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上海市嘉定区第二中学2020学年度第一学期期中考试高三年级数学学科试卷

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2020年上海市嘉定区高三(上)期中数学试卷

2020年上海市嘉定区高三(上)期中数学试卷

高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“tanx=−1”是“x=−π4+2kπ(k∈Z)”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.下列函数是在(0,1)为减函数的是()A. y=lgxB. y=2xC. y=cosxD. y=12x−13.已知函数f(x)=−x2+4x，x∈[m,5]的值域是[−5,4]，则实数m的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−1,2]C. [−1,2]D. [2,5)4.在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C−sinBsinC，则A的取值范围是()A. (0,π6] B. (0,π3] C. [π6,π) D. [π3,π)二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.函数y=cos2x的最小正周期为______．6.设U=R，A={x|x>0}，B={x|2x<2}，则A∩B=______．7.不等式1−72x−1≤0的解集是______．8.命题A：|x−1|<3，命题B：(x+2)(x+a)<0，若A是B的充分而不必要条件，则a的取值范围是______ ．9.已知y=f−1(x)是函数y=x3+a的反函数，且f−1(2)=1，则实数a=______．10.已知cosα=14，且α∈(3π2,2π)，则cos(α+π2)=______ ．11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=75°，B=60°，b=√3，则c=______．12.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点A(x A,45)，则sin2α=______.(用数值表示)13.定义在R上的偶函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增，则不等式f(2x−1)<f(3)的解集是______．14.若将函数f(x)=sin(2x+π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是______ ．15.函数f(x)=2sin2x+1sin2x +tanx+cotx，x∈(0,π2)的最小值为______．16.若关于x的不等式a≤34x2−3x+4≤b的解集恰好是[a,b]，则a+b=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知f(x)=x2+4x．(1)解关于x的不等式：|f(x)|≥12．(2)已知A={x|x2+ax+2a=0}，B={x|f(x)=0}，A⊆B，求实数a的取值范围．18.设△ABC的三个内角A，B，C的对均分别为a，b，c.满足：√3cosA =bsinB．(1)求角A的大小；(2)若2sin2B2+2sin2C2=1，试判断△ABC的形状，并说明理由．19.已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)={400−6x,0<x≤40 7400x−40000x2,x>40(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20.已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中ω>0．(1)令ω=1，判断函数F(x)=f(x)+f(x+π2)的奇偶性，并说明理由；(2)令ω=2，ℎ(x)=12f(x+π12)+√32f(x+π2)的最大值为A，函数y=x2−(4√7tanθ)x+1在区间[−A,A]上单调递增函数，求θ的取值范围；(3)令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，对任意a∈R，求y=g(x)在区间[a,a+10π]上零点个数的所有可能值．21.已知函数f(x)=log a1−mxx−1是奇函数(其中a>1)．(1)求实数m的值；(2)已知关于x的方程log a k(x+1)(7−x)=f(x)在区间[2,6]上有实数解，求实数k的取值范围；(3)当x∈(n,a−2√2)时，f(x)的值域是(1,+∞)，求实数n与a的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：tan(−π4+2kπ)=tan(−π4)=−1，所以充分；但反之不成立，如tan 3π4=−1．故选：B得出tan(=−π4+2kπ)=−1，“x =−π4+2kπ”是“tanx =−1”成立的充分条件；举反例tan3π4=−1，推出“x =−π4+2kπ(k ∈Z)”是“tanx =−1”成立的不必要条件．本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断．充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，要理解好其中的概念．2.【答案】C【解析】解：结合对数函数的性质可知y =lgx 在(0,1)为增函数， 结合指数函数的性质可知，y =2x 在x >0上增函数， 结合余弦函数的性质可知，x ∈[0,π]上为减函数，结合反比例型函数，y =12x−1在(−∞,12)与(12,+∞)上分别为减函数； 故选：C ．结合对数函数，指数函数，余弦函数，反比例型函数的性质即可进行判断． 本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．3.【答案】C【解析】解：∵f(x)=−x 2+4x =−(x −2)2+4， ∴当x =2时，f(2)=4， 由f(x)=−x 2+4x =−5， 得x 2−4x −5=0， 即x =5或x =−1，∴要使函数在[m,5]的值域是[−5,4]， 则−1≤m ≤2， 故选：C ．根据二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围．本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C−sinBsinC得：a2≤b2+c2−bc，变形得：b2+c2−a2≥bc，∴cosA=b2+c2−a22bc ≥bc2bc=12，又∵A为三角形的内角，∴A的取值范围是(0,π3].故选：B．利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cos A，将得出的不等式变形后代入表示出的cos A中，得出cos A的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围．此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基础题．5.【答案】π【解析】解：函数y=cos2x的最小正周期为2π2=π，故答案为：π．利用函数y=Acos(ωx+φ)的周期为2πω，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．6.【答案】(0,1)【解析】解：∵f(x)=2x在R上为增函数，∴由2x<2，得2x<21，解得x<1，∴A={x|x>0}，B={x|x<1}，∴A∩B=(0,1)．故答案为：(0,1)．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查函数的单调性、集合的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．<x≤4}7.【答案】{x|12≤0，【解析】解：由已知可得，2x−82x−1∴{(x−4)(2x−1)≤02x−1≠0，<x≤4，解可得，12<x≤4}，不等式的解集为{x|12<x≤4}．故答案为：{x|12≤0，转化为二次不等式即可求解．由已知化简可得，2x−82x−1本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．8.【答案】(−∞,−4)【解析】解：根据题意，由于命题A：|x−1|<3，得到−2<x<4，命题B：(x+2)(x+a)<0，A是B的充分而不必要条件则说明A是B的真子集，那么可知集合B：−2<x<−a，则可知参数a<−4，故答案为：(−∞,−4)．通过绝对值不等式的解法求出集合A，利用A是B的充分而不必要条件则说明A是B 的真子集，推出集合B，求解a的范围即可．本题主要是考查了绝对值不等式的解法，充分条件的运用，属于基础题．9.【答案】1【解析】解：∵f−1(2)=1，∴2=13+a，解得，a=1故答案为：1．由y=f−1(x)是函数y=x3+a的反函数且f−1(2)=1知2=13+a，从而解得．本题考查了反函数的定义的应用，属于基础题．10.【答案】√154【解析】解：∵cosα=14，且α∈(3π2,2π)，则cos(α+π2)=−sinα=√1−cos 2α=√1−116=√154， 故答案为：√154．由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得cos(α+π2)的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．11.【答案】√2【解析】 【分析】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 由A 与B 求出C 的度数，再由sin B ，b ，sin C 的值，利用正弦定理求出c 的值即可． 【解答】解：∵A =75°，B =60°，∴C =45°， 由正弦定理bsinB =csinC 得：c =bsinC sinB=√3×√22√32=√2，故答案为：√2．12.【答案】−2425【解析】解：角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点A(x A ,45)， 由任意角的三角函数的定义可知x A =−35，cosα=−35，sinα=45． sin2α=2sinαcosα=−2×35×45=−2425．故答案为：−2425．直接利用任意角的三角函数的定义，求出正弦函数以及余弦函数值，通过二倍角的正弦函数求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义的应用，二倍角的正弦函数的求法，考查计算能力．13.【答案】(−1,2)【解析】解：∵在R 上的偶函数y =f(x)，在[0,+∞)上单调递增， ∴不等式f(2x −1)<f(3)等价为f(|2x −1|)<f(3)，即|2x−1|<3，解得−1<x<2，故答案为：(−1,2)根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．14.【答案】3π8【解析】【分析】根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin(2x+π4−2φ)，再根据所得图象关于y轴对称可得π4−2φ=kπ+π2，k∈z，由此求得φ的最小正值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．【解答】解：将函数f(x)=sin(2x+π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2(x−φ)+π4]=sin(2x+π4−2φ)关于y轴对称，则π4−2φ=kπ+π2，k∈z，即φ=−kπ2−π8，故φ的最小正值为3π8，故答案为3π8．15.【答案】5【解析】解：f(x)=2sin2x+1sin2x +tanx+cotx=4sinxcosx+32sinxcosx，令t=2sinxcosx=sin2x，x∈(0,π2)，t∈(0,1]，y=2t+3t，在t∈(0,1]递减，当t=1时，即x=π4，最小值为5，故答案为：5．化简，利用对勾函数的单调性求最值．考查三角恒等变化，函数求最值，注意这里不能用基本不等式，中档题．16.【答案】4【解析】解：设f(x)=34x2−3x+4，当x=−−32×34=2时，f(x)min=1，由题意可知a≤1，且f(a)=f(b)=b，a<b，由f(b)=b得到34b2−3b+4=b，解得b=43(舍去)或b=4，可得b=4，由抛物线的对称轴为x=2得到a=0，所以a+b=4．故答案为：4设f(x)等于34x2−3x+4，它的图象为一条抛物线，画两条与x轴平行的直线y=a和y= b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间，而此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y=a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以得到a小于等于抛物线的最小值且a与b所对的函数值相等且都等于b，利用f(b)=b解出b的值，由抛物线的对称轴即可求出a的值，进而求出a+b 的值．此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，灵活利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．17.【答案】解：(1)∵|f(x)|≥12即|x2+4x|≥12，∴x2+4x≥12，或x2+4x≤−12，由x2+4x≥12，即x2+4x−12≥0，解得x∈(−∞,−6]∪[2,+∞)由x2+4x≤−12，即x2+4x+12≤0，∵△=16−48<0，∴该不等式无解；综上，x∈(−∞,−6]∪[2,+∞)．(2)∵A⊆B，∴A是B的子集；由x2+4x=0，解得x=0，或x=−4；∴B={−4,0}(i)当A=⌀时，△=a2−8a<0，解得a∈(0,8)(ii)A={0}时，可知，02+a⋅0+2a=0，得：a=0检验：a=0.x2=0.可得x=0，满足题意；(iii)A={−4}时，可知，(−4)2+a⋅(−4)+2a=0，解得：a=8检验：a=8，x2+8x+16=0，解得，x=−4，符合题意；(iv)A={0,−4}时，有韦达定理可知，a=4且2a=0，无解；综上，a∈[0,8]【解析】(1)根据绝对值的几何意义将绝对值不等式转化为一元二次不等式，再解一元二次不等式即可得出不等式的解集；(2)由题意，先解出集合B，再由A⊆B，分情况解出a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法与一元二次不等式的解法，转化化归的数学思想，由于本题分类较多，解答时易因为考虑问题不全面导致解答失误．18.【答案】解：(1)∵3cosA =bsinB，∴由正弦定理可得3cosA =sinBsinB=1，∴tanA=√3，∵0°<A<180°，∴A=60°；(2)∵2sin2B2+2sin2C2=1，∴1−cosB+1−cosC=1，∴cosB+cosC=1，∴cosB+cos(120°−B)=1，∴cosB−12cosB+√32sinB=1，∴12cosB+√32sinB=1，∴sin(B+30°)=1，∴B=60°，∴C=60°，∴△ABC是等边三角形．【解析】(1)利用正弦定理，可得tanA=√3，从而可求A的大小；(2)利用二倍角公式，结合辅助角公式，可得三角形的形状．本题考查正弦定理的运用，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，正确运用二倍角公式是关键．19.【答案】解：(1)利用利润等于收入减去成本，可得当0<x≤40时，W=xR(x)−(16x+40)=−6x2+384x−40；当x>40时，W= xR(x)−(16x+40)=−40000x−16x+7360∴W={−6x2+384x−40,0<x≤40−40000x−16x+7360,x>40；(2)当0<x≤40时，W=−6x2+384x−40=−6(x−32)2+6104，∴x=32时，W max=W(32)=6104；当x>40时，W=−40000x −16x+7360≤−2√40000x⋅16x+7360，当且仅当40000x=16x，即x=50时，W max=W(50)=5760∵6104>5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．【解析】(1)利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；(2)分段求出函数的最大值，比较可得结论．本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)当ω=1时，F(x)=f(x)+f(x+π2)=2sinx+2sin(x+π2)=2(sinx+cosx)=2√2sin(x+π4)，F(0)=2√2sinπ4=2，∵(0,2)既不是函数的最值点，也不是原点，所以F(x)是非奇非偶函数；(2)当ω=2时，ℎ(x)=12f(x+π12)+√32f(x+π2)=12×2sin[2(x+π12)]+√32×2sin[2(x+π2)]=sin(2x+π6)−√3sin2x=−sin(2x−π6)∈[−1,1]∴A=1，由题意，y=x2−(4√7tanθ)x+1在区间[−1,1]上单调递增，∴抛物线对称轴x=2√7tanθ≤−1，即tanθ≤−√714，θ∈(−π2+kπ,arctan−√714+kπ],(k∈z)；(3)当ω=2时，g(x)=2sin[2(x+π6)]+1=2sin(2x+π3)+1，∵函数的最小正周期为T=π，又每个周期内有两个零点，区间[a,a+10π]长度为10π，当g(a)=0即sin(2a+π3)=−12a1=−π4+kπ，或a2=5π12+kπ(k∈Z)时，零点有21个，a1≠−π4+kπ，且a2≠5π12+kπ(k∈Z)时，零点有20个．【解析】(1)化简，利用F(0)判断；(2)当ω=2，求出A，再利用二次函数的性质，求出参数；(3)根据图象的变换，求出g(x)，再求零点．考查正弦型函数的图象与性质，三角恒等变换，中档题．21.【答案】解：(1)由1−mxx−1>0⇒(1−mx)(x −1)>0，又f(x)=log a1−mx x−1是奇函数，∴定义域关于原点对称，由(1−mx)(x −1)=0， 得x 1=1，x 2=1m =−1∴m =−1(2)由(1)得，f(x)=log a 1+xx−1，∴log a k(x+1)(7−x)=log a 1+xx−1， 即k(x+1)(7−x)=1+xx−1⇒k =(1+x)2(7−x)x−1，∵在区间[2,6]上，(1+x)2、x −1是单调递增的，7−x 是单调递减的， 所以k =(1+x)2(7−x)x−1在区间[2,6]上单调递减，当x =6时，k min =495；当x =2时，k max =452；所以，k ∈[495,45]， (3)由(1)得，f(x)=log a 1+xx−1，且x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)， ∵1+xx−1=1+2x−1在x ∈(−∞,−1)与(1,+∞)上单调递减，∴x ∈(n,a −2√2)时，由极限可知，△x →0+lim1+xx−1∈(1a−2√2−1−△x1+2n+△x−1)，∴当0<a <1时，log a x 为减函数，∴log a 1+x x−1∈(1,+∞)得，0<1+xx−1<a ， 即{1+a−2√2−1−△x =01+2n+△x−1=aa =2√2−1>1(舍去)， 当a >1时，log a 1+x x−1∈(1,+∞)得，1+xx−1∈(a,+∞)1，即{1+a−2√2−1−△x =a1+2n+△x−1=+∞解得n =1，a =3+√2，或a =√2−1(舍去)， 即n =1，a =3+√2．【解析】(1)根据奇函数的定义建立方程进行求解即可．(2)根据导数函数的性质，结合函数与方程的关系，利用参数分离法进行求即可． (3)结合函数的单调性与值域的关系进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合函数奇偶性的定义(1)(2)(3)函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．。

嘉定二中2021届高三9月月考数学试卷

嘉定二中2021届高三9月月考数学试卷
在平面直角坐标系 xOy 中，已知函数 f x sin x 0, 0 π ．
(1)如图所示，函数 f x 的图像与直线 y m 1 m 1 三个相邻交点的横坐标为 π 、 π 、 π ，求 的值；
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(2)函数 y sin x ( 0,0 π) 的图像与 x 轴的交点 A 、 B 、 C ，且满足 OA 、 OB 、 OC 成等差数
16．数学试卷的填空题由12 道题组成，其中前 6 道题，每道题 4 分；后 6 道题，每道题 5 分．下面 4 个数字是某教
师给出的一位学生填空题的得分，这个得分不可能是( )
A. 17
B. 29
C. 38
D. 43
三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步 骤． 17．(本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分)
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2．函数 y 9 3x 的定义域为____________．
3．已知 x 、 y R ， i 为虚数单位，且 x 2 yi 1 i ，则 x y ____________． 4．函数 y sin x cos x x R 的单调递增区间为____________． 5．已知 0 x 2 ，则 x 2 x 的最大值是____________．
则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．
20．(本题满分 16 分，本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分)
已知点 F 是抛物线 C ： y2 8x 上的焦点， A x1, y1 、 B x2 , y2 是抛物线上的两个动点．
若 an n3 2n2 2tn t2 ，bn n3 n2 4n 1，并且an 是bn 的“优数列”，bn 也是an 的“优数列”，则 t 的

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试高三数学理科试题

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试高三数学理科试题

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试高三数学理科试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}213A x x =-≤，集合{}2B y y x ==，则=B A （ ） A.{}x x ≤1B. {}x x ≤≤01C. {}2x x ≤ D.{}x x ≤≤022．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10081009101010112a a a a +++=，则2018S =（ ） A ．1009B ．1010C ．D ．3. 设函数(){()211log 2,1,2, 1.x x x f x x -+-<=≥ 则((2))f f -= ( )A.2B.4C.8D.164. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”.B ．命题p ：0x R ∃∈，使得0sin x =；命题q ：x R ∀∈，都有sin x x >；则命题p q ∨为真.C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”.D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.5. 已知()21f x x =+，若()()10f x f a =⎰，则a 的值为（ ） A.12- B.32-C.12D.16． 如右图，正六边形ABCDEF 中，AC BD ⋅的值为18，则此正六边形的边长为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．327. 角B A ,是△ABC 的两个内角.下列六个条件中，“B A >”的充分必要条件的个数是 ( )①B A sin sin >； ②B A cos cos <； ③B A tan tan >； ④B A 22sin sin >； ⑤B A 22cos cos <； ⑥B A 22tan tan >. A ． B ． C ． D ．8. “今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为（ ）A ．4B ．5C. 6D ．79.函数)1ln(25x x x y -++=的图象大致为（ ）ABCD10.已知函数()()212sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调函数，则ω的最大值是（ ） A ．12B ．35C ．23D ．3411. 在ABC ∆中,16,7,cos 5AC BC A ===,O 是ABC ∆的内心,若OP xOA yOB =+,其中01,12x y ≤≤≤≤,动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )103D.20312. 已知函数1ln(1)()2x f x x +-=-（x ＞2），若()1kf x x >-恒成立，则整数k的最大值为（ ） A ．2B ．3C. 4 D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)13．已知1,22cos cos sin sin αβαβ+=+=则() cos αβ-=。

上海市嘉定区高三(上)期中数学试卷含答案

上海市嘉定区高三(上)期中数学试卷含答案

A. (0,휋6]
B. (0,휋3]
C. [휋6,휋)
D. [휋,휋) 3
二、填空题（本大题共 12 小题，共 54.0 分）
5. 函数푦 = 푐표푠2푥的最小正周期为______． 6. 设푈 = 푅，퐴 = {푥|푥 > 0}，퐵 = {푥|2푥 < 2}，则퐴 ∩ 퐵 = ______．
7. 不等式1−2푥7−1 ≤ 0的解集是______．
通过绝对值不等式的解法求出集合 A，利用 A 是 B 的充分而不必要条件则说明 A 是 B 的真子集，推出集合 B，求解 a 的范围即可．
本题主要是考查了绝对值不等式的解法，充分条件的运用，属于基础题．
9.【答案】1
【解析】解： ∵ 푓−1(2) = 1 ， ∴ 2 = 13 +푎，
解得，푎 = 1
【解析】解：角훼的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，角훼的终边与圆心在原
点的单位圆(半径为 1 的圆)交于第二象限内的点퐴(푥퐴,45)，
由任意角的三角函数的定义可知푥퐴 = −35，푐표푠훼
= −35，푠푖푛훼
=
4
5．
푠푖푛2훼
= 2푠푖푛훼푐표푠훼
= −2
×
3 5
×
4 5
=
−2245．
第 3 页，共 14 页
21.
已知函数푓(푥)
= 푙표푔푎1푥−−푚1푥是奇函数(其中푎
． > 1)
(1)求实数 m 的值；
(2)已知关于
x
的方程푙표푔푎(푥
+
푘 1)(7−푥)
=
푓(푥)在区间[2,6]上有实数解，求实数
k
的取
值范围； (3)当푥 ∈ (푛,푎−2 2)时，푓(푥)的值域是(1, + ∞)，求实数 n 与 a 的值．

上海市嘉定区2020-2021学年高三上学期一模数学试题+答案+全解全析

上海市嘉定区2020-2021学年高三上学期一模数学试题+答案+全解全析

嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试数 学 试 卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}4,2,0=A ，()∞+=，0B ，则=B A ____________． 2．抛物线x y 42=的焦点坐标为____________．3．不等式014≤xx 的解为____________．4．已知复数z 满足()2i 1=⋅+z （i 为虚数单位），则=z ___________． 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α____________． 6．设函数)12)(1>-=+a ax f x （的反函数为)(1x fy -=，若()121f -=，则=)2(f ____________．7．设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：121321=+=a a a ，，则数列{}n a 2的各项的和为____________．8．在ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==，，，将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为____________． 9．在ABC △中，2,1==AC AB ，3261+=，则=⋅BC AE ____________． 10．甲和乙等五名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）．11．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01>a ，公差0<d ，若对任意的*N ∈n ，总存在*N ∈k ，使n k S k S )12(12-=-，则n k 3-的最小值为_____________．12．已知函数x a x x x f 3||)(+-=．若存在]4,3[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知0≠x ，*N ∈n ，则“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．已知R ∈b a 、，且b a >，则下列不等式恒成立的是 （ ）．ABC1A 1C 1D 1B D 1A 1D 1C ABD C1B A ．ba 11< B ．b a ln ln > C ．22b a > D ．b a 22> 15．过双曲线12222=-by a x C ： （0,0>>b a ）的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过O A 、两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为 （ ）．A ．1322=-y x B ．1322=-y x C ．12222=-y x D ．16222=-y x 16．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是该正方体棱上一点．若满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，则m 的取值范围是 （ ）．A ．]4,22[B ．]322,4[+C ．]24,4[D ．]24322[，+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，41=D A ．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线D A 1与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=12020,14060,20050x x kx v ，（R ∈k ）． 研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足v x y ⋅=， 求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的长轴长为6，且经过点）3,23(Q ．A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若02=+，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若项数为k 的有穷数列{}n a 满足：k a a a a <⋅⋅⋅<<<≤3210()3,*≥∈k k N ，且对任意的()1i j i j k ≤≤≤、，j i a a +与i j a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）判断数列8,4,2,1是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，求证：)(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-；（3）若项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，写出一个当4=k 时，{}n a 不是等差数列的例子，并证明当4>k 时，数列{}n a 是等差数列.嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试数 学 试 卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}4,2,0=A ，()∞+=，0B ，则=B A ____________． 【答案】{}4,2【解析】由题意得，=B A {}4,22．抛物线x y 42=的焦点坐标为____________． 【答案】()0,1【解析】由抛物线性质得，焦点坐标()0,1 3．不等式014≤xx 的解为____________．【答案】22≤≤-x【解析】由240x -≤得，22≤≤-x4．已知复数z 满足()2i 1=⋅+z （i 为虚数单位），则=z ___________． 【答案】2 【解析】由()()()1i 21i 1+i 1+i i 21z -===--得，=z 2 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α____________．【答案】43-【解析】因为终边经过点)4,3(P ，所以4tan 3α==+)2πtan(α3cot 4α-=-6．设函数)12)(1>-=+a ax f x （的反函数为)(1x fy -=，若()121f -=，则=)2(f ____________． 【答案】6【解析】根据反函数定义得，若()121f-=，则(1)2f =所以1122,2aa +-==所以3(2)226f =-=7．设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：121321=+=a a a ，，则数列{}n a 2的各项的和为____________． 【答案】32【解析】设等比数列公比为q ，则由121321=+=a a a ，得()21221210a q q q q +=⇒+-= 解得12q =或1q =- 又因为数列{}n a 各项均为正数，所以12q =，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以数列{}n a 2的各项的和为1221314=-8．在ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==，，，将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为____________． 【答案】15π【解析】因为9034A AB AC ∠=︒==，，所以旋转后的圆锥母线的长为5，底面半径为3 所以此面积为5315S ππ=⨯⨯=9．在ABC △中，2,1==AC AB ，CA CB CE 3261+=，则=⋅BC AE ____________． 【答案】21【解析】特殊化ABC △以A 为直角的直角三角形建系得，()()()()0,0,0,1,2,0,,A B C E x y由CA CB CE 3261+=得，11,36x y ==所以=⋅BC AE 21 10．甲和乙等五名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）． 【答案】216【解析】由题意得，每个岗位至少一人的情况有2454C P 种甲和乙不在同一岗位服务有44P 种所以共有244544216C P P -=种11．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01>a ，公差0<d ，若对任意的*N ∈n ，总存在*N ∈k ，使n k S k S )12(12-=-，则n k 3-的最小值为_____________．【答案】8- 【解析】由题意得n k S k a a k )122))(12121-=+--（（，则得 n kS k a k )122)12-=⋅-（（，即 n k S a =．令2=n 得 2S a k =，即 d a d k a +=-+112)1(（*），即得 da k 12=-． 因为首项01>a ，公差0<d ，则得 021<=-da k ，即 2<k ． 又因为 *N ∈k ，所以 1=k ，代入（*）得1a d -=． 当1a d -=时，由n k S a =得 2)1()1(1111a n n na a k a --=--，即 12)2)(1(+--=n n k ，所以 2292132+-=-n n n k ，即 277292132-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=-n n k ， 因此当4=n 或5时，n k 3-的最小值为 8-12．已知函数x a x x x f 3||)(+-=．若存在]4,3[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是____________． 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1 【解析】【法一】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=ax x a x a x x a x x f ,)3(,,)3()(22，且关于x 的方程at x f 3)(=有三个不相等的实数根． （1）当33≤≤-a 时，2323+≤≤--a a a ，且23023+≤≤--a a ，可知)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，此时关于x 的方程at x f 3)(=不可能有三个不相等的实数解；（2）当43≤<a 时，a a a <+<--<23230， 可知)(x f 在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-23,a 、),[∞+a 上分别是 增函数，而在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,23上是减函数（如右图所示），当且仅当4)3(332+<<a at a 时，方程at x f 3)(=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛++=+<<6912112)3(12a a a a t ．令a a a g 9)(+=，则)(a g 在]4,3(∈a 时是增函数，则得425)4()(max ==g a g ． 所以，所求实数t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1．【法二】at x a x x 33||=+-33||-=-xata x ①0>at ：由图得0>a3)3(332=++-⇒-=+-at x a x xata x 214312012)3(2++=⇒=-+=∆a a t at a 484921163124=++<∴t at x xat=⇒=-033 48491<<⇒<∴t at a②0<at ：由图得0<a3)3(332=---⇒-=-at x a x xat a x 214312012)3(2+--=⇒=+-=∆a a t at a 121123123=++--<∴t t at a <⇒>∴1，矛盾48491<<∴t 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知0≠x ，*N ∈n ，则“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】因为二项式n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1通项为211(0)n rr r r r nr n n T C x C x r n x --+⎛⎫==≤≤ ⎪⎝⎭所以nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项式展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数，因为2n n =⇒为正偶数，n 为正偶数推不出2n =所以“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件14．已知R ∈b a 、，且b a >，则下列不等式恒成立的是 （ ）．A ．ba 11< B ．b a ln ln > C ．22b a > D ．b a 22> 【答案】D【解析】由不等式性质得，b a 22>恒成立，故选D15．过双曲线12222=-by a x C ： （0,0>>b a ）的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过O A 、两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为 （ ）．A ．1322=-y x B ．1322=-y x C ．12222=-y x D ．16222=-y x1A 1D 1C ABD C1B 1A 1D 1C ABDC1B 22 22442424 322+ 322+【答案】B【解析】因为以C 的右焦点为圆心、半径为2的圆经过两点,A O （O 为坐标原点），所以半径2R c ==，圆的标准方程为22(2)4x y -+=因为(,0),,bA a y a b a=⋅=即(,)B a b 则22(2)4a b -+= 即22444a a b -++= 即240,c a -=即44a = 则21,413a b ==-= 则双曲线C 的方程为2213yx -=，故答案选B16．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是该正方体棱上一点．若满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，则m 的取值范围是 （ ）．A ．]4,22[B ．]322,4[+C ．]24,4[D ．]24322[，+ 【答案】B【解析】先计算正方体的8个顶点到B 、1C 两点的距离 （如右图所示），则得：（1）当点P 分别在棱1BB 、BC 、1CC 、11C B 上运动时，m 的取值范围是]422[，；（2）当点P 分别在棱11D C 、AB 上运动时，m 的取值范围是]32222[+，；（3）当点P 分别在棱11B A 、CD 上运动时，m 的取值范围是]244[，； （4）当点P 分别在棱11D A 、1DD 、AD 、1AA 上运动时，m 的取值范围是]24322[，+．由几何直观可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m 的值是一一对应的，则当m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4时，则m 的取值范围是]322,4[+．ABC1A 1C 1D 1B DABC 1A 1C 1D 1B D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，41=D A ．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线D A 1与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解析】（1）由题意得 322211=-=AD D A AA则该正四棱柱的表面积为31684322222+=⋅⋅+⋅=全S ，体积为 383222=⋅=V ．（2）联结111,DC C A ，则AC ∥11C A ，所以直线D A 1与11C A 所成的角就是异面直线D A 1与AC 所成的角．在11DC A △中，22,321111===C A DC D A , 由余弦定理得1112121121112cos C A D A DC C A D A C DA ⨯⨯-+=∠ 4222424)22(4222=⨯⨯-+=，则得42arccos 11=∠C DA ，所以，异面直线D A 1与AC 所成的角的大小42arccos． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．【解析】（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT ，2||=ω， 又因为0>ω，所以2=ω． 此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即 x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ． 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ， 所以所求函数的值域为[]2,1-．（2）由题意得 212cos -=A ．因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ． 因为ABC △的面积为33，则得 33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ， 即 12=bc ．又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)(41222=+=，所以 4=a ．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=12020,14060,20050x x kx v ，（R ∈k ）． 研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足v x y ⋅=， 求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．【解析】（1）由题意知 当120=x （辆/千米）时，0=v （千米/小时），代入 x kv --=14060 得 120140600--=k ，解得 1200=k ，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x x v ，当200≤<x 时，4050≥=v ，符合题意； 当12020≤<x 时，令 40140120060≥--x，解得 80≤x ，所以 8020≤<x ．综上，800≤<x ．答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是]80,20(．（2）由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x xx x x y ，当200≤<x 时，x y 50=为增函数，所以10005020=⨯≤y ，等号当且仅当20=x 成立； 当12020≤<x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x x x x x y 1402060140120060⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=x x x 1402800)140(2060 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x 14028002060()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x 140280014016060 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--≤x x 1402800140216060()74016060-=3250≈，即 3250≤y ，等号当且仅当xx -=-1402800140，即]120,20(87720140∈≈-=x 成立． 综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的长轴长为6，且经过点）3,23(Q ．A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若02=+，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）解：由题意得 62=a ，解得 3=a 分把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程 12222=+b y a x ，得134922=+b a ，由于 3=a ，解得 2=b ．所以所求的椭圆的标准方程为 14922=+y x ． （2）解：因为02 =+OC OB ， 则得 )1,0(21=-=OB OC ，即)1,0(C ，又因为 )0,3(-A ，所以直线AP 的方程为 )3(31+=x y ．由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=149)3(3122y x x y 解得 ⎩⎨⎧=-=03y x （舍去）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==15241527y x ，即得 ），（15241527P ．所以 ()151024152431527||22=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AP ， 即线段AP 的长为151024． （3）【解法一】由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线2-=kx y PB ： （32>k ）． 令0=y ，得)0,2kD （．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149,222y x kx y 得 036)94(22=-+kx x k ，解得 0=x （舍去）或29436k k x +=， 所以 2294818kk y +-=，即)94818,9436222k k k k P +-+（． 于是直线AP 的方程为)3(3413694818222+⨯+++-=x k k k k y ，即 )3()233)23(2++-=x k k y （． 令0=x ,得23)23(2+-=k k y ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-23)23(2,0k k C ．所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=223)23(23221k k k 623122321=+⋅+⋅=k k k k ， 即四边形ABDC 的面积为定值．【解法二】由题意知，设),(00y x P （20,3000<<<<y x ）， 则直线PB 的方程为 )0(2200-+=+x x y y ，即2200-⋅+=x x y y ．令0=y ，得)0,2200+y x D （． 又直线PA 的方程为)3(300++=x x y y ， 令0=x ,得3300+=x y y ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33,000x y C ． 所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=233322210000x y y x )2()3)632(2100200+⋅+++⋅=y x y x （ )2()33636241294210000002020+⋅++++++⋅=y x y x y x y x （ （*） 因为点P 在椭圆Γ上，则得 1492020=+y x ，所以 20204369x y -=，代入（*）得 6)2()3)2()36)2()336362412942100000000002020=+⋅++⋅+=+⋅++++++⋅y x y x y x y x y x y x （（（，即四边形ABDC 的面积为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若项数为k 的有穷数列{}n a 满足：k a a a a <⋅⋅⋅<<<≤3210()3,*≥∈k k N ，且对任意的()1i j i j k ≤≤≤、，j i a a +与i j a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）判断数列8,4,2,1是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，求证：)(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-；（3）若项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，写出一个当4=k 时，{}n a 不是等差数列的例子，并证明当4>k 时，数列{}n a 是等差数列． 【解析】（1）数列8,4,2,1不具有性质P ．因为84210<<<≤，但是514=+、314=-，它们均不是数列8,4,2,1中的项， 所以数列8,4,2,1不具有性质P ．（2）证明：因为M a a k k ∉+，所以M a a k k ∈-，即 M ∈0，所以01=a ． 设k i ≤≤2，因为M a a i k ∉+，所以M a a i k ∈-．则得12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--． 因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=， 将上面的式子相加得k k k k k k a a a a a a a a a a ka +⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅+++----13211221)(，所以 )(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-．（3）数列5,4,1,0具有性质P ，但该数列不是等差数列．（答案不惟一）下面证明当4>k ，即5≥k 时，数列{}n a 是等差数列． 由（2）得 01=a ． ①设2i k ≤≤，由（2）知 12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--． 因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=， 因此 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-． (*) ②设23-≤≤k i ，则112k i k k a a a a a --+>+=，所以1k i a a M -+∉，得1k i a a M --∈． 由111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<⋅⋅⋅<-<-= 及123320k k a a a a a --≤<<<⋅⋅⋅<<，可得 111k k a a a ---=，122k k a a a ---=，133k k a a a ---=，…….，133k k a a a ---=． 所以 )31(1-≤≤=---k i a a a i i k k ．因为5k ≥，由上知，111k k a a a ---=，且 122k k a a a ---=， 所以111k k a a a ---=，且122k k a a a ---=，所以)11(1-≤≤=---k i a a a i i k k ． (**) 由(*)知 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-， 两式相减得()1111k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-，所以当4>k 时，123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅是等差数列．已知实数s t、21 =⎭则实数t的取值范围是s的取值范围是。

上海市嘉定区2019-2020学年高三上学期期中数学试题(学生版)

上海市嘉定区2019-2020学年高三上学期期中数学试题(学生版)

嘉定区2019-2020学年第一学期期中考试高三数学（卷）一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.1. 函数cos 2y x =的最小正周期为__ __．2. 设U =R ，{|0}A x x =>，{}|22x B x =<，则A B =________.3. 不等式71021x -≤-的解集是________. 4. 命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是 .5. 已知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=.则实数a =________.6. 已知1cos 4α=，且3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 7.在ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若75,60,A B b =︒=︒=则c =___________ 8. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．（用数值表示） 9. 定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0+∞，为单调递增，则不等式()()213f x f -＜的解集是_________. 10. 若将函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是________.11. 函数1()2sin 2tan cot sin 2f x x x x x =+++，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的最小值为________. 12. 若关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好是,a b ，则a b += ． 二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. “tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 14. 下列函数是在(0,1)为减函数的是（ ）A. lg y x =B. 2x y =C. cos y x =D. 121=-y x 15. 已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞-B. (1,2]-C. [1,2]-D. [2,5]16. 在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ） A. （0，6π] B. [6π，π） C. （0，3π] D. [3π，π） 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 已知2()4f x x x =+.（1）解关于x 的不等式：|()|12f x ≥.（2）已知{}2|20A x x ax a =++=，{|()0}B x f x ==，A B ⊆，求实数a 的取值范围. 18. 设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对均分别为a ，b ，c .满足：sin 3cos b B A = （1）求角A 的大小；（2）若222sin 2sin 122B C +=，试判断ABC 的形状，并说明理由. 19. 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且24006,040()740040000,40x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩， （1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.20. 已知函数()2sin()f x x ω=，其中0>ω.（1）令1ω=，判断函数()()2F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭奇偶性，并说明理由；（2）令2ω=，1()21222h x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A，函数2)1y x x θ=-+在区间[,]A A -上单调递增函数，求θ的取值范围；（3）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图像，对任意a ∈R ，求()y g x =在区间],10[a a π+上零点个数的所有可能值.21. 已知函数1()log 1amx f x x -=-是奇函数（其中1a >） （1）求实数m 的值；（2）已知关于x 的方程log ()(1)(7)a k f x x x =+-在区间[2,6]上有实数解，求实数k 的取值范围； （3）当(,x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数n 与a 的值.。

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

高三期中数学卷一.填空题1.已知集合M ={}2,0,xy y x N ==(){}2|lg 2x y x x =-,则M N ⋂=_______.【答案】(1,2) 【解析】M ={}2,0x y y x =={}1,y y N ={}2|lg(2x y x x =-={|02}x x <<,所以M N ⋂={|12}x x <<.2.三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为________. 【答案】34 【解析】 【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算． 【详解】由题意，可知： （﹣1）1+2•2674-=--[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．故答案为：34．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．3.已知幂函数()y f x =的图像过点1(2，则4log (2)f 的值为________. 【答案】14【解析】 【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x 用2代替求出函数值． 【详解】由设f （x ）＝x a ，图象过点（12），∴（12）a =a 12=， ∴log 4f （2）＝log 412124=． 故答案为：14【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值． 4.已知向量()1,3a=，()3,b m =且b 在a 上的投影为3，则a 与b 角为______.【答案】【答案】π6. 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义求得m 的值，然后再求出两向量的夹角． 【详解】设a ，b 的夹角为θ， 则||236a b a b cos θ==⨯=，又()()1,33,3a b m ==+，∴336m +=， 解得3m =．∴2||22a b cos a b θ===⨯，又0θπ≤≤， ∴6πθ=．故答案为：6π． 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题． 5.满足不等式arccos2arccos(1)x x <-的x 的取值范围为________ 【答案】11(,]32【解析】反余弦函数的定义域为[]1,1-，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：12111121x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，求解不等式有：11220213x x x ⎧-≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎩， 综上可得，不等式的解集为11,32⎛⎤⎥⎝⎦.6.函数log (3)1(01)a y x a a =+->≠且的图像恒过定点A ，若A 在直线10mx ny ++=，其中,0m n 均大于，则12m n+的最小值_________ 【答案】8 【解析】试题分析：由已知可得定点()2,1A --，代入直线方程可得21m n +=，从而1212()(2)m n m n m n +=++4448n m m n =++≥=. 考点：1、函数的定点；2、重要不等式.【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.7.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是____. 【答案】1(2,0)(0,]4- 【解析】 【分析】 由题意易得11a q =-q ，可得a 1＝﹣（q 12-）214+，由二次函数和等比数列的性质可得． 【详解】∵无穷等比数列{a n }的各项和等于公比q ， ∴|q |＜1，且11a q=-q ，∴a 1＝q （1﹣q ）＝﹣q 2+q ＝﹣（q 12-）214+， 由二次函数可知a 1＝﹣（q 12-）21144+≤，又等比数列的项和公比均不为0， ∴由二次函数区间的值域可得： 首项a 1的取值范围为：﹣2＜a 114≤且a 1≠0 故答案为：1(2,0)(0,]4- 【点睛】本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．8.已知函数2()f x x =，[1,2]x ∈的反函数为1()f x -，则121[()](2)f x f x --+的值域是____.【答案】[1 【解析】 【分析】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），得函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x y＝x [1，2]上的增函数，可得y 的值域．【详解】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x x 满足14124x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即1≤x ≤2，又y ＝x [1，2]上的增函数，所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）的值域是[1，4]，故答案为：[1【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．9.在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.【答案】【解析】【分析】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值．【详解】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短， ∴|AB |＝=2，故答案为：【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．10.设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________. 【答案】43(,)32ππ 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a 1取值范围．【详解】由()22222233363645sin a cos a cos a cos a sin a sin a sin a a -+-=+1， 得：()()()336363636452cos a cosa cosa sina sina cosa cosa sina sina sin a a -+-+=+1，即()()()336364521cos a cos a a cos a a sin a a -++-=+，由积化和差公式得：()3634511222221cos a cos a cos a sin a a +-=+，整理得：()()()()()()63636345451122222cos a cos a sin a a sin a a sin a a sin a a --+-==++1，∴sin （3d ）＝﹣1．∵d ∈（﹣1，0），∴3d ∈（﹣3，0）， 则3d 2π=-，d 6π=-．由()()2111116221212n n n n n S na d na n a n πππ⎛⎫-⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭=+=+=-++ ⎪⎝⎭．对称轴方程为n 1612a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由题意当且仅当n ＝9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，∴1176192122a ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜＜，解得：14332a ππ＜＜． ∴首项a 1的取值范围是4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 故答案为：4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了三角恒等变换的应用，化简原式得公差的值是关键，考查了学生的运算能力，是中档题．11.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为__________．【答案】8 【解析】 由题意，()1f x x=，()y f x =与y x =都是奇函数，第一象限图象如图，当8x>时，两图象无交点，所以[)6,0-与(]0,6对称，零点之和为0，(]6,8上，零点为8，所以，[)6,-+∞上的零点之和为8.12.在数列{}n a中，11a=，1221332?32(2)n n nn na a n----=-+≥，nS是数列1nan+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和，当不等式*1(31)()1()3()mnmnS mm NS m++-<∈-恒成立时，mn的所有可能取值为 . 【答案】1或2或4【解析】试题分析：由1221332?32(2)n n nn na a n----=-+≥得1212213(1)3(1)332?32(2)n n n n nn na a n------+=++--+≥，即1213(1)3(1)2(2)n nn na a n---+=++≥，所以数列{}13(1)nna-+是以1113(1)2a-+=为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2nna n-+=，由1123nnan-+=，12(1)133(1)1313nn nS⨯-==--，所以1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3mm m n m n n mnnm m n m m n mmnnmS m m m mS m m mm++++ +++--+---+----⋅-===+< -------即(3)3233(3)33n mm n mmm+--⋅-<--，当3m=时，该不等式不成立，当3m≠时有233330133mnnmm⋅+--<--恒成立，当1m =时，19322n<<，1n =，这时1mn =，当2m =时，1321n <<，1,2n =，这时2mn =或4mn =，当4m ≥时，233330133m nn m m⋅+--<--不成立，所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力. 二.选择题13.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．14.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )A. 在[,]42ππ上是增函数B .其图象关于直线4x π=-对称C. 函数是奇函数D. 当[0,]3x π∈时，函数的值域是[1,2]-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，()2sin[2()]2sin(2)2cos 2662g x x x x πππ=++=+=，A ：[,]42x ππ∈时，2[,]2x ππ∈，是减函数，故A 错误；B ：()2cos()042g ππ-=-=，故B 错误；C ：()g x 是偶函数，故C 错误；D ：[0,]3x π∈时，22[0,]3x π∈，值域为[1,2]-，故D 正确，故选D ． 考点：1．三角函数的图象变换；2．sin()y A x ωϕ=+的图象和性质．15.已知n N ∈，x ∈R ，则函数22()lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】讨论当|x |＞1，|x |＜1，当x ＝1时和当x ＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f （x ）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x |＞1时，2222121lim 22n n n n n n x x lim x x x x+→∞→∞--==---； 当|x |＜1时，222lim 22n n n n x lim x +→∞→∞--==--1；当x ＝1时，22lim 2n n n x x +→∞-=--1；当x ＝﹣1时，22lim 2n n n x x +→∞--不存在．∴f （x ）()()()21111111.x x x x x ⎧--⎪⎪==-⎨⎪--≤⎪⎩＞或＜无意义＜ ∴只有A 选项符合f （x ）大致图像， 故选A.【点睛】本题考查了函数解析式求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ） A. ||||42OM ON +≥B. O 到直线MN 的距离不大于2C. 直线MN 过抛物线2y x =的焦点D. MN 为直径的圆的面积大于4π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，M ，N 可看作直线MN 与抛物线的交点,对直线MN 进行分类讨论，当直线MN 的斜率不存在时，设出M ，N 的坐标，可以求得M ，N 的坐标及直线MN 的解析式；当直线的斜率存在时，利用斜截式设出直线MN 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线MN 过定点()2,0，结合选项得出答案. 【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设，由斜率之积为12-，可得20112y -=-，即202y =，∴MN 的直线方程为2x =； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得20ky y m -+=．设()1122(),,M x y N x y ，，则，∴121212OM ON y y k k k x x m ==-⋅=， 即2m k =-．∴直线方程为()22y kx k k x =-=-． 则直线MN 过定点()2,0．则O 到直线MN 的距离不大于2．故选B ．【点睛】圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论. 三.解答题17.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且2a =． （1）若C=60°且b=1，求a 边的值；（2）当c2b=A 的大小． 【答案】（1）3；（2）A=π3【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角形的面积公式，化简可得sin a C =，又由60C =︒且1b =，即可求解；（2）由余弦定理及2a =，化简可得sin()16A π+=，即可求解A 的大小，得到答案．【详解】（1）由题意知2a =，可得21sinC 2b a a =⋅，∴sin a C =，又因为60C =︒且1b =，∴3a ==；（2）当2cb=+2b c ==∵2222cos b c A a bc ==+-，∴221sin 2cos 2bc A b c bc A ⋅=+-，即)222cos bc A A b c +=+，∴22πb c b c 4sin A 46bc c b +⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭，得sin()16A π+=， ∵(0,)A π∈，∴7(,)666A πππ+∈，所以62A ππ+=，得3A π=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18.函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.（1）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；（2）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(2,4]A B ⋂=；（2）1m ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；（2）若存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，得﹣m ≥（211x x x +++）min ，解得实数m 的取值范围．【详解】（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）， 故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4] 所以A ∩B ＝（2，4]； （2）存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，所以﹣m ≥（211x x x +++）min因为211x x x ++=+x +111x +-+1≥1， 当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号 所以﹣m ≥1， 解得：m ≤﹣1．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax=-+(0)a>的一部分，CD AD⊥，且CD恰好等于圆E的半径.（1）若30CD=米，245AD=t与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围. 【答案】（1）20t=，149a=；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B，从而可得半径，即50CD t=-，进而解得t；通过圆E 的方程求得A点坐标，从而得到C点坐标，代入抛物线方程求得a；（2）求解出C点坐标后，可知5075tDF ta=-+≤，可整理为162550att≥++，利用基本不等式可求得162550tt++的最大值，从而可得a的范围.【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B50BE t∴=-又BE，CD均为圆的半径50CD t∴=-，则503020t=-=∴圆E的方程为：()2222030x y+-=()105,0A∴245105145OD AD AO∴=-==，则()145,30C代入抛物线方程得：(230550a=-+，解得：149a=（2）由题意知，圆E半径为：50t-，即50CD t=-则C点纵坐标为50t-，代入抛物线方程可得：txa=tODa=5075DF t ∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++ (]0,25t ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）1162510050t t ∴≤++ 1100a ∴≥即a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【答案】（1）22184x y +=（2）见解析（3）163【解析】【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=。

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析
高三期中数学卷 一.填空题 1.直线 x 3y 1的一个法向量可以是________.
【答案】 (1, 3)
【解析】 【分析】 利用直线的法向量的意义即可得Байду номын сангаас． 【详解】由直线方程 x＝3y+1，可得斜率 k 1 ．
3 ∴直线的法向量可以取（1，﹣3）． 故答案为：（1，﹣3）． 【点睛】本题考查了直线的法向量的求法，属于基础题． 2.函数 y log2 (x 3) 的反函数为________. 【答案】 f 1(x) 2x 3 【解析】 【分析】 利用反函数定义直接求解即可． 【详解】∵ y log2 (x 3) ∴ x 3 2y ，即 x 2y 3 ∴函数 y log2 (x 3) 的反函数为 f 1(x) 2x 3 故答案为： f 1(x) 2x 3 【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
3.已知 (1 ax)7 的展开式中，含 x3 项的系数等于 280，则实数 a ________.
【答案】2 【解析】 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式中的 含 x3 项的系数，再根据含 x3 项的系数等于 280，求得实数 a 的值．
x
x
∴a4
故答案 为： (, 4]
【点睛】本题考查二次不等式在闭区间上恒成立问题，考查参变分离及均值不等式，属于常 考题型. 8.袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的 概率为________.
-4-
4
【答案】
7
【解析】
【分析】
基 本 事 件 总 数 n C94 126 ， 其 中 三 种 颜 色 的 球 都 有 包 含 的 基 本 事 件 个 数

上海市嘉定区第二中学2020-2021学年高三上学期期中考试语文试题(学生版)

上海市嘉定区第二中学2020-2021学年高三上学期期中考试语文试题(学生版)
5. 孔子谈论“正直”的道理，为什么取的是“攘羊”这样的例子？
6. 下列关于“中庸”的理解不符合文意的一项是（ ）
A. “文革”宣扬的“无私”理念与“中庸”倡导的“至德”不同。
B. 朱熹以“随时以处中”来阐释“中庸”，接近孔子赞赏 “中庸”。
C. “中庸”被孔子视为“至德”，因没有具体阐释让后人把握困难。
2020学年第一学期期中考试高三年级语文学科试卷
(满分150分，时间150分钟)
一、积累应用(10分)
1.按要求填空。
(1)__________，清辉玉臂寒。(杜甫《月夜》)
(2)过春风十里，__________(姜夔《__________》)
(3)无论是《老子》中 “千里之行，始于足下”，还是《荀子•劝学》中的“__________，__________”，都是以“行路”来形象地阐释积累的重要性。
⑧“中庸”是儒家思想的精髓，要准确把掘其精神实质已非易事，而身体力行之则更难。时至今天，“中庸”仍“民鲜久矣”，孔子赞赏的“中庸”，就像上文叙述的三个故事那样，其实不过是，并不像后人阐释的那么玄乎。
4. 联系上下文，填入第②段空格处恰当的一项是（ ）
A. 况且 所以B. 而 那么C. 况且 尽管D. 而 因为
⑥宋代朱熹曾说：“君子之所以为中庸者，以其有君子之德，而又能随时以处中也”。孔子本人掌握的就是时中的行为标准。《史记·孔子世家》记孔子经过蒲地去卫国都城，当地有公叔氏发动叛乱，阻止孔子去卫。大概是怕对自己有所不利，于是孔子答应和他们立下盟誓：离开蒲以后不去卫。结果才出东门，孔子就下令车子向卫驰去。子贡疑惑地问：“这不是背盟了吗？”孔子淡然一笑，洒脱得很：“受要挟订下的盟誓。不管用的。”
③据说济南城区的泉，单是有名的就有二百多，没名的更无计其数。也怪，泉水到了济南格外恣肆，大泉小泉自由自在流淌，你呀我呀碰到一起汇成了河渠，汇成河渠的泉水更得意了，成群结队，走街穿巷，闪过树丛，溜进人家，挟着满城的活力聚到城北，就成了大明湖。济南城啊，坐落在澄明清泠的泉群中间，分明是个幸运的婴儿，在泉水的簇拥呵护下慢慢长大。泉水生来和人最亲，冬暖夏凉，可着人心。济南人最感念泉水的好，“泉城”的美称就该在百姓中间口口相传叫起来。泉城，泉城，泉和城在了一起，不就是泉和人在一起嘛。

上海市嘉定区第二中学2025届高三上学期第一次质量检测 数学试题(含解析)

上海市嘉定区第二中学2025届高三上学期第一次质量检测 数学试题(含解析)

嘉定二中2024学年度第一学期第一次质量检测高三年级数学学科试卷考试时间：120分钟满分150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．已知集合{}1,2A =，{},3B a =，若{}2A B = ，则a =．2．已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则数列{}n a 的通项公式是.3．双曲线221916x y -=的渐近线方程是.4．若圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的体积为5．在5(21)x +的展开式中，2x 的系数为.（用数字作答）6．x 为实数，且不等式53x x m -+-<有解，则实数m 的取值范围是.7．若命题“对任意的x ∈R ，都有210ax x -<+”为假命题，则实数a 的取值范围为.8．已知正实数,a b 满足121a b+=,则2a b +的最小值为.9．用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有个10．已知不等式()220ax a x c +++>的解集为{}12x x -<<，则函数y 增区间为.11．已知函数()y f x =的表达式为()321xf x =⋅-，若对于任意[]10,1x ∈，都存在[]20,1x ∈，使得()()1210f x f x m ++=成立，则实数m 的取值范围是.12．已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,a b ，且115a b +=，n b 是正整数，设()N n n b c a n *=∈,则数列{}n c 的前n 项和n S =.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“33a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知集合(){},20A x y x ay a =++=，(){},10B x y ax ay =+-=，则下列结论正确的是（）A ．存在a ∈R ，使得A =∅B ．当1a =-时，13,22A B ⎛⎫⋂=- ⎪⎝⎭C ．当A B =∅ 时，1a =D ．对任意的a ∈R ，都有A B≠15．在区间(0,1)上，若()1f x '>，则下列四个图中，能表示函数()y f x =的图像的是（）A ．B ．C ．D ．16．群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“.”是G 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的,a b G ∈，有a b G ⋅∈；②对任意的,,a b c G ∈，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③存在e G ∈，使得对任意的a G ∈，有,e a a e a e ⋅=⋅=称为单位元；④对任意的a G ∈，存在b G ∈，使a b b a e ⋅=⋅=，称a 与b 互为逆元.则称G 关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（）A ．{}0,1,2G =关于数的乘法构成群B ．自然数集N 关于数的加法构成群C ．实数集R 关于数的乘法构成群D ．{}|,G a a b =+∈Z 关于数的加法构成群三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，1PD DC ==，直线PB 与平面ABCD 所成的角为6π.(1)求四棱锥P ABCD -的体积；(2)求异面直线AM 与PC 所成的角的大小.18．已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a b c ﹑﹑，若cos cos A bB a=且sin cos C A =．(Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；(Ⅱ)设函数()()sin 2cos 22C f x x A x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离．19．已知椭圆2222:1(0)43x y C a a a+=>的右焦点为F ，直线:40l x y +-=.(1)若F 到直线l 的距离为a ；(2)若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且ABO 的面积为487，求a ；20．给定正整数3n ≥，设集合{}12,,,n A a a a = ．若对任意i ，{1,2,,}j n ∈⋯，i j a a +，i j a a -两数中至少有一个属于A ，则称集合A 具有性质P ．(1)分别判断集合{}1,2,3与{}1,0,1,2-是否具有性质P ；(2)若集合{1,,}A a b =具有性质P ，求a b +的值；(3)若具有性质P 的集合B 中包含6个元素，且1B ∈，求集合B ．21．已知()e 1xf x ax =--，a ∈R ，e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根，求a 的取值范围；(3)当0a >时，若满足()()()1212f x f x x x =<，求证：122ln x x a +<.1．2【分析】由交集定义可得答案.【详解】因{}1,2A =，{},3B a =，{}2A B = ，则2B ∈，故2a =.故答案为：22．10n a n =-##10n a n =-+【分析】设公差为d ，由基本量代换列方程组，解出1a d 、，即可得到通项公式.【详解】设等差数列{}的公差为d ，由题意可得：31712763a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：191a d =⎧⎨=-⎩，所以()1110n a a n d n =+-=-.故答案为：10n a n =-.3．43y x =±【分析】直接由双曲线的方程求解即可【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，所以双曲线的渐近线方程为220916x y -=，即43y x =±，故答案为：43y x=±4．12π【分析】圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，则侧面积为12ππ15π2S r l rl =⨯⨯==，再结合2216l r =+，可得r 的值.然后根据锥体体积公式13V Sh =计算即可.【详解】设圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，有22π15π16rl l r =⎧⎨=+⎩，解得：35r l =⎧⎨=⎩.211π12π,33V Sh r h ==⨯⨯=故答案为：12π.5．40【分析】根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，得出式子中的系数的表示式，得到结果．【详解】∵（2x+1）5的通项式式是C 5r （2x ）5﹣r ＝∁5r 25﹣rx 5﹣r当5﹣r ＝2时，即r ＝3时，得到含有x 2的项，∴它的系数是C 5322＝40故答案为40．【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项.6．()2,+∞【分析】求出53x x -+-的最小值，只需m 大于最小值即可满足题意.【详解】利用三角不等式，有53532x x x x -+-≥--+=，当35x ≤≤时等号成立因为53x x m -+-<有解，只需2m >即可,所以实数m 的取值范围是()2,+∞.故答案为：()2,+∞7．14a ≥-【分析】根据“存在x ∈R ，210ax x +-≥”为真命题，讨论0a =，0a >，0a <求解.【详解】命题“对任意的x ∈R ，都有210ax x -<+”为假命题，则“存在x ∈R ，210ax x +-≥”为真命题，当0a =时，2x =满足；当0a >时，2x =满足；当0a <时，需140a ∆=+≥，解得104a -≤<；综上：14a ≥-.。

上海市嘉定区2019-2020学年高三上学期期中数学试题(教师版)

上海市嘉定区2019-2020学年高三上学期期中数学试题(教师版)

嘉定区2019-2020学年第一学期期中考试高三数学（卷）一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.1. 函数cos 2y x =的最小正周期为__ __．【答案】π【解析】 试题分析：根据三角函数周期公式222T πππω=== 考点：正余弦函数的周期公式2. 设U =R ，{|0}A x x =>，{}|22x B x =<，则A B =________.【答案】(0,1)【解析】【分析】先根据指数函数的性质求出集合B ，再进行集合运算即可．【详解】由()2x f x =在R 上为增函数，所以122221x x x <⇒<⇒<，∴{}|22x B x =<＝{x |x <1}，∴A B =(0,1)，故答案为(0,1)．【点睛】本题考查集合的交集的运算，考查指数函数性质的应用，是一道基础题．3. 不等式71021x -≤-的解集是________. 【答案】1|42x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】原不等式即为280210x x -≥⎧⎨-⎩＜或280210x x -≤⎧⎨-⎩＞，分别解出，再求交集即可． 【详解】不等式1721x -≤-0即为2821x x -≤-0， 即为280210x x -≥⎧⎨-⎩＜或280210x x -≤⎧⎨-⎩＞， 即有x ∈∅或12＜x ≤4， 则解集为1|42x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭． 故答案为1|42x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．4. 命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是 .【答案】(－∞,－4)【解析】【详解】对于命题A ：∵|x －1|＜3，∴-2<x<4,要使A 是B 的充分而不必要条件,则a<2,-a>4,即实数a 的取值范围是(－∞,－4)5. 已知1()y fx -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=.则实数a =________.【答案】1【解析】【分析】由y ＝f ﹣1（x ）是函数y ＝x 3+a 的反函数且f ﹣1（2）＝1知2＝13+a ，从而解得．【详解】∵f ﹣1（2）＝1， ∴2＝13+a ，解得，a ＝1故答案为1．【点睛】本题考查了反函数的定义及性质的应用，属于基础题．6. 已知1cos 4α=，且3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式及角所在的象限求出正弦函数值，求解即可． 【详解】∵3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭第四象限角，1cos 4α=，∴15sin 4α=-，cos sin 2154παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭= 故答案为154. 【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．7. 在ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若75,60,3A B b =︒=︒=则c =___________【答案】2【解析】,；由正弦定理，得，解得.考点：正弦定理.8. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．（用数值表示） 【答案】【解析】 试题分析：由已知得， 从而由三角函数的定义可知，从而sin 2α＝． 故答案为．考点：1．三角函数的定义；2．二倍角公式．9. 定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0+∞，为单调递增，则不等式()()213f x f -＜的解集是_________. 【答案】{}|12x x -<<【解析】【分析】由偶函数的性质()()()x f x f f x -==，再结合函数的单调性可得213x -<，再解绝对值不等式即可得解.【详解】解：因为函数()y f x =为定义在R 上的偶函数，则由()()213f x f -＜可得(21)(3)f x f -<，又函数()y f x =在[)0+∞，为单调递增，则213x -<，解得12x -<<， 故不等式的解集是：{}|12x x -<<.【点睛】本题考查了偶函数的性质及利用函数的单调性求参数的范围，重点考查了函数思想，属基础题.10. 若将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是________.【答案】【解析】试题分析：由题意()2sin(2)4f x x π=+，将其图象向右平移个单位，得2sin[2()]2sin[22]44x x ππϕϕ-+=-+，要使图象关于y 轴对称，则242k ππϕπ-=+，解得82k ππϕ=--，当1k =-时，取最小正值. 考点：1.三角函数的平移；2.三角函数恒等变换与图象性质.11. 函数1()2sin 2tan cot sin 2f x x x x x =+++，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的最小值为________. 【答案】5【解析】【分析】用三角函数的恒等变换化简f （x ），结合基本不等式求出f （x ）的最值即可.【详解】1()2sin 2tan cot sin 2f x x x x x=+++34sin cos 2sin cos x x x x =+≥sin cos x x =时取等，但2212sin cos sin cos 1,sin cos 24x x x x x x ≤+=≤<，所以，当1sin cos 2x x =时，有最小值为5， 故答案为5.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是综合性题目． 12. 若关于x 的不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好是,a b ，则a b += ． 【答案】4【解析】【详解】试题分析： 设()23344f x x x =-+，对称轴为2x =，此时()min 1f x =，有题意可得;1a ≤,且()(),f a f b b a b ==<，由()23344f b b b b b =⇒-+=，解得：43b =（舍去）或4b =，可得4b =，由抛物线的对称轴为2x =得到0a =，所以4a b +=考点：二次函数的性质二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. “tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】【分析】解方程tan 1x =-，得出x 的值，然后根据集合的包含关系可判断出“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件关系.【详解】解方程tan 1x =-，得()4x k k Z ππ=-+∈， 因此，“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件.故选B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题.14. 下列函数是在(0,1)为减函数的是（ ）A. lg y x =B. 2x y =C. cos y x =D. 121=-y x 【答案】C【解析】【分析】根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项．【详解】对数函数，底数大于1时，在0x >上增函数，不满足题意；指数函数，底数大于1时，在0x >上增函数，不满足题意；余弦函数，从最高点往下走，即[0,]x π∈上为减函数； 反比例型函数，在1(,)2-∞与1(,)2+∞上分别为减函数，不满足题意；故选C .【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图象性质是关键． 15. 已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞-B. (1,2]-C. [1,2]-D. [2,5]【答案】C【解析】【分析】 函数()f x 在2x =时取得最大值4，在5x =或1-时得()5f x =-，结合二次函数()f x 图象性质可得m 的取值范围.【详解】二次函数2()4f x x x =-+的图象是开口向下的抛物线.最大值为4，且在2x =时取得，而当5x =或1-时，()5f x =-.结合函数()f x 图象可知m 的取值范围是[1,2]-．故选:C ．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题.16. 在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ） A. （0，6π] B. [6π，π） C. （0，3π] D. [3π，π） 【答案】C【解析】【详解】试题分析：由于222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，根据正弦定理可知222a b c bc +-≤，故2221cos 22b c a A bc +-=≥．又(0,)A π∈，则A 的范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.故本题正确答案为C. 考点：三角形中正余弦定理的运用.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 已知2()4f x x x =+. （1）解关于x 的不等式：|()|12f x ≥.（2）已知{}2|20A x x ax a =++=，{|()0}B x f x ==，A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[6,2]x ∈-；（2）[0,8]a ∈【解析】【分析】（1）先将绝对值去掉，转化为两个一元二次不等式，解出后取并集即可.（2）先化简集合B ，由A B ⊆分A =∅、{0}A =、{4}A =-、{0,4}A =-四种情况分别求解a 即可【详解】（1）∵|()|12f x ≥即2412x x +≥，∴2412x x +≥，或2412x x +≤-由2412x x +≥，即24120x x +-≥，得(,6][2,)x ∈-∞-⋃+∞由2412x x +≤-，即24120x x ++≤∵16480∆=-<，∴x ∈R ；综上，(,6][2,)x ∈-∞-⋃+∞.（2）∵A B ⊆，∴A 是B 的子集；由240x x +=，解得0x =，或4x =-；∴{4,0}B =-（i ）当A =∅时，280a a ∆=-<，解得(0,8)a ∈（ii ）{0}A =时，可知，20020a a +⋅+=，得：0a =检验：0a =，20x =，可得0x =，满足题意；（iii ）{4}A =-时，可知，2(4)(4)20a a -+⋅-+=，解得：8a =检验：8a =，28160x x ++=，解得，4x =-，符合题意；（iv ）{0,4}A =-时，由韦达定理可知，4a =且20a =，无解；综上，[0,8]a ∈【点睛】本题考查了集合的基本关系，二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题. 18. 设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对均分别为a ，b ，c .sin b B= （1）求角A 的大小；（2）若222sin 2sin 122B C +=，试判断ABC 的形状，并说明理由. 【答案】（1）A 3π=；（2）ABC 为等边三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理，可得tanA =A 大小；（2）利用二倍角公式，结合辅助角公式，可得三角形的形状．【详解】（1sin tan sin sin b B A B B=⇒=⇒=，又(0,)A π∈∴3A π=（2）∵2222122B C sin sin +=， ∴1﹣cosB +1﹣cosC ＝1，∴cosB +cosC ＝1，∴cosB +cos （120°﹣B ）＝1，∴cosB 12-cosB 2+sinB ＝1， ∴12cosB +sinB ＝1， ∴sin （B +30°）＝1，∴B ＝60°，∴C ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．【点睛】本题考查正弦定理的运用，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，正确运用二倍角公式是关键．19. 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且24006,040()740040000,40x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩， （1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6104万美元. 【解析】【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-；当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+ 2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪∴=⎨--+>⎪⎩； （2）当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；当40x >时，400004000016736027360W x x x =--+-， 当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W == 61045760>32x ∴=时，W 的最大值为6104万美元．【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.20. 已知函数()2sin()f x x ω=，其中0>ω.（1）令1ω=，判断函数()()2F x f x f x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的奇偶性，并说明理由； （2）令2ω=，1()21222h x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，函数2)1y x x θ=-+在区间[,]A A -上单调递增函数，求θ的取值范围；（3）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图像，对任意a ∈R ，求()y g x =在区间],10[a a π+上零点个数的所有可能值. 【答案】（1）非奇非偶函数，理由见解析；（2）arctan ,282k k πθππ⎡⎫∈++⎪⎢⎪⎣⎭；（3）见解析 【解析】【分析】（1）特值法：ω＝1时，写出f （x ）、F （x ），求出F （4π）、F （4π-），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断； （2）当2ω=时，利用诱导公式、两角和的正弦公式展开及辅助角公式求得h （x ），进而求得h （x ）的最大值A ，由题意可知：对称轴2θ≥，解得tan θ，即可求得θ的取值范围． （3）根据图象平移变换求出g （x ），令g （x ）＝0可得g （x ）可能的零点，而[a ，a +10π]恰含10个周期，分a 是零点，a 不是零点两种情况讨论，结合图象可得g （x ）在[a ，a +10π]上零点个数的所有可能值；【详解】（1）当1ω=时，f （x ）＝2sinx ，∴F （x ）＝f （x ）+f （x 2π+）＝2sinx +2sin （x 2π+）＝2（sinx +cosx ），F （4π）＝F （4π-）＝0，F （4π-）≠F （4π），F （4π-）≠﹣F （4π）， 所以，F （x ）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）当2ω=时，1()21222h x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 22sin 221222x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ sin 2sin 26x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2cos 2sin 1212x ππ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵cos 2[1,1]12x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭∴max ()2h x -=由题意，2)1y x x θ=-+在区间22⎡-⎢⎣⎦上单调递减∴抛物线对称轴2x θ=≥，即tan 28θ≥∴arctan ,282k k πθππ⎡⎫∈++⎪⎢⎪⎣⎭（3）f （x ）＝2sin 2x ，将y ＝f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位后得到y ＝2sin 2（x 6π+）+1的图象，所以g （x ）＝2sin 2（x 6π+）+1． 令g （x ）＝0，得x ＝kπ512π+或x ＝kπ34π+（k ∈z ）， 因为[a ，a +10π]恰含10个周期，所以，当a 是零点时，在[a ，a +10π]上零点个数21，当a 不是零点时，a +kπ（k ∈z ）也都不是零点，区间[a +kπ，a +（k +1）π]上恰有两个零点，故在[a ，a +10π]上有20个零点．综上，y ＝g （x ）在[a ，a +10π]上零点个数的所有可能值为21或20．【点睛】本题考查二次函数的性质，两角和的正弦公式，辅助角公式、诱导公式，，考查函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查分类讨论思想，属于中档题.21. 已知函数1()log 1amx f x x -=-是奇函数（其中1a >） （1）求实数m 的值；（2）已知关于x 的方程log ()(1)(7)a k f x x x =+-在区间[2,6]上有实数解，求实数k 的取值范围；（3）当(,x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数n 与a 的值.【答案】（1）1m =-；（2）49,455k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（3）1n =，3a =+【解析】【分析】（1）由f （x ）是奇函数，f （﹣x ）＝﹣f （x ），结合对数的真数大于0求出m 的值；（2）由题意问题转化为求函数2(1)(7)1x x y x +-=-在x ∈[2，6]上的值域，求导判断出单调性，进而求得值域，可得k 的范围．（3）先判定函数的单调性，进而由x (n a ∈-，时，f （x ）的值域为（1，+∞），根据函数的单调性得出n 与a 的方程，从而求出n 、a 的值．【详解】（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），∴log a11mx x +=---log a 11mx x -=-log a 11x mx --， ∴1111mx x x mx+-=---， 即1﹣m 2x 2＝1﹣x 2对一切x ∈D 都成立，∴m 2＝1，m ＝±1， 由于11mx x --＞0，∴m ＝﹣1； （2）由（1）得，1()log 1a xf x x +=-，∴1log log (1)(7)1a a kxx x x +=+-- 即21(1)(7)(1)(7)11k x x x k x x x x ++-=⇒=+---，令2(1)(7)1x x y x +-=-， 则22220(1)(1)210202(510)y x x x x x x '==<----+--+， ∴2(1)(7)1x x y x +-=-在区间[2,6]上单调递减，当6x =时，min 495y =；当2x =时，max 452y =；所以，49,455k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（3）由（1）得，1()log 1a xf x x +=-，且(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ∵12111xx x +=+--在(,1)x ∈-∞-与(1,)+∞上单调递减∵x ∈（n ，a ﹣），定义域D ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），①当n ≥1时，则1≤n ＜a ﹣，即a ＞∴f （x ）在（n ，a ﹣）上为减函数，值域为（1，+∞），∴f （a ﹣）＝1，=a ，∴a =3，或a =1（不合题意，舍去），且n ＝1；②当n ＜1时，则（n ，a ﹣）⊆（﹣∞，﹣1），∴n ＜a ﹣-1，即a＜1，且f（x）在（n，a﹣）上的值域是（1，+∞）；∴f（a﹣）＝1，=a，解得a=3（不合题意，舍去），或a=1；此时n＝﹣1（舍去）；综上，a=3，n＝1．【点睛】本题考查了函数的定义域、值域、方程的根，不等式以及单调性与奇偶性的综合运用，涉及利用导数进行函数单调性的判定及应用，属中档题．。

2019-2020学年上海市嘉定区高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年上海市嘉定区高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年上海市嘉定区高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知函数f(x)=asin x−btan x+4cosπ3，且f(−1)=1，则f(1)等于()A. 3B. −3C. 0D. 4√3−12.下列函数中，在其定义域内是减函数的是()A. f(x)=2xB. f(x)=lnxC. f(x)=1x D. f(x)=log13x3.函数f(x)=x2−4x，x∈[0,a]的值域是[−4,0]，则a的取值范围为()A. [−4,0]B. [−4,2]C. [−4,4]D. [2,4]4.在△ABC中，若sin2A+sin2C−sin2B=√3sinAsinC，则A+C=()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.f(x)=sin(ωx+π6)(0<ω<2)，若f(2π3)=1，则函数f(x)的最小正周期为______ ．6.已知A={x|−1≤x<2}，B={y|y=2x,x∈A}，则A∩B=________．7.不等式3x−42x+5>0的解集为______ ．8.若不等式|x−1|<a成立的一个充分条件为0<x<4，则实数a的取值范围为_______．9.若函数f(x)=2x+1x+a的反函数是其本身，则实数a=______．10.设α∈(0,π)，若cos(π−α)=13，则tan(α+π)=______ ．11.在△ABC中，B=30°，C=120°，则A=________，a︰b︰c=________．12.已知角α的顶点在原点，始边在x轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m,√3m)，则sin2α=________.13.已知函数f(x)是定义在R上偶函数，且在区间(−∞,0]上是单调递减，则不等式f(x2−3x)<f(4)的解集为______ ．14.函数f(x)=cos(12x+π6)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为______．15.函数的最大值为______，此时x=__________________．16.若关于x的不等式(2a−b)x+(a+b)>0的解集为{x|x>−3}，则ba=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知函数f(x)=12|x−a|(a∈R)(1)当a=3时，解不等式|x−12|+f(x)≥2(2)设不等式|x−12|+f(x)≤x的解集为M，若[12,1]⊆M，求实数a的取值范围．18. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且a 2=4√3S ．(1)若C =60°且b =1，求a 边的值；(2)当cb =2+√3时，求∠A 的大小．19. 已知一次函数f(x)满足：f(1)=2，f(2x)=2f(x)−1．(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)={−f 2(x)+4f(x)−3,(x ≤0)lnf(x),(x >0)，若|g(x)|−af(x)+a ≥0，求实数a 的取值范围．20. 将函数g(x)=2sin2x 的图像向左平移π6个单位长度，再向上平移√32个单位长度，得到f(x)的图像．(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在[π4,m]上的最大值为√32+1，求m 的取值范围．21.设关于x的方程x2−ax+2a−2=0在区间[0,3]内有根，求实数a的取值范围．2-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查函数奇偶性的应用，解题的关键是奇函数性质的灵活运用．设g(x)=aisnx−btanx，则g(x)为奇函数，根据g(−1)=−g(1)可得结果．【解答】解：由题意，f(x)=asinx−btanx+2，设g(x)=asinx−btanx，则g(x)为奇函数，由于f(−1)=1，则g(−1)+2=1，则g(−1)=−1，因为g(x)为奇函数，则g(1)=1，则f(1)=g(1)+2=1+2=3．故选A．2.答案：D解析：解：f(x)=2x在其定义域内是增函数，f(x)=lnx在其定义域内是增函数，f(x)=1在其定义域内不连续，无增减性，xx在其定义域内是减函数，f(x)=log13故选：D．结合指数函数，对数函数，反比例函数的图象和性质，分析函数的单调性，可得答案．本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，熟练掌握各种初等基本函数的图象和性质，是解答的关键．3.答案：D解析：解：∵函数f(x)=x2−4x的图象是开口方向朝上，以直线x=2为对称轴的抛物线；在区间[0,2]上是减函数，在[2,+∞)上是增函数，且f(0)=f(4)=0，f(x)min=f(2)=−4，若定义域为[0,a]，值域为[−4,0]，则2≤a≤4故答案为：[2,4]．由已知函数的解析式，我们可以判断出函数图象的形状，单调性及最值，根据函数f(x)=x2−4x，x∈[0,a]的值域是[−4,0]，易结合二次函数的图象和性质得到答案．本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知条件确定二次函数的图象和性质，是解答本题的关键．4.答案：D解析：【分析】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．已知等式利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cos B，把得出关系式代入求出cos B 的值，确定出B的度数，即可求出A+C的度数．【解答】解：由sin2A+sin2C−sin2B=√3sinAsinC，利用正弦定理化简得：a2+c2−b2=√3ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =√32，在△ABC中，B=30°，则A+C=150°，故选：D．5.答案：4π解析：解：由于f(x)=sin(ωx+π6)(0<ω<2)，f(2π3)=sin(2π3ω+π6)=1，∴2π3ω+π6=2kπ+π2k∈z，即ω=3k+12，∴ω=12，f(x)=sin(12x+π6)，故函数f(x)的最小正周期为2π12=4π，故答案为：4π．由条件求得ω=12，f(x)=sin(12x+π6)，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期为πω，得出结论．本题主要考查根据三角函数的值求角，函数y=Asin(ωx+φ)的周期性，利用了函数y=Asin(ωx+φ)的周期为πω，属于基础题．6.答案：[12,2)解析：【分析】本题考查集合交集的运算，属基础题．【解答】解：A ={x|−1≤x <2}，B ={y|12≤y <4}，A ∩B =[12,2)． 故答案为[12,2)．7.答案：{x|x >43或x <−52}解析：解：不等式3x−42x+5>0化为(3x −4)(2x +5)>0， 所以不等式的解集为{x|x >43或x <−52}； 故答案为：{x|x >43或x <−52}.将分式不等式化为整式不等式，解一元二次不等式即可．本题考查了分式不等式的解法，关键是转为整式不等式，然后解之． 8.答案：[3,+∞)解析： 【分析】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题． 先求出不等式|x −1|<a 的解集为集合B ，再根据条件可知{x|0<x <4}⫋B ，建立关于a 的不等式组，解之从而确定a 的取值范围． 【解答】解：|x −1|<a ⇒1−a <x <a +1，由题意可知 0<x <4是1−a <x <a +1成立的充分不必要条件， ∴{1−a ≤01+a ≥4，且等号不能同时成立，解得a ≥3，∴实数a 的取值范围是[3,+∞)． 故答案为[3,+∞)．9.答案：−2解析：解：由y =2x+1x+a得x =1−ayy−2，所以f(x)的反函数为f −1(x)=1−ax x−a，依题意可得a =−2．故答案为：−2．求出反函数与原函数比较可知a =−2． 本题考查了反函数，属基础题．10.答案：−2√2解析：解：∵α∈(0,π)，若cos(π−α)=−cosα=13，∴cosα=−13，∴sinα=√1−cos 2α=2√23， 则tan(α+π)=tanα=sinαcosα=−2√2，故答案为：−2√2．利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得tan(α+π)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题． 11.答案：30° ; 1:1:√3解析： 【分析】本题考查了正弦定理，属于基础题.由正弦定理得asinA =bsinB =csinC ，即a:b:c =sinA:sinB:sinC ． 解析：解：∵B =30°，C =120°， ∴A =180°−30°−120°=30°， 在△ABC 中，由正弦定理得：asinA =bsinB =csinC ，∴a:b:c =sinA:sinB:sinC =12：12：√32=1:1:√3，故答案为30° ;1:1:√3．12.答案：√32解析： 【分析】本题考查任意角的三角函数及二倍角公式，属简单题.先由题意求出m 2=14，根据任意角的三角函数定义求出sinα、cosα，再利用二倍角公式得解． 【解答】解：由题意得|OA |2=m 2+3m 2=1，故m 2=14.由任意角三角函数定义知cos α=m ，sin α=m ，由此sin2α=2sin αcos α=2m 2=．故答案为√32．13.答案：{x|−1<x <4}解析：解：∵f(x)是定义在R 上偶函数，且在区间(−∞,0]上是单调递减， ∴在区间(0,+∞)上为增函数，则不等式f(x 2−3x)<f(4)等价为f(|x 2−3x|)<f(4)， 即|x 2−3x|<4，即{x 2−3x <4x 2−3x >−4，即{x 2−3x −4<0x 2−3x +4>0，解得−1<x <4，故不等式的解集为{x|−1<x <4}， 故答案为：{x|−1<x <4}．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式进行转化是解决本题的关键．14.答案：π3解析：解：∵函数f(x)=cos(12x +π6)的图象向右平移φ个单位， 所得图象对应的函数解析式为：y =cos(12x −12φ+π6) 由于其图象关于y 轴对称， ∴−12φ+π6=kπ，k ∈z ，∴φ=π3−2kπ，k ∈z ，由φ>0，可得：当k =0时，φ的最小正值是π3． 故答案为：π3函数f(x)=cos(12x +π6)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y 轴对称，可得出函数的形式变为了y =cos(12x −12φ+π6)，k ∈z ，由余弦函数的对称性此得出φ的表达式判断出φ的最小正值得出答案． 本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换，解题的关键是熟练掌握、理解三角函数图象的变换规律，由这些规律得到关于φ的方程，再根据所得出的方程判断出φ的最小正值，本题考查图象变换，题型新颖，题后注意总结此类题的做题规律，在近几年的高考中，此类题出现频率较高，应多加重视．15.答案：解析：【分析】本题考查三角函数求最值，属于基础题．【解答】解：由于，得y max=5,此时，即故答案为．16.答案：54解析：解：关于x的不等式(2a−b)x+(a+b)>0的解集为{x|x>−3}，∴(2a−b)x>−(a+b)，∴{2a−b>0−a−b2a−b=−3∴a+b=3(2a−b)∴ba =54．故答案为：54．根据题意，得出关于a、b的关系式，即可求出ba的值．本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．17.答案：解：(1)当a=3时，原不等式可化为|x−3|+|2x−1|≥4，①当x≤12时，原式为3−x+1−2x≥4，解得x≤0，所以x≤0；②当12<x<3时，3−x+2x−1≥4，解得x≥2，所以2≤x<3；③当x≥3时，x−3+2x−1≥4，解得x≥83，所以x≥3．综上所述，当a=3时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥2}．(2)不等式|x−12|+12|x−a|≤x可化为|2x−1|+|x−a|≤2x，依题意不等式|2x−1|+|x−a|≤2x在x∈[12,1]上恒成立，所以2x−1+|x−a|≤2x，即|x−a|≤1，即a−1≤x≤a+1，所以{a−1≤12a+1≥1，解得0≤a≤32．解析：本题考查绝对值不等式的解集，不等式恒成立的应用，考查计算能力．(1)当a=3时，原不等式可化为|x−3|+|2x−1|≥4，通过①当时，②当时，③当x≥3时，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可．(2)不等式可化为|2x−1|+|x−a|≤2x，利用绝对值的几何意义转化求解即可．18.答案：解：(1)由a2=4√3S，得a2=4√3⋅12ab⋅sinC，∴a=2√3b⋅sinC，∵C=60°且b=1，∴a=2√3⋅√32=3；(2)当cb =2+√3时，bc=2+√3=2−√3，∵a2=4√3S=b2+c2−2bc⋅cosA，∴4√3⋅12bc⋅sinA=b2+c2−2bc⋅cosA，即2bc(√3sinA+cosA)=b2+c2，，得sin(A+30°)=1．∵A∈(0°,180°)，，则A+30°=90°，得A=60°．解析：(1)由已知可得a=2√3b⋅sinC，把C=60°且b=1代入即可求得a边的值；(2)由cb =2+√3求得bc，再由a2=4√3S结合正弦定理及余弦定理求得sin(A+30°)=1.再由A的范围求解．本题考查三角形的解法，考查数学转化思想方法，考查正弦定理及余弦定理的应用，是中档题．19.答案：解：(1)设f(x)=kx+b，则k+b=2，2kx+b=2kx+2b−1，解得k=b=1，故f(x)=x+1；(2)由(1)得：g(x)={−x 2+2x,x≤0ln(x+1),x>0，|g(x)|−af(x)+a≥0可化为|g(x)|≥ax，∵|g(x)|={x 2−2x,x≤0ln(x+1),x>0，∴由|g(x)|≥ax可分两种情况：①{x≤0x2−2x≥ax恒成立，若x=0，不等式显然成立；若x <0时，不等式等价于x −2≤a ．∵x −2<−2，∴a ≥−2；②{x >0ln(x +1)≥ax恒成立， 方法一[分离参数]：可化为a ≤ln(x+1)x 在(0,+∞)上恒成立． 令ℎ(x)=ln(x+1)x ，则ℎ′(x)=x−(x+1)ln(x+1)(x+1)x ， 令t(x)=x −(x +1)ln(x +1)，则由t′(x)=−ln(x +1)<0知t(x)在(0,+∞)上单调递减，故t(x)<t(0)=0，于是ℎ′(x)<0，从而ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，又当x >0时，恒有ℎ(x)=ln(x+1)x >0，于是a ≤0．方法二[分类讨论]：ln(x +1)≥ax 等价为ln(x +1)−ax ≥0，令φ(x)=ln(x +1)−ax ，则φ′(x)=1x+1−a =−ax−a+1x+1，当a ≤0时，φ(x)在(0,+∞)上单调递增，故有φ(x)>φ(0)=0成立；当0<a <1时，φ(x)在(0,1a −1)上单调递增，在(1a −1+∞)是递减．取x =1a 2−1，易知φ(1a 2−1)=−2lna +a −1a <0，故不合题意；当a ≥1时，φ(x)在(0,+∞)上单调递减，显然不合题意．所以a ≤0．综合①②得−2≤a ≤0．解析：(1)设f(x)=kx +b ，由条件可得k ，b 的方程，解方程可得f(x)的解析式；(2)求得g(x)的解析式，以及|g(x)|的解析式，由|g(x)|≥ax 可分两种情况讨论，运用参数分离和分类讨论，运用导数判断单调性，化简整理，即可得到所求范围．本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论和参数分离，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由题意得f(x)=2sin(2x +π3)+√32． 令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，k ∈Z.故f(x)的单调增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z.(2)由(1)知f(x)=2sin(2x +π3)+√32，因为x∈[π4,m]，所以2x+π3∈[5π6,2m+π3].因为f(x)在[π4,m]上的最大值为√32+1．所以sin(2x+π3)在[π4,m]上的最大值为12．所以5π6<2m+π3≤13π6，解得π4<m≤11π12．故m的取值范围为(π4,11π12].解析：【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，属于基础题．(1)首先得f(x)=2sin(2x+π3)+√32，根据解析式即可求得单调递增区间；(2)先确定2x+π3的范围，再根据f(x)的最大值为√32+1，即可求得m的范围．21.答案：解：由原方程得a=2−x22−x．令t=2−x∈[12,2]，则a=4−(t+2t)．令f(t)=t+2t ,t∈[12,2]设t1>t2，则f(t1)−f(t2)=t1+2t1−t2−2t2=(t1−t2)+2(t2−t1)t1t2=(t1−t2)(1−2t1t2)，当t∈[12,√2]时，函数f(t)为减函数，当t∈(√2,2]时，函数f(t)为增函数，所以，当t=√2时，a取得最大值，且a max=4−2√2；当t=12时，a取最小值，且a min=−12．所以实数a的取值范围为[−12,4−2√2]．解析：本题主要考查函数与方程的应用，难度中等，利用参数分离法转化为利用函数单调性求最值得问题，即可得到结论．。

2020届上海市嘉定区高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届上海市嘉定区高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届上海市嘉定区高三上学期期中数学试题一、单选题1．“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】解方程tan 1x =-，得出x 的值，然后根据集合的包含关系可判断出“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件关系.【详解】解方程tan 1x =-，得()4x k k Z ππ=-+∈，因此，“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件.故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题. 2．下列函数是在(0,1)为减函数的是（ ） A ．lg y x = B ．2x y =C ．cos y x =D ．121=-y x 【答案】C【解析】根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项． 【详解】对数函数，底数大于1时，在0x >上增函数，不满足题意； 指数函数，底数大于1时，在0x >上增函数，不满足题意； 余弦函数，从最高点往下走，即[0,]x π∈上为减函数；反比例型函数，在1(,)2-∞与1(,)2+∞上分别为减函数，不满足题意； 故选：C. 【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图象性3．已知函数()24f x x x =-+，[],5x m ∈的值域是[]5,4-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．(]1,2- C ．[]1,2- D ．[)2,5【答案】C【解析】先确定二次函数对称轴为2x =，代入()f x 得()2=4f ，再结合定义域和函数图像的对称性可求得m 的取值范围 【详解】如图，二次函数对称轴为2x =，代入()f x 得()2=4f ，当5x =时，()55f =-，由二次函数的对称性可知，()15f -=-，[],5x m ∈的值域是[]5,4-，所以[]1,2m Î- 故选：C 【点睛】本题考查由二次函数值域求解定义域中参数范围，二次函数对称性问题，是基础题型，常规求解思路为：先确定对称轴，再由值域和二次函数的对称性来确定自变量对应区间 4．在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则角A 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA ，将得出的不等式变形后代入表示出的cosA 中，得出cosA 的范围，由A 为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A 的取值范围．利用正弦定理化简sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sinBsinC 得：a 2≤b 2+c 2﹣bc ， 变形得：b 2+c 2﹣a 2≥bc ，∴cosA 2221222b c a bc bc bc +-=≥=，又∵A 为三角形的内角， ∴A 的取值范围是（0，3π]． 故选：A ． 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基础题．二、填空题5．函数cos 2y x =的最小正周期为__ __． 【答案】π【解析】试题分析：根据三角函数周期公式222T πππω=== 【考点】正余弦函数的周期公式6．设U =R ，{|0}A x x =>，{}|22xB x =<，则A B =________.【答案】(0,1)【解析】先根据指数函数的性质求出集合B ，再进行集合运算即可． 【详解】由()2x f x =在R 上为增函数，所以122221x x x <⇒<⇒<， ∴{}|22xB x =<＝{x |x <1}， ∴AB =(0,1)，故答案为：(0,1)． 【点睛】本题考查集合的交集的运算，考查指数函数性质的应用，是一道基础题． 7．不等式71021x -≤-的解集是________. 1【解析】原不等式即为280210x x -≥⎧⎨-⎩＜或280210x x -≤⎧⎨-⎩＞，分别解出，再求交集即可．【详解】不等式1721x -≤-0 即为2821x x -≤-0， 即为280210x x -≥⎧⎨-⎩＜或280210x x -≤⎧⎨-⎩＞，即有x ∈∅或12＜x ≤4，则解集为1|42x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭．故答案为：1|42x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．8．命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞,－4) 【解析】【详解】对于命题A ：∵|x －1|＜3，∴-2<x<4,要使A 是B 的充分而不必要条件,则a<2,-a>4,即实数a 的取值范围是(－∞,－4)9．己知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f-=.则实数a =________.【答案】1【解析】由y ＝f ﹣1（x ）是函数y ＝x 3+a 的反函数且f ﹣1（2）＝1知2＝13+a ，从而解得．【详解】 ∵f ﹣1（2）＝1， ∴2＝13+a ， 解得，a ＝1 故答案为：1． 【点睛】10．已知1cos 4α=，且3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【答案】4【解析】利用同角三角函数的基本关系式及角所在的象限求出正弦函数值，求解即可． 【详解】∵3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭第四象限角，1cos 4α=，∴sin α=cos sin 24παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭=故答案为：4. 【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．11．在ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若75,60,3A B b =︒=︒=则c =___________【解析】,；由正弦定理，得，解得.【考点】正弦定理.12．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则＝ ．（用数值表示）【答案】【解析】试题分析：由已知得，从而由三角函数的定义可知，故答案为：．【考点】1．三角函数的定义；2．二倍角公式．13．定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0+∞，为单调递增，则不等式()()213f x f -＜的解集是_________. 【答案】{}|12x x -<<【解析】由偶函数的性质()()()x f x f f x -==，再结合函数的单调性可得213x -<，再解绝对值不等式即可得解.【详解】解：因为函数()y f x =为定义在R 上的偶函数，则由()()213f x f -＜可得(21)(3)f x f -<，又函数()y f x =在[)0+∞，为单调递增，则213x -<，解得12x -<<，故不等式的解集是：{}|12x x -<<. 【点睛】本题考查了偶函数的性质及利用函数的单调性求参数的范围，重点考查了函数思想，属基础题.14．若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________. 【答案】83π【解析】试题分析：由题意())4f x x π=+，将其图象向右平移ϕ个单位，得)]2]44x x ππϕϕ-+=-+，要使图象关于y 轴对称，则242k ππϕπ-=+，解得82k ππϕ=--，当1k =-时，ϕ取最小正值83π.【考点】1.三角函数的平移；2.三角函数恒等变换与图象性质. 15．函数1()2sin 2tan cot f x x x x =+++，0,x π⎛⎫∈ ⎪的最小值为________.【答案】5【解析】用三角函数的恒等变换化简f （x ），结合基本不等式求出f （x ）的最值即可. 【详解】1()2sin 2tan cot sin 2f x x x x x=+++34sin cos 2sin cos x x x x =+≥sin cos 4x x =时取等，但2212sin cos sin cos 1,sin cos 24x x x x x x ≤+=≤<，所以，当1sin cos 2x x =时，有最小值为5， 故答案为：5. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是综合性题目．16．若关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好是[],a b ，则a b += ．【答案】5【解析】试题分析： 设()23344f x x x =-+ ，对称轴为2x =，此时()min 1f x =，有题意可得;1a ≤,且()(),f a f b b a b ==<，由()23344f b b b b b =⇒-+=，解得：43b =（舍去）或4b =，可得4b =，由抛物线的对称轴为2x =得到1a = ，所以5a b +=212,2c c ≥⇒≥【考点】二次函数的性质三、解答题17．已知2()4f x x x =+.（1）解关于x 的不等式：|()|12f x ≥.（2）已知{}2|20A x x ax a =++=，{|()0}B x f x ==，A B ⊆，求实数a 的取值范围.【解析】（1）先将绝对值去掉，转化为两个一元二次不等式，解出后取并集即可. （2）先化简集合B ，由A B ⊆分A =∅、{0}A =、{4}A =-、{0,4}A =-四种情况分别求解a 即可. 【详解】（1）∵|()|12f x ≥即2412x x +≥，∴2412x x +≥，或2412x x +≤- 由2412x x +≥，即24120x x +-≥，得(,6][2,)x ∈-∞-⋃+∞由2412x x +≤-，即24120x x ++≤ ∵16480∆=-<，∴x ∈R ； 综上，(,6][2,)x ∈-∞-⋃+∞. （2）∵A B ⊆，∴A 是B 的子集；由240x x +=，解得0x =，或4x =-；∴{4,0}B =- （i ）当A =∅时，280a a ∆=-<，解得(0,8)a ∈ （ii ）{0}A =时，可知，20020a a +⋅+=，得：0a = 检验：0a =，20x =，可得0x =，满足题意；（iii ）{4}A =-时，可知，2(4)(4)20a a -+⋅-+=，解得：8a =检验：8a =，28160x x ++=，解得，4x =-，符合题意； （iv ）{0,4}A =-时，由韦达定理可知，4a =且20a =，无解； 综上，[0,8]a ∈ 【点睛】本题考查了集合的基本关系，二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题. 18．设ABC △的三个内角A ，B ，C 的对均分别为a ，b ，c .sin bB = （1）求角A 的大小； （2）若222sin2sin 1B C+=，试判断ABC △的形状，并说明理由.【答案】（1）A 3π=；（2）ABC 为等边三角形，理由见解析【解析】（1）利用正弦定理，可得tanA =A 的大小； （2）利用二倍角公式，结合辅助角公式，可得三角形的形状． 【详解】（1）由正弦定理进行边角互化：sin tan sin sin b B A B B =⇒=⇒=(0,)A π∈∴3A π=（2）∵2222122B Csinsin +=， ∴1﹣cosB +1﹣cosC ＝1， ∴cosB +cosC ＝1，∴cosB +cos （120°﹣B ）＝1， ∴cosB 12-cosB +sinB ＝1， ∴12cosB +sinB ＝1， ∴sin （B +30°）＝1， ∴B ＝60°， ∴C ＝60°，∴△ABC 是等边三角形． 【点睛】本题考查正弦定理的运用，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，正确运用二倍角公式是关键．19．已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()R x 万元，且24006,(040)()740040000(40)x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩. (Ⅰ)写出年利润W (万元）关于年产量x (万只）的函数的解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】(Ⅰ) 2638440(040)40000167360(40)x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩；（Ⅱ）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式； （2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．试题解析：（1）当040x <≤时，()()21640638440W xR x x x x =-+=-+-，当40x >时，()()400001640168360W xR x x x x=-+=--+， 所以2638440,04040000168360,40x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩. （2）①当040x <≤时，()26326104W x =--+，所以()max 326104W W ==；②当40x >时，40000168360W x x=--+，由于40000161600x x +≥=， 当且仅当4000016x x=，即()5040,x =∈+∞时，取等号， 所以W 的最大值为6760，综合①②可知，当50x =时，W 取得最大值为6760. 20．已知函数()2sin()f x x ω=，其中0>ω. （1）令1ω=，判断函数()()2F x f x f x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的奇偶性，并说明理由； （2）令2ω=，1()21222h x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A，函数2)1y x x θ=-+在区间[,]A A -上单调递增函数，求θ的取值范围；（3）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图像，对任意a ∈R ，求()y g x =在区间],10[a a π+上零点个数的所有可能值.【答案】（1）非奇非偶函数，理由见解析；（2）arctan ,282k k πθππ⎡⎫∈++⎪⎢⎪⎣⎭；【解析】（1）特值法：ω＝1时，写出f （x ）、F （x ），求出F （4π）、F （4π-），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断； （2）当2ω=时，利用诱导公式、两角和的正弦公式展开及辅助角公式求得h （x ），进而求得h （x ）的最大值A ，由题意可知：对称轴θ≥，解得tan θ，即可求得θ的取值范围．（3）根据图象平移变换求出g （x ），令g （x ）＝0可得g （x ）可能的零点，而[a ，a +10π]恰含10个周期，分a 是零点，a 不是零点两种情况讨论，结合图象可得g （x ）在[a ，a +10π]上零点个数的所有可能值；【详解】（1）当1ω=时，f （x ）＝2sinx ，∴F （x ）＝f （x ）+f （x 2π+）＝2sinx +2sin （x 2π+）＝2（sinx +cosx ），F （4π）＝，F （4π-）＝0，F （4π-）≠F （4π），F （4π-）≠﹣F （4π）， 所以，F （x ）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）当2ω=时，1()21222h x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 22sin 221222x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ sin 2sin 26x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2cos 2sin 1212x ππ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭cos 2212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵cos 2[1,1]12x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭∴max ()2h x -=由题意，2)1y x x θ=-+在区间⎡⎢⎣⎦上单调递减∴抛物线对称轴x θ=≥tan 28θ-≥∴arctan ,282k k πθππ⎡⎫∈++⎪⎢⎪⎣⎭（3）f （x ）＝2sin 2x ，将y ＝f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位后得到y ＝2sin 2（x 6π+）+1的图象，所以g （x ）＝2sin 2（x 6π+）+1． 令g （x ）＝0，得x ＝kπ512π+或x ＝kπ34π+（k ∈z ）， 因为[a ，a +10π]恰含10个周期，所以，当a 是零点时，在[a ，a +10π]上零点个数21， 当a 不是零点时，a +kπ（k ∈z ）也都不是零点，区间[a +kπ，a +（k +1）π]上恰有两个零点，故在[a ，a +10π]上有20个零点．综上，y ＝g （x ）在[a ，a +10π]上零点个数的所有可能值为21或20．【点睛】本题考查二次函数的性质，两角和的正弦公式，辅助角公式、诱导公式，，考查函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查分类讨论思想，属于中档题.21．已知函数1()log 1amx f x x -=-是奇函数（其中1a >） （1）求实数m 的值；（2）已知关于x 的方程log ()(1)(7)ak f x x x =+-在区间[2,6]上有实数解，求实数k 的取值范围；（3）当(,x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数n 与a 的值.【答案】（1）1m =-；（2）49,455k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（3）1n =，3a =+【解析】（1）由f （x ）是奇函数，f （﹣x ）＝﹣f （x ），结合对数的真数大于0求出m 的值；（2）由题意问题转化为求函数2(1)(7)1x x y x +-=-在x ∈[2，6]上的值域，求导判断出单调性，进而求得值域，可得k 的范围．（3）先判定函数的单调性，进而由x (n a ∈-，时，f （x ）的值域为（1，+∞），根据函数的单调性得出n 与a 的方程，从而求出n 、a 的值．【详解】（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），∴log a11mx x +=---log a 11mx x -=-log a 11x mx --， ∴1111mx x x mx+-=---， 即1﹣m 2x 2＝1﹣x 2对一切x ∈D 都成立，∴m 2＝1，m ＝±1， 由于11mx x --＞0，∴m ＝﹣1； （2）由（1）得，1()log 1a x f x x +=-，∴1log log (1)(7)1a a k x x x x +=+-- 即21(1)(7)(1)(7)11k x x x k x x x x ++-=⇒=+---，令2(1)(7)1x x y x +-=-， 则22220(1)(1)210202(510)y x x x x x x '==<----+--+， ∴2(1)(7)1x x y x +-=-在区间[2,6]上单调递减，当6x =时，min 495y =；当2x =时，max 452y =；所以，49,455k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （3）由（1）得，1()log 1ax f x x +=-，且(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ∵12111x x x +=+--在(,1)x ∈-∞-与(1,)+∞上单调递减∵x ∈（n ，a ﹣），定义域D ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），①当n ≥1时，则1≤n ＜a ﹣，即a ＞，∴f （x ）在（n ，a ﹣）上为减函数，值域为（1，+∞），∴f （a ﹣）＝1，=a ，∴a =3，或a =1（不合题意，舍去），且n ＝1；②当n ＜1时，则（n ，a ﹣⊆（﹣∞，﹣1），∴n ＜a ﹣-1，即a＜1，且f（x）在（n，a﹣）上的值域是（1，+∞）；∴f（a﹣）＝1，=a，解得a=3（不合题意，舍去），或a=1；此时n＝﹣1（舍去）；综上，a=3，n＝1．【点睛】本题考查了函数的定义域、值域、方程的根，不等式以及单调性与奇偶性的综合运用，涉及利用导数进行函数单调性的判定及应用，属中档题．。

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

高三期中数学卷一.填空题1.已知角α的终边经过点(,6)P x -，且3tan 4α=-，则x 的值为_________【答案】8【解析】【分析】直接利用三角函数定义得到答案.【详解】角α的终边经过点(,6)P x -，63tan 84x x α-==-∴=故答案为：8【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于简单题.2.函数y x=的定义域为_________【答案】[2,0)(0,2]- 【解析】【分析】定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩，计算得答案.【详解】函数4x y x =的定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩解得22x -≤≤且0x ≠故答案为：[2,0)(0,2]- 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.3.已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数1()f x -过点(2,4)，则()f x 的解析式是_________【答案】()f x =【解析】【分析】根据反函数性质得到函数()f x 过点(4,2)，代入幂函数得到答案.【详解】反函数1()f x -过点(2,4)，则函数()f x 过点(4,2)设幂函数()a f x x =代入点(4,2)得到12a =，解析式为()f x =故答案为：()f x =【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握.4.(1n -展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为_________【答案】56-【解析】【分析】通过二项式系数和计算得到8n =，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】(1n 展开式的二项式系数之和为25682n n =∴=3188((1)r r rr rr T C C x+==-，当3r =时，3348(1)56T C x x=-=-故答案为：56-【点睛】本题考查了二项式定理，混淆二项式系数和系数是容易发生的错误.5.已知cos()63πα-=，则5cos()6πα+=_________【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=，所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。

2020-2021学年上海市嘉定一中高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年上海市嘉定一中高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年上海市嘉定一中高三（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A＝{x|0＜x≤2}，集合B＝{x|﹣4≤x＜2}，则A∩B＝．2．（4分）已知函数的最小正周期是，则正数k的值为．3．（4分）已知幂函数y＝（a2﹣a+1）x a+2为奇函数，则实数a的值为．4．（4分）在△ABC中，tan A，tan B是方程2x2+3x﹣7＝0的两根，则tan C＝．5．（4分）已知等差数列{a n}的各项均为正整数，且a9＝2020，则a1的最小值是．6．（4分）函数的零点为．7．（5分）已知点P（t≠0）是角α其终边上一点，若，则sinα＝．8．（5分）在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了x1，x2，x3，x4四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分3＜x4＜x2＜x1，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为．（填入x1，x2，x3，x4中的一个）9．（5分）已知函数f（x）＝x3+x，关于x的不等式f（mx2+2）+f（﹣x）＜0在区间[1，5]上有解．10．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝an2+n，若满足a1＜a2＜a3，且当n≥8时，始终满足a n≥a n+1，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知直线f（x）＝kx+b与曲线交于A（x1，﹣3），B（x2，4）两点，则不等式f﹣1（x）≤g﹣1（x）的解集为．12．（5分）定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，；②对任意x∈[0，+∞）都有f（2x）（x）．设关于x的函数F（x）＝f（x）1，x2，x3，…x n，…，若，则x1+x2+…+x2n＝．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）定义在R上的函数y＝f（x），“y＝f（x）是奇函数”是“y＝|f（x）（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）设函数的图象C，下面结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）在区间上是减函数C．函数图象关于对称D．函数图象可由g（x）＝sin2x右移个单位得到15．（5分）已知，S n是数列{a n}的前n项和（）A．存在，不存在B．不存在，存在C．和都存在D．和都不存在16．（5分）如果函数f（x）＝|lg|2x﹣1||在定义域的某个子区间（k﹣1，k+1）上不存在反函数（）A．B．C．[﹣1，2）D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形（1）求异面直线PC与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：EF⊥平面PBC．18．（14分）已知函数，，．（1）当时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝4，求△ABC 的面积．19．（14分）某饮料生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2020年进行一系列促销活动．经市场调查和测算，饮料的年销售量x（万件）（万元）之间满足．已知2020年生产饮料的设备折旧，每生产1万件饮料需要再投入32万元的生产费用，若将每件饮料的售价定为每件饮料生产成本（成本包括：设备折旧、维修费每固定费用和投入生产所需费用），则该年生产的饮料正好能销售完．（1）将2020年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；（2）该企业2020年的促销费投入为多少万元时，企业的年利润最大？20．（16分）给出定理：在圆锥曲线中，AB是抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的一条弦，C是AB的中点，若A、B两点纵坐标之差的绝对值|y A﹣y B|＝a（a＞0），则△ADB的面积S△ADB＝，试运用上述定理求解以下各题：（1）若p＝2，AB所在直线的方程为y＝2x﹣4，C是AB的中点，求S△ADB；（2）已知AB是抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的一条弦，C是AB的中点，E、F分别为AD 和BD的中点，过E、F且平行于x轴的直线与抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）分别交于点M、N，若A、B两点纵坐标之差的绝对值|y A﹣y B|＝a（a＞0），求S△AMD和S△BND；（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：y2＝2px（p＞0）与弦AB围成的“弓形”的面积，并求出相应面积．21．（18分）定义函数f（x）＝（9•|x+2|﹣11•|x+3|+15）．数列a1，a2，a3，…满足a n+1＝f（a n），n∈N*．（1）若a1＝﹣30，求a2及a3；（2）若a1＜0且数列{a n}为周期数列，且最小正周期T＝2，求a1的值；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等比数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．2020-2021学年上海市嘉定一中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A＝{x|0＜x≤2}，集合B＝{x|﹣4≤x＜2}，则A∩B＝{x|0＜x＜2}．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|﹣6≤x＜2}，∴A∩B＝{x|0＜x≤7}∩{x|﹣4≤x＜2}＝{x|8＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜5}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．（4分）已知函数的最小正周期是，则正数k的值为6．【分析】由题意利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：∵函数的最小正周期是＝，故答案为：6．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．3．（4分）已知幂函数y＝（a2﹣a+1）x a+2为奇函数，则实数a的值为1．【分析】根据幂函数的定义求出a的值，根据函数的奇偶性确定a的值即可．【解答】解：由题意得：a2﹣a+1＝5，解得：a＝0或a＝1，故a＝7时，y＝x2，是偶函数，不合题意，a＝1时，y＝x2，是奇函数，符合题意，故答案为：1．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．4．（4分）在△ABC中，tan A，tan B是方程2x2+3x﹣7＝0的两根，则tan C＝．【分析】先根据题意求出tan A+tan B，tan A tan B的值，然后结合内角和定理，利用tan C＝﹣tan（A+B），以及两角和的正切公式求解．【解答】解：因为tan A，tan B是方程2x2+5x﹣7＝0的两根，所以tan A+tan B＝，tan A tan B＝．∴tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三角形的内角和定理，以及两角和的正切公式，属于基础题．5．（4分）已知等差数列{a n}的各项均为正整数，且a9＝2020，则a1的最小值是4．【分析】根据等差数列的通项公式表示出a1＝2020﹣8d，则当d取最大值时，即可得到a1的最小值．【解答】解：设公差为d，则d为整数（d＞0），由a9＝a8+8d＝2020，得a1＝2020﹣4d，∵2020＝8×252+4，∴当d＝252时，a5＝4最小，故答案为：4．【点评】本题主要考查等差数列通项公式的应用，比较基础．6．（4分）函数的零点为．【分析】利用函数零点的定义将问题转化为求解方程的根，然后利用换元法t＝4x，则t＞0，求解方程12﹣t（t﹣1）﹣10（t﹣1）＝0的根即可．【解答】解：函数的零点即为方程，方程可变形为12﹣8x（4x﹣1）﹣10（3x﹣1）＝0，令t＝7x，则t＞0，所以12﹣t（t﹣1）﹣10（t﹣4）＝0，即t2+2t﹣22＝0，解得t＝2或t＝﹣11（舍），故3x＝2，解得，所以函数的零点为．故答案为：．【点评】本题考查了函数零点的求解，解题的关键是掌握函数零点的定义，考查了转化化归能力与化简运算能力，属于基础题．7．（5分）已知点P（t≠0）是角α其终边上一点，若，则sinα＝．【分析】由任意角的三角函数的定义可求t2+3的值，即可求解sinα的值．【解答】解：由题意|OP|＝，由cosα＝＝，解得t＝±，所以sinα＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查三角函数的化简求值，属于基础题．8．（5分）在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了x1，x2，x3，x4四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分3＜x4＜x2＜x1，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为x3．（填入x1，x2，x3，x4中的一个）【分析】从分式的性质中，寻找S值的变化规律．【解答】解：∵，∴要使S增加，则应该增加分子x1或x8，减小分母x2或x4，又4＜x3＜x4＜x4＜x1，且在分子都增加1的前提下，分母越小时，∴要使S的值增加最多，则应该增加x7．故答案为：x3．【点评】本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）＝x3+x，关于x的不等式f（mx2+2）+f（﹣x）＜0在区间[1，5]上有解（﹣∞，）．【分析】判断f（x）的单调性和奇偶性，从而得出mx2+2＜x在[1，5]上有解，再分离参数得m＜，求出g（x）＝最大值即可得出m的范围．【解答】解：f（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，又f′（x）＝3x8+1＞0，∴f（x）在R上是增函数，∵f（mx3+2）+f（﹣x）＜0在[8，5]上有解，∴f（mx2+5）＜﹣f（﹣x）＝f（x）在[1，5]上有解∴mx6+2＜x在[1，5]上有解，即m＜在[6．令g（x）＝，x∈[8，则只需m＜g max（x）即可．∵g′（x）＝，∴当7≤x＜4时，g′（x）＞0，g′（x）＜5，∴g max（x）＝g（4）＝．∴m＜．故答案为（﹣∞，）．【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性的应用，存在性问题与函数最值的计算，属于中档题．10．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝an2+n，若满足a1＜a2＜a3，且当n≥8时，始终满足a n≥a n+1，则实数a的取值范围是﹣＜a≤﹣．【分析】求出二次函数对称轴，开口向下，再由题意得出对称轴的范围，解出即可．【解答】解：∵a n＝an2+n的对称轴为x＝﹣，开口向下，又∵当n≥8时，a n≥a n+1，a4＜a2＜a3，∴＜﹣≤＜a≤﹣，故答案为：﹣＜a≤﹣．【点评】本题考查了不等式的性质与解法、函数的单调性、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知直线f（x）＝kx+b与曲线交于A（x1，﹣3），B（x2，4）两点，则不等式f﹣1（x）≤g﹣1（x）的解集为（﹣∞，﹣3]∪（0，4]．【分析】分别求出两个函数的反函数，画出图象，数形结合即可求得不等式f﹣1（x）≤g ﹣1（x）的解集．【解答】解：由y＝f（x）＝kx+b，得x＝﹣1（x）＝，由y＝g（x）＝，得x＝，∴，由反函数图象的对称性，可得y＝f﹣8（x）与y＝g﹣1（x）的交点坐标为（﹣3，x8），（4，x2），如图，由图可知，不等式f﹣7（x）≤g﹣1（x）的解集为（﹣∞，﹣3]∪（7．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪（0．【点评】本题考查反函数的性质，考查数形结合思想，是中档题．12．（5分）定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，；②对任意x∈[0，+∞）都有f（2x）（x）．设关于x的函数F（x）＝f（x）1，x2，x3，…x n，…，若，则x1+x2+…+x2n＝6×（2n﹣1）．【分析】①当x∈[1，2）时，；②对任意x∈[0，+∞）都有f（2x）＝2f（x）．x∈[2，4）时，∈[1，2）．可得f（x）＝2f（）＝sin，……，画出图象，设关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x n，…，同理，则，F（x）＝f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有1个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2＝2×3＝6，依此类推：x3+x4＝2×6＝12，x5+x6＝2×12＝24…，x2n﹣1+x2n＝2×3×2n﹣1．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：①当x∈[1，2）时，；②对任意x∈[0，+∞）都有f（2x）＝7f（x），4）时，，2）．∴f（x）＝2f（）＝sin，……，画出图象，设关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a的零点从小到大依次为x5，x2，x3，…x n，…，同理，则，F（x）＝f（x）﹣a在区间（7，4）上各有1个零点，分别为x8，x2，且满足x1+x7＝2×3＝3，依此类推：x3+x4＝4×6＝12，x5+x6＝2×12＝24…，x2n﹣5+x2n＝2×6×2n﹣1．∴当，时，x5+x2+…+x2n﹣5+x2n＝6×（8+2+26+…+2n﹣1）＝3×＝6×（3n﹣1），故答案为：6×（8n﹣1）．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、等比数列的通项公式与求和公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）定义在R上的函数y＝f（x），“y＝f（x）是奇函数”是“y＝|f（x）（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据函数奇偶性的图象特点以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若y＝f（x）是奇函数，则设g（x）＝|f（x）|，则g（﹣x）＝|f（﹣x）|＝|﹣f（x）|＝|f（x）|＝g（x），则g（x）是偶函数，则y＝|f（x）|的图象关于y轴对称，若f（x）＝x2，满足y＝|f（x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，故“y＝f（x）是奇函数”是“y＝|f（x）|的图象关于y轴对称”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，根据奇函数的图象特点是解决本题的关键，属于基础题．14．（5分）设函数的图象C，下面结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）在区间上是减函数C．函数图象关于对称D．函数图象可由g（x）＝sin2x右移个单位得到【分析】直接利用正弦型函数的性质，函数的周期，单调性和函数的图象的平移变换的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数，对于A：函数f（x）的最小正周期为T＝，故A错误；对于B：由于，所以是增函数；对于C：当x＝时，f（）＝0；对于D：函数g（x）＝sin2x的图象向右平移个单位）的图象．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，函数的周期，单调性和函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15．（5分）已知，S n是数列{a n}的前n项和（）A．存在，不存在B．不存在，存在C．和都存在D．和都不存在【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可．【解答】解：，所以＝，当n＝2019时，S2019是定值，n≥2020时，公比为﹣，所以S n＝S2019+＝常数．所以和都存在．故选：C．【点评】本题考查数列的极限的求法与性质的应用，是基础题．16．（5分）如果函数f（x）＝|lg|2x﹣1||在定义域的某个子区间（k﹣1，k+1）上不存在反函数（）A．B．C．[﹣1，2）D．【分析】函数f（x）＝|lg|2x﹣1||在定义域的某个子区间（k﹣1，k+1）上不存在反函数，就是函数在某一个区间长度为2的区间上，不是单调函数，考虑函数表达式求出定义域，使得0＜k+1＜和＜k﹣1＜1，推出结论．【解答】解：只要找到在某一个区间长度为2，且满足不单调的区间，也就是说这个子区间的右端点在0到到7，∴0＜k+1≤和≤k﹣1＜1 即﹣5＜k≤﹣≤k＜2故选：D．【点评】本题主要考查反函数的知识点，根据互为反函数的知识点，原函数的值域是反函数的定义域，原函数的值域是反函数的值域，反函数考点是高考的常考点，希望同学们熟练掌握．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形（1）求异面直线PC与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：EF⊥平面PBC．【分析】（1）以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与AB所成角的大小．（2）求出，，，利用向量法能证明EF ⊥平面PBC．【解答】解：（1）以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，则P（0，0，8），0，0），5，0），2，6），2，0）所以，，，设，的夹角为α，则，所以，的夹角为，即异面直线PC与AB所成角的大小为．证明：（2）因为点E、F分别是棱AD和PC的中点，可得E（0，1，8），1，1），又，，计算可得，，所以，EF⊥PC，又PC∩BC＝C，所以EF⊥平面PBC．【点评】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数，，．（1）当时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝4，求△ABC 的面积．【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的坐标运算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）＝sin（2x+）+，结合范围2x+∈[，]，利用正弦函数的性质即可得解值域．（2）由已知可求sin（A+）＝，结合范围A+∈（，），可得A＝，由余弦定理解得：bc＝3，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵函数，，．∴f（x）＝cos2x+sin x cos x＝sin（7x+）+，∵x∈[0，]，3x+，]，∴sin（2x+）∈[﹣，可得：f（x）＝sin（4x+）+，1+]．（2）∵f（）＝sin（A+＝，可得：sin（A+，∵A∈（3，π）∈（，）＝，解得：A＝．∵a＝3，b+c＝5，∴由余弦定理a2＝b6+c2﹣2bc cos A，可得：16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣5bc＝25﹣3bc，解得：bc＝3，∴S△ABC＝bc sin A＝＝．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）某饮料生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2020年进行一系列促销活动．经市场调查和测算，饮料的年销售量x（万件）（万元）之间满足．已知2020年生产饮料的设备折旧，每生产1万件饮料需要再投入32万元的生产费用，若将每件饮料的售价定为每件饮料生产成本（成本包括：设备折旧、维修费每固定费用和投入生产所需费用），则该年生产的饮料正好能销售完．（1）将2020年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；（2）该企业2020年的促销费投入为多少万元时，企业的年利润最大？【分析】（1）根据题意先求出年生产成本，再求出每件饮料的售价，再结合x与t的关系式得到2020年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数．（2）由（1）可知y＝，整理变形，再利用基本不等式即可求出y的最大值，以及此时t的值．【解答】解：（1）年生产成本＝固定费用+年生产费用＝32x+3，每件饮料的售价为（万元/万件），所以年利润为y＝（）x﹣（3+32x+t）（万元），把代入整理得：y＝．（2）y＝＝＝﹣，∵t≥5，∴t+1≥1，∴≥2，当且仅当t+1＝，等号成立，∴y＝42，即该企业2020年的促销费投入为5万元时，企业的年利润最大．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，是中档题．20．（16分）给出定理：在圆锥曲线中，AB是抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的一条弦，C是AB的中点，若A、B两点纵坐标之差的绝对值|y A﹣y B|＝a（a＞0），则△ADB的面积S△ADB＝，试运用上述定理求解以下各题：（1）若p＝2，AB所在直线的方程为y＝2x﹣4，C是AB的中点，求S△ADB；（2）已知AB是抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的一条弦，C是AB的中点，E、F分别为AD 和BD的中点，过E、F且平行于x轴的直线与抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）分别交于点M、N，若A、B两点纵坐标之差的绝对值|y A﹣y B|＝a（a＞0），求S△AMD和S△BND；（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：y2＝2px（p＞0）与弦AB围成的“弓形”的面积，并求出相应面积．【分析】（1）由题意，先计算出|y A﹣y B|＝6，然后直接根据S△ADB＝，得出答案．（2）线根据条件可知△AMD，△BND的面积计算符合定理的计算方法，故可直接利用定理中的计算方法求解S△AMD，S△BND的值．（3）对“弓形”进行无数次（2）的操作，每操作一次面积增加的量构成等比数列，因此可写成极限式，S＝[1+++…+（）n﹣1]，求此极限的结果即为“弓形”面积．【解答】解：（1）联立直线与抛物线的方程，解得|y A﹣y B|＝6，S△ADB＝．（2）设点D，M，N的纵坐标分别为y D，y M，y N，直线AD为抛物线Γ：y2＝2px（p＞5）的一条弦，M是AD的中点，D两点的纵坐标之差为定值A﹣y D|＝（a＞0），由已知可得S△AMD＝＝•，同理可得S△BND＝＝•，（3）将（2）的结果看作是一次操作，操作继续下去，并与弦端点连接，操作无限重复下去，第一次操作，增加的面积为S△AMD和S△BND＝2•＝•，第一次操作，增加了4个三角形2•＝•，第一次操作，增加了8个三角形2•＝•，可得到一个公比为的无穷等比数列，这些三角形逐渐填满抛物线与弦AB围城的“弓形”，因此“弓形面积”S＝[2++）n﹣5]＝．【点评】本题考查三角形的面积，极限思想，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21．（18分）定义函数f（x）＝（9•|x+2|﹣11•|x+3|+15）．数列a1，a2，a3，…满足a n+1＝f（a n），n∈N*．（1）若a1＝﹣30，求a2及a3；（2）若a1＜0且数列{a n}为周期数列，且最小正周期T＝2，求a1的值；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等比数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．【分析】（1）分别取n＝1，2，由a n+1＝f（a n），n∈N*，去掉绝对值符号即可得出．（2）由已知可得f（x）＝，分三种情况讨论即可求值．（3）假设存在a1，使得a1，a2，•，a n，•成等比数列，分类讨论当﹣3＜a1≤﹣2及当a i∈（﹣3，﹣2]和a i∈（﹣2，+∞）晨，分别利用递推关系及等比数列的定义，得出a1的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝（5•|x+2|﹣11•|x+3|+15））＝，a n+1＝f（a n），n∈N*，a6＝﹣30，∴a2＝f（a1）＝f（﹣30）＝＝﹣．a3＝f（a2）＝f（﹣）＝＝．（2）∵f（x）＝（9•|x+2|﹣11•|x+4|+15））＝，a n+6＝f（a n），n∈N*，∴数列{a n}是周期数列，且最小正周期为T＝2，则当﹣2≤a3＜0时，，，解得a7＝0（舍），当﹣3＜a7≤﹣2时，a2＝f（a3）＝﹣5a1﹣4∈（1，6]，a5＝f（a2）＝f（﹣5a8﹣9）＝，解得a1＝﹣3（舍），当a6≤﹣3时，，a3＝f（a2）＝f（f（a6））＝，令a6＝a1，则，解得a1＝，综上得到a1＝﹣8．（3）假设存在a1，使得a1，a4，•，a n，•成等比数列，①当﹣3＜a1≤﹣4时，a2＝f（a1）＝﹣4a1﹣9∈（7，6]，，则公比为﹣，∴a2＝﹣7a1﹣9＝﹣，则a1＝10a2+18，解得a1＝﹣2，满足题意；②当a2≤﹣3时，＞，则必存在k k＞﹣3，若a k∈（﹣6，﹣2]1＝﹣4，若a k∈（﹣2，+∞），，∴﹣，解得，则＝，，满足，满足公比为﹣，综上可知：a1的取值范围为[﹣2，+∞）．【点评】本题综合考查了分类讨论的思想方法、绝对值函数及递推数列的关系、等差数列等基础知识与方法，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是难题．。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试卷数学理科

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上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试卷数学理科一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B={x|2x＜4}，则A∪B＝ ( )A.RB. ∅C. {x|x≤1}D. {x|x＞2}2.,点在( )A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.）A BC D4．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2) …(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n －1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是( )A．2k＋1 B．2(2k＋1)C．2k＋1k＋1D．2k＋3k＋15.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.设()250.22log 4,log 3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C.a c b >> D ．b a c >>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 8.如图，在平面四边形ABCD中，AB BC⊥，AD CD⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为（ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为( )A.B. C. D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（）11.有）12.的值为（）ABC第Ⅱ卷共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.a=b =b=14的最小值为____.15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：（甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中,3B π=,2BC =,点D 在边AB 上,AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆的面积为33,求CD 的长;(Ⅱ)若62DE =,求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，21n n a S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分） 在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当EDCBAEDA时， 求的取值范围.20.（本小题满分12分） 已知函数()1f x a x x a=-+-（ ）0a >.（Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围． 21.（本小题满分12分） 函数()()23sincos3cos 022xxf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由. 22.（本小题满分12分） 已知函数()()()2e x f x x ax =--． （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况；（Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．答案一、选择题：ABDBB;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.．7 15．67.17.（本小题满分12分）(Ⅰ)由已知得3=，又，得3分=……………6，……………11分分18.(本小题满分12分）2S1分2分3分等差数列，且首项为，公差为25分6分7分，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅ (9)分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分19.（本小题满分12分） 解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f (x)＝2|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4，x ＜1，x ，1≤x≤2，3x －4，x ＞2．所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f (0)＝f ( 8 3)＝4，故f (x)≤4的解集为{x|0≤x ≤ 8 3}. ....................................6分 （2）①若a ＞1，f (x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a －1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a ≥2. .................................7分②若a ＝1，f (x)＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意. ...................…9分③若0＜a ＜1，f (x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)， 当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾..............11分综上所述， a 的取值范围是[2，＋∞). …...................12分21.（本小题满分12分）:2分所而且有两个………8分.，由及分和不足.)法三：由得，即11分零点存在定理得:12分22.解：210分11 12分。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷上期中考试数学文试题及解析

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷上期中考试数学文试题及解析

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷上期中考试数学（文）试题及解析一、选择题1．“6πα=”是“tan 2α= ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：∵tan 22()=+()362k k k Z k Z πππααπα=⇔=+∈⇔∈，∴应是充分不必要条件，故选A ．【考点】1．三角函数的定义；2．充分必要条件．2．设,,αβγ是三个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若,αββγ⊥⊥，则//αγB ．若,//m αββ⊥，则m α⊥C ．若,m n αα⊥⊥，则//m nD ．若//,//m n αα，则//m n【答案】C【解析】试题分析：A ：α，γ可能的位置关系为相交，平行，故A 错误；B ：m 可能在α上，可能与α斜交，故B 错误；C ：根据线面垂直的性质，可知C 正确；D ：m ，n 可能的位置关系为相交，平行，异面，故D 错误，故选C ． 【考点】空间中直线平面的位置关系．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112 【答案】C【解析】试题分析：根据三视图可该几何体为三棱锥与立方体的组合，如下图所示，故所求体积314443803V =+⨯⨯⨯=，故选C ．【考点】1．三视图；2．空间几何体的体积计算．4．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，351,1a a ==，则2326372a a a a a ++=（ ）A ．8B ．6C ．4D ．8-【答案】A【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴22223263733553522()8a a a a a a a a a a a ++=++=+=，故选A ．【考点】等比数列的性质．5．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图象向右平移8π后关于y 轴对称，则满足此条件的ϕ值为（ ） A ．4π B ．38π C ．34π D ．58π 【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<关于直线8x π=-对称，∴2()()82k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，∴3()4k k Z πϕπ=+∈，又∵0ϕπ<<，∴31044k k -<<⇒=， ∴34πϕ=，故选C ．【考点】三角函数的性质．6．函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：∵是上的单调递减函数，∴，故选D．【考点】分段函数的单调性．【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是，将分段函数在上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升．7．已知定义在上的函数满足：①图象关于点对称；②；③当时，则函数在区间上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】试题分析：∵，∴的图象关于直线对称，又∵图象关于点对称，故如下图，画出在上的图象，以及的图象，由图可知，零点个数为5个，故选A．【考点】1．函数与方程；2．数形结合的思想．【思路点睛】解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化．8．已知正的顶点在平面上，顶点在平面的同一侧，为的中点，若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的范围是（）_科A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：如图所示，设B到平面，C到平面的射影，D到平面的射影分别为E，F，P，设，，则，由题意可知，，，∴，由，∴，由函数在上单调递减，上单调递增，∴可知，故选B ．【考点】立体几何综合题．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解． 二、填空题9．已知全集，集合，集合，则；．【答案】，．【解析】试题分析：，∴，． 【考点】1．对数的性质；2．集合的运算． 10．若指数函数的图象过点，则；不等式的解集为．【答案】，．【解析】试题分析：设指数函数为且，∴，，即不等式的解集是．【考点】指数函数的性质． 11．向量22(,2m =，(sin ,cos ),(0,)n x x x π=∈，①若//m n ，则tan x =；②若m 与n 的夹角为3π，则x =．【答案】，．【解析】试题分析：①：∵//m n ，∴；②：显然，∴，即，∴，又∵，∴． 【考点】1．平面向量共线的坐标表示；2．平面向量数量积；3．三角恒等变形．12．数列{}n a 的前项和为，则；数列的前10项和．【答案】，．【解析】试题分析：当时，，当时，，∴，∴．【考点】1．数列的通项公式；2．数列求和． 13．求值．【答案】．【解析】试题分析：．【考点】三角恒等变形．14．已知数列{}a的各项均为正整数，其前项和为，若n且，则．【答案】．【解析】试题分析：∵为奇数，且当是奇数时，是偶数，∴，，中必有两个偶数，一个奇数，若为奇数，，是偶数：，，，，，，，∴从第四项起，数列是以3为周期的数列，而，∴．【考点】1．分类讨论的数学思想；2．数列求和．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解．15．已知三角形中，过中线的中点任作一条直线分别交边，于，两点，设，，则的最小值为．【答案】．【解析】试题分析：由题意可知，，，三点共线，故设，而，∴，即，∴，当且仅当时，等号成立，故的最小值是．【考点】1．平面向量的数量积；2．基本不等式．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．三、解答题16．设为等差数列的前项和，已知．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）将条件中的式子转化为只与，有关的方程，解出与，即可得到通项公式；（2）利用等差数列的前项和公式首先求出，再利用裂项相消法即可求得新数列的前项和，即可得证不等式．试题解析：（1）∵等差数列，，，∴；（2）由（1）可知，，∴，∴．【考点】1．等差数列的通项公式及其前项和；2．裂项相消法求数列的和．17．在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．18．在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．（1）求证：面；（2）求二面角的大小的正弦值；（3）求点到面的距离．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的中点，利用三角形的中位线性质产生线线平行，再利用线面平行的判定，进一步将其转化到线面平行即可；（2）根据已知条件，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再利用已知数据即可求解；（3）利用，从而即可求得所求距离．试题解析：（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴面；（2）作于点，作于点，连结，易证平面，∴，又∵，，∴平面，∴，∴即为二面角的平面角，在中，；（3）∵，∴．【考点】1．线面平行的判定；2．二面角的求解；3．体积法求线面距离．【方法点睛】立体几何大题通常会考查两条异面直线所成的角，求二面角的平面角，点到面的距离等，要综合运用平行垂直关系等判定定理，性质定理，及支线与平面所成角的概念，二面角的概念，作出相应的角，再通过平面几何知识进行计算，求点到平面的距离，通常可考虑体积法，此外，空间向量也是解决立体几何大题的一种方法．19．若满足，则称为的不动点．（1）若函数没有不动点，求实数的取值范围；（2）若函数的不动点，求的值；（3）若函数有不动点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）根据条件可知，没有不动点，等价于方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）根据零点定理求得的根所在的区间，即可求得的值；（3）有不动点，等价于有解，从而可知，从而问题进一步等价于关于的一元二次方程至少有一正根，利用韦达定理，即可求解的取值范围．试题解析：（1）由已知可得，问题等价于无实数根，即无实数根，∴，；（2）令，∴，即，令，在上递增，，，，；（3）令，则，又令，从而可得，故问题等价于关于的一元二次方程至少有一正根，若方程有一根为：此时，，，符合题意，若方程的根不为，考虑都为负根，由韦达定理可知，因此方程至少有一正根需，又∵或，∴实数的取值范围是．【考点】1．材料阅读；2．零点存在定理；3．韦达定理．【思路点睛】解决含有参数的动函数的常见方法有：1．参变分离，转化成固定函数在固定区间上的最值问题，2．对参数的讨论，与恒成立问题，根的分布问题相结合；3．零点的情况，与零点存在，唯一性相结合；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练掌握等价转化和准确表述；3．数形结合思想．20．已知函数（1）若函数在上无零点，请你探究函数在上的单调性；（2）设，若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）若：在上无单调性，若：在上单调递增，若：在上单调递减，在上单调递增；（2）．【解析】试题分析：（1）根据条件在上无零点首先可求得的取值范围，再对求得的的取值范围分类讨论，从而可知相应的单调性；（2）问题等价于在上的最大值小于1即可，通过分类讨论结合二次函数的性质即可求得的取值范围．试题解析：（1）令，从而可知，∵，∴，故满足在上无零点的实数的取值范围是，若：，在上无单调性，若：，在上单调递增，若：则，∴在上单调递减，在上单调递增；（2），而在上恒成立等价于，∴实数的取值范围是．【考点】1．二次函数的性质；2．分类讨论的数学思想．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

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上海市嘉定二中2020学年度第一学期期中考试
高三年级数学学科试卷
2020年11月13日星期五
（答卷时间120分钟 满分150分）
一．填空题（本大题满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 不等式
11
<x
的解集为________. 2. 若集合{x |lgx 1},B {y |y sinx,x R}A =<==∈,则=_______A B ⋂.
3. 函数2
()1(2)log f x x x =+≥ 的反函数()1
f x -= . 4. 设x R ∈,求方程|x-2|+|2X-3|=|3X-5|的解集__________.
5. 若“0<x<2”是“x<a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是___________.
6. 双曲线2C 与双曲线1C :29x 25
y -1=有共同的渐近线，且2C 过点(3,5)M ，则双曲线
2
C 的方程为___________.
7. 下列函数中，①1y x
=- , ②tan()y x =- ,③y x
e -=-,④ 2,0
2,0y {
x x x x -+≤-->=在其定义
域上是减函数的是________.(把所有满足条件函数的序号都填上） 8. 若不等式
2
0at t
-≥对于任意的[1,1]a ∈-都成立，则t 的取值范围是 .
9. 将函数()cos 2f x x =图象上的所有的点向左平移
4
x
个单位长度后，得到函数g(x)的图
象，如果g(x)在区间[0,a]上单调递减，那么实数a 的最大值为_________. 10. 以Ox 为始边作钝角α，角α的终边与单位圆相交于点1
1
P(
,)y x 将角α的终边顺时针
旋转3π
得到角 β ，角β 的终边与单位圆交于点
Q 2
2
(),y x ，则21x x -的取值范围为________.
11. 若函数sin ,,1
,,(x){
x x a x a x
f ≤>=
的值域为[1,1]-,则a 的取值范围是________.
12. 实数集R 中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：
（1）对任意
,0*a R a a ∈=；（2）对任意,,**a b R a b b a ∈=； （3）对任意,,,*(*)*()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-. .
给出下列四个结论：①2*（0*2）=0；②（2*0）*（2*0）=8；③对任意
,,,*(*)*(*);a b c R a b c b c a ∈=④存在,,,()*(a*c)(b*c)a b c R a b c ∈+≠+.
其中所有正确结论的序号是________. 二．填空题（本大题每题5分，满分20分）
13. 已知复数z a i(a R)=+∈，则下面结论正确的是 （ ）
A.z a iB =-+ .||1B z ≥
C. z 一定不是纯虚数
D.在复平面上，z 对应的点可能在第三象限
14. 已知三角形ABC 的周长为12，B(0,-2),C(0,2),则顶点A 的轨迹方程为 （ ）
A.
2
2
1(0)12
16x y x +
=≠ B.
2
2
1(0)12
16
y y x
+
=≠
B. C.
2
2
1(x 0)16
12y
x +
=≠ D.2
2
1(y 0)1612
y
x +=≠
15.
若a>0,b>0,则不等式1
b a x -<
<等价于 （ ）
A. 10x b -<<或
10x a << B. 11
x a b -<<
B. C.
1x a <-
或1x b > D. 1x b <-或1
x a >
16.
定义：若函数
()f x 的图象经过变换 后所得图像对应的函数的值域与f(x)的值域相同，则称变换 是f （x ）的“同值变换”，下列给出四个函数及其对应的变换
，其中
属于f(x)的“同值变换”的是 （ ）
A. ， ：将函数
的图像关于轴对称；
B.
，：将函数的图象关于轴对称；
C.
，：将函数
的图像关于y=x 直线对称；
D. D.
，：将函数的图像关于原点（0，0）对称
三．解答题（本大题满分76分）
17. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
ΓΓΓ
Γ
2()2f x x x =-Γ
()f x y ()21x f x =-Γx 2
()log f x x
=Γ()f x ()f x =Γ()f x
已知 ，。

（1）若m=3.求;
（2）若
，求实数m 的取值范围。

18. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如图：已知三棱锥
的底面ABC 是直角三角形，
（1）求证：AE 与BC 不垂直；
（2）若此三棱锥的体积为
，求异面直线AE 与DC 所成角的大小。

19. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现，早隔离。

现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区，经测量，边界AB 与AD 的长都是200米
13{|
10}7
x
A x x -=->-22{|440,0}
B x x x m m =-+-≤>A B ⋂A B ⋃B =A-BCD
AC AB,AC=AB=4,DA ,ABC E
⊥⊥平面,
BD 是的中点32
3
60,120,
BAD BCD ∠=∠=
（1）若
，求BC 的长（结果精确到米）
（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）.
20. （本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分） 如图，抛物线 与x 轴交于O ，A 两点，交直线 于
O ，B 两点，经过三点O,A,B 作圆C
（1）求证：当b 变化时，圆C 的圆心在一条定直线上； （2）求证：圆C 经过除圆点外的一个定点；
105
ADC ∠
=2
:(0)
M y bx b x =+≠:l y x
=
（3）是否存在这样的抛物线M ，使它的顶点与C 的距离不大于圆C 的半径？
21. （本题满分18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
对于函数
，若函数
是增函数，则称函数
为“M 函数”。

（1）判断 是否为“M 函数”
（2）判断命题“减函数一定不是“M 函数””是否为命题，并说明理由。

（3）若函数是“M 函数”，求实数K 的取值范围，并讨论此时
函数在区间[0,π]上零点的个数。

()
y f x =()(1)()
F x f x f x =+-()
y f x =2
()2x
f x x =+23()(0)
f x kx x x =+≥()sin )sin
g x f x x
=-（。

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