测量误差及不确定度分析的基础知识
误差分析课件测量不确定度分析
什么是不确定度
不确定度是用于描述测量结果的不确定 程度的参数，通常使用标准偏差、置信 区间等统计量来计算。
不确定度计算的方法
不同类型的误差需要使用不同的计算方 法。直接法适用于类型A误差，合成法适 用于多个类型B误差，间接法适用于具有 函数关系的变量。
误差分析的实例
实验设计与实验步骤
通过对不同浓度的溶液进行多次 测量，并计算出不同浓度间的误 差，来确定仪器误差和操作误差 的影响。
数据分析与误差计算
根据统计学原理，计算不同数据 集之间的方差和标准偏差，并使 用加权平均值来确定浓度和误差 的关系。
结论与建议
了解误差来源和不确定度可以帮 助我们减小误差并提高结果的可 靠性。建议在实验过程中做好实 验记录和控制误差来源。
误差分析的实践
实验操作与数据收集 实验数据处理与误差计算 误差分析与改进方法
误差来源分类
误差来源可以分为仪器误差、环境误差、操作误差、材料误差等。了解误差来源可以帮助我 们选择适当的测量工具和改进实验方法。
测量不确定度的计算
1
不确定度的种类
2Байду номын сангаас
不确定度可分为类型A和类型B两种。类
型A不确定度通过重复测量得到的统计量
计算，类型B不确定度通过其他方式计算，
3
例如随机误差、仪器精度等。
3 参考文献
参考文献可以帮助我们更深入地了解误差分析的理论和实践方法。
测量不确定度分析
在科学实验与工程领域，准确测量事物非常重要。本课件将会向你介绍测量 误差与不确定度的概念。
测量误差的概述
什么是测量误差
测量误差是指在实验过程中，实际测量值与真实值之间的差异。误差包括系统误差和随机误 差。
测量与不确定度的基础知识
“相对真值” ： 理论真值——理论设计值、公理值、理 论的计算值； 计量定值——国际计量大会规定的基本 物理量的值、基本常数的数值； 标准器件值——标准器件相对低一、低 二级的仪表，前者是后者的相对标准值； 算术平均值——实验中物理量多次测量 结果{x1、x2、x3、…、xn}的算术平均值
1 n x xi n i 1
测量与不确定度的基础知识
测量 误差 不确定度
测量
1.测量的定义 将待测物理量X直接、或间接地与一个被 选做的标准的同类物理量μ比较 X = xμ 标准物理量 ——单位 2.单位 测量结果：比值x、单位μ 测量存在误差（测量不可能无限准确）， 应说明结果所处在的范围及其置信概率。
3.分类 直接测量——直接得到值被测量的测量； 间接测量——利用值被测量 ~ f(值直接测量) 计算 值被测量 依据测量条件分为： 等精度测量——同一个人、用同一仪器、 同样方法、相同条件多次测量同一 物理量； 实际，事物不断变化，只要变化较小，不影 响测量结果，就认为是等精度测量。 不等精度测量——其它的测量。
lim x x
n 0
误差分类 ①系统误差——等精度（仪器、环境、 实验者不变）测量一个物理量，误差的符号、 绝对值恒定，或按一确定的规律变化。 特点是确定性。 已定系统误差——变化规律已确定的系 统误差； 未定系统误差——变化规律未确定的系 统误差； 定值系统误差——符号、绝对值恒定的 系统误差；
例 测量一个铜棒质量的不确定度为 U(m) = 0.0007 g，置信度为p = 0.683。 计算置信度p = 0.955、p = 0.997的不确 定度。 解： 覆盖因子k0.683 = 2、k0.955 = 2、 k0.977 = 3。 Up(m) = kpU(m) U0.955(m) = 20.0007 = 0.0014 g U0.987(m) = 30.0007 = 0.0021 g
误差基础知识
测量结果： 测量结果： 1）测量结果的完整表述：包括测量误差，必要时 测量结果的完整表述：包括测量误差， 测量误差 还应给出自由度和置信概率。 还应给出自由度和置信概率。 2）测量结果的特征：具有重复性和再现性。 测量结果的特征：具有重复性和再现性。 重复性——指在相同测量条件下 相同的测量程序、 重复性——指在相同测量条件下（相同的测量程序、 ——指在相同测量条件 测量仪器、观测者、地点、测量环境、 测量仪器、观测者、地点、测量环境、短期 内的重复测量） 内的重复测量）对同一被测量进行连续多次 测量所得的结果之间的一致性。 测量所得的结果之间的一致性。 再现性(复现性)——指在改变测量条件， 指在改变测量条件 再现性(复现性)——指在改变测量条件，对被测量 进行多次测量时，每一次测量结果的一致性。 进行多次测量时，每一次测量结果的一致性。 指在一定的误差范围内， （指在一定的误差范围内，每次测量结果的 可靠性是相同的）。 可靠性是相同的）。
3）相对真值：凡高一级标准器（计量器）的误差是 相对真值：凡高一级标准器（计量器） 低一级或普通测量仪器误差的1/3～ 低一级或普通测量仪器误差的1/3～1/20 1/3 时，则可认为前者是后者的相对真值。 则可认为前者是后者的相对真值。 在科学试验中，真值就是指在无系统误差的情况下， 在科学试验中，真值就是指在无系统误差的情况下， 就是指在无系统误差的情况下 观测次数无限时 求得的平均值。 观测次数无限时，求得的平均值。 平均值 但实际采用有限次所取得的平均值作为近似真值 但实际采用有限次所取得的平均值作为近似真值 有限次所取得的平均值作为 （最可信赖值）。 最可信赖值）。
（1）测量的目的 求出被测量的真值,但是一切测量都包含有误差, 求出被测量的真值,但是一切测量都包含有误差, 真值 测量值只能接近于真值。与测量手段是否先进无关。 测量值只能接近于真值。与测量手段是否先进无关。 只能接近于真值 手段越先进，越接近于真值。 手段越先进，越接近于真值。 （2）测量：以确定量值（数据）为目的的一组操作。 测量：以确定量值（数据）为目的的一组操作。 （3）测量结果：根据已有的信息和条件对被测量的 测量结果： 最佳估计，及对真值的最佳估计。 最佳估计 最佳估计，及对真值的最佳估计。
测量不确定度的基础知识
2011-2-16
5
（二） 测量不确定度的表示 (8.8) 【例1】 天平测得砝码为 】 天平测得砝码为100.02147g，其不确定度为 ， 0.79mg，结果表示为： ，结果表示为： 1、 m = (100.02147 ± 0.00079)g 、
s
2、 、
ms = 100.02147g...................U0.95 = 0.79mg
2
特别指出： 特别指出： 4、不应说真值以 的概率落入该区间。 、不应说真值以95%的概率落入该区间。 的概率落入该区间 真值不变（仅有一个）， ），每 次测量构造出 真值不变（仅有一个），每n次测量构造出 一个区间(结果和不确定度），测量了 结果和不确定度），测量了m组 一个区间 结果和不确定度），测量了 组 每组测n次），共得到 个区间， 共得到m个区间 （每组测 次），共得到 个区间，当m充分 充分 大时，大约有95%m个区间套住了真值。 大时，大约有 个区间套住了真值。
2011-2-16 13
1.不确定度可以理解为误差的概率上确界 [（最小） 不确定度可以理解为误差的 （最小） 上界]，它不是数学意义下的（最小）上限。 上界 ，它不是数学意义下的（最小）上限。
1 1− n
粗略的可以把不确定度说成误差限，建议不要这样说。 粗略的可以把不确定度说成误差限，建议不要这样说。
2011-2-16
18
简单的说
准确度（ISO5725）是制造产品。 ）是制造产品。 不确定度是评价产品。 不确定度是评价产品。
评价产品的目的是为了提高产品质量。 评价产品的目的是为了提高产品质量。
2011-2-16
19
第四节 不确定度的构成 一、误差的分类 误差可以分为随机误差 系统误差两类 随机误差和 两类。 误差可以分为随机误差和系统误差两类。误差等 于随机误差与系统误差之和。 于随机误差与系统误差之和。测量误差示意图如 所示。 图1.1所示。被测值为 ，真值为 ，第i次测量结 所示 被测值为Y，真值为t， 次测量结 果为y 由于测量误差的存在，测得值（ 果为 i。由于测量误差的存在，测得值（单次测 得值y 不能重合。 得值 i或测量平均值 ）与真值 t 不能重合。设 测量值呈正态分布[N( 测量值呈正态分布 µ，σ)]，则分布曲线总体均 ， 值的位置（ 决定了系统误差的大小； 值的位置（即µ值）决定了系统误差的大小；曲 线的形状（ 而定） 线的形状（随标准差σ而定）决定了随机误差 的分布范围[ 的分布范围 µ−kσ ，µ+kσ]，以及其在该范围内 ， 取值的概率。 取值的概率。
误差分析与数据处理基础知识-不确定度--小结
误差分析与数据处理基础知识 不确定度 小结一．误差分类系统误差 偶然误差（随机误差） 粗差（过失误差）系统误差可以消除；粗差应该剔除； 偶然误差永远存在，不可避免。
因此，误差分析与数据处理基础知识，主要针对偶然误差分析。
二．多次等精度测量的主要内容对物理量x 进行多次等精度测量，得到一个测量列：),,,(n i x x x x 21； 近真值为算术平均值：nx x n i i /∑==1 测量列的标准偏差（简称标准差）为：∑=--=n i i x x x n 12)(11σ； 近真值即算术平均值的标准差为：n xx σσ=；测量的统计结果表达形式为：⎪⎩⎪⎨⎧⨯==±=%).()(1006830x E P x x x x x σσ单位意义：真值落在)(x x σ-到)(x x σ+的概率为68.3％。
这种结果形式中，置信概率P =0.683可以省略三．间接测量的主要内容1．误差传递公式如果),,( C B A f N =，则+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆C C f B B f A A f N两个结论：① 和与差的绝对偏差，等于各直接测量量的绝对偏差之和。
② 积与商的相对偏差，等于各直接测量量的相对偏差之和。
2. 标准误差传递公式+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2222B A NB f A f σσσ 两个结论：① 和与差的绝对偏差等于各直接测量量的绝对偏差的“方和根”。
② 积与商的相对偏差等于各直接测量量的相对偏差的“方和根”。
四．测量不确定度评定与表示的主要内容1．A 类不确定度x A x u σ=)(∑=--=n i i xx x n n n 12)()1(1σ2．B 类不确定度 k x u B ∆=)(； 式中∆为仪器误差。
通常仪器误差服从的规律可简单认为服从均匀分布，这种情况下常数k 取3。
即误差均匀分布的B 类不确定度3∆=)(x u B 3．总不确定度（即合成不确定度）)()()(22x u x u x u B A C += 注意：通常先将各来源的标准不确定度划归入A 类评定和B 类评定，再计算总不确定度。
误差、不确定度及其相关数学知识
随机误差的性质
随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见， 不可修正。 虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预 定，也不能用实验的方法加以消除。但是，经过 大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规 律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随 机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做 出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结 果的影响。
pc
n
测量不确定度：
测量不确定度：指测量结果变化的不肯定，即测量结 果含有的一个参数，表征被测量值的分散性。 测量结果＝被测量的估计值＋不确定度 完整的测量结果有两个基本量：
p( ) 1
2 3
0
求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量， 但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？
有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值
x 1 n
x
i 1
n
i
算术平均值的标准偏差
(x)
(X)
n
算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 n 倍。原 因是随机误差的抵偿性 。
r
L
L0
绝对误差 被测量的真值，常用约定 真值代替，也可以近似用 测量值 L 来代替 L0 相对误差
特点：
1） 相对误差有大小和符号。 2） 无量纲，一般用百分数来表示。
绝对误差和相对误差的比较
用一个测长仪测量0.01m长的工件，其绝 对误差Δ= 0.0006mm,但用来测量1m长的 工件, 其绝对误差为Δ= 0.0105mm。
正态分布的概率密度函数和统计特性
随机误差的概率密度函数为：
p( )
2 exp( ) 2 2 2
1
1 ( x )2 测量数据X的概率密度函数为： p( x) exp[ ] 2 2 2 随机误差的数学期望和方差为：
计量基础知识讲座 第五部分 测量误差与不确定度
(二)，测量不确定度的来源 测量过程中有许多引起测量不确定度的来源，它们可能来自以下十 个方面: 1.对被测量的定义不完整或不完善 例如:定义被测量是一根标称值为1m的钢棒的长度，若要求测准到 微米级，则被测量的定义就不够完整，因为此时被测钢棒受温度和压力 的影响已较明显，而这些条件没有在定义中说明。由于定义的不完整， 将使测量结果中引入温度和压力影响的不确定度。这时，完整的定义应 是:标称值为1m的钢棒在25.0℃和101325 Pa时的长度。若在定义要求 的温度和压力下测量，就可避免由此引起的不确定度。 2.实现被测量定义的方法不理想 如上例，被测量的定义虽然完整，但由于测量时温度和压力实际上 达不到定义的要求(包括由于温度和压力的测量本身存在不确定度)，使 测量结果中引人了不确定度。
一、测量误差有关的名词术语 [测量] 误差 测量结果减去被测量的真值。 注:（1）由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。 （2）当有必要与相对误差相区别时，此术语有时称为测 量的绝对误差。注意不要与误差的绝对值相混淆，后者为 误差的模。 测得值 从测量仪器直接得出或经过必要计算而得出的量值。 实际值 满足规定准确度的用来代替真值使用的量值。 注：在标定中通常把高一等、级计量标准所复现的量值称 为实际值。
6.测量仪器的分辨力或鉴别力不够 数字式测量仪器的不确定度来源之一，是其指示装置的分辨力。即 使指示为理想重复，这种重复性所贡献的测量不确定度仍然不为零，这 是因为，当输入信号在一个已知的区间内变动时，该仪器却给出了同样 的指示。 7.赋予测量标准和标准物质的值不准 通常的测量是通过被测量与测量标准的给定值进行比较实现的，因 此，该测量标准的不确定度将直接引入测量结果。例如:用天平测量时， 测得质量的不确定度中包括了标准砝码的不确定度。 8.用于数据计算的常量和其他参量不准 例如:在测量黄铜的长度随温度变化时，要用到黄铜的线热膨胀系数 。查有关数据手册可以找到所需的值，与此同时，也可从手册上查出或 计算出该值的不确定度，它同样是测量结果不确定度的一个来源。
测量与不确定度的基础知识
时间测量的不确定度评估方 法
可以采用贝塞尔公式、最大允许误差等方法进行评 估。
主要是由于计时设备的精度、测量环境的影 响以及测量方法的误差等因素。
时间测量的不确定度对测 量结果的影响
不确定度越小，测量结果越准确，反之则误 差越大。
THANKS
感谢观看
误差的来源与减小方法
误差的来源
误差的来源多种多样，主要包括测量仪器、设备、实验环境、操作方法、读数 方法等因素。例如，测量仪器的精度限制、温度变化、气流扰动等都可能引起 误差。
减小误差的方法
为了减小误差，可以采用多种方法，如选择高精度测量仪器、定期校准仪器、 控制实验环境、采用合适的操作方法和读数方法等。此外，可以通过多次测量 求平均值或采用统计方法来减小随机误差。
可靠性和准确性。
03
不确定度基础
不确定度的定义与意义
定义
不确定度是测量结果的可信程度或可 靠性的度量，表示测量结果的不确定 性或分散性。
意义
不确定度用于评估测量结果的可靠性 和准确性，帮助决策者了解测量结果 的可信程度，并指导改进测量方法和 提高测量精度。
不确定度的来源与计算方法
来源
不确定度的来源包括仪器误差、操作 误差、环境因素、数据处理等。
误差的表示与处理
误差的表示
误差通常用相对误差和绝对误差来表示。相对误差是指误差与真实值之比，用百分比表 示；绝对误差是指误差的绝对值。在数据处理中，通常将相对误差和绝对误差结合起来
考虑。
误差的处理
在数据处理中，需要对误差进行处理和修正。对于系统误差，可以通过校准和修正来消 除或减小；对于随机误差，可以采用统计方法进行处理；对于粗大误差，需要识别并剔 除。在数据分析和科学研究中，通常需要对测量数据进行不确定度评估，以评估结果的
测量基础知识和操作_培训_
被测量的测量方法。
累积法：把某些难以用常规仪器直接测量的物理量用累积的方 法，将小量变大量，不仅便于测量，而且还可以提高 测量准确度。如小样品的质量。
第四章 测量方法的选择
测量方法的正确选择
1、测量方法选择的基本原则： 在满足精度的前提下，选择最经济的方法。 2、选择计量器具准确度的方法： 选择计量器具准确度取决于测量方法的准确度系数K，K值一般取 1/3~1/10。测量准确度较高、测量对象的公差值小，K值可等于或 接近1/3；测量准确度较低、测量对象的公差值大，K值可以小一些， 最小为1/10；一般情况下取1/5。 K=Δ /T Δ =K·T 式中：Δ ——测量方法的极限误差； T——被测对象的公差值。 按照国家标准 GB/T3177—2009产品几何技术规范(GPS)光滑工件 尺寸的检验中规定选择计量器具。所选计量器具的测量不确定度u小 于或等于测量不确定度的允许值u1。
最小形变原则
自重变形：大小与零件的支承方式和支承点位置有关。如一长形工件，若支承点为：
l=0.2203L ,白塞尔点----杆的长度变化最小；一般线纹尺测量时采用. l=0.2113L ,艾利点----杆的两端面平行度变化最小。
测大尺寸量块量时采用。
l= 0.2232L ----杆的中间和两端变形（下降）量相等，杆的全长弯曲变形最小。
设计基准、工艺基准、加工基准、装配基准与测量基
准相一致，称为五基准统一原则。
在工艺设计和加工中力求达到与设计、装配基准相统
一，测量时也是如此。在设计基准难以与工艺、加工基 准相统一的条件下，测量基准首选与设计基准相统一。
第二章 测量的基本原则和特性
基准统一原则
大学物理实验测量不确定度及数据处理基础知识中国地质大学课件
饼图
展示整体的构成比例，适用于 显示各部分在整体中的占比。
EXCEL软件在数据处理中的应 用
EXCEL软件功能强大，是数据处理中不可或缺的工具。它能轻松处理各种类型 的数据，并可创建图表进行数据可视化。
EXCEL拥有丰富的公式和函数库，可用于数据分析和计算。它还提供了数据透 视表和数据透视图，方便用户进行数据探索和分析。
视觉美观和易读性
图表的颜色、字体和布局要和谐 统一，避免过多的装饰，保证图 表的清晰易读。
常用的数据绘图类型
折线图
显示数据随时间或其他变量的 变化趋势，适用于展示数据变 化的趋势和规律。
柱状图
用于比较不同类别的数据，适 合显示各类别之间的差异和大 小。
散点图
显示两个变量之间关系，用于 探索数据之间的关联性和趋势 。
结论和思考题
1 1. 总结
本次课程学习了物理实验测量 的不确定度及数据处理的基本 知识，掌握了常见误差类型、 误差估计方法和数据处理技巧 ，为今后开展物理实验打下了 基础。
2 2. 思考
在实际实验中，如何更有效地 控制误差，提高测量结果的准 确度？
3 3. 探索
除了本课程所涉及的知识，还 有哪些测量不确定度及数据处 理方法可以学习？
重复测量法
对同一物理量进行多次测量，然后计算平均值和标准偏差来估计误差。
间接测量误差估计
间接测量是指通过已知物理量之间的关系来计算未知物理量，例如用速度和时 间计算距离。
误差传播公式
通过误差传播公式，可以将已知物理量的误差传播到计算结果中，从而估计间 接测量结果的误差。
重复测量误差估计
重复测量
1
多次测量同一个物理量，得到一组数据。
数据绘图的基本要求
2 误差分析基础及测量不确定度
2.4 误差分类 系统误差： 系统误差：指测量器件或方法引起的有规律的误 差，体现为与真值之间的偏差。可校对、修正 体现为与真值之间的偏差。可校对、 随机误差：除可排除的系统误差外， 随机误差：除可排除的系统误差外，另外由随机 因素引起的，一般无法排除并难以校正的误差。 因素引起的，一般无法排除并难以校正的误差。 随机误差概率符合统计规律 粗大误差： 粗大误差：由于观测者误读或传感要素故障引起 的歧异误差。坏值， 的歧异误差。坏值，应予剔除
α ( x ) = 1 − Φ ( z ) = p {| x |> zσ }
置信系数越大，置信区间越宽，置信概率越大， 置信系数越大，置信区间越宽，置信概率越大，随机误差 的范围也越大，对测量精度的要求越低。 的范围也越大，对测量精度的要求越低。 若取
δ = ±2σ
，查表得置信概率95%，置信水平 。 查表得置信概率 ，置信水平5%。
2.6.1 误差传递法则
间接检测量Y与互相独立的直接检测量 间接检测量 与互相独立的直接检测量 X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅ 有如下的
Y 函数关系： 函数关系： = ϕ ( X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅) ，并且 X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅ 的标准偏差分
别为σ 1 ,σ 2 , ⋅⋅⋅ 时，Y的标准偏差 σ Y 的标准偏差
n足够大时： 足够大时： 足够大时
A 0 = lim A
n→ ∞
2.2.2 几种误差的定义
残差：各测量值 与平均值A的差 残差：各测量值Mi与平均值 的差
vi = M i − A
∑v
i
=0
方差： 方差：
1 n 2 σ 2 = ∑ ( M i − A0 ) n i =1
1 n 2 σ= ∑ ( M i − A0 ) n i=1
测量不确定度基础知识
测量不确定度基础知识测量是科学研究和工程技术实践中不可或缺的一环，而测量结果的准确性和可靠性对于决策和判断具有重要意义。
然而，在实际测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往无法完全确定。
为了对测量结果进行科学评价和合理使用，我们需要了解和掌握测量不确定度的基础知识。
一、测量和测量不确定度的概念测量是指通过使用一定的方法和仪器，对某个物理量进行定量描述的过程。
而测量不确定度则是指测量结果与被测量值之间的差异范围，用于表征测量结果的可靠性和精确度。
二、不确定度的来源测量不确定度的来源主要包括以下几个方面：1. 仪器误差：由于仪器的制造、使用和环境等原因，仪器自身会引入一定的测量误差；2. 人为误差：人为因素，比如操作技巧、人的主观判断等，也会对测量结果产生一定的影响；3. 环境影响：测量环境中的温度、湿度、压力等因素会对测量结果产生影响；4. 校准误差：校准标准或参考物的不确定度会传递到被校准物上。
三、不确定度的分类不确定度可以分为随机不确定度和系统性不确定度。
1. 随机不确定度：由于测量条件的变化以及仪器本身的随机误差等原因而引起的不确定度。
2. 系统性不确定度：由于仪器固有误差、人为误差以及环境因素等引起的不确定度。
四、常见的不确定度评定方法1. 重复性法：在相同条件下，对同一物理量进行多次测量，计算测量结果的标准差，作为不确定度的估计值。
2. 间接测量法：通过对测量结果的计算和分析，结合测量过程中的误差来源进行综合估计。
3. 标准样品法：使用一系列已知精度的标准样品进行测量，通过对比分析得到不确定度的估计值。
五、不确定度的表示方法不确定度通常用标准不确定度或者扩展不确定度来表示。
1. 标准不确定度：表示为u(x)，是由随机误差引起的不确定度的估计，在测量过程中通常使用标准差来表示。
2. 扩展不确定度：表示为U(x)，是对标准不确定度进行扩展得到的，通常采用置信系数进行扩展计算，比如95%的置信度。
仪表误差和不确定度讲义
由于真值未知,往往不能准确得到,当用约定真值代替真值时,可以得到其估计值
可以由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，从而可以定量确定。
分类
按性质可分为随机误差和系统误差两类，按定义它们都是无穷多次测量情况下的理想概念
按评定方法有A类评定、B类评定。评定时一般不必区分其性质，若需要区分时应表述为：“由随机效应引入的不确定度分量”和“由系统效应引入的不确定度分量”
重复性可以用测量结果的分散性定量地表示，即在重复性条件下，重复观测结果的实验标准差（称为重复性标准差）Sr定量地给出。
1
2
一、测量误差
一、测量误差
再现性(reproducibility)： 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。
在给出再现性时应有效说明改变条件的详细情况。2、可改变的条件包括：
2
在预期工作范围内线性误差的变化率。
在测量范围内误差分布的规律 y = aX+b y —测量系统偏倚量 x —测量范围内的基准值变量
一、测量误差
一、测量误差
小结： 1、系统性误差： 偏倚、线性、稳定性 2、随机性误差： 重复性、再现性、GR&R 实际工作中测量是一个系统的过程，它包括测量方法、环境、设备、被测物特征、测量人员等要素。 因此，我们看一个测量结果的质量如何，不能只看误差的大小，还要和得到这个误差所需要的所有条件相联系。测量不确定度的概念就是在这种背景下产生的。
结果修正
已知系统误差的估计值时可以对测量结果进行修正，得到已修正的测量结果，修正值等于负的系统误差
不能用不确定度对测量结果进行修正，在已修正测量结果的不确定度中应考虑修正不完善而引入的不确定度
扩展测量不确定度；
计量学基础教学：第3讲_第3章_测量误差和测量不确定度
机电学院自动化教研室
三、测量不确定度与测量误差
不确定度为无符号的参数，恒取正值。当 用方差求取时，取其正平方根。
误差为带有正号或负号的量值，不能用 （±）号表示。
21
计量学基础
机电学院自动化教研室
三、测量不确定度与测量误差
测量不确定度的大小决定了测量结果的使用 价值，值越小，使用价值越高。 误差主要是用于对误差源的分析方面，用以 对测量结果的修正。
1970年以来，美国NBS推广MAP( 计量保证方案)；
1978年，BIPM(国际计量局)书面征询各国意见后，起 草了一份 INC-1980建议：实验不确定度表示。1981年 10月CIPM(国际计量委员会)发文(CI-1981建议) 批准 了INC-1980建议。
16
计量学基础
机电学院自动化教研室
33
计量学基础
机电学院自动化教研室
(二)系统误差的发现
1 系统误差与测量次数无关，因此不 能采用增加测量次数的方法使其消除或减 小。
2 许多系统误差可通过实验确定（或根 据实验方法、手段的特性估算出来）并加 以修正。 3 对某些系统误差的认识不足或没有 相应的手段予以充分确定，而不能修正， 此时通常可估计未消除系统误差的界限。
19
计量学基础
机电学院自动化教研室
三、测量不确定度与测量误差
真值按其本性不是确定的，往往无法得到测 量误差的值，所以实际用的是约定真值。当用 约定真值代替真值时，可以得到测量误差的估 计值。
测量不确定度可以由人们根据实验、资料、 经验等信息进行评定，从而可以定量确定测量 不确定度的值。
20
计量学基础
49
计量学基础
机电学院自动化教研室
测量误差及不确定度分析的基础知识(精)
测量误差及不确定度分析的基础知识物理实验是以测量为基础的。
测量可分为直接测量与间接测量，直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量，间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。
由于测量仪器、测量方法、测量环境、人员的观察力等种种因素的局限，测量是不能无限精确的，测量结果与客观存在的真值之间总是存在一定的差异，即存在测量误差。
因此分析测量中产生的各种误差，尽量消除或减小其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，给出测量结果的不确定度就是物理实验和科学实验中必不可少的工作。
为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因及测量结果的不确定度的概念与估算方法等的有关知识。
误差的定义、分类及其处理方法一.误差的定义：测量结果与被测量的真值（或约定真值）之差叫做误差，记为:被测值的真值是一个理想的概念，一般说来真值是不知道的。
在实际测量中常用准确度高的实际值来作为约定真值，才能计算误差。
二.误差的分类及其处理方法：误差主要分为系统误差和随机误差。
系统误差：（1）定义：在同一被测量的多次测量过程中，绝对值和符号保持恒定或以可预知的方式变化的测量误差的分量。
（2）产生原因：①仪器本身的缺陷或没按规定条件使用仪器而引起的误差（又称作仪器误差）例：电表的刻度不均匀---示值误差等臂天平的两臂实际不等---机构误差指针式电表使用前没调零---零位误差大气压强计未在标定条件下使用引起的系统误差等②测量所依据的理论公式本身的近似性、或实验条件不能达到理论公式的要求、或测量方法所带来的系统误差（又称作理论误差或方法误差）。
例：单摆运动方程小角度近似解引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的测量误差。
(3)分类及处理方法：根据误差的符号、绝对值确定与否分类如下：①已定系统误差---绝对值和符号已经确定的系统误差分量，如零位误差、大气压强计室温下使用引起的误差、伏安法测电阻时电流表内接或外接引起的误差等；这类误差分量一般都要修正。
大学物理实验误差理论
的拐点
x2 x1
pxdx
σ小 σ大
x
ξ表示随机变量 x 在〔x1，x2〕区间出现的概率，称为置信概率。
实际测量的任务是通过测量数据求得μ 和σ的值。
lim
n
xi
n
lim n
xi 2
n
x x2 x3
0.683 0.954 0.997
大学物理实验误差理论
14
随机变量的分布
• 实际测量次数有限，可用 n 次测量值的x、sx 来估算μ、σ:
x
i 1
n 1
σx大，表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低；
σx小，表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高；
σx可由带统计功能的计算器直接求出。
大学物理实验误差理论
11
随机误差的处理举例
例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，6次测量 结果如下（单位mm）： 120.08,120.14,120.06, 120.10, 120.06, 120.10
则：测得值的最佳估计值为
LL12.0 09 mm
测量列的标准偏差
L
n
(Li L)2
i1
n1
0.03mm
大学物理实验误差理论
12
测量误差与不确定度
• 不确定度的权威文件是国际标准化组织(ISO)、国际
计量局(BIPM)等七个国际组织1993年联合推出的
Guide to the expression of Uncertainty in measurement
《大学物理实验》不确定度 基础知识
大学物理实验误差理论
1
主要内容
1 测量误差和不确定度估算的基础知识 2 实验数据有效位数的确定 3 作图法处理实验数据 4 数据的直线拟合（最小二乘法处理实验数据）
测量误差和不确定度
06 结论
测量误差和不确定度的重要意义
准确度与精密度
测量误差和不确定度是衡量测量结果准确度和精密度的重要指标， 对于科学研究、工程实践和日常生活等领域具有重要意义。
工程测量中，测量误差和不确定度可用于评估测量设备的 精度和可靠性，以及测量条件的稳定性和重复性。这有助 于工程师更好地理解测量结果的不确定性，并提高测量的 精度和可靠性。
在质量控制中的应用
在质量控制中，测量误差和不确定度是评估产品质量的重要工具。通过分析测量误差和不确定度，质 量工程师可以了解产品质量的波动情况，并采取相应的措施来控制产品质量。
01
02
03
定期校准
确保测量设备在有效期内， 并定期进行校准，以确保 其准确性。
选择高精度设备
在预算允许的情况下，选 择高精度、低误差的测量 设备。
维护与保养
按照设备说明书进行日常 维护和保养，以保持设备 的良好状态。
优化测量方法与流程
标准化操作
确保测量人员按照标准操作程序进行测量，避免因操 作不当导致误差。
误差与不确定度对测量结果的影响
01
1. 评估测量结果的可靠性
通过分析误差和不确定度的大小，可以评估测量结果的可靠性和准确性，
从而决定是否需要采取措施减小误差和不确定度。
02
2. 比较不同测量结果
在比较不同测量结果时，误差和不确定度的大小可以帮助判断它们的可
靠性和准确性，从而为决策提供依据。
03
3. 确定测量结果的可信区间
分析误差和不确定度
从这14个方面来区分误差和不确定度1.区分误差和不确定度很重要。
误差定义为被测量的单个结果和真值之差。
所以，误差是一个单个数值。
原则上已知误差的数值可以用来修正结果。
注意：误差是一个理想的概念，不可能被确切地知道。
2.不确定度是以一个区间的形式表示，如果是为一个分析过程和所规定样品类型做评估时，可适用于其所描述的所有测量值。
一般不能用不确定度数值来修正测量结果。
3.误差和不确定度的差别还表现在：修正后的分析结果可能非常接近于被测量的数值，因此误差可以忽略。
但是，不确定度可能还是很大，因为分析人员对于测量结果的接近程度没有把握。
4．测量结果的不确定度并不可以解释为代表了误差本身或经修正后的残余误差。
5.通常认为误差含有两个分量，分别称为随机分量和系统分量；6.随机误差通常产生于影响量的不可预测的变化。
这些随机效应使得被测量的重复观察的结果产生变化。
分析结果的随机误差不可消除，但是通常可以通过增加观察的次数加以减少。
实际上算术平均值或一系列观察值的平均值的实验标准差不是平均值的随机误差。
它是由一些随机效应产生的平均值不确定度的度量。
由这些随机效应产生的平均值的随机误差的准确值是不可知的。
7.系统误差定义为在对于同一被测量的大量分析过程中保持不变或以可以预测的方式变化的误差分量。
它是独立于测量次数的，因此不能在相同的测量条件下通过增加分析次数的办法使之减小。
8.恒定的系统误差，例如定量分析中没有考虑到试剂空白，或多点设备校准中的不准确性，在给定的测量值水平上是恒定的，但是也可能随着不同测量值的水平而发生变化。
9.在一系列分析中，影响因素在量上发生了系统的变化，例如由于试验条件控制得不充分所引起的，会产生不恒定的系统误差。
例1、在进行化学分析时，一组样品的温度在逐渐升高，可能会导致结果的渐变。
例2、在整个试验的过程中，传感器和探针可能存在老化影响，也可能引入不恒定的系统误差。
10.测量结果的所有已识别的显著的系统影响都应修正。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
测量误差及不确定度分析的基础知识
物理实验是以测量为基础的。
测量可分为直接测量与间接测量，直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量，间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。
由于测量仪器、测量方法、测量环境、人员的观察力等种种因素的局限，测量是不能无限精确的，测量结果与客观存在的真值之间总是存在一定的差异，即存在测量误差。
因此分析测量中产生的各种误差，尽量消除或减小其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，给出测量结果的不确定度就是物理实验和科学实验中必不可少的工作。
为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因及测量结果的不确定度的概念与估算方法等的有关知识。
一.误差的定义：
测量结果与被测量的真值（或约定真值）之差叫做误差，记为:
被测值的真值是一个理想的概念，一般说来真值是不知道的。
在实际测量中常用准确度高的实际值来作为约定真值，才能计算误差。
二.误差的分类及其处理方法：
误差主要分为系统误差和随机误差。
系统误差：
（1）定义：在同一被测量的多次测量过程中，绝对值和符号保持恒定或以可预知的方式变化的测量误差的分量。
（2）产生原因：
①仪器本身的缺陷或没按规定条件使用仪器而引起的误差（又称作仪器误差）
例：电表的刻度不均匀---示值误差
等臂天平的两臂实际不等---机构误差
指针式电表使用前没调零---零位误差
大气压强计未在标定条件下使用引起的系统误差等
②测量所依据的理论公式本身的近似性、或实验条件不能达到理论公式的要求、或测量方法所带来的系统误差（又称作理论误差或方法误差）。
例：单摆运动方程小角度近似解引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的测量误差。
(3)分类及处理方法：根据误差的符号、绝对值确定与否分类如下：
①已定系统误差---绝对值和符号已经确定的系统误差分量，如零位误差、大气压强计室温下使用引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的误差等；这类误差分量一般都要修正。
②未定系统误差---绝对值和符号未定的系统误差；对这类误差一般要估计出其分布范围（大致对应于不确定度估计中的）。
实验中可以通过方案选择、参数设计、计量器具校准、环境条件控制等环节来减小未定系统误差的限值.
随机误差：
（1）定义：在同一量的多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方式变化的测量误差分量。
（2）产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化，如：电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在一定范围内随机变化、操作读数时的视差影响、数字仪表末位取整数时的随机舍入过程等，都会产生一定的随机误差分量。
（3）特点：
①小误差出现的几率比大误差出现的几率大
②大小相等符号相反的误差出现的几率相等，即多次测量时随机误差的分布具有抵性，所以可以取多次测量的平均值来作为被测量的最佳估计值以消除随机误差的影响。
（4）随机误差的处理方法：假定对一个量进行了次测量，测得的值为，可用下述方法求被测量的最佳估计值并评定测得值的分散性。
①用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值
②用样本的标准偏差表示测得值的分散性
按贝塞耳公式求出：
大，表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低；
小，表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高；
可由带统计功能的计算器直接求出。
例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度，6次测量结果如下（单位mm）：250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10 则：测得值的最佳估计值为
测量列的标准偏差
测量结果的表示
完整的测量结果应表示为
其中代表测量对象，是被测量值，Δ为不确定度，有单位时还应给出单位
(如电桥法测某一电阻的结果表示为：R=910.3±1.4Ω。
)
表示：测量的真值落在（）范围内的概率很大，Δ的取值与一定的概率相联系。
我校物理实验教学中不确定度一律采用总不确定度Δ，这样表示真值落在（）范围内的概率约等于或大于95%，总不确定度以下也简称为不确定度。
不确定度的概念：
不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度，表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机误差分量和未定系统误差的联合分布范围。
由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。
直接测量结果的表示和不确定度估计方法：
1.直接测量结果中，取多次测量值的平均值.
特殊情况：若存在已定系统误差时，取(修正已定系统误差)
2.不确定度的估计方法：
依据国内外规范，在物理实验中采用以下的不确定度简化评定方法：
①总不确定度Δ从评定方法上分为两类分类：
A类分量------多次重复测量时用统计学方法估算的分量
B类分量------用其他方法（非统计学方法）评定的分量
这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度
②由重复测量时样本的标准偏差乘以因子（相当于样本平均值的标准偏差乘以因子）来求得：
，表示t分布时由于随机误差的影响，真值包含于()之间的概率约为95%。
由贝塞耳公式求出，因子可根据下表查出：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 ∞
n
8.98 2.48 1.59 1.24 1.05 0.93 0.84 0.77 0.72 0.55 0.47
教学实验中一般测量次数，≈1，可进一步简化：
③的估计：在许多直接测量中近似取计量器具的误差极限值，即认为主要由计量器具的误差特性决定
关于仪器误差限的讨论
一般取基本误差限或示值误差限。
普通物理实验中，计量器具主要包括计量仪器(仪表)，也包括量具和计量装置等，所以也常叫仪器误差限。
教学中的仪器误差限一般简单地取计量器具的示值误差限或基本误差限，它们可参照计量器具的有关标准，由准确度等级或允许误差范围得出; 或者由工厂的产品说明书给出; 有时也由实验室结合具体情况，给出近似的约定值. 大多数情况下把简化地当做
仪器误差限是教学中的一种简化表示，许多器具误差的成因分析和各分量限值的计算大多超出了本课程的要求范围。
对同一量多次测量的绝大多数实验中，随机误差限显著地小于器具的基本误差限(示值误差限)；另外，一些器具在实际使用时，很难保证在相同条件下操作、或在规定的正常条件下测量，测量误差除基本误差(或示值误差)外，还包含一些附加误差分量；因此教学中必须作适当简化。
我们约定，在大多数情况下把简化地直接当作总不确定度的B类分量
④依据以上说明，对某一量进行多次直接测量时，不确定度可按下式估计：
3．单次测量时，简化处理：取测得值－已定系统误差，且可粗略地以来估算不确定度（这并不说明只测一次时Δ的值变小，而是因无法用统计方法求ΔA,如用其它方法求得ΔA，将显著地大于多次测量时的值）.
4.直接测量数据的处理过程：
①求测量数据列的平均值
②修正已定系统误差，得出被测量值
③用贝塞耳公式求样本的标准偏差
④样本的标准偏差乘以因子来求得
⑤根据使用仪器得出
⑥由、合成总不确定度Δ
⑦给出直接测量的最后结果：
间接测量结果的不确定度合成：
间接测量的结果是由直接测量结果根据一定的数学公式计算而来，直接测量结果的不确定度必然会影响到间接测量结果，这种影响的大小也可由相应的数学式子来反映。
设间接量与各相互独立的直接量间的函数关系为：
根据微分推导，各直接量的不确定度对的贡献为,对的贡献为
考虑不确定度合成的统计性质，各个量的贡献按方和根形式合成间接量的不确定度，则间接量y的总不确定度或相对不确定度可由以下方程求得：
（主要适用于和差形式的函数）
或
（主要适用于积商形式的函数）
下表列出一些常用函数不确定度传递的公式：
函数表达式不确定度传递（合成）公式
测量误差及不确定度分析的基础知识
间接测量量的不确定度合成步骤如下：
①先写出（或求出）各直接测量量的不确定度
②依据关系求出或
③用或求出或
④完整表示出的值
例：已知金属环的外径，内径，高度，求环的体积和不确定度
解：环体积为：
环体积的对数及其微分式为：
,,
代入方和根合成公式中，则有：
因此环体积为：。