经典分式化简求值复习课件
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分式的化简求值课件
分式的化简求值课件
目录
• 分式化简概述 • 分式的约分 • 分式的通分 • 分式的化简求值
01
分式化简概述
分式化简的定义
总结词
分式化简是指将分式通过约分、通分、分子分母分解因式等方式，将其转化为 最简形式的过程。
详细描述
分式化简是数学中一个重要的概念，它涉及到分数的约分、通分、分子分母分 解因式等操作，目的是将分式简化到最简形式。最简形式是指分子和分母没有 公因式，且分子和分母互质的分式。
02
分式的约分
约分的定义和性质
约分的定义
约分是将一个分式化简为最简形 式的过程，通过约分可以简化分 式的计算和化简过程。
约分的性质
约分后分式的值不变，即约分前 后的分式相等；约分后的分式比 原分式更加简单明了，易于计算 和理解。
约分的步骤和方法
找出分子和分母的最大公约数
01
通过因式分解、质因数分解等方法找出分子和分母的最大公约
分式化简的意义和作用
总结词
分式化简在数学中具有重要的意义和作用，它可以帮助学生更好地理解分数和分式的概念，提高解题速度和准确 度。
详细描述
通过分式化简，学生可以更好地理解分数和分式的本质和特点，掌握其运算规则和技巧。同时，分式化简也可以 帮助学生提高解题速度和准确度，减少计算错误和混淆的可能性。此外，分式化简在数学研究和应用中也具有广 泛的应用价值，如在物理、化学、工程等领域中都有重要的应用。
02
分别对分子、分母进行 因式分解。
03
将每个分式化为最简比 的形式。
04
约分：如果分子、分母 有公因式，则约去公因 式。
通分的注意事项
注意最简公分母的选择
注意化简求值时的符号
目录
• 分式化简概述 • 分式的约分 • 分式的通分 • 分式的化简求值
01
分式化简概述
分式化简的定义
总结词
分式化简是指将分式通过约分、通分、分子分母分解因式等方式，将其转化为 最简形式的过程。
详细描述
分式化简是数学中一个重要的概念，它涉及到分数的约分、通分、分子分母分 解因式等操作，目的是将分式简化到最简形式。最简形式是指分子和分母没有 公因式，且分子和分母互质的分式。
02
分式的约分
约分的定义和性质
约分的定义
约分是将一个分式化简为最简形 式的过程，通过约分可以简化分 式的计算和化简过程。
约分的性质
约分后分式的值不变，即约分前 后的分式相等；约分后的分式比 原分式更加简单明了，易于计算 和理解。
约分的步骤和方法
找出分子和分母的最大公约数
01
通过因式分解、质因数分解等方法找出分子和分母的最大公约
分式化简的意义和作用
总结词
分式化简在数学中具有重要的意义和作用，它可以帮助学生更好地理解分数和分式的概念，提高解题速度和准确 度。
详细描述
通过分式化简，学生可以更好地理解分数和分式的本质和特点，掌握其运算规则和技巧。同时，分式化简也可以 帮助学生提高解题速度和准确度，减少计算错误和混淆的可能性。此外，分式化简在数学研究和应用中也具有广 泛的应用价值，如在物理、化学、工程等领域中都有重要的应用。
02
分别对分子、分母进行 因式分解。
03
将每个分式化为最简比 的形式。
04
约分：如果分子、分母 有公因式，则约去公因 式。
通分的注意事项
注意最简公分母的选择
注意化简求值时的符号
人教版八年级上册 第15章 第2节 分式的化简求值与恒等变形 讲义
第二节分式的化简求值与恒等变形分式的求值：给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。
注：①分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式求值的基本策略。
①解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标。
1.分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。
注：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。
2.分式化简求值时需注意的问题（1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值，化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”。
（2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法。
解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法。
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0.（注意负数和分数加括号的问题）3.分式化简求值需要用到下面的一些技巧①适当引入参数；①取倒数或利用倒数关系；①拆项变形或拆分变形；①整体代入；①利用比例的性质。
1、已知4z 3y 2x==，则222x x z 2-yz x y z y +++=________。
2、化简：1221421x 222+-+÷-+-+x x x x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
3、如果k fe d c b ===a（b+d+f ≠0），且a+c+e=3（b+d+f ），那么k=________。
4、先化简，再求值：1211x 222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x x ，其中x 的值从不等式组⎩⎨⎧≤41-x 21x - 的整数解中选取。
5、先化简，再求值：24444x 2-122++--+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x ，其中x ²+2x-15=06、已知()2y -x 21-2x +=0，求代数式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 2y xy 2x y -x 2y xy -2x 2y 1-2x 1的值。
分式化简求值专题复习(课件)
分式化简求值专题复习
施秉第二中学：向兴友
• 1、分解因式 • （1）提公因式法：ma+mb+mc= • （2）公式法： • 平方差公式：a²-b²= • 完全平方公式a²±2ab+b²= • (3)因式分解：x²+(a+b)x+ab= • 2、分式的通分：异分母的分式相加减关键在于找 再
通分。
• 3、解题目技巧：
x2 1 x2 2x 1
2
4.先简化分式： x2 1 ÷ x 1 ·（x- 1 ），然后在线-1，0，1，2 中选一个你认为合适的 x 的值，代入求值。
x2 2x 1 x
x
【课堂小结】
1. 分式的通分 2.分式的约分
【课后作业】
1、先化简，再求值(x+1- 15 )÷ x 2 8x 16 ,其中 x=2
x 1
x 1
2、先化简，再求值：(1- 1 )÷ x2 4x 4 ,其中 x 是不等式 3（x+4）-6≥0 的负整数解。
x 1
x2 1
3、先化简，再求值：( x 1 - x 2 )÷ 2x 2 x ,其中 x 满足 x2-x-1=0
x x 1 x2 2x 1
④2+ x
2x 3 4x2 9
最简公分母是：
【小题热身】
1.先简化，再求 a 2 2ab b2 ÷( 1 + 1 ) 值：其中 a，b 互为倒数。
ab
ab
2.先化简，再求值：(1- 1 )÷ x 2 2x 1 ,其中 x=-3
x2
x2 4
3.先化简，再求值：(1- 1 x )÷ x 2 2x ,其中 x= 1
• 要善于观察题目的特征，若分子，分母是多项式则应先 将其分解因式，再把除法转化为乘法，再约分化简。
施秉第二中学：向兴友
• 1、分解因式 • （1）提公因式法：ma+mb+mc= • （2）公式法： • 平方差公式：a²-b²= • 完全平方公式a²±2ab+b²= • (3)因式分解：x²+(a+b)x+ab= • 2、分式的通分：异分母的分式相加减关键在于找 再
通分。
• 3、解题目技巧：
x2 1 x2 2x 1
2
4.先简化分式： x2 1 ÷ x 1 ·（x- 1 ），然后在线-1，0，1，2 中选一个你认为合适的 x 的值，代入求值。
x2 2x 1 x
x
【课堂小结】
1. 分式的通分 2.分式的约分
【课后作业】
1、先化简，再求值(x+1- 15 )÷ x 2 8x 16 ,其中 x=2
x 1
x 1
2、先化简，再求值：(1- 1 )÷ x2 4x 4 ,其中 x 是不等式 3（x+4）-6≥0 的负整数解。
x 1
x2 1
3、先化简，再求值：( x 1 - x 2 )÷ 2x 2 x ,其中 x 满足 x2-x-1=0
x x 1 x2 2x 1
④2+ x
2x 3 4x2 9
最简公分母是：
【小题热身】
1.先简化，再求 a 2 2ab b2 ÷( 1 + 1 ) 值：其中 a，b 互为倒数。
ab
ab
2.先化简，再求值：(1- 1 )÷ x 2 2x 1 ,其中 x=-3
x2
x2 4
3.先化简，再求值：(1- 1 x )÷ x 2 2x ,其中 x= 1
• 要善于观察题目的特征，若分子，分母是多项式则应先 将其分解因式，再把除法转化为乘法，再约分化简。
分式化简求值复习ppt课件
x 1
xx 1
x
1x 1 x 12
xx 1
x 1
当x=2013时，原式=2013
x
直击中考
11.（2013本溪市）先化简，在求值：
(
m
m2 1 2 2m
1
m
m 2
m
)
(1
2 m
)，其中m=-3
解：( m
m2 1 2 2m
1
m m2
m
)
(1
2 m
)
m 1m 1 m 12
m
mm 1
m m
2
4 2
] a
4
3
2
当a
3 2时，原式
1 32-2
1 3
3 3
6.（2013铁岭市）先化简，在求值：(1
7.（2013鞍山市）先化简，在求值：
a
1
) 1
a
2
4a a2 1
4
其中a=-2
(x 3 7 ) 4 x x3 x3
，其中 x
2 4
8.（2013抚顺市）先化简，在求值：(a 1
用符号语言表达： a c ac b d bd
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
后再与被除式相乘。
a 用符号语言表达： c a d ad b d b c bc
分式的加减
同分母相加
B C BC AA A
异分母相加
B C BD CA BD AC
A D AD AD
AD
通分
在分式有关的运算中，一般总是先把分子、 分母分解因式；
足__x___3__
x3
1.分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘以(或除以) 一个不为0的整式 分式的值 不变
第16章 分式 专题训练(二) 分式的化简求值 公开课获奖课件
解：小华说得对．理由：mm＋3＋m26－9÷m－2 3＝mm＋3＋（m＋3）6（m－3）·m－2 3＝mm＋ ＋33 ＝1.因为结果等于 1，所以不论 m 取什么值，这个题目的结果都是一样的．
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
解：(x－x 5－5－x x)÷x2－2x25＝(x－x 5＋x－x 5)·（x＋5）2x（x－5）＝x2－x5·（x＋5）2x（x－5）＝x＋ 5.解不等式组－ 2xx＜－122≤ ，3，得－5≤x＜6.可选取不为±5，0 的 x 值代入求值，如当 x＝1 时， 原式＝x＋5＝1＋5＝6.
类型之四：分式化简说理题 7．有这样一道题：化简：mm＋3＋m26－9÷m－2 3，小华说：“不论 m 取什么值，这个题目 的结果都一样的．”他者有待考证）的《胡笳十八拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
类型之二：化简后整体代入求值
3．已知1a＋1b＝ 5(a≠b)，求b（a－a b）－a（a－b b）的值．
解
：∵
1 a
＋
1b ＝
5 ， ∴ a＋abb ＝
5
，
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
解：(x－x 5－5－x x)÷x2－2x25＝(x－x 5＋x－x 5)·（x＋5）2x（x－5）＝x2－x5·（x＋5）2x（x－5）＝x＋ 5.解不等式组－ 2xx＜－122≤ ，3，得－5≤x＜6.可选取不为±5，0 的 x 值代入求值，如当 x＝1 时， 原式＝x＋5＝1＋5＝6.
类型之四：分式化简说理题 7．有这样一道题：化简：mm＋3＋m26－9÷m－2 3，小华说：“不论 m 取什么值，这个题目 的结果都一样的．”他者有待考证）的《胡笳十八拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
类型之二：化简后整体代入求值
3．已知1a＋1b＝ 5(a≠b)，求b（a－a b）－a（a－b b）的值．
解
：∵
1 a
＋
1b ＝
5 ， ∴ a＋abb ＝
5
，
八年级数学下册 专题课堂(一)分式的化简求值习题课件 (新版)华东师大版
[对应训练]
2．(2016·河南)先化简，再求值：(x2＋x x－1)÷x2＋x2－2x1＋1，其 －x≤1，
中 x 的值从不等式组2x－1＜4的整数解中选取．
原式＝1－x x， 解不等式组－2xx－≤11＜，4得－1≤x＜52 ∵x≠－1，0，1 ∴当 x＝2 时，式变形整体代入；
(2)先化简，将已知方程变形后整体代入．
【例 2】已知a1＋b1＝ 5(a≠b)，求b（aa－b）－a（ab－b）的值．
分析：将1a＋1b＝ 5变形得aa＋bb＝ 5，再将原式化简后，整体代
入求出即可．
∵
1 a
＋
1 b
＝
a＋b 5 ， ∴ ab ＝
5
，
∴
a b（a－b）
－
b a（a－b）
＝
a2 ab（a－b）
原式＝x－2 1，当 x＝2016 时，原式＝20162－1＝20215
[对应训练] 1．(2017·重庆模拟)先化简，再求值：1－xx＋－2yy÷x2＋x42－xyy＋2 4y2，
其中 x，y 满足|x－2|＋(2x－y－3)2＝0.
原式＝－x＋y y ∵|x－2|＋(2x－y－3)2＝0 ∴x2－x－2＝y＝03，， 解得 x＝2，y＝1，当 x＝2，y＝1 时，原式＝－13
[对应训练]
5．(2016·巴中)先化简：x2－x2＋2xx＋1÷(x－2 1－1x)，然后再从－2＜x≤2 的范围内选取一个合适的 x 的整数值代入求值．
原式＝x－x2 1
x2－2x＋1≠0， 其中x（x－1）≠0，即 x≠－1，0，1.
x＋1≠0，
又∵－2＜x≤2 且 x 为整数
∴x＝2.将 x＝2 代入得，原式＝4
八年级数学上册第十五章分式专题课堂八分式的化简求值课件
6．有这样一道题：“计算x2－x2－2x＋1 1 ÷xx2－＋1x －x 的值，其中 x＝2020”甲 同学把“x＝2020”错抄成“x＝2002”，但他的计算结果也正确，你说这是 怎么回事？于是甲同学认为无论 x 取何值，代数式的值都不变，他说得对 吗？ 解：对．∵原式＝xx－＋11 ·x（xx－＋11） －x ＝x－x＝0，∴把 x＝2020 错 抄成 x＝2002，他的计算结果也正确
第十五章 分 式
专题课堂(八) 分式的化简求值
类型一 化简后直接代入 1．(河南中考)先化简，再求值：(x＋1 1 －1)÷x2－x 1 ，其中 x＝ 2 ＋1.
解：当 x＝ 2 ＋1 时，原式＝x－＋x1 ·（x＋1）x（x－1） ＝1－x＝－ 2
2．(2019·黄冈)先化简，再求值．
5a＋3b ( a2－b2
解：原式＝(2xx－－23 －xx－－22 )÷（xx－－12）2 ＝xx－－12 ·（xx－－12）2 ＝x－1 1 ， 当 x＝0 时，原式＝－1
5．(2019·安顺)先化简(1＋x－2 3 )÷x2－x2－6x＋1 9 ，再从不等式组
－2x＜4， 3x＜2x＋4
的整数解中选一个合适的 x 的值代入求值．
解：原式＝x－x－3＋3 2 ×（x＋（1x）－（3）x－2 1） ＝xx－＋31 ，解不等式组
－2x＜4①， 3x＜2x＋4② 得－2＜x＜4，∴其整数解为－1，0，1，2，3，∵要使 原分式有意义，∴x 可取 0，2.∴当 x＝0 时，原式＝－3(或当 x＝2 时，
原式＝－13 )
类型四 分式化简说理
解：原式＝[（a＋（2a）－（2）a－2 2） ＋a－1 2 ]·a（a－2 2） ＝(aa＋－22 ＋
1 a－2
第十五章 分 式
专题课堂(八) 分式的化简求值
类型一 化简后直接代入 1．(河南中考)先化简，再求值：(x＋1 1 －1)÷x2－x 1 ，其中 x＝ 2 ＋1.
解：当 x＝ 2 ＋1 时，原式＝x－＋x1 ·（x＋1）x（x－1） ＝1－x＝－ 2
2．(2019·黄冈)先化简，再求值．
5a＋3b ( a2－b2
解：原式＝(2xx－－23 －xx－－22 )÷（xx－－12）2 ＝xx－－12 ·（xx－－12）2 ＝x－1 1 ， 当 x＝0 时，原式＝－1
5．(2019·安顺)先化简(1＋x－2 3 )÷x2－x2－6x＋1 9 ，再从不等式组
－2x＜4， 3x＜2x＋4
的整数解中选一个合适的 x 的值代入求值．
解：原式＝x－x－3＋3 2 ×（x＋（1x）－（3）x－2 1） ＝xx－＋31 ，解不等式组
－2x＜4①， 3x＜2x＋4② 得－2＜x＜4，∴其整数解为－1，0，1，2，3，∵要使 原分式有意义，∴x 可取 0，2.∴当 x＝0 时，原式＝－3(或当 x＝2 时，
原式＝－13 )
类型四 分式化简说理
解：原式＝[（a＋（2a）－（2）a－2 2） ＋a－1 2 ]·a（a－2 2） ＝(aa＋－22 ＋
1 a－2
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10
作业
1.先化简，再求值：(1
a
1
) 1
a
2
a24a1，4其中a=-2
2.先化简，再求值： (1 1 ) x x ，1其中x=2. 1 x x 1 x
3.先化简，再求值：
(
m2 1 m2 2m
1
m m2
m
)
(1， 2其) 中m=-3.
m
11
12
【2013-7】要使分式
得数是（ D）
的值为0，你认为x可取
A．9 B．±3 C．﹣3 D．3
3
练一练
3
1.（2013抚顺市）如果分式 取值范围是（ ）C
x 1有意义，则x的
A.全体实数 B.x=1 C.x≠1 D.X=0
2.（2013营口市）函数
值范围是___x___.5
y
2x x 5中，自变量x的取
B C BD CA BD AC
A D AD AD
AD
通分
在分式有关的运算中，一般总是先把分子、 分母分解因式；
注意：过程中，分子、分母一般保持分解因
式的形式。
7
因式分解
方法一：提公因式法 方法二：公式法
完全平方式：a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2 a b2
5
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达： a c ac b d bd
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
后再与被除式相乘。
a c a d ad 用符号语言表达：
b d b c bc 6
{ 同分母相加
分式的加减
异分母相加
B C BC AA A
专题复习 分式及分式的
化简求值
1
1.分式的定义:
形如 A ,其中 A ,B 都是整式, B 且 B 中含有字母.
2.分式有意义的条件: B≠0 分式无意义的条件: B = 0
3.分式值为 0 的条件: A=0且 B ≠0
2
【2010-10】在函数中，y 1 自x 变量x的取值范围
是 x 。3
x3
3.（2013铁岭市）函数
y
x 1
x 2有意义，则 自变
量x的取值范围是____x___1_且__x__. 2
4
分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘以(或除以) 一个不为0的整式 分式的值 不变
用式子表示: A
AXM
=
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(B X M )
A A÷M B = ( B÷M )
(其中M为 不为0 的整式)
平方差式： a2 b2 a ba b
8
因式分解练习
1、a2 2a 2、x2 2x 1 3、a2 4a 4 4、x2 6x 9 5、a2 1 6、x2 4 6、a2 9
9
分式化简求值的一般解题思路为：
1、利用因式分解、通分、约分等进行化简； 2、求值时，要注意：字母的取值，一定要使 原分式有意义，而不是只看化简后的式子。
作业
1.先化简，再求值：(1
a
1
) 1
a
2
a24a1，4其中a=-2
2.先化简，再求值： (1 1 ) x x ，1其中x=2. 1 x x 1 x
3.先化简，再求值：
(
m2 1 m2 2m
1
m m2
m
)
(1， 2其) 中m=-3.
m
11
12
【2013-7】要使分式
得数是（ D）
的值为0，你认为x可取
A．9 B．±3 C．﹣3 D．3
3
练一练
3
1.（2013抚顺市）如果分式 取值范围是（ ）C
x 1有意义，则x的
A.全体实数 B.x=1 C.x≠1 D.X=0
2.（2013营口市）函数
值范围是___x___.5
y
2x x 5中，自变量x的取
B C BD CA BD AC
A D AD AD
AD
通分
在分式有关的运算中，一般总是先把分子、 分母分解因式；
注意：过程中，分子、分母一般保持分解因
式的形式。
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因式分解
方法一：提公因式法 方法二：公式法
完全平方式：a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2 a b2
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两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达： a c ac b d bd
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
后再与被除式相乘。
a c a d ad 用符号语言表达：
b d b c bc 6
{ 同分母相加
分式的加减
异分母相加
B C BC AA A
专题复习 分式及分式的
化简求值
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1.分式的定义:
形如 A ,其中 A ,B 都是整式, B 且 B 中含有字母.
2.分式有意义的条件: B≠0 分式无意义的条件: B = 0
3.分式值为 0 的条件: A=0且 B ≠0
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【2010-10】在函数中，y 1 自x 变量x的取值范围
是 x 。3
x3
3.（2013铁岭市）函数
y
x 1
x 2有意义，则 自变
量x的取值范围是____x___1_且__x__. 2
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分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘以(或除以) 一个不为0的整式 分式的值 不变
用式子表示: A
AXM
=
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(B X M )
A A÷M B = ( B÷M )
(其中M为 不为0 的整式)
平方差式： a2 b2 a ba b
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因式分解练习
1、a2 2a 2、x2 2x 1 3、a2 4a 4 4、x2 6x 9 5、a2 1 6、x2 4 6、a2 9
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分式化简求值的一般解题思路为：
1、利用因式分解、通分、约分等进行化简； 2、求值时，要注意：字母的取值，一定要使 原分式有意义，而不是只看化简后的式子。