三角函数思想方法总结

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三角函数教学方法总结

三角函数教学方法总结三角函数是高中数学中的一个重要内容，也是学生较为容易混淆和理解困难的知识点之一。

因此，教师在教学过程中需要注意选择恰当的教学方法，以提升学生的学习效果和理解能力。

本文将总结几种适用于三角函数教学的方法，并探讨其优劣之处。

一、直观图形法直观图形法是三角函数教学中经常使用的一种方法。

通过绘制三角函数的图像，使学生能够直观地观察到函数图像的特点，如周期、振幅、相位等。

这种方法能够激发学生对三角函数的兴趣，帮助他们更好地理解函数的性质。

然而，直观图形法的局限在于仅通过观察图像难以准确理解函数的具体数学定义。

因此，在使用直观图形法时，教师要注重引导学生通过观察图像，总结函数的一般性质，并与具体的数学定义相结合。

二、解析推导法解析推导法是三角函数教学中一种重要的方法。

通过对三角函数的具体推导和运算过程的讲解，帮助学生理解函数的定义和运算规则。

使用解析推导法时，教师可以通过逐步推导的方式，将复杂的公式简化为简单的形式，使学生能够更好地理解函数之间的关系。

此外，还可以引导学生分析推导过程中的思想方法和技巧，以提高他们的问题解决能力。

然而，解析推导法可能会使学生陷入公式推导的困境中，忽略对函数性质的理解。

因此，在使用解析推导法时，教师应该注重培养学生的思维能力和抽象思维能力，帮助他们将推导过程与函数的实际应用联系起来。

三、实际问题解决法三角函数在实际生活中有着广泛的应用，如测量、天文学等。

使用实际问题解决法可以帮助学生将所学的三角函数知识运用到实际问题中，从而提高他们对知识的理解和记忆。

在使用实际问题解决法时，教师可以选择一些具体的案例，引导学生思考如何运用三角函数知识解决实际问题。

同时，教师要注重引导学生思考问题背后的数学原理与方法，培养他们的问题解决能力。

然而，实际问题解决法可能会增加一定的难度，对学生的综合能力要求较高。

因此，在使用实际问题解决法时，教师应该根据学生的实际情况，适度调整问题的难度，确保学生能够获得成功体验。

高中三角函数知识点归纳总结

高中三角函数知识点归纳总结除了知识和学问之外，世上没有任何力量能在人的精神和心灵中，在人的思想、想象、见解和信仰中建立起统治和权威。

下面小编给大家分享一些高中三角函数知识点归纳总结，希望能够帮助大家，欢迎阅读!高中三角函数知识点归纳一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o，90o)的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方(或下方);2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα，求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α，故1.若sinα+cosα=t，(且t2≤2)，则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t，(且t2≤2)，则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称;3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

三角函数中数学思想方法归纳解析

高考三角函数中数学思想方法归纳解析在三角函数这一章的学习和复习过程中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。

下面通过例题透视三角函数中的数学思想。

一、数形结合思想由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。

例1．求不等式x x cos sin >在[]ππ,-上的解集。

解析：设x y sin 1=，x y cos 2=，在同一坐标系中作出在[]π,0上两函数图像(如图1)，在[]π,0上解得x x cos sin =的解为4π=x 或43π=x ，故由图像得要使得21y y >，即434ππ<<x ，由于x y sin 1=，x y cos 2=在[]ππ,-上为偶函数，故在[]0,π-上的解为443ππ-<<-x ，得原不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--43,44,43ππππ 二、分类讨论思想分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。

分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。

例2．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，且022sin 2cos 2<--+m m θθ恒成立，求m 的取值范围。

解析：令()12sin 2sin 22sin 2cos 22--+-=--+=m m m m f θθθθθ令θsin =t ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，得10≤≤t ，则()()12122222++---=--+-=m m m t m mt t t f ，[]1,0∈t ，()0<θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ上恒成立，()t f ∴在[]1,0∈t 上恒成立。

三角函数中的数学思想

三角函数中的数学思想三角函数是中学数学的重要内容之一，符号与变元、集合与对应、数形结合等基本数学思想在研究三角函数时起着重要作用，分析、探索、化归、类比、平行移动、伸长和缩短这些常用的基本方法时隐时现。

这些数学思想方法为学生学习数学和应用数学提供了一个新的领域，教科书对此作了渗透，教学时应注意及时提醒或强调。

下面谈谈这些具体的数学思想和方法：一、数形结合思想数形结合思想是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的数学思想方法。

例1：已知0＜θ<，求证sinθ<θ<tanθ。

分析：本题所要证明的不等式中各个部分的意义完全不同（分别是角θ的正弦值、角θ、角θ的正切值），因此，证明的关键是找到联系三者的纽带，这就是单位圆中的三角函数线。

评注：本题是一道新颖而别致的题目，此证法体现了数学中数与形的完美结合。

二、分类讨论思想数学基础知识（如法则、公式、定理、性质、基本方法等）的应用都有一定的条件，就是说只能在一定的范围内使用它们。

当在一个比它需要的条件更广的范围内求解问题时，要应用这些基础知识，就需要把这一更广的范围划分成几个较小的范围以适应基本知识所需的条件，在每一个较小的范围内都把问题解决掉。

通俗地讲，就是“化整为零、各个击破”，或者说不同的情况要采用不同的方法去对待。

这种处理问题的思想就是“分类讨论”的思想。

点评：已知α在第几象限，要确定（n∈N+，n≥2）所在的象限，常用的方法是分类讨论，并且按被n除所得的余数0、1、2、…、n-1分为n类。

三、函数思想函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决。

点评：本题若不注意考察题设特点用函数看问题，而是按照通常方法去括号、因式分解去证就比较繁琐。

求解三角函数问题的五种思想方法

求解三角函数问题的五种思想方法新的课程理念认为，通过学习学生应“了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用……体验数学发现和创造的历程。

”因此，在教学中应注重数学思想的渗透。

而在现行的中学数学教材中，数学思想方法的内容比较隐蔽，除了一些具体的数学方法，如消元法、换元法、待定系数法、比较法、反证法等有明确陈述外，其余一些重要的数学思想方法都没有比较明确的阐述，比如，化归思想、分类讨论思想、数形结合思想……它们一直蕴含在基础知识教学中，隐藏在“幕后”，因此，我们在教学中应安排它们到“前台”亮相，这样才能使学生更好地掌握所学知识。

下面简单介绍一下求解三角函数问题需要用到的几种常见的数学思想。

1 化归思想化归思想就是把不熟悉的问题转化为熟悉问题的数学思想.，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上。

对于含有x x x x c o s s i n ,c o ss i n ±的函数的最值问题，常用的解决方法是令2,c o s s i n ≤=±t t x x ，将x x cos sin 转化为t 的关系式，最终化归为二次函数的最值问题。

例1 求函数x x x x y cos sin cos sin 1+++=的最大值和最小值。

解：设x x t cos sin +=，则]2,2[-∈tx x x x x x t cos sin 21cos cos sin 2sin 222+=++= ，221)1(2112+=++=∴-t t y t， 2223)12(212max +=+=∴y ，0min =y 其实，化归思想在三角函数中处处可见，如应用诱导公式的解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角，化非锐角为锐角……；三角式的化简过程通常遵循的原则，如切割化弦、化异为同、化高为低、化大为小……2 类比思想类别思想是是根据两个（或两类）不同对象之间在某些方面（如特征、属性、关系等）有相同或相似之处，推导或猜测它们在其它方面也可能相同或相似，并作出某种判断的推理思想。

初三数学三角函数知识点：解题思想方法总结

初三数学三角函数知识点：解题思想方法总结1．转化思想
转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．
2．数形结合思想
本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．
3．函数思想
锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．
4．方程思想
在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．
精心整理，仅供学习参考。

高中数学：三角函数中的常用数学思想方法

一、方程的思想例1、已知sinθ+cosθ=，θ（0，π），则cotθ=________。

解析：由sinθ+cosθ=平方得sinθcosθ=。

又θ（0，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0，且sinθ＞，将sinθ，cosθ看作是方程的两根。

所以sinθ=，cosθ=。

从而cotθ=，应填。

二、函数的思想例2、已知x，y ∈[]，且x3+sinx-2a=0①，4y3+sinycosy+a=0②，求cos(x+2y)的值。

解析：设f(u)=u3+sinu。

由①式得f(x)=2a，由②式得f(2y)=－2a。

因为f（u）在区间[]上是单调奇函数，所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。

又所因x,-2y∈[]，所以x=-2y，即x+2y=0。

所以cos(x+2y)=1。

三、数形结合的思想例3、函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是______。

解析：f(x)=函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1＜k＜3。

四、化归的思想例4、设α为第四象限的角，若，则tan2α=_________。

解析：因为===，所以，tan2=。

又因为为第四象限的角，所以tan=，从而求得tan2=。

五、分类讨论的思想例5、若△ABC的三内角满足sinA=①，问此三角形是否可能为直角三角形？解析：假设△ABC可以为直角三角形。

（1）若B=90°，则A=90°-C，代入①中，得sin(90°-C)=，所以cos2C=1+sinC，1-sin2C=1+sinC，所以sinC=1，即C=90°。

这是不可能的，所以B≠90°。

（2）同理，C≠90°。

（3）若A=90°。

①式右边=①式左边=sinA=sin90°=1。

所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。

数学思想方法在三角函数中的应用

数学思想方法在三角函数中的应用四川张继海数学思想方法属于方法范畴，但更多地带有思想、观点的属性，是数学知识在更高层次上的抽象和概括．中学教学与高考考查中，常用的数学思想有：化归与转化的思想，函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想等．本文主要说明的是，数学思想方法在三角函数中的应用．在三角函数一章中，主要用到的数学思想方法有：1．化归与转化的思想把未知化归为已知，如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归为求锐角的三角函数值；把特殊化归为一般，如把正弦函数的图象逐步化归为函数y = A sin （ωx + φ），x ∈R （其中A ＞0，φ＞0）的简图，把已知三角函数值求特殊范围内的角逐步化归为求适合条件的所有角的集合等；等价化归，如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式．2．函数与方程思想在某些等式条件中，余弦定理，特别是已知三角函数值求角时，可将其看作是关于某个元的方程（组），借助解方程（组）的思想使问题得以解决．3．数形结合的思想如将角的研究纳入直角坐标系下，利用三角函数线作正弦、余弦、正切函数的图象，利用图象求解某些三角等式或不等式问题．4．分类与整合的思想如已知角α 的某一三角函数值，求α 的其余三角函数值或求角α 时，则应分情况讨论α 的范围或所在象限，用正弦定理解已知两边和一边的对角这类斜三角形问题时亦应分类讨论．例1 在△ABC 中，已知364=AB ，66cos =B ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．分析与解设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE ∥AB ，且DE =36221=AB ．设BE = x ，在△BDE 中，利用余弦定理可得： BD 2 = BE 2 + ED 2－2 BE ·ED ·cos ∠BED ，∴ 5663622382=⋅⋅++x x ， 3x 2 + 4x －7 = 0，解得 x = 1，37-=x （舍去），故 BC = 2．从而 328cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即 3212=AC ．∵ 630sin =B ， ∴ 3063212sin 2⋅=A ， 1470sin =A ．评注本题内涵丰富，结构特别，有很多（至少5种）解法，同学们不妨一试．它不仅对方程的思想、数形结合的思想有较深入的考查，而且对等价转化的思想方法也有很高的要求．例2 已知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ，51)sin(=-B A ．（1）求证：tan A = 2tan B ；（2）设AB = 3，求AB 边上的高．分析与解题目给出的条件是两角和与差的正弦值，用和、差角公式将其展开，得53sin cos cos sin =+B A B A ， ①B EC D A51sin cos cos sin =-B A B A ． ② 此时有sin A ，cos A ，sin B ，cos B 四个未知数，显然不能通过两个方程求出，因此将sin A cos B ，cos A sin B 看成两个未知数（二元一次方程组），将其整体解出，得52cos sin =B A ，51sin cos =B A ．由于两个等式相除可得正切与余切，tan A ·cot B = 2，即tan A = 2 tan B ．（这也可从转化待定式 ⇐ BBA A cos sin 2cos sin = ⇐ sin A cosB = 2cos A sin B 得到有效支撑）．由第（1）问的结论，能得关于tan A 与tan B 的一个方程 tan A = 2 tan B ．③ 还需要再建立一个关于tan A 与tan B 的方程，这个方程可由已知条件53)sin(=+B A 及ππ<+<B A 2求得，先得出43)tan(-=+B A ，展开后，得43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ．④ 解由③、④组成的方程组，可求出 62tan +=A ，262tan +=B ．求CD 时，同样需要列方程：AB = AD + DB =623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB = 3，可解得AB 边上的高62+=CD ．评注本题是对三角恒等变形及求值问题的考查，重点放在方程思想和转化思想上，其解题过程是方程思想与转化思想的最佳体现．例3 已知函数y = tan （2x + ϕ）的图象过点)0,12(π，则ϕ 可以是（）．A ．6π-B ．6π C ．12π- D ．12π分析与解 ∵ y = tan （2x + ϕ）过点)0,12(π，∴ 0)6t a n (=+ϕπ，即 πϕπk =+6，6ππϕ-=k ，k ∈Z ．当 k = 0时，得 6πϕ-=，选A ．评注将点代入后，化为已知三角函数值求角的问题，这时应通过坐标系写出满足条件的角的终边所在象限的所有角，再结合题目要求求出其解．例4 已知α，β，γ 是成公比为2的等比数列（α∈[ 0，2π ]），且sin α，sin β，sin γ 也成等比数列．求α，β，γ 的值．分析与解 ∵ α，β，γ 是成公比为2的等比数列， ∴ β = 2α，γ = 4α．（减少变量，消元） ∵ sin α，sin β，sin γ 成等比数列，∴ βγαβsin sin sin sin = ⇔ αααα2sin 4sin sin 2sin = ⇒ cos α = 2cos 2α－1，即 2cos 2α－cos α－1 = 0，（化归为关于cos α 的二次方程）解得 cos α = 1，或 21cos =α．当 cos α = 1时，sin α = 0，与等比数列的首项不为零矛盾，故cos α = 1应舍去．当 21cos =α，α∈[ 0，2π ] 时，32πα= 或 34πα=．所以 32πα=，34πβ=，38πγ= 或 34πα=，38πβ=，316πγ=．评注本题通过将文字叙述向等式（符号）转化，使用方程思想（消元）化为关于cos α的一元二次方程，并时时注意字母取值范围，而简捷获解．例5 已知 6 sin 2α + sin α·cos α－2cos 2α = 0，],2[ππα∈，求)32sin(πα+的值．分析与解首先从已知出发，需要将二次式转化为一次式（因式分解转化），（或减少函数名种类，转化为关于tan α 的一元二次方程），有（3sin α + 2cos α）（2sin α－cos α）= 0，即 3sin α + 2cos α = 0 或 2sin α－cos α = 0．由已知条件可知cos α≠0，所以2πα≠，即),2(ππα∈，从而tan α＜0，∴ 32tan -=α．其次从待求式出发，有 3sin 2cos 3cos 2sin )32sin(παπαπα+=+=)sin (cos 23cos sin 22αααα-+=αααααααα222222sin cos sin cos 23sin cos cos sin +-⋅++ =αααα222tan 1tan 123tan 1tan +-⋅++=ααα22tan 22tan 3tan 23+-+．于是将tan α 的值代入，不难计算出)32sin(πα+的值等于261235-，为所求．评注本题对已知和待求式一再进行等价转化，目的是沟通它们的联系，寻到一个联结点tan α．事实上，若借助于计算器（机），亦可由32tan -=α直接求出角α≈－33.69︒，代入)32sin(πα+快速求得其值为－0.12845，与上述结果一致．例6 若513sin 3sin =αα，求cos α 的值．分析与解 αααααs i n )2s i n (s i n 3s i n +==513sin sin 2cos cos 2sin =+ααααα， ∴513sin sin 2cos cos sin 22=+ααααα，即 5132cos cos 22=+αα，518cos 42=α， 109cos 2=α．∴ 10103cos ±=α．评注本题通过和角公式、倍角公式（或变形）对已知条件一再实施转化，使其和结论联系起来．例7 函数xxx f cos 2cos 1)(-=（）．A ．在]2,23(),23,[,],2(),2,0[πππππππ在上递增上递减B ．在]2,23(),,2[,]23,(),2,0[πππππππ在上递增上递减C ．在]23,(),2,0[,]2,23(],,2(πππππππ在上递增上递减D ．在]2,2(),2,0[,],23(),23,0[ππππππ在上递增上递减分析与解将函数f （x ）简单化、明显化，有x x x x x x x f cos |sin |2cos sin 2cos )sin 21(1)(22==--=是分段函数，即⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=.0sin ,tan 2,0sin ,tan 2)(x x x x x f（1）在一、二象限时sin x ＞0，x x f tan 2)(=单调递增；（2）在三、四象限时sin x ＜0，x x f tan 2)(-=单调递减．于是，结合备选项，选A ．评注本题综合考查三角函数式的化简及分段函数知识，同时较好地考查了三角函数的性质，整个解题过程十分深刻地蕴含了多种数学思想的应用．例8 函数y = A ·sin （ω x + ϕ）（ω＞0，| ϕ |＜2π，x ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（）．A ．)48sin(4ππ+-=x yB ．)48sin(4ππ-=x yC ．)48sin(4ππ--=x yD ．)48sin(4ππ+=x y 分析与解由图象可以看出，A = 4，262+=T ， ∴ T = 16，于是 8162ππω==．将点（－2，0）（或（6，0））代入函数)8sin(4ϕπ+=x y 中，得0)4sin(=+-ϕπ，∴ πϕπ=+-4（比照到正弦函数五点作图简法，此处对应于π），∴ )458sin(4ππ+=x y ．又 ∵ 2||πϕ<， ∴ 函数表达式为 )48sin(4πππ++=x y =)48sin(4ππ+-x ，选A ．评注本题考查给定三角函数图象，求三角函数表达式，考查方程、数形结合和化归的数学思想．自我检测一、选择题1．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）． D A ．sin （α + β）＞ sin α + sin β B ．sin （α + β）＞ cos α + cos β C ．cos （α + β）＜ sin α + sin β D ．cos （α + β）＜ cos α + cos β2．当20π<<x 时，函数xx x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（）． CA ．2B ．32C ．4D ．34 解将函数式等价化为xx x x x x x x x x x f tan 1tan 4cos sin 4sin cos cos sin 2sin 8cos 2)(22+=+=+=，所以，当20π<<x 时，有f （x ）≥ 4，选C 。

关注：三角函数解题中的数学思想方法

１２
，当狋＝槡２
时，狔
有
最大值为１２
＋槡２．
评注：第（１）小题利用消元法，第（２）小题利用换
元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变
量的取值范围．本题告诉我们，当无法直接利用三角函数的有关知识解决三角函数问题时，一般可采用换
元或消元的思想，转化为其他函数来解决，可谓“他山
化法．
三、函数与方程思想
图１
解析：我们可把原函数犳（狓）＝槡狓－ｃｏｓ狓看成幂函数狔＝槡狓与余弦函数狔＝ｃｏｓ狓的差，于是把它们画在在同一坐标系中，如图１所示，狔１＝槡狓与狔２＝ｃｏｓ狓，狓 ∈ ［０，＋ ∞）的图像，从图像上直接可以看出狔１与狔２的图像只有一个交点，所以犳（狓）＝槡狓－ｃｏｓ狓在［０，＋ ∞）内只有一个零点．
１２
时，ｓｉｎ狔－ｃｏｓ２狓
有最小值
－１１１２；当ｓｉｎ狓
＝－
２３
时，ｓｉｎ狔－ｃｏｓ２狓有最大值４９．故ｓｉｎ狔－ｃｏｓ２狓 ∈
［］－１１１２，４９．
（２）设ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓＝狋（－槡２ ≤狋≤ 槡２），则ｓｉｎ狓·
ｃｏｓ狓
＝狋２２－１，则狔＝
１２狋２
＋狋－
一、数形结合思想
在《三角函数》这章中，数形结合思想贯穿始终，
主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数
的定义，并推导出同角三角函数的基本关系；利用三
角函数线画正（余）弦及正切函数的图像．
例１函数犳（狓）＝槡狓－ｃｏｓ狓在［０，＋ ∞）上的
教学参谋解法探究２０２０年２月

三角函数导数解题思想总结

三角函数导数解题思想总结三角函数的导数是求导中的一类特殊函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

求解三角函数的导数需要掌握一些基本的求导规则和公式，下面总结一下三角函数导数解题的思想。

1. 正弦函数的导数：根据求导的定义，可以得到正弦函数的导数公式：(sinx)' = cosx。

根据此公式，可以将正弦函数的求导转化为求余弦函数的导数，将求导的难度降低。

2. 余弦函数的导数：根据求导的定义，可以得到余弦函数的导数公式：(cosx)' = -sinx。

根据此公式，可以将余弦函数的求导转化为求负的正弦函数的导数，将求导的难度降低。

3. 正切函数的导数：根据求导的定义，可以得到正切函数的导数公式：(tanx)' = sec^2x。

根据此公式，可以将正切函数的求导转化为求其它三角函数的导数，将求导的难度降低。

4. 其它常见三角函数的导数：对于其他常见的三角函数，如反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等，可以利用链式法则求导。

链式法则：设y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。

在应用链式法则求导时，需要将三角函数复合函数的内外函数分别找出，并分别求导。

5. 常见的三角函数导数公式：- 正弦函数的导数：(sinx)' = cosx- 余弦函数的导数：(cosx)' = -sinx- 正切函数的导数：(tanx)' = sec^2x- 反正弦函数的导数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)- 反余弦函数的导数：(arccosx)' = -1/√(1-x^2)- 反正切函数的导数：(arctanx)' = 1/(1+x^2)在解题时，首先要确定所求函数是否为三角函数，并根据函数的特点选择相应的求导公式。

如果遇到复合函数求导，可以利用链式法则。

另外，注意在应用求导公式时，要注意变量的取值范围，避免出现定义域之外的情况。

谈三角函数中的思想方法

能 “ 一招 ”连 “ 一招” ，很快破题．
一
类题演练１：求ｓ２０＋Ｏ０＋、３ｉ２。ｉ２。ＣＳ。／ｓ０ｎ８ｎｃｓ０的值．ｏ２。二、数形结合思想
“ 数少形时缺直观，形少数时难入微”它准确地告诉我们：数形结合，相得益彰；利用数、式进行深入细致的分析；利用图形直观又可以看出数、式的内
＝ｃ，ｏ
１ＪＪｕ
得亩，ｓ１ｉ０ｎ￣７＝即ｉ￣３ｓ０ｉｏｎｓ￣５ｓ０亩・０ｎｉｎ
点评：本题抓住正弦与余弦的对称性，在已知正弦积的情况下，引入余弦积，结合倍角公式使问题巧
妙获解．
＝ｓ．ｉ
因＋：嗥＋：＋ｎ：此里辈旦曼１粤。ｉ．
解析二：由已知得Ａ（Ｏ２，ｎ）Ｂｃｓ，ｉｆＣＳＬｓ２，（ｏ２ｓ２）Ｏｉａｌｆｎ１
例２．求ｃｓ０ｃｓ０＋ｏ８。ｏｌ０＋ｏｌ０ｏ４。ｏＳ。ｃｓ０ｃｓ６。ｃｓ６。ｃｓ０的值．ｏ４。
解析：设ｘｃｓ０ｃｓ０＋ｏ８。ｏｌ０＋ｏｌ０＝ｏ４。ｏ８￣ｃｓ０ｃｓ６。ｃｓ６￣
在关系．
、
对称思想
对称思想是数学美的体现，它涉及数学的方方面面．一想：乘与除、加与减、正弦与余弦、正切与想余切等都存在着大量的对称因素．
例１求ｓｌ。ｉ３。ｉ０ｓ７。．ｉＯｓ０ｓ５。ｉ０的值．ｎｎｎｎ
解析：设＝ｉｌ。ｉ３。ｉ５。ｉ７，ｙｃｓ０ｓＯｓ０ｓ０ｓ０＝ｏｌ。ｎｎｎｎ

灵活运用数学思想，高效解答三角函数问题

备考指南三角函数是高考的必考内容之一.解答三角函数问题，不仅需灵活运用三角函数的性质、公式、图象，还需运用各种数学思想，如换元思想、分类讨论思想、方程思想、整体代换思想来求解.本文主要谈一谈如何灵活运用数学思想，高效解答三角函数问题.一、整体代换思想整体代换思想是指将某些式子看作一个整体，用新元进行代换.在求三角函数值、化简三角函数式、求三角函数的单调区间时，灵活运用整体代换思想，可使问题快速获解.在解题时，需将一些较为复杂的式子、频繁出现的式子进行代换，这样便于简化运算.例1.已知函数f ()x =A sin ()ωx +ϕ(A ＞0,ω＞0,0＜||ϕ＜π2)部分图象如图1所示，若x 4-x 1=π，x 2=π6.(1)求函数f ()x 的解析式；(2)求f æèöøπ6-x 的单调递增区间.图1O解：(1)f ()x =2sin æèöø2x -π6;(过程略)(2)由(1)可得，f æèöøπ6-x =2sin éëêùûú2æèöøπ6-x -π6=2sin æèöøπ6-2x =-2sin æèöø2x -π6,而2sin æèöø2x -π6的单调递增区间与函数y =2sin θ的单调递增区间一致，因为π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z ，所以π2+2k π≤2x -π6≤3π2+2k π，k ∈Z ，解得π3+k π≤x ≤5π6+k π，k ∈Z ，则f æèöøπ6-x 的单调递增区间为éëùûπ3+k π,5π6+k π，k ∈Z .我们需先用π6-x 替换f ()x =2sin æèöø2x -π6中的x ，通过整体代换求得函数f æèöøπ6-x 的解析式；然后将其与函数y =2sin θ的单调递增区间π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z 相对应，于是将θ替换成2x -π6，通过整体代换求得x 的取值范围，即为函数的单调递增区间.二、数形结合思想正弦函数、余弦函数、正切函数的图象均有其独特的性质和形状.在解答三角函数问题时，可灵活运用数形结合思想，借助三角函数的图象来分析问题.首先需根据题意和函数式画出函数的图象；然后通过观察图象，确定函数的对称轴、最高点、最低点、零点，并明确函数的变化趋势；再根据题目的要求建立关系式.例2.已知函数f ()x =sin x +2||sin x ，x ∈[]0,2π的图象与直线y =k 有且仅有两个交点，则k 的取值范围为______.解：由题意可得，f ()x =ìíî3sin x ()0≤x ≤π，-sin x ()π≤x ≤2π，画出函数的图象，如图2所示.图2当x ∈[]0,π时，f ()x 的最大值为3，当x ∈[]π,2π时，f ()x 的最大值为1，由图可知，要使f ()x 的图象与直线y =k 有且仅有两个交点，需使1＜k ＜3.根据函数f ()x =sin x +2||sin x 的解析式，我们很容易画出函数的图象，于是在同一个坐标系中分别画出函数f ()x =sin x +2||sin x 和直线y =k 的图象，并移53动直线.通过观察图象，可以发现，只有在1＜k ＜3时，函数f ()x 与直线y =k 有两个交点.这样运用数形结合思想，就能快速求得参数k 的取值范围.例3.已知函数f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1(ω＞0)的周期为π，当x ∈éëùû0,π2时，方程f ()x =m 恰好有两个不同的实数解x 1、x 2，则f ()x 1+x 2=_____.解：∵f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1=3sin æèöøωx +π6，而函数的周期为π，∴T =2πω=π，ω=2，∴函数f ()x =3sin æèöø2x +π6，画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m在éëùû0，π2上的图象，如图3所示.0图3由图可知，关于x 1、x 2，x 1+x 2=2×π6=π3，则f æèöøπ3=2sin æèöø2×π3+π6=2×12=1.将函数式f ()x 化简后，在同一坐标系中画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m 在éëùû0，π2上的图象，即可通过观察图象，发现当方程f ()x =m 有两个不同实数解时，函数f ()x 的对称轴为x =π6，根据函数的对称性就能快速求得x 1+x 2的值.三、方程思想运用方程思想解答三角函数问题，需寻找问题中的等量关系，选取合适的变量，建立关于变量的方程或者方程组，通过解方程或方程组求得问题的答案.例4.已知sin θ+cos θ=15，θ∈()0,π，则cot θ=_____.解：将sin θ+cos θ=15平方，可得sin θcos θ=-1225，因为θ∈()0,π，所以sin θ＞0，cos θ＜0，且sin θ＞||cos θ，将sin θ，cos θ看作方程x 2-15x -1225=0的两个根，则sin θ=45，cos θ=-35，可得cot θ=cos θsin θ=-34.已知关系式中含有sin θ、cos θ，而由同角三角函数的商式关系式可知cot θ=cos θsin θ，于是将已知关系式平方，根据同角三角函数的平方关系式sin 2θ+cos 2θ=1，得到sin θcos θ=-1225，即可根据韦达定理，构造一元二次方程x 2-15x -1225=0，并将sin θ、cos θ看作方程的两个根，通过解方程，求得问题的答案.例5.若2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x=0，求2cos 2x +sin 2x 1+tan x 的值.解：2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x =2sin 2x +()cos x -6sin x +3cos x -cos 2x ，Δ=(cos x 22x =9()cos x -22，可得sin x =()6-cos x ±()6-3cos x 4，整理得sin x =3-cos x (舍去)或sin x =12cos x ，则tan x =12，所以2cos 2x +sin 2x 1+tan x =2cos x ()cos x +sin x sin x +cos xcos x=2cos 2x =2cos 2x sin 2x +cos 2x =2tan 2x +1=85.将已知关系式看作关于sin x 的一元二次方程，即可通过解方程求得sin x 的表达式，进而求得tan x 的值.可见，灵活运用数学思想，能有效提升解答三角函数问题的效率.在解题的过程中，需根据题意，将已知关系式进行代换，将数形结合起来，构造出合适的方程或方程组，以便运用整体代换思想、数形结合思想、方程思想，快速求得问题的答案.（作者单位：冯艳玲，福建省三明市第九中学；谢定亮，福建省三明第一中学）备考指南54。

三角函数中的思想方法

三角函数中的思想方法
三角函数是数学中一门重要的分支，是描述角度和周期性现象的函数。

它是高中数学的重要内容，并且在应用数学、物理学和工程学等领域中都
有广泛的应用。

三角函数的研究方法和思想可以概括为以下几个方面：
2.周期性思想：三角函数具有周期性特点，这一特点在研究和利用三
角函数时非常重要。

通过观察和推导，我们可以得出三角函数的周期为
2π（或360°），即函数值在每个周期内重复出现。

这个周期性特点可
以帮助我们对函数进行简化和推理，从而更好地理解和应用三角函数。

3.对称性思想：三角函数具有奇偶性和对称性，这是研究和利用三角
函数的另一个重要思想。

例如，正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)，而余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。

这种奇偶性和对称性可以帮
助我们简化计算和推导过程，同时也有助于理解和解释三角函数的性质。

5.数学模型思想：三角函数不仅仅是一种数学工具，还可以应用于实
际问题的建模和解决。

通过建立三角函数和实际问题之间的关系，我们可
以把实际问题转化为数学问题，并利用三角函数的性质和定理进行求解。

这种思想可以帮助我们将抽象的数学知识与实际问题相结合，更好地应用
和理解三角函数。

三角函数中的数学思想方法归纳

一
、
化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题转化，未知问题向已知问题转化，抽象问题向具体问题转化等。例３已知定义域为Ｒ的函数）为奇函数，
．
且在定义域上为单调递增函数，００詈］当 ∈［，时，
ｔ２
即（ｓ一二２２０ｃＯ詈）一叶＋ｍ一＞。ｏ
又 ’ Ｅ［，］．≤ｃｓ ≤１．Ｏ０等Ｏ０。
二
１
ｔ２
—
１１
一
２ ’
—
（当０詈≤ ， ≤ ≤ 时，２１ ≤二１）即０ｍ２则一－＋ｍｒ
２＞０：
・＝．＝ ’，∈ 一，ｕ一，・一１．ｆ — ’ １（ ÷ 一 ’Ｌ一）、１Ｙ， ‘ ［ＹＬ， ’
・．．
√ ］２。
，
（）＞１即，２贝一ｍｌ２２—，，＞时，０２ＩＨ一ｌＸ＋ｍ一２；＞０
。・．
一
（）例１求函数厂：
．
望一的最大、最
。
ｌ＋Ｓｎ十Ｃ０ｌＳ
小值。解析：由条件和问题联想到公式（ｉｘ±ｅｓ）ｓｎｏｘ１ｓｘｏｘ可实施整体代换求最值。 ±２ｉｃｓ，ｎ
＝
４：ｍ）且函数在定义域上单调递增，
．
例２设０，ｌ且ｃ２＋ｒｉ — ｍ一 ∈ｌ－，ｏ０２ｓ０２０Ｃｓｏｎ
２０恒成立，ｍ的取值范围。＜求解析：厂０令（）＝ｃｓ＋２ｉＯ一２一２＝ｏ２ｍｓｎｍｓｌ＋２ｎｉ０ｍ￣Ｏ一２一１令ｔ＝ｓ０由０∈ Ｉ２ｍ，ｉ，ｎ

三角函数总结大全附记忆口诀

三角函数总结大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。

它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

下面为大家整理的三角函数公式大全：（一）任意角的三角函数及诱导公式1．任意角概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。

旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．象限角、终边相同的角、区间角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。

3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

最全高中三角函数总结

三角函数做题技巧与方法总结知识点梳理1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2、三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3、三角函数的诱导公式sin （2kπ+α）=sinα sin （π+α）=－sinα sin （－α）=－sinαcos （2kπ+α）=cosα cos （π+α）=－cosα cos （－α）=cosαtan （2kπ+α）=tanα tan （π+α）=tanα tan （－α）=－tanαsin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosαcos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinαtan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotαsin 2(α)+cos 2(α)=14、两角和差公式5、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosαsin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α)cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 6、半角公式：2cos 12sinαα-±=； 2cos 12cos αα+±=； αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=7、函数Bx A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心 8、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。