（6分）如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．
（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有3对；
（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．
【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形．
（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；
（2）根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．【解答】解：（1）∵四边形ACED是平行四边形，
∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，
∴△BCP∽△BER；
同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，
∴△PCQ∽△RDQ；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAP=∠PCQ，
∵∠APB=∠CPQ，
∴△PCQ∽△PAB；
∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，
∴△PAB∽△RDQ．
综上所述，图中相似三角形（相似比为1除外）共有4对．
故答案是：4．
（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位线，
∴BP=PR，=，
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵点R是DE中点，
∴DR=RE．
===，
∴QR=2PQ．
又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C 点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止．设移动的时间为t秒．
（1）当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
（2）求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（3）在P，Q移动过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值．
【分析】（1）图1中，作PD⊥BC于D，利用三角形中位线定理即可求得PD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解．
（2）图1中，作QE⊥PC于点E，利用Rt△QEC∽Rt△ABC求出QE即可．（3）三种情况进行讨论①PC=QC ②PQ=QC ③PC=PQ，分别列出方程即可解决．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由题意得：AP=2t，则CQ=t，则PC=10﹣2t．
（1）图1中，作PD⊥BC于D，
∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米，
∴PA=PC，
∵∠PDC=∠B=90°，
∴PD∥AB，
∴PD=AB=3米，∴S=•QC•PD=3.75平方米；
（2）图1中，作QE⊥PC于点E，
∴∠C=∠C，∠QEC=∠B=90°
∴Rt△QEC∽Rt△ABC，
∴=，
解得：QE=，
∴S=•PC•QE=•（10﹣2t）•=﹣t2+3t（0＜t＜5）
（3）∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，
∴AC===10，
当PC=QC时，PC=10﹣2t，QC=t，即10﹣2t=t，解得t=秒；
当PQ=CQ时，如图1，过点Q作QE⊥AC，则CE==5﹣t，CQ=t，
由△CEQ∽△CBA，得，即，解得t=秒；
当PC=PQ时，如图2，过点P作PE⊥BC，则CE=，PC=10﹣2t，
由△PCE∽△ACB，故得=，即，解得t=秒
所以当t=秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PQ=PC）△CPQ为等腰三角形；
25．（12分）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D 的坐标．
【分析】（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx ﹣2，再根据过A，B两点，即可得出结果．
（2）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分三种情况进行讨论，当时和时，当P，C重合时，△APM ≌△ACO，分别求出点P的坐标即可．
（3）本题需先根据题意设出D点的横坐标和D点的纵坐标，再过D作y轴的平行线交AC于E，再由题意可求得直线AC的解析式为，即可求出E点的坐标，从
而得出结果即可．
【解答】解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．
将A（4，0），B（1，0）代入，
得，
解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，
则P点的纵坐标为，
当1＜m＜4时，AM=4﹣m，．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当，
∵C在抛物线上，
∴OC=2，
∵OA=4，
∴，
∴△APM∽△ACO，
即．
解得m1=2，m2=4（舍去），
∴P（2，1）．
②当时，△APM∽△CAO，即．解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）
∴当1＜m＜4时，P（2，1），
当m＞4时，AM=m﹣4，PM=m2﹣m+2，
①==或②==2，
把P（m，﹣m2+m﹣2）代入得：2（m2﹣m+2）=m﹣4，2（m﹣4）=m2﹣m+2，
解得：第一个方程的解是m=﹣2﹣2＜4（舍去）m=﹣2+2＜4（舍去），
第二个方程的解是m=5，m=4（舍去）
求出m=5，﹣m2+m﹣2=﹣2，
则P（5，﹣2），
当m＜1时，AM=4﹣m，PM=m2﹣m+2．
①==或==2，
则：2（m2﹣m+2）=4﹣m，2（4﹣m）=m2﹣m+2，
解得：第一个方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二个方程的解是m=4（舍去），m=﹣3，
m=﹣3时，﹣m2+m﹣2=﹣14，
则P（﹣3，﹣14），
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14），
（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为||．过D作y轴的平行线交AC于E．
由题意可求得直线AC的解析式为．
∴E点的坐标为．
∴，
=S△DCE+S△DEA=DE•h+DE•（4﹣h）=DE•4，
∴S
△DAC
∴，
∴当t=2时，△DAC面积最大，
∴D（2，1）．
26．（12分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，
延长BE交AC于点F．，求的值；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若，请探究并直接写出
的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．
【分析】（1）本问是射影定理的证明．首先证明一对相似三角形△ADB∽△ABC，然后利用相似三角形比例线段的关系得到AB2=AD•AC；
（2）构造平行线，得到线段之间的比例关系，并充分利用（1）中的结论；（3）本问是将（2）中的结论推广到一般情形，解题方法与（2）相同．注意有
三种情形，如图④、⑤、⑥所示，不要遗漏．
【解答】（1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴，
∴AB2=AD•AC．
（2）解：方法一：
如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵BE⊥AD，
∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF．
∵，
∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴△BDE≌△CDG，
∴ED=GD=EG．
由（1）可得：AB2=AD•AE，BD2=DE•AD，
∴=4，
∴AE=4DE，
∴=2．
∵CG∥BF，
∴=2．
方法二：
如图③，过点D作DG∥BF，交AC于点G，
∵，
∴BD=DC=BC，AB=BC．
∵DG∥BF，
∴==，FC=2FG．
由（1）可得：AB2=AC•AD，BD2=DE•AD，
∴=4，
∵DG∥BF，
∴=4，
∴=2．
（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况：（I）当点D在线段BC上时，如图④所示：
过点D作DG∥BF，交AC边于点G．
∵，
∴BD=nDC，BC=（n+1）DC，AB=n（n+1）DC．
∵DG∥BF，
∴=n，
∴FG=nGC，FG=FC．
由（1）可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴=（n+1）2；
∵DG∥BF，
∴=（n+1）2，
即=（n+1）2，化简得：=n2+n；
（II）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：
过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G．
同理可求得：=n2﹣n；
（III）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G．
同理可求得：=n﹣n2．
27．（5分）如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，AB=a，AC=b，弦AD平分∠BAC．求AD的长（用a、b表示）．
【分析】连接BC，BD，CD，设BC交AD于E，根据已知及相似三角形的判定得到△ABE∽△ADC，△CDE∽△ADC，根据相似比即可求得AD的长．
【解答】解：连接BC，BD，CD，设BC交AD于E，
∵AB⊥AC，
∴BC经过O点．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BCD=∠CAD=∠CBD=45°．
∴BC=，CD=BD=．
∵∠BAE=∠DAC，∠ABE=∠ADC，
∴△ABE∽△ADC．
∴．
同理，△CDE∽△ADC．
∴．
∴BE•AD=AB•CD，CE•AD=AC•CD．
∴（BE+CE）•AD=（AB+AC）•CD．
∴AD=（a+b）．
28．已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．
【分析】先根据方程ax2+bx+c=0有两个相异根都在（﹣1，0）中可得到，a﹣b+c ＞0，＜1，且b2﹣4ac＞0，再由不等式的基本性质可求出a的取值范围，再根据a、b、c之间的关系即可求解．
【解答】解：据题意得，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在（﹣1，0）中，故当x=﹣1时，y＞0，则a﹣b+c＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根=x1x2＜1，且b2﹣4ac＞0①，
可见a﹣b+c≥1②，且a＞c③，
所以a+c≥b+1＞2+1，可得（﹣）2＞1，
③得，＞+1，故a＞4，
又因为b＞2≥2＞4，分别取a、b、c的最小整数5、5、1．
经检验，符合题意，
所以a+b+c=11最小．
故答案为：11．。