期末A 高等数学 下 2009-2010 计算机
高等数学下期末2009-2010(含答案)——06-13试卷资料文档
高等数学下册试卷 2021．6．30姓名： 学院与专业： 学号：一、填空题[共20分] 1、[4分]00x y →→=2、[4分]22Lx y ds +=⎰ , 其中222:L x y a +=3、[4分] ]向量场()()223(2)A x y i xz y j y z k =+-+++的散度为 . 4、[4分] u =在点()0,1处的du =5、[4分]交换二次积分的积分次序()()()2131321,,x x dx f x y dy dxf x y dy -+=⎰⎰⎰⎰二、[8分] 设22,y z f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂三、[8分] 求函数()22,f x y x y =-在圆域224x y +≤上的最大值与最小值。
四、[8分] 求锥面z =被圆柱面222x y x +=割下部分的曲面面积五、[8分] 计算2adxdy ⎰⎰六、[8分]计算曲面积分I xyzdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑为半球面z =的上侧 七[7分] 计算曲线积分()()2211L x dy ydx x y---+⎰，其中L 表示包含点(0,1)A -内的简单闭曲线,沿逆时针方向。
八、[7分]求如下初值问题()()2111,10yy y y y '''⎧=+⎪⎨'==⎪⎩的解九、[7分]求方程24x y y e ''-=的通解十、 [6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）证明阿贝尔定理：若()0000n n n a xx ∞=≠∑收敛, 则当0x x <时,幂级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛; 若10n n n a x ∞=∑发散, 则当1x x >时,幂级数n n n a x ∞=∑发散. 十一、 [7分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）将函数()()210f x x x π=-≤≤展开成余弦级数十二、 [6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）求幂级数13nnn x n∞=+∑的收敛半径和收敛域.十、[6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）计算二重积分Dxy dxdy ⎰⎰, 其中D 是圆域222x y a +≤十一、 [7分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数dy dx 及dz dx 十二、 [6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度,并指出z 在该点沿哪个方向减少得最快?沿哪个方向z 的值不变?参考答案:一、()321201;2;3;;,6ya dx dyf x y dx π--⎰；二、231222222422z y y y f f f x y x x x∂=--∂∂； 三、最大值()2,04f ±=，最小值()0,24f ±=-；五、289a ；六、343R π；七、2π；八、()1112x x y e e --=+；九、2221214x x x y c e c e xe -=++；（非化工类：十、参看教材证明；十一、仿教材例子；十二、仿教材例子）（化工类：十、412a ；十一、()()16,21313x z dy dz xdx y z dx z +=-=++；十二、方向导数5-，梯度{}3,3-，减少最快方向{}3,3-，值不变方向{}1,1±）。
2009级 高等数学A(下册)期末考试试题答案【A卷】
Σ+Σ1
Ω
∫ ∫ ∫ ( ) = 6 2π dθ 1 d ρ 1−ρ2 ρ 2 + z ρdz = 2π …………………….…【7】
0
0
0
( ) ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ 而 I1 = 2x3dydz + 2 y3dzdx + 3 z2 −1 dxdy = 3 z2 −1 dxdy = 3
dxdy = 3π ….… 【9】
⋅
(−
x y2
)]
=
f1′+ xyf1′1′ −
1 y2
f2′ −
x y3
f2′2′ .【7】
５、解： Σ 的方程为 z = a2 − x2 − y2 ， Σ 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy = {(x, y) | x2 + y2 ≤ a2 − h2} ．
又
1+
zx2
+
z
2 y
=a
a2 − x2 − y2 ，…..………【３】
Σ1
Σ1
x2 + y2 ≤1
∴ I = I2 − I1 = 2π − 3π = −π . …………………….… 【10】
( ) ∫ ∫ ∫ 七、【6 分】解： F (t ) =
2π dθ
0
π
4 sinϕdϕ
0
t 0
⎡⎣r
cosϕ
+
f
r 2 ⎤⎦ r 2dr ….… 【2】
( ) Q ∫ ∫ ∫ ∫ =
2π
⎡ ⎢
⎣
π
4 sinϕ cosϕdϕ
0
t r3dr +
0
π
4 sinϕdϕ
0
09-10高数(二)期终考试A卷答案
上海应用技术学院2009—2010学年第二学期 《高等数学（工）2》期（终）试卷A 答案及评分标准一、单项选择题（本大题共7小题，每小题2分，共14分） 1、D ；2、A ；3、C ；4、A ；5、B ；6、C ；7、B 。
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1、0,⎛- ⎝；2、-0.2；3、34π；4、1xe y +；5、43120x y z -+-=；6、0。
三、计算题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1、求原点)0,0,0(O 在直线L ：471352-=-=+z y x 上的投影。
解：过点)0,0,0(O 作垂直于已知直线的平面π：045=++z y x ……………………（2分） 将直线的参数方程25-=t x ，3+=t y ，74+=t z 代入平面方程得0)74(4)3()25(5=++++-t t t ，解得21-=t ，………………………………………（4分）直线与平面的交点⎪⎭⎫⎝⎛-5,25,29即为原点在直线上的投影点，……………………………（6分） 2、设(,)z z x y =是由方程x z xyz =所确定的隐函数，求dz 。
解：设(,,)xF x y z z xyz =-，…………………………….…………………..……….（1分）ln x x F z z yz =-，y F xz =-， 1x z F xz xy -=-，1ln xx z yz z z xxzxy-∂-=∂-，…..………..（3分）1x z xz yxzxy-∂=∂-，…..………..………..………..………..………..………..………..……（5分）11ln xx x yz z z xz dz dx dy xzxyxzxy---=+--…………………………….…………………...……（6分）3、设(,)(,)z f x y g u v =+，22u x y =-，v xy =，其中,f g 具有一阶连续偏导数，求,z zx y∂∂∂∂。
广建大一计算机数学2009至2010学年 第二学期 期末复习题及答案
2009至2010学年 第二学期 期末复习题一、填空题（每空4分，共32分）1、设甲、乙两个袋子中各有10个球,其中黄球分别有3个和4个,在两个袋子中各抽一个球,恰有一个黄球的概率为 0.46 ；11011017141613C C C C C C + 2、 A,B 两个盒子中都装有红球5个，蓝球7个。
先从B 盒中任取1球放入A 盒中，再从A 盒中任取1球，则取得蓝球的概率是 0.5833 ；138127137125∙+∙ 3、电讯局在一分钟内接到的电话次数X 服从参数为3的泊松分布，则在一分钟内接到5次电话的概率是!5e 335-，一分钟内期望接到电话的次数是 3 次 ；4、}3,,,{b a B b A a b a R +∈∈><=能整除且是定义在A 到B 上的二元关系，其中}5,3,2{},3,1{==B A ，请写出R 的关系矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡010101 ； 5、设两集合},32,1{},,{==B b a A ，则B A ⨯=}3,,2,,1,,3,,2,,1,{><><><><><><b b b a a a ；6、设集合}9,87,5,4,3{，=A ，R 是A 上的“模3同余”关系，请写出A 的所有等价类：{}}8,5{,74}9,3{和、；7、用中序遍历法周游下列二元有序树得到的算式是b c b a -+÷)(二、选择题（每题4分，共28分）1、图G 的关联矩阵M(G)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01100100110101010101，则图G 的生成树的所有结点的度数之和等于（ B ）；（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）102、可以一笔画出的图是（ A ）（A ）（B ）（C ）（D ）3、、与命题公式))((qq p p ∧∨→等值的公式是（ C ）（A ）q p ∧ （B ）p q → （C ）q q pp →→∧))(( （D ）q4、设R 是机电系所有学生构成的集合上的“同班关系”，下面4个命题中为假的是（ C ）。
2009-2010学年度第二学期高等数学期末考试试题A卷
北京科技大学2009--2010学年第二学期高 等 数 学A(II) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共20分，每小题4分）1．设¶||5, ||3, (,)6a b a b = =r r r r , 则以2a b r r 和3a b r r 为边的平行四边形的面积为 ．2．设函数(,)f x y 可微, (0,0)0,(0,0),(0,0),()(,(,))x y f f m f n t f t f t t = = , 则(0) =．3．设:||||,||1D y x x , 则22()d Dx y + ． 4. 设L 为正向椭圆周22221x y a b + , 则()d (2)d L x y x x y y + + Ñ ．5. 设32e x z y =, 则(2,1)grad z = ．装 订 线 内 不 得 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊二、选择题（本题共20分，每小题4分）6．已知三平面123:5210,:32580,:42390,x y z x y z x y z + + = + 则必有（ ）.(A) 12// (B) 12 (C) 13 (D) 13//7．设222222221()sin , 0(,)0, 0x y x y x y f x y x y + + += +，则(,)f x y 在(0,0)处（ ）.(A) 两个一阶偏导数不存在 (B) 两个一阶偏导数存在, 但不可微 (C) 可微, 但两个一阶偏导数不连续 (D) 两个一阶偏导数连续 8．二重积分221d x y x y +（ ）.(A) 67 (B) 34 (C) 65 (D) 129．设 为球面2221x y z + +的外侧, 则222d d xy z x y z=+Ò( ).(A)221d y z y z +(B)221d y z y z +(C) 0 (D) 4310． 已知ln x y x =是微分方程y y y x x = 的解, 则y x的表达式为（ ）. (A) 22y x (B) 22y x(C) 22x y (D) 22x y48分，每小题8分）11. 设() 11()()()d 22x atx atu x at x at a + = + + , 其中 与 具有连续的二阶导数, a 是不为零的常数, 求22222u u a t x. 12．设222()()d d ()d d ()d d f t x t y z y t z x z t x y=+ + Ò, 其中积分曲面22:x y 22 (0)z t t + =取外侧, 求()f t .13．设()f x 为连续函数, 1()d ()d t tyF t y f x x =, 求(2)F .14．利用柱坐标计算2222 122()d d x y I x y x z=.15．设函数()f y 具有一阶连续导数, 计算[()e 3]d [()e 3]d x x Lf y y x f y y +, 其中(1)f =(3)0f =, L 为连接(2,3)A , (4,1)B 的任意路线¼AmB , 它在线段AB 的下方且与AB 围成的图形的面积为5.16．计算d S z, 其中 是球面2222x y z a + +被平面(0)z h h a = <所截出的顶部．四、（本题共12分，每小题6分）17．已知曲线()y y x =过原点, 且在原点处的切线垂直于直线210x y + ,()y x 满足微分方程25e cos 2x y y y x +, 求此曲线方程.18．求微分方程21xy ay x + =满足的初始条件(1)1y =的解(,)y x a , 其中a 为参数, 并证明: 0lim (,)a y x a 是方程 21xy x = 的解.。
2010高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009~2010学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'220y y x ---=是（ ）A ．齐次方程B ．可分离变量方程C ．一阶线性方程D ．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z +-==-垂直的平面方程是（ ）A ．4250x y z +-+=B ．4250x y z ++-=C ．42110x y z +-+=D ．42110x y z ++-= 3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则(1,1)y f =（ ） A ．0 B ．13 C ．12D ．24．若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A ．可能收敛，也可能发散B ．一定条件收敛C ．一定收敛D ．一定发散5．下列级数中发散的是（ ）A ．112n n ∞=∑ B ．11(1)n n ∞-=-∑ C ．n ∞= D ．n ∞= 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y -+=的通解为______。
（今年不作要求）2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b ==-，则2a b +=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b ==-，它们的夹角为θ，则c o s θ=____________________。
4．设x z y =，则dz =____________________。
5．设L 是圆周229x y +=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctan x z y =，求2,z z x x y∂∂∂∂∂。
DA2009-2010学年第二学期高等数学试卷A答案
郑州轻工业学院2009-2010学年第二学期高等数学试卷A 答案试卷号：A20100621（1）一、1． A ；2． A ；3． A ；4． D ；5． D二、1． 220r r +-= ；2．32a π．3． (0)S =12 ，(1)S =1，(3)S π=12． 4．sin cos x e x ． 5．(0,2)三、1．原式2122001()(2)f x dx x dx x dx ==+-⎰⎰⎰135=2326+-=2．法一：方程为一阶线性非其次微分方程，利用通解公式11sin ()dx dx x xx y e e dx C x -⎰⎰=+⎰ln ln sin ()x x x e e dx C x-=+⎰11(sin )(cos )x dx C x C x x=+=-+⎰ 法二：先求其次通解 111'y y dy dx x y x=-⇒=- 两边积分得 ln ||ln ||ln 'y x C =-+，即有 'C y x=… 常数变易法 令()u x y x =，则有 2'()()'xu x u x y x -=，代入微分方程得21'()()()sin ''()sin xu x u x u x x y y u x x x x x-++==⇒=所以 ()cos u x x C =-+，故通解为 cos x Cy x-+=3．在t 处的切向量为2(22,1,39)T t t =--u r ，平面的法向量为(2,1,3)n =--r因为 ||T n u r r ，所以222139213t t --==--，解得 2t =，故得所求点为(0,2,10)-。
4．222222222222=,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂==∂++∂++∂++， ， 所以 2222()xdx ydy zdz du x y z ++=++。
中国传媒大学-高等数学-2009至2010学年第二学期期末考试试卷A卷(含答案)
1，
ns
n1
s 1 时级数
1 收敛； s 1 时，级数
1 发散。
ns
n1
ns
n1
2、（本小题 8 分）
求级数
x 4n 的和函数 S( x) 。
n1 (4n)!
解:由幂级数的分析性质得微分方程
S (4) (x)
x 4n4
1 S( x)
n1 (4n 4)!
（8 分）
且 S(0) S(0) S(0) S(0) 0
1、设 u arcsin x ( y 0) 则 u
x2 y2
y
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x (A)
x2 y2
x (B)
x2 y2
x (C)
x2 y2
x (D)
x2 y2
答（ A ）
2、设 为球面 x2 y2 z2 a2 在 z h 部分， 0 h a ，则
3、若幂级数 an x n 的收敛半径为 R ,那么 n0
6
得分 评卷人
（3 分） （5 分）
四、解答下列各题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，总计 21 分） 1、（本小题 7 分）
改变二重积分
1
2y
dy f ( x, y)dx
3
dy
3 y
f ( x, y)dx的积分次序
0
0
1
0
解：原式
2
dx
0
3 x x
f
( x,
y)dy
。
2
（7 分）
判别级数 a n ， (a 0, s 0) 的敛散性。 n1 n s 解： 由比值判别法
l
i
a m
n1
a n n
0910高等数学A（二）答案
0910高等数学A（二）答案第一篇：0910高等数学A(二)答案济南大学2009~2010学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学A（二）任课教师：张苏梅等一、填空题（每小题3分，共18分）1.yzez-xy；2.y=2x3-x2；3.2xdx+2ydy；π∞(-1)n(2x)2n4.0；5.2；6..12(1-n∑=0(2n)!)，(-∞,+∞)二、选择题（每小题3分，共18分）C；D；C；B；A；B.三、计算题（每小题8分，共32分）1.解：∂z∂x=1ycosxy；.....4分∂2z1xxx∂x∂y=-y2cosy+y3siny.....8分2.解：⎰⎰xydσ=⎰2dx⎰xxydy.....4分D0=12⎰20x3dx=2.....8分 3.解：dS=+x2x2+y+y2x2+ydxdy=2dxdy.....2分⎰⎰zdS=⎰⎰x2+y22dxdy.....5分∑Dxy=⎰2πdθ⎰2r2dr=π.....8分 4.解：⎰⎰(x2+y2+z2)dxdy=dxdy=πa4...........8分∑D⎰⎰axy四、应用题（每小题8分，共16分）1.解：由椭球的对称性，不妨设(x,y,z)是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点，内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(x,y,z>0)，其体积为：V=8xyz构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=8xyz-λ（x2y2a+b+z2c-1)......4分∂F∂x=8yz-λ2xa2=0令∂F2y∂y=8xz-λb2=0........6分∂F∂z=8xy-λ2zc2=0求得（x，y，z）=⎛a,b,c⎫⎪,V=8xyz=8abc......8分⎝33⎪⎭332.解：Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dv.........3分Ω=⎰2π2430dθ⎰0dr⎰r2rdz.........6分=2π⎰2r3(4-r2)dr=03π.........8分五、（8分）解：因为limana=limn=1，所以收敛半径为1.n→∞n+1n→∞n+1又x=±1时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.....3分n=1∑nx∞n=x∑nxn=1∞n-1=x(∑xn)'......6分 n=1∞xx=x()'=,x∈(-1,1).........8分 21-x(1-x)六、（8分）解：① 设u=x2+y2，则∂zx=f'(u);∂xu∂2zx21x2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)........2分 2uu∂xuy21y2同理，2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)uu∂yu由∂2z∂2z∂x2+∂2z∂y2=0⇒f''(u)+1f'(u)=0.....4分 u② 设f'(u)=p,f''(u)=dp，du则原方程化为：dp1dpdu+p=0⇒=-duupu积分得：p=CC，即f'(u)=,........6分 uu由f'(1)=1,得C=1.于是f(u)=ln|u|+C1代入f(1)=0得：C1=0.函数f(u)的表达式为：f(u)=ln|u|.......8分第二篇：1112高等数学B(二)答案济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学B（二）任课教师：一、填空题（每小题2分，共10分）1、2dx+dy，2、-5，3、1，4、⎰10dy⎰1yf(x,y)dx5、1二、选择题（每小题2分，共10分）1、A2、B3、C4、C5、D三、计算题（每小题8分，共40分）1、解：令F=x2+y2+z2-2z，则Fx=2x,Fz=2z-2.....2分∴∂zFx∂x=-xF=z.....4分z1-∂2z∂x(1-z)2+x2∴∂x2=∂x(1-z)=(1-z)3.....8分2、解：⎰⎰(x+6y)dxdy=⎰1dx5x76D0⎰x(x+6y)dy=3.....8分π3、解：⎰⎰+x2+y2dxdy=D⎰2dθ⎰1+r2rdr=π(22-1).....8分4、解：ux(2,1,3)=4,uy(2,1,3)=5,uz(2,1,3)=3 方向lϖ=(3,4,12)cosα=313,cosβ=413,cosγ=12 .....6分∂z∂l=uu68xcosα+ycosβ+uzcosγ=13.....8分5、解：收敛域为(0,2).....2分∞∞令S(x)=∑(n+1)(x-1)n=(1)n+1)'.....6分n=0∑(x-n=0S(x)=（x-12-x)'=1(2-x)2x∈(0,2).....8分四、解答题（每小11分，共33分）ϖ1、解：交线的方向向量为nϖiϖjkϖ=1-4=(-4,-3,-1).....8分2-1-5所求直线方程为x+3y-2z-54=3=1.....11分2、解：令f(x)=xx-1,则f'(x)=-1-x2x(x-1)<0x>1 所以un单调递减且limn→∞un=0∞所以级数∑(-1)nnn=2n-1.....6分n∞由于limn→∞=1,且∑1发散n=2nn∑∞(-1)n所以级数n.....11分n=2n-13、解：旋转曲面方程为z=x2+y2.....3分投影区域D：x2+y2≤1.....5分V=⎰⎰(1-x2-y2)dxdy=⎰2πdθ⎰1π(1-r)rdr=D.....11分五、证明题（每小题7分，共7分）ff(x,0)-f(0,0)x(0,0)=lim证：x→0x=0f(0,0)=limf(x,0)-f(0,0)xx→0x=0所以函数f(x,y)在(0,0)处可导.....3分lim∆z-fx(0,0)∆x-fy(0,0)∆yρ→0ρ=limf(∆x,∆y)∆x∆yρ→0∆x2+∆y2=limρ→0∆x2+∆y2取∆y=k∆x,得极限为k1+k,说明极限不存在所以函数f(x,y),在(0,0)点不可微.....7分第三篇：专升本高等数学(二)成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
2009-2010高等数学Ⅱ参考答案(A卷)
2009-2010 学年第二学期 课程名称 高等数学 II 课程代码 100074 课程负责人 共2页 ………………………………………………………………………………………… 一、填空（每小题 3 分，满分 30 分） 1. ； 2. 3. 0； 6.
n 1
z xz x z x , (4 分) z z2
zx
z xz
（7 分）
2.
解： un ( x)
(n 1) x n , n!
lim
an 1 (n 2) lim 0， n a n ( n 1) 2 n
(6 分) (7 分) (2 分)
故级数的收敛域为 (, ) 3. 解： AB {3,4,6}, AC {2,3,1}, 取
(7 分)
(2 分)
1
故 (3a, 3a, 3a) 是函数 u xyz 在条件(1)下唯一驻点.
(7 分)
再应用二元函数极值的充分条件判断,知点 (3a, 3a, 3a) 是函数 u xyz 在条件下的极 小点,而所求极值为 27a 3 . 2. 解：
Q P (x2 y 4 ) 2x ； ( x 2 2 xy ) 2 x, x x y y
i j k n AB AC 3 4 6 2 3 1 14i 9 j k ,
(4 分)
(6 分)
所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0, 化简得 14 x 9 y z 15 0. 四、计算题（每小题 8 分，共 16 分） 1. 解： 作拉格朗日函数 L( x, y, z, ) xyz (1 / x 1 / y 1 / z 1 / a).
2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
9. 计算 zdS ，其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ，其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面 的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4．设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分，7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
学号：
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名：
班级：
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
高等数学(A)(下)期末考试试题.解答.
2009-2010(春)高等数学A(下)期末考试试题解答（2010.6）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在空中)．2∂z=2xyexy．∂x2函数u=xy2+z3-x2yz在点P(1,1,1)处的梯度(-1,1,2)．21设z=exy，则3设f(x,y)为二元连续函数，交换积分次序⎰10dy⎰f(x,y)dx=y⎰10dx⎰f(x,y)dy．x5级数L在p>1条件下收敛．∑pnn=1∞二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）．以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1 二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点处连续的( D )．（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非必要条件又非充分条件． 2 曲面yz+zx+xy=3在点(0,1,3)处的切平面方程为( B )．(A) 2x+y-1=0； (B)4x+3y+z-6=0； (C) x+y+z-1=0； (D) 4x+3y+z-2=0．（A）bn=（B）bn=（C）bn=（D）bn=4 设级数f(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-11πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为2f(x)；⎰ππ-ππ⎰2πf(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)．∑un=1∞n收敛，且∑un=1∞n=u，则级数∑(un+un+1)=( C )．n=1∞(A) 2u；（B）u；（C）2u-u1；（D）u-u1．25 已知y=1,y=x,y=x为某二阶非齐次线性微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个解，则其通解为（ C ）.（其中C1,C2为任意常数）（A）y=C1+C2x+x；（B）y=C1x+C2x+1；（C）y=C1(x-1)+C2(x-1)+1；（D）y=C1(x-1)+C2(x-1)+x-x．三、（本题满分8分）22222⎛∂2zx⎫设二元函数z=xy+f xy，⎪，其中函数f具有二阶连续的偏导数，求．∂x∂yy⎭⎝∂z1=y+yf1'+f2' ， 4分解：∂xy⎡⎛x⎫⎤1⎛x⎫⎤∂2z1⎡''''''''''⎥⎪=1+f1+y⎢xf11+ -2⎪f12⎥-2f2+⎢xf21+ -2⎪f22⎪∂x∂yy⎣⎝y⎭⎦y⎝y⎭⎦⎣1x''-3f22'' ． 4分 =1+f1'-2f2'+xyf11yy四、（本题满分10分）计算二重积分解：⎰⎰(yD2+3x+9)dxdy，其中D=(x,y)x2+y2≤1． {}22＝(y+3x+9)dxdyy⎰⎰dxdy+⎰⎰3xdxdy+⎰⎰9dxdy 2分⎰⎰DDDD2y⎰⎰dxdy+0+9π 3分D ＝＝＝⎰2π0sin2θ⎰ρ3dρ+9π 3分0137π ． 2分 4五、（本题满分16分，其中1题为8分，2题为8分）1 讨论级数∑n=1∞(-1)nann(a>0)的敛散性；2 试将函数f(x)=1 解：当a>1，lim⎰x0． sint2dt展成x的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）un+1n1=lim=<1，故原级数绝对收敛； 3分n→∞un→∞n+1aan 当0<a<1，limun+1n1=lim=>1，limun≠0，故原级数发散；3分n→∞n→∞un→∞n+1aan当a=1，原级数为∞∑n=1∞(-1)n，条件收敛. n 2分 (-1)n-1t2n-12 因为sint=∑t∈(-∞,+∞) ， 2分 (2n-1)!n=1∞(-1)n-1t4n-22 则sint=∑t∈(-∞,+∞) ． 2分n=1(2n-1)!将上式两端逐项积分，得⎛∞(-1)n-1t4n-2⎫ f(x)=⎰sintdt=⎰ ∑⎪dt (2n-1)!⎭00⎝n=1∞x(-1)n-1t4n-2=∑⎰dt (2n-1)!n=102xx(-1)n-1x4n-1=∑ (-∞<x<+∞) ． 4分 2n-1!(4n-1)n=0∞六、（本题满分12分）．∑ 2解：令∑1为z=4被z=x2+y2所截得部分的上侧, 则原式=由高斯公式z=4∑+∑1-⎰⎰∑1， 2分⎰⎰∑∑+=⎰⎰⎰[(x)'x+(y)'y+(z(x+y))'z]dv=13322ΩD=(⎰⎰Ωdxdy)xyz=x2+y2⎰[4(x2+ y2)]dz2π2z=422=⎰dθ⎰rdr⎰[4r]dz=2π⎰r[4r2](4-r2)dr=00z=r2012π8 ． 6分 3由曲面积分计算公式得2π2222=0+0+4(x+y)dxdy=dθ4(r⎰⎰⎰⎰⎰⎰)rdr=32π， 2分∑1D00128π32π ． 2分 -32π=33七、(本题满分8分)某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为故原式= c(x,y)=x2+2y2-xy （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数c(x,构造辅助函数 F(x,y)在条件x+y=8下的最小值． y)=x2+2y2-xy+λ(x+y-8) 2分⎧Fx'=2x-y+λ=0⎪解方程组⎨Fy'=-x+4y+λ=0⎪F'=x+y-8=0⎩λ解得λ=-7,x=5,y=3 4分这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为： c(5,3)=52+2⨯32-5⨯3=28（万） 2分八、（本题满分16分，其中1题为10分，2题为6分）1 设可导函数ϕ(x)满足ϕ(x)cosx+2⎰ϕ(t)sintdt=x+1，求ϕ(x)． 0x2 设函数f(u)具有二阶连续的导函数，而且z=fesiny满足方程 x()∂2z∂2z2x+=ez，22∂x∂y试求函数f(u)．解1 在ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1两端对x求导得，ϕ'(x)+tanxϕ(x)=secx． 4分解上述一阶线性微分方程得通解为．ϕ(x)=six+nC． cxo 4分由ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1得，ϕ(0)=1，则C=1故ϕ(x)=sinx+cosx． 2分2 设u=exsiny，则有∂z∂z=f'(u)exsiny，=f'(u)excosy ∂x∂y∂2z2x2x所以，2=f''(u)esiny+f'(u)esiny ∂x∂2z=f''(u)e2xco2sy-f'(u)exsiny 2分2∂x∂2z∂2z代入方程 +2=e2xz，2∂x∂y2x2x2x2x2x得，f''(u)esiny+f'(u)esiny+f''(u)ecosy-f'(u)esiny=ez 即，f''(u)e2x=f(u)e2x由此得微分方程 f''(u)-f(u)=0 2分解此二阶线性微分方程，得其通解为f(u)=C1e+C2eu-u （C1与C2为任意常数） 2分此即为所求函数．。
复旦大学2009～2010学年《高等数学A下》第二学期期末考试试卷及答案
cos
nxdx
(e2 e)n Nhomakorabeae
2
x
1
(n
sin
nx cos nx)
0
的最小值为Vmin
a2b2c2 6xyz
3abc 。 2
3．（本题满分 8 分）解 添加线段 BA ： y 0 ，x : 0 。设曲线 L 与 BA 所围区
域为 D ，则由 Green 公式得
L BA
(sin
y
y)dx x cos ydy dxdy
D
x( x)
dx
dy
x( x)dx 1 3.
L
r a(1 cos ) （ 0 ），其中 a 0 。
2
（5）计算第二类曲面积分 xyzdxdy，其中 为球面 x2 y 2 z 2 1在 x 0 ，y 0 ，
z 0 的部分，并定向为下侧。
（6）求幂级数 n 2 4n xn 的收敛半径和收敛域。
n0 2n 1
目标函数
f (x, y, z)
xyz 在约束条件 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1的最大值问题。
为此，作 Lagrange 函数
并令
L(x, y, z, )
xyz 1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
，
Lx
yz
2 x a2
0,
Ly
xz
2y b2
0,
Lz
xy
2z c2
0,
L
1
x2 a2
0
0
0
6
且
于是
0
(sin y y)dx x cos ydy 0dx 0.
BA
2009-2010(2)A
） (D) 12l
5.部分和数列有界是正项级数收敛的（ （A）充分 (B) 必要
(D) 即非充分也非必要
1
2009—2010 学年 第 二 学期 《高等数学》 课试题 A 卷
院系 班级 姓名 学号
………………………………………………………………………………………………………
装 订 线 内 不 准 答 题
3.计算二重积分 ∫∫ R 2 − x 2 − y 2 dσ ，其中 D 是圆周 x 2 + y 2 = Rx 所围成的闭区域。
D
4.计算曲线积分 ∫ zds , 其中 Γ 为曲线 x = t cos t , y = t sin t , z = t
Γ
( 0 ≤ t ≤ t0 ) 。
2
2009—2010 学年 第 二 学期 《高等数学》 课试题 A 卷
2009—2010 学年 第 二 学期 《高等数学》 课试题 A 卷
院系 班级 姓名 学号
………………………………………………………………………………………………………
装 订 线 内 不 准 答 题
吉林工程技术师范学院教务处印制
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
第六题
第七题
第八题
第九题
第十题
ห้องสมุดไป่ตู้
卷面分数
平时成绩
总分
得分 评卷人 一、填空题（共 15 分，每小题 3 分） 填空题（
z = 2x2 1.曲线 绕 z 轴旋转，形成的旋转曲面方程为 x=0
3x π 2.函数 z = ye 在点 (1,1) 沿与 x 轴正向成 α = 方向的方向导数 3
。
。
3.交换积分次序 dy
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案D有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-，(2,1,4)(4,2,1)n=- ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
09-10第2学期高数A试卷A
）
班级
高等数学（A）
A.
2009 —2010 学年度第二学期期末考试（A）卷
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上 3．考试形式：闭卷 4. 本试卷共四大题，满分 100 分，考试时间 100 分钟
∫0
1
dy ∫
y− y2 0
1
f(x,y)dx ；
B.
∫0
1
1
dy ∫
学号
∫
2 1
dy ∫
2 y
sin x dx = x −1
2 时，级数 ∑ n sin n =1 ∞
5．设常数 p > 0 ，则当 p 满足条件
π n
p
收敛
6．设 L 为从点（1，1）沿曲线 x = y 2 到点（1，-1）的曲线段，则曲线积分
3 . 函数 z = x 3 + y 3 − 3x 2 − 3 y 2 的极小值点是（ A. （0，0） ； B.（2，2） ；
D
y = 0, x =
π
2
所围的区域.
第2页 共3页
得分 评卷人 复查人
四、综合与证明题（本题共 3 小题，每小题 7 分， 共 21 分） 1.验证: (2 x cos y + y 2 cos x)dx + (2 y sin x − x 2 sin y )dy 为某
3.
2 2 2 设球体 x + y + z ≤ 2 Rz 内，各点处的密度等于该点到原点距离的平方，试求
一、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）在 每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代 码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
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).
(B) 必要条件； (D) 既非充分也非必要.
第1页
2 、曲面积分 z 2 dxdy 表示流速为 F ( x, y, z ) 的流体通过有向曲面 的流量，则
F ( x, y, z ) ＝(
).
(B) z 2 i ；
(A) z 2 i z 2 j z 2 k ；
n 1
2 2 七、已知级数 a n ， bn 收敛，证明 a n bn 绝对收敛.（5 分） n 1 n 1 n 1
第6页
面 x 2 y 2 z 2 a 2 的外侧.
6、判断正项级数
3 n n! 的收敛性. n n 1 n
第4页
四、判断以下级数的收敛性，并指出是绝对收敛还是条件收敛.（12 分）
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉装┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉订┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
（1）
2
n 1
第2页
2、计算积分
L
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉装┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉订┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
( x y )dx ( x y )dy ，其中 L 为圆周 x 2 y 2 a 2 （取逆时针方向）. 2 2 x y
3、利用格林公式计算积分 (e x sin y my )dx (e x cos y m)dy ，其中 L 是从
ห้องสมุดไป่ตู้
(C) z 2 j ；
(D) z 2 k .
3、部分和数列 sn 有界是正项级数 u n 收敛的(
n 1
).
(A)充分条件； (C)充要条件； 4、当常数 k 0 时，级数 (1) n
n 1
(B)必要条件； (D)既非充分又非必要条件.
kn ( n2
).
(A) 条件收敛； (C) 发散；
(B) 绝对收敛； (D) 敛散性与 k 的取值有关.
5、若 u n 条件收敛， v n 绝对收敛，则 (u n v n ) 为(
n 1 n 1 n 1
).
（A）可能是发散的； （C）一定是条件收敛；
（B）一定是绝对收敛的； （D）可能绝对收敛也可能条件收敛.
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分） 1、计算积分 ( x y ) ds ，其中 为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段.
n
tan
3n
(6 分)
（2）
n 1
(1) n n 1
（6 分）
五、验证 ( x 2 2 xy y 2 )dx ( x 2 2 xy y 2 )dy 0 是某函数 u u ( x, y ) 的全微 分，并求出函数 u( x, y) .（8 分）
第5页
六、求幂级数 (2n 1) x n 1 的收敛域，并求和函数.（9 分）
四
五
六
七
合计
一、填空题（本大题共 5 小题，每空 3 分，共 15 分）
请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分.
1、已知曲线形构件 L 的线密度为 ( x, y ) ，则 L 的质量 M = 2、设 是球面 x 2 y 2 z 2 R 2 ，则 xds =
. .
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉装┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉订┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
试卷类型： （ ）开卷； （ √）闭卷； （
）其它
浙江外国语学院
2009 ～2010 学年第 二 学期期末考试 计算机科学与技术师范专业 2009 级《高等数学》试卷（Ａ）
学院 班级 学号 姓名
题号 一 得分
二
三
L
A（a,0）沿 x 2 y 2 ax 上半圆到 B（0,0）的圆弧，m 为常数（要求作图）.
4、 ( x 2 y 2 )ds ，其中 是锥面 z 3( x 2 y 2 ) 被平面 z 3 所截的部分.
第3页
5、利用高斯（Gauss）公式计算曲面积分 x 3 dydz y 3 dzdx z 2 dxdy ，其中 为球
3、 质点在力 F ( x, y ) x 2 yi ye x j 的作用下沿曲线 L 由点 A 运动到 B 所作的功
可表示为＝
. .
xn 4、幂级数 的收敛半径为 n 1 n
5、级数
4n 的和＝ n n 1 7
.
二、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内. 错选、多选或未选均无分.
1、 设 P( x, y) , Q( x, y) 在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数， 则等式
Q P 是 x y
D 内曲线积分 L Pdx Qdy 与路径无关的(
(A) 充分条件； (C) 充要条件；