博弈论(完全信息静态博弈)

一致预测性是纳什均衡的本质属性，
纳什均衡是稳定的和自我强制的.
二、纯策略NE的求法
1.反复删除严格劣策略 (iterated

elimination of strictly dominated strategies)
严格占优策略 （Strictly Dominant Strategies）

ˆ 不管其他局中人选择怎样的策略， s i 始终是局中 人i 的最优反应。

严格劣策略
局中人2
L U 3，0 1，-1 2，4 M 0，-5 －3，3 4，1 R 0，-4 -2，4 -1，8
局中人1
C D

重复剔除严格劣策略均衡
局中人2
L M R
U
3，0
1，-1 2，4
0，-5
-3，3 4，1
0，-4
-2，4 -1，8
局中人1
C D
S10 S1 {U , C, D}
a11 ... a1n b11 ... b1n A ... ... ... ，B ... ... ... am1 ... amn bm1 ... bmn


可称为双矩阵博弈。 若 A=-B,则称为零和博弈，二人有限零和博弈 可用一个矩阵表示，也称为矩阵博弈。 矩阵博弈的均衡
二、若干例子
1. 俾斯麦海之战(1943)－（p14)
日军上将木村：将日军运送到新西兰 美军上将肯尼：轰炸日军运输船
木村 北线(短) 南线(长) 肯尼 北线 南线 2，-2 1, -1 2，-2 3, -3
例3：智猪博弈（p18）
猪圈有一头大猪、一头小猪，按一下按钮会有 10个单位的饲料，但按按钮要2个成本。
第一章 完全信息静态博弈
§1.1 博弈论基本概念 §1.2 纳什均衡（Nash Equilibrium） §1.3 二人有限博弈 §1.4 混合策略和混合扩张 §1.5 连续策略
〔例1〕囚徒困境
（p12）
囚徒1
抵赖
囚徒2
坦白
-10,0 -8, -8
抵赖 坦白
-1，-1 0, -10
基本概念

例5 协调博弈(p23)
大 大 小 2，2 -1，-1
小 -1，-1 1，1
危险的协调(p24)
大 大 小 1,1 -1000，-1
小 -1，-1 2,2
三、多重均衡的选择



1.帕累托优超均衡（Paroto-Dominant Dquiliblium） 2.风险优超均衡（Risk D.E.） 3.聚点均衡（Focal Points E.） 4.相关均衡(Crrelated E.)
如：占优策略均衡、重复剔除严格劣策略均衡 、纳什均衡、子博弈精练均衡 等 存在性、唯一性
博弈的标准形

策略式博弈
G (Si , u )
N i i 1
例：囚徒困境 S1= S2={抵赖、坦白} N1 Si S1 S2 j
u1 (c, d ) 10
u1 (d , c) 0 u1 (d , d ) 8
博弈方 Ⅰ
上 下
1,0 0,4
1,3 0,2
0,1 0,0
解：该博弈的纳什均衡为（上，中）。
2、箭头法 考察在每个策略组合处各个局中人能 否通过单独改变自己的策略而增加得益。 如能，则从所分析的策略组合对应的得益 数组引一箭头，到改变策略后策略组合对 应的得益数组。若存在一策略组合，其得 益数组只有进来的箭头而没有出去的箭头， 则该策略组合就是纳什均衡。
§1.4混合策略和混合扩张

一、混合策略的引入 定义 二、双矩阵博弈的混合扩张
§1.4混合策略和混合扩张


一、混合策略的引入 定义（P69） 二、双矩阵博弈的混合扩张 三、2x2双矩阵博弈的NE
二、双矩阵博弈的混合扩张
1.二人有限博弈的纯策略形式
设G=(S,U)
α … α
m 1
β
这显然与(s1*,s2*,…,sn*)是纳什均衡 策略组合的假设相矛盾，因为不等式(2) 表明si＊不是局中人i对其他局中人的策略 组合的最佳反应。
该矛盾证明了开头所作的：纳什均衡被严 格被优超策略反复消去法消去的假设是不可能 成立的，这样命题1就得到了证明。 ＃
命题2：在n 个局中人的博弈G中， 如果严格劣策略反复消去法排除了除 s*=(s1*,s2*,…,sn*)之外的所有策略组合， 那么s*一定是该博弈惟一的纳什均衡。
S11 {U , D} S12 {U }
S 20 S 2 {L, M , R}
1 S 2 {L, R}
S 22 {L}
反复消去严格被优超策略
例2：博弈G如右图：
局中人 Ⅰ 上 下
局中人Ⅱ 左 中 右
1,0 0,4 1,3 0,2 -1 , 1 0,0
左 中 解：局中人Ⅱ的策略 “右”是策略“中”的严格 上 1 , 0 1 , 3 被优超策略，消去策略“右” 下 0,4 0,2 后为： 局中人Ⅰ的策略“下” 是策略“上”的严格被优 左 中 超策略，消去策略“下” 上 1,0 1,3 后为： 局中人Ⅱ的策略“左”是 策略“中”的严格被优超策 略，消去策略“左”后为可 1 , 0 1 , 3 -1 , 1 知（上，中）就是该博弈反 0 , 4 0 , 2 0 , 0 复消去严格被优超策略均衡。
证：命题2的后半部分即惟一性可由命题1 的结论得到证明。下面用反证法证明前半部分：
2、划线法 对其他局中人的任一策略组合，找出局 中人i的最佳策略，并在其得益值下划线。若 存在一个策略组合，使得所有局中人的得益 值下都划了线，则该策略组合就是一个纳什 均衡。
例3：博弈G如右图：
局中人Ⅱ 左 中 右
u1 (c, c) 1
＝{(抵赖,抵赖)、(抵赖,坦白)、 (坦白,抵赖)、 (坦白,坦白)}
u2 (d , c) 10
u 2 (d , d ) 8
u 2 (c, c) 1 u 2 (c, d ) 0
§1.2 纳什均衡（Nash Equilibrium）
一、纯策略纳什均衡的定义： * 策略组合s 是一个纳什均衡，当且 仅当
s i S i
ˆ ui (si , si ) ui (si , si )
ˆ s i si

严格劣策略

ˆ 对于策略 s i ，如果存在策略 s i ，
ˆ ui (si , si ) ui (si , si ) si S i
那么称 s i 为局中人在S上的严格劣策略 或 “严格被优超策略”。 ——“理性的局中人不会选择严格劣策略”

并且每个局中人在不确定下的效用函数都具有期望 效用函数性质。
纳什均衡的一致预测性
一致预测性是指这样一种性质：如果所 有局中人都预测一个特定的博弈结果会出现， 那么所有的局中人都不会利用该预测或者这 种预测能力，选择与预测结果不一致的策略， 即没有哪个局中人有偏离这个预测结果的愿 望，因此这个预测结果最终真会成为博弈的 结果。
对于任意局中人 ，有 i ui ( s , s ) ui ( si , s ), si Si
* i * i * i
即在一个纯策略组合中，如果给定其他人的策略 不变，任何局中人都没有积极性改变自己的策略， 则该策略组合为一个纳什均衡。
基本假设

博弈规则是共同知识 “局中人是理性的”是共同知识
ui (si／,s-i) > ui (si＊,s-i) …(1)
对任意由其他局中人此时尚未消去的所有策略构 成的策略组合s-i=(s1,…,si-1,si+1,…,sn)都成立。
由于假设si＊是纳什均衡(s1*,s2*,…,sn*)的各 方策略中第一个被消去的，因此其他局中人的策 略s1＊,…,si-1＊,si+1＊,…,sn＊，在si＊被消去的时 候都还没有被消去，于是对s-i＊=(s1 ＊,…,si-1 ＊,s ＊,…,s ＊)也必须成立．即: i+1 n ui (si／,s-i*) > ui (si＊,s-i*) …(2)
行动

行动 ai

局中人所能够做的某一选择 局中人i在某一时点可以选择所有行动的集合 设定何时哪些行动可行

行动集：Ai


行动顺序


行动组合: a=(a1,…,aN)
信息

信息——信息集

当处于行动位置时，局中人所知道的关于其他局中 人（包括自然）过去行动的知识。
策略

策略 si
给定信息集下，一个策略决定了在每一个时点上选 择何种行动。 ——是局中人行动计划的一个完整描述，告诉局中人 在每一种可预见的情况下选择什么行动。


局中人（players） 行动(actions) 信息(information) 共同知识（Common Knowledge） 策略（strategies） 支付(payoff) 结果(outcome) 均衡(Equilibrium)

局中人 N


决策主体，其目标是通过选择行动来最大化自身 的效用 虚拟局中人：自然——在博弈的特定时点上以特定 的概率随机决定行动
2.二人有限博弈的混合策略形式
* s1 { X | xi 0, xi 1} i 1 n * s2 {Y | yi 0, y j 1} j 1 m
E A ( X , Y ) aij xi y j X T AY
i 1 j 1 m n
m
n
EB ( X , Y ) bij xi y j X T BY


策略集 Si 策略组合：s=(s1,…,sN)