超级精品：中考二次函数压轴题专题分类训练(1)

2021中考二次函数压轴题专题分类训练
题型一：面积问题
【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；
（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝
8
9
S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式练习】
1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，
得到线段OB ．
（1）求点B 的坐标；
（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；
若不存在，请说明理由．
（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，
求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．
2.如图，抛物线y = ax 2
+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点
C ，顶点为
D ．
E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于
F 、
G ．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．
3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2
+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．
C E
D
G A
x y O B F x C
O y
A B D
1
1 图2
O
1
1x
y
题型二：构造直角三角形
【例2】如图，已知抛物线y ＝ax 2
+bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M
到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点，求使∠PCB ＝90º的点P 的坐标． 【变式练习】 1．如图，抛物线y=
与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．
2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2
(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，
且310。

（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度? 3.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k （x 2
+x ﹣1）的图象交于点A （1，k ）和
点B （﹣1，﹣k ）．
（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k
应满足的条件以及x 的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值 4.如图（1），抛物线42
y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上
一动点，过点E 的直
=+与抛物线交于点B、C.
线y x b
（1）求点A的坐标；
b>-时，上述关系还成立（2)当b=0时（如图（2）），ABE与ACE的面积大小关系如何？当4
吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
题型三：构造等腰三角形
【例3】如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式； （2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式练习】
1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2
﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．
①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标． 2.如图，抛物线2
54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已
知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ． （1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；
（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
3．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线5
4
y =
作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；
（2）在直线x ＝1上有一点3
(1,)4
F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，
若不存在请说明理由.
题型四：构造相似三角形
【例4】如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式练习】
1.如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线2. 如图，二次函数的图象经过点D(0，3
9
段AB的长为6.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【例5】如图，已知抛物线y=x2 - (b+1)x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、
B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；
如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得
△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等
可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如
果不存在，请说明理由．
【变式练习】
1.如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段AB 绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点C处，直线BC与x轴的交于点D．
（1）试求出点D的坐标；
（2）试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，
并写出其顶点E的坐标；
（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F，使得
以点A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似．
2．已知直线
1
1
2
y x
=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90︒，使点A 落在点C，点B落在点D，抛物线2
y ax bx c
=++过点A、D、C，其对称轴与直线AB交于点，（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠POC的正切值；
（3）点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的
坐标。

3．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，
0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且P A=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线
AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A
对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．
(图7)
1
1
x
y
B A
O
x
y
O 1
1
题型五：构造梯形
【例6】已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 3
2
-=与边BC 相交于点D ． （1）求点D 的坐标；
（2）抛物线c bx ax y ++=2
经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式练习】
1.已知平面直角坐标系xOy 中， 抛物线y ＝ax 2
－(a ＋1)x 与直线y ＝kx 的一个公共点为A(4，8)． （1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）若点P 在线段OA 上，过点P 作y 轴的平行线交（1）中抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值；
（3）记（1）中抛物线的顶点为M ，点N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N 的坐标及梯形AOMN 的面积．
2.已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；
（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），
以每秒
2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线
MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．
3.如图1，二次函数)0(2
<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－
1），△ABC 的面积为
4
5
． （1）求该二次函数的关系式；
（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型六：构造平行四边形
【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。

【变式练习】
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象
与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．
2.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
3.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，﹣3）．点C 是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=﹣x+m过点C，交y轴于D点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
【例8】已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32
y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．
（1）求线段AM 的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函
数的图像上，点D 在一次函数334
y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．
【变式练习】
1.将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2，
如图1所示．
（1）请直接写出抛物线c 2的表达式；
（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．
①当B 、D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；
②在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．
题型七：线段最值问题
【例9】如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．
【变式练习】
1. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)
两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
2. 如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
【能力提升】
1. 已知,如图11,二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点(B 在
A 点右侧),点H 、
B 关于直线l :333
y x =
+对称. （1）求A 、B 两点坐标,并证明点A 在直线l 上;
（2）求二次函数解析式;
（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,求HN NM MK ++和的最小值.
2.如图．在直角坐标系中，已知点A(0．1．)，B(4-．4)．将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ，顶点在坐标原点的抛物线经过点B ．
(1) 求抛物线的解析式和点C 的坐标； (2) 抛物线上一动点P ．设点P 到x 轴的距离为1d ，点P 到点A 的距离为2d ，试说明211d d =+；
(3) 在(2)的条件下，请探究当点P 位于何处时．△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值。

【例10】如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

【变式练习】
1．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直
角梯形，BC ∥AD ，∠BAD=90°，BC 与y 轴相交于点M ，
且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （﹣1，
0），B （﹣l ，2），D （3，0）．连接DM ，并把线段DM 沿DA
向平移到ON ．若抛物线y=ax 2+bx+c 经过点D 、M 、N ．
方
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P ，使得PA=PC ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE ﹣QC|最大？并求出最大值．
题型八：周长问题
知识点：1. 在直线l 上求作一点P ，使得PA+PB 最短.
2. 在直线l 上求作一点P ，使得 |PA-PB| 最长.
例1 已知：抛物线()2
0y a x b xc a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．
（3）已知在对称轴上存在一点Q ，使得|QB-QC|的长最大．请求出点Q 的坐标．
例2 已知：抛物线t ax ax y ++=42与x 轴的一个交点为A （－1，0）。

（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧。

问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

例3 已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.
①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；
②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.
例4 如图，直角坐标系中，A （-2，0），B （8，0），以AB 为直径作半⊙P 交y 轴于M ，以AB 为一边作正方形ABCD ．
（1）直接写出C 、M 两点的坐标．
（2）连CM ，试判断直线CM 是否与⊙P 相切？说明你的理由．
（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使△QMC 周长最小？若存在，求出Q 坐标及最小周长；若不存在，请说明理由．
例1
例2
例3
例4。