考研数学线性代数历年真题
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(14年)行列式【】A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B．AB＝BAC．｜AB｜＝｜BA｜D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1正确答案：C 涉及知识点：线性代数3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】A．r＞r1．B．r＜r1．C．r＝r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】A．(A*)*＝｜A｜n-1AB．(A*)*＝｜A｜n+1AC．(A*)*＝｜A｜n-2AD．(A*)*＝｜A｜n+2A正确答案：C解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】A．AB＝BA．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝B．于是知D正确．知识模块：线性代数6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】A．1B．C．－1D．正确答案：B解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．B．a＝b或a＋2b≠0．C．a≠b且a＋2b＝0．D．a≠b且a＋2b≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．B．3C．D．正确答案：A解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝p-1AP．B．C＝PAP-1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题12．(88年)＝_______．正确答案：－3解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数13．(16年)行列式＝_______．正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．正确答案：(－1)mnab解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2024考研数学一线性代数历年考题详解
2024考研数学一线性代数历年考题详解线性代数是2024考研数学一科目中的一个重要内容，对于考生来说，掌握线性代数的知识点和解题技巧非常关键。
本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年考题进行详解，帮助考生更好地备考。
一、第一节：向量与矩阵1. 2010年考题考题描述：已知向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性无关，向量\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]可由向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性表示，且\[{\beta}_1 = 2{\alpha}_1 +3{\alpha}_2\]，\[{\beta}_2 = 4{\alpha}_1 + 5{\alpha}_2 + {\alpha}_3\]，\[{\beta}_3 = 7{\alpha}_1 + 10{\alpha}_2 + 2{\alpha}_3\]，则向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为多少？解题思路：根据题意，我们可以建立如下矩阵：\[A =\begin{bmatrix}2 &3 & 0 \\4 &5 & 1 \\7 & 10 & 2 \\\end{bmatrix}\]然后通过对矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形。
最后，行最简形的矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩。
在本题中，通过计算可知行最简形为：\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]因此，向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为3。
2. 2014年考题考题描述：设矩阵\[A =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\-2 & 1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]，若矩阵\[B = (A - 2I)^2 - I\]，其中\[I\)为单位矩阵，求矩阵\[B\)的秩。
[考研类试卷]考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编10.doc
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[考研类试卷]考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编10一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A为n阶实矩阵，A T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A T Ax=0，必有( )（A）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。
（B）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。
（C）(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解。
（D）(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。
2 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。
已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )（A）P-1α。
（B）P Tα。
（C）Pα。
（D）(P-1)Tα。
3 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )（A）λ1=0。
（B）λ2=0。
（C）λ1≠0。
（D）λ2≠0。
4 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( ) （A）λE一A=λE—B。
（B）A与B有相同的特征值和特征向量。
（C）A与B都相似于一个对角矩阵。
（D）对任意常数t，tE—A与tE一B相似。
5 矩阵相似的充分必要条件为( )（A）a=0，b=2。
（B）a=0，b为任意常数。
（C）a=2，b=0。
（D）a=2，b为任意常数。
6 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( ) （A）A T与B T相似。
（B）A-1与B-1相似。
（C）A+A T与B+B T相似。
（D）A+A-1与B+B-1相似。
7 设矩阵A=，则( )（A）A与C相似，B与C相似。
（B）A与C相似，B与C不相似。
（C）A与C不相似，B与C相似。
（D）A与C不相似，B与C不相似。
二、填空题8 设α=(1，1，1)T，β=(1，0，k)T，若矩阵αβT相似于，则k=_________。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：计算该行列式可以有多种方法．例如，为了便于降阶，先把第1列的(一1)倍分别加到第2、3、4列，得故方程f(x)=0的根为x=0和x=1，于是知(B)正确．2．行列式A．(ad一bc)2B．一(ad 一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad (ad 一bc)+bc(ad 一bc)=一(ad 一bc)2.3．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=A．kA*B．kn一1A*C．k一1A*D．k一1A*正确答案：B解析：由于n阶行列式的每个元素的余子式都是一个n一1阶行列式，故|kA|的每个元素的代数余子式等于|A|的对应元素的代数余子式的kn一1倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA)*的每个元素等于A*的对应元素的kn一1倍，即(kA)*=kn 一1A*．4．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为A．B．C．D．正确答案：D解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单位矩阵第2列的k倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有AE(1，2)=B，BE(3，2(1))=C，故有AE(1，2)E(3，2(1))=C于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1))=所以只有选项(D)正确．5．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得一B*．D．交换A*的第1行与第2行得一B*．正确答案：C解析：用排除法，以2阶方阵为例，设由此可见，交换A*的第1列与第2列得一B*，而其它选项均不对，故只有(C)正确．记P为交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等方阵，则由题设条件有B=PA，且|B|=一|A|，P一1=P．由A可逆知B可逆，利用B一1=|B|一1B*，得B*=|B|一1=一|A|(PA)一1=一(|A|A 一1)一1=一A*P或A*P=一B*因为用P右乘矩阵A*，等价于交换A*的第1列与第2列，故知选项(C)正确．也可利用B*=(PA)*=A*P*，及P*=|P|P一1=一P，得B*=一A*P．6．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加到第2列得C，记P=则A．C=P一1AP，B．C=PAP一1C．C=PTAP．D．C=PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B=PA．令矩阵则将E的第1列的一1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C=BQ，从而有C=PAQ．由于P一1=所以，C=PAQ=PAP一1，只有选项(B)正确．7．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则A．E一A不可逆，E+A不可逆．B．E一A不可逆，E+A可逆．C．E一A可逆，E+A可逆．D．E一A可逆，E+A不可逆．正确答案：C解析：由于(E一A)(E+A+A2)=E一A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E，故由可逆矩阵的定义知：E一A和E+A均是可逆的．8．设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为A．B．C．D．正确答案：B解析：记矩阵并记|C|的(i，j)元素的代数余子式为Aij(i，j=1，2，3，4)，则计算可得：A11=0，A21=0，A31=|A|h，A41=一A|f，A12=0，A22=0，A32=一|A| g，A42=|A|e，A13=|B|d，A23=一|B|b，A33=0，A43=0，A14=一|B|c，A24=|B|a，A34=0，A44=0．于是由伴随矩阵的定义(C*的(i，j)元为Aji)，得因此选(B)．9．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=A．B．C．D．正确答案：A解析：由于Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]所以故只有选项(A)正确．10．设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．记P1=，则A=A．P1P2．B．P1一1P2．C．P2P1．D．P2P1一1．正确答案：D解析：由题设条件有P2AP1=I，两端左乘P2一1，两端右乘P1一1，得A=P2一1P2一1，因P2一1= P2，而P1一1≠P1，故只有(D)正确．11．设区域D由曲线y=sinx，x=±，y=1围成，则(xy5一1)dxdy=A．π．B．2．C．一2．D．一π．正确答案：B解析：已知A(α1+α2，α2，α3)=(α1+α2，α2，α3)(Aα1+Aα2，A α2，α3)=(α1+α2，α2，2α3)Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=2α3A(α1+α2)=A α1+Aα2=α1+α2AQ=A(α1+α2，α2，α3)=(A(α1+α2)，Aα2，Aα3)=(α1+α2，α2 ，2α3)=(α1+α2，α2，α3)两端左乘Q一1，得Q一1AQ=．由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知α1+α2，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．α1+α2≠0(否则α1，α2线性相关，与α1+α2，α2，α3线性无关矛盾)，且A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2，因此α1+α2是A的属于特征值1的一个特征向量．从而知α1+α2，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出(α1+α2，α2，α3)一1A(α1+α2，α2，α3)=diag(1，1，2)，即Q一1AQ=diag(1，1，2)．因此选(B)．填空题12．设E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)一1(E—A)，则(E+B)一1=________．正确答案：解析：由题设等式得E+B=E+(E+A)一1(E 一A)用(E+A)左乘上式两端，得(E+A)(E+B)=E+A+E一A=2E13．设α为3维列向量，αT是α的转置，若ααT=，则αTα=________．正确答案：3．解析：于是有a2=1，b2=1，c2=1，从而得αTα= [a b c]=a2+b2+c2=1+1+1=3．14．设三阶方阵A、B满足A2B一A一B=E，其中E为三阶单位矩阵，A=，则|B|=________．正确答案：解析：由题设方程移项得A2B一B=A+E，(A2一E)B=A+E，(A+E)(A—E)B=A+E，注意A+E=可逆，用(A+E)一1左乘上式两端，得(A 一E)B=E两端取行列式，得|A一E||B|=115．设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*是A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|=________．正确答案：解析：由于A*A=|A| E，而|A|=3，所以A*A=3E．用矩阵A右乘题设方程两端，可得3AB=6B+A，或3(A 一2E)B=A，两端取行列式，得33|A一2E||B|=|A|，由于|A一2E|=故有27|B|=3，所以|B|=16．设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A =(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)．如果|A|=1，那么|B|=________．正确答案：2．解析：对行列式|B|依次作等值变形(用c1+ kcj表示第i列加上第j列的k倍)c2 一c1，c3 一c1，得|B|=|α1|+α2+α3，α2+3α3，2α2+8α3|再作等值变形c3一2c2，得|B| =| α1+α2+α3，α2+3α3，2α3|=2|α1+α2+α3，α2+3α3，α3|=2 |α1+α2，α2，α3|=2 |α1，α2，α3|=2 |A|=2．17．设矩阵A=E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|=________．正确答案：2．解析：由给定矩阵方程得BA 一B=2E B(A 一E)=2E两端取行列式，得|B ||A一E|=|2E因|A一E|==2，|2E|= 22|E|=4所以有 2 |B|=4，从而得|B|=2．18．设矩阵A=则A3的秩为________．正确答案：1．解析：利用矩阵乘法，容易计算得A3=由于A3中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知r(A3)=1．19．设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A一1+B|=2，则|A+B一1|=________．正确答案：3．解析：由于A+B一1=(AB+E)B一1=A(B+A一1)B一1=A(A一1+B)B一1，两端取行列式，并利用|ABC|=|A||B||C|及|B一1|=|B|一1，得|A+B一1|=|A|．|A一1+B|．|B一1}=3×2×=3．20．设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则|BA*|=________．正确答案：一27．解析：由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知|B|=一3．再利用|A*|=|A|n一1|A|2=9，得|BA*|=|B||A*|=一27．记交换3阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等矩阵为E12，则B=E12A，由于AA*=|A|E=3E，得BA*=E12AA*=E12(3E)=3E12，注意|E12|=一1，所以|BA*|=|3E12|= 33|E|12=一27．21．设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=________．正确答案：一1．解析：由A≠0，不妨设a11≠0，由已知的Aij=一aij(i，j=1，2，3)，得及A=一(A*)T，其中A*为A的伴随矩阵，以下有两种方法：方法1：用AT右乘A=一(A*)T的两端，得AA*=一(A*)AT=一(AA*)T=一(|A|I)T，其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得|A|2=(一1)3|A|3，或|A|2(1+|A|)=0，因|A|≠0，所以|A|=一1．方法2：从A=一(A*)T两端取行列式，并利用|A*|= |A|2，得|A|= (一1)3 |A*|=一|A|2，或|A| (1+|A|)=0，因|A|≠0，所以|A|=一1．22．设矩阵等价，则a=________．正确答案：2．解析：由知矩阵B的秩为2，由于矩阵与矩阵B相似，所以A的秩也为2，因此A的行列式为零，由得a=一1，或a=2．若a=一1，则A=的秩为1，不合题意；若a=2，则的秩为2，符合题意，因此a=2．23．已知向量组α1=(1，2，一1，1)，α2=(2，0，t，0)，α3=(0，一4，5，一2)的秩为2，则t=________．正确答案：3．解析：以α1，α2，α3为行作成矩阵A，并对A作初等变换：由此可知当且仅当f=3时，矩阵A的秩、也即向量组α1，α2，α3的秩等于2．由于α1，α3线性无关，故向量组α1，α2，α3的秩为2当且仅当α2可由α1，α3线性表出，即存在常数x1，x2，使得x1α1+x2α3=α2，亦即由此解得t=3．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳
2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳线性代数是考研数学一科目中的重要内容之一，涉及到矩阵、向量、线性方程组等多个概念和方法。
了解历年考研数学一专题线性代数的题目，可以帮助考生更好地掌握该专题的重点和难点，提高解题能力。
本文将对2024年考研数学一专题线性代数历年题目进行归纳，以供考生参考。
1. 矩阵运算题矩阵的加法、减法、乘法是线性代数的基本内容，考研中常涉及到矩阵的运算性质和运算规律。
如下是一道历年考研数学一专题线性代数中的矩阵运算题目：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，矩阵C=（c_{ij}）_{p×k}，试证明：(A×B)×C=A×(B×C)。
解析：首先我们需要明确矩阵的乘法运算满足结合律。
对于(A×B)×C，先计算矩阵A和矩阵B的乘积，得到(m×p)的矩阵D。
然后将矩阵D与矩阵C相乘，得到(m×k)的矩阵E，即(A×B)×C=E。
同样地，对于A×(B×C)，先计算矩阵B和矩阵C的乘积，得到(n×k)的矩阵F。
然后将矩阵A与矩阵F相乘，得到(m×k)的矩阵G，即A×(B×C)=G。
因此，(A×B)×C=E=A×(B×C)=G，即(A×B)×C=A×(B×C)。
2. 矩阵的秩题矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组中所含向量的个数。
在考研数学一专题线性代数中，关于矩阵的秩有很多题目，如下所示：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，且秩(A)=r，秩(B)=s。
试证明：1) 秩(AB)≤min{r,s}；2) 如果r=s，且r=min{m,n,p}，则秩(AB)=r。
考研数学三(线性代数)历年真题汇编1.doc
考研数学三（线性代数）历年真题汇编1(总分：50.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设n阶方阵A的秩r(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中【】（分数：2.00）A.必有，一个行向量线性无关．B.任意r个行向量都线性无关．C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组．D.任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出．3.设A为n阶方阵且∣A∣=0，则【】（分数：2.00）A.A中必有两行(列)的元素对应成比例．B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．D.A中至少有一行(列)的元素全为0．4.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分条件是【】（分数：2.00）A.α1，α2，…，αs均不为零向量．B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例．C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s一1个向量线性表示．D.α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关．5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k 1，…，k m，使(λ1 +k 1 )α1 +…+(λm +k m )αm +(λ1一k 1 )β1 +…+(λm一k m )βm =0，则【】（分数：2.00）A.α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关．B.α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关．C.α1 +β1，…，αm +βm，α1一β1，…，αm一βm线性无关．D.α1 +β1，…，αm +βm，α1—β1，…，αm一βm线性相关．6.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【】（分数：2.00）A.α1 +α2，α2 +α3，α3一α1B.α1 +α2，α2 +α3，α1 +2α2 +α3C.α1 +2α2，2α2 +3α3，3α3 +α1D.α1 +α2 +α3，2α1一3α2 +22α3，3α1 +5α2一5α37.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析一、前言在2024年的考研数学一科目中，线性代数占据着重要的位置。
掌握线性代数的核心概念和解题技巧对于考生来说至关重要。
为了帮助广大考生更好地备考，本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年真题进行全面解析，并分享一些解题技巧和注意事项。
二、基础知识回顾在开始解析之前，先回顾一下线性代数的基础知识是非常必要的。
包括向量、矩阵、行列式、线性空间、线性变换等概念都是线性代数的基本内容。
理解这些基础知识对于解答试题非常有帮助。
三、真题解析接下来，我们将对几道历年真题进行解析，以帮助考生更好地理解线性代数的应用。
1. 2018年真题题目描述：已知矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=-3，对应的特征向量分别为X1=(1,2)T，X2=(1,-1)T。
求矩阵A的逆矩阵。
解析：根据线性代数的知识，当一个矩阵存在特征值时，可以通过特征向量组成的矩阵P和特征值组成的对角矩阵D，利用相似矩阵的性质求得矩阵A的逆矩阵。
首先，我们将特征向量X1和X2组成的矩阵P为：2 -1]然后，根据特征值组成的对角矩阵D为：D = [2 00 -3]利用相似矩阵的性质，可以得到：A = PDP^(-1)由此可得：P^(-1) = [1/3 1/32/3 -1/3]最后，计算得到矩阵A的逆矩阵为：A^(-1) = P^(-1)DP2. 2019年真题题目描述：已知矩阵A是n阶方阵，且满足A^2 = -I，其中I为n 阶单位矩阵。
证明A的特征值一定满足λ^2+1=0。
解析：根据已知条件A^2 = -I，可得到：λI^2 = -I再根据特征值的性质，可以得到：进一步推导，可得：(λ^2+1)I = 0因为矩阵A是n阶方阵，所以λ^2+1=0。
证毕。
四、解题技巧和注意事项1. 理清概念：线性代数是一门较为抽象的学科，需要理清概念和定义。
对于一些概念的记忆和理解，可以通过做例题巩固。
2. 多做习题：做大量的习题是掌握线性代数的关键。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(99年)设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则【】A．λE－A＝λE－B．B．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A和B都相似于一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE－A与tE－B相似正确答案：D解析：由已知条件，存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝B 所以P-1(tE －A)P＝tE－P-1AP＝tE－B 这说明tE－A与tE－B相似，故D正确．知识模块：线性代数2．(02年)设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是【】A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正确答案：B解析：由条件有AT＝A，Aα＝λα，故有(P-1AP)T(PTα)＝PTA(PT)-1PTα＝PTAα＝PTλα＝λ(PTα) 因为PTa≠0(否则PTα＝0，两端左乘(PT)-1，得α＝0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量PTα是方阵(PTAP)T的属于特征值λ的特征向量．因此，B正确．知识模块：线性代数3．(05年)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是【】A．λ1＝0B．λ2＝0C．λ1≠0D．λ2≠0正确答案：D解析：由条件知α1，α2线性无关．向量组α1，A(α1＋α2)，即向量组α1，λ1α1＋λ2α2，显然等价于向量组α1，λ2α2，当λ2＝0时，α1，λ2α2线性相关，当λ2≠0时，α1，λ2α2线性无关，故向量组α1，A(α1＋α2)线性无关向量组α1，λ2α2线性无关≠0，只有选项D正确．知识模块：线性代数4．(10年)设A为4阶实对称矩阵，且A2＋A＝O．若A的秩为3，则A 相似于【】A．B．C．D．正确答案：D解析：设A按列分块为A＝[α1 α2 α3 α4]，由r(A)＝3，知A的列向量组的极大无关组含3个向量，不妨设α1，α2，α3是A的列向量组的极大无关组．由于A2＝－A，即A[α1 α2 α3 α4]＝－[α1 α2 α3 α4]，即[Aα1 Aα2 Aα3 Aα4]＝[－α1－α2－α3－α4]，得Aαj＝－αj，j＝2，3，4．由此可知－1是A的特征值值且α1，α2，α3为对应的3个线性无关的特征向量，故－1至少是A的3重特征值．而r(A)＝3＜4，知0也是A的一个特征值．于是知A的全部特征值为：－1，－1，－1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故A相似于对角矩阵D ＝diag(－1，－1，－1，0)，故选项D正确．知识模块：线性代数5．(13年)矩阵相似的充分必要条件为【】A．a＝0，b＝2．B．a＝0，b为任意常数．C．a＝2，b＝0．D．a＝2，b为任意常数．正确答案：B解析：B为对角矩阵，B的特征值为其主对角线元素2，6，0．若A与B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知2为A的一个特征值，从而有由此得a＝0．当a＝0时，矩阵A的特征多项式为由此得A的全部特征值为2，b，0．以下可分两种情形：若b为任意实数，则A为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时A必相似于B．综上可知，A与B相似的充分必要条件为a＝0，b为任意常数．所以只有选项B正确．知识模块：线性代数6．(16年)设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是【】A．AT与BT相似．B．A-1与B-1相似．C．A＋AT与B＋BT相似．D．A＋A-1与B＋B-1相似．正确答案：C解析：由已知条件知，存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝B……(1)．由(1)两端取转置，得PTAT(PT)-1＝BT，可见AT与BT相似，因此选项A正确；由(1)两端取逆矩阵，得P-1A-1P＝B-1……(2)，可见A-1与B-1相似，因此选项B 正确；将(1)与(2)相加，得P-1(A＋A-1)P＝B＋B-1，可见A＋A-1与B＋B-1相似，因此选项D正确．故只有选项C错误．知识模块：线性代数7．(07年)设矩阵，则A与B 【】A．合同，且相似．B．合同，但不相似．C．不合同，但相似．D．既不合同，也不相似．正确答案：B解析：由A的特征方程得A的全部特征值为λ1＝λ2＝3，λ3＝0，由此知A不相似于对角矩阵B(因为A的相似对角矩阵的主对角线元素必是A的全部特征值3，3，0)，但由A的特征值知3元二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的秩及正惯性指数均为(二次型f＝χTAχ经适当的正交变换可化成标准形f＝3y12＋3y22，再经可逆线性变换可化成规范形f＝z12＋z22，而f的矩阵A与f 的规范形的矩阵B＝diag(1，1，0)是合同的)．知识模块：线性代数8．(08年)设A＝则在实数域上与A合同的矩阵为【】A．B．C．D．正确答案：D解析：记(D)中的矩阵为D，则由知A与D有相同的特征值3与－1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵P与Q，使PTAP＝＝QTDQ，QPTAPQT＝D，或(PQT)A(PQT)＝D，其中PQT可逆，所以A与D合同．知识模块：线性代数9．(15年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)在正交变换χ＝Py下的标准形为2y12＋y22－y32，其中P＝(e1，e2，e3)．若Q＝(e1，－e3，e2)，则f(χ1，χ2，χ3)在正交变换χ＝Qy，下的标准形为【】A．2y12－y22＋y32．B．2y12＋y22－y32．C．2y12－y22－y32．D．2y12＋y22＋y32．正确答案：A解析：设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e1，e2，e3是矩阵A的标准正交的特征向量．对应的特征值依次是2，1，－1．即有Ae1＝2e1，Ae2＝2e2，Ae3＝2e3 从而有AQ＝a(e1，－e3，e2)＝(Ae1，－Ae3，Ae2)＝(2e1，－(－e3)，e2) ＝(e1，－e3，e2) 矩阵Q的列向量e1，－e3，e2仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，－1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q-1＝QT，上式两端左乘Q-1，得Q-1AQ＝QTAQ＝从而知厂在正交变换χ＝Py下的标准形为f＝2y12－y22＋y32．于是选A．知识模块：线性代数10．(16年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝a(χ12＋χ22＋χ32)＋2χ1χ2＋2χ2χ3＋2χ1χ3的正、负惯性指数分别为1，2，则【】A．a＞1B．a＜－2C．－2＜a＜1D．a＝1或a＝－2正确答案：C解析：先来求二次型的矩阵A的特征值，由得A的全部特征值为λ1＝λ2＝a－1，λ3＝a＋2，由题设条件知有两个特征值小于零，有一个特征值大于零，所以a－1＜0＜a＋2，由此得－2＜a＜1，故只有选项C正确．知识模块：线性代数填空题11．(04年)二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1＋χ2)2＋(χ2－χ3)2＋(χ3＋χ1)2的秩为_______．正确答案：2解析：f的矩阵A＝的秩为2，所以f的秩为2．知识模块：线性代数12．(11年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换χ＝Qy下的标准形为_______．正确答案：3y12解析：由f的秩为1，知f的矩阵A只有一个不为零的特征值，A的另外两个特征值均为零．再由A的各行元素之和都等于3，即，知A的全部特征值为λ1＝3，λ2＝λ3＝0．于是f经正交变换化成的标准形为f＝λ1y12＋λ2y22＋λ3y32＝3y12．知识模块：线性代数13．(14年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12－χ22＋2aχ1χ3＋4χ2χ3的负惯性指数为1，则a的取值范围是_______．正确答案：[－2，2]解析：对f配方，可得f(χ1＋aχ3)2－(χ2－2χ3)2＋(4－a2)χ32 于是f可经可逆线性变换化成标准形f＝z12－z22＋(4－a2)z32 若4－a2＜0，则f的负惯性指数为2，不合题意；若4－a2≥0，则f的负惯性指数为1．因此，当且仅当4－a2≥0，即｜a｜≤2时，f的负惯性指数为1．知识模块：线性代数14．(07年)设矩阵A＝，则A3的秩为_______．正确答案：1解析：利用矩阵乘法，容易计算得由于A3中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知r(A3)＝1．知识模块：线性代数15．(09年)设α＝(1，1，1)T，β＝(1，0，k)T．若矩阵αβT相似于，则k＝_______．正确答案：2解析：矩阵A＝αβT＝由A的特征方程得A的特征值为λ1＝λ2＝0，λ3＝k＋1．又由A与对角矩阵相似，知A的特征值为3，0，0．比较得k＋1＝3，所以k＝2．知识模块：线性代数16．(97年)若二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2χ12＋χ22＋χ32＋2χ1χ2＋t χ2χ3是正定的，则t的取值范围是_______．正确答案：解析：f的矩阵为因为，f正定甘A的顺序主子式全为正，显然A的1阶和2阶顺序主子式都大于零，故f正定知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2024年考研数学一线性代数历年题目全扫描
2024年考研数学一线性代数历年题目全扫描在2024年的考研数学一试卷中，线性代数是一个重要且常出现的考点。
本文将对2024年考研数学一线性代数的历年题目进行全面扫描，以帮助考生更好地准备考试。
通过对历年题目的分析，考生可以深入了解考点的范围和难度，为备考提供指导。
一、行列式与矩阵1. 设A、B、C为n阶矩阵，则下列结论中正确的是（）A. det(ABC) = detA·detB·detCB. det(A+B) = detA + detBC. det(A^-1) = 1/detAD. det(kA) = k^n·detA2. 若行列式D = | a b c |，其中a,b,c为未知数，且D的值与a呈线性关系。
则以下选项中满足题设要求的是（）A. a = b+cB. a = b-cC. a = 2b-cD. a = 3b+c3. 设A为3阶非零矩阵，满足A^2 + 2A = O，则下列结论中正确的是（）A. det(A) = 0B. det(A^2) = 0C. det(3A) = 0D. det(-A) = 04. 已知A为3阶矩阵，且满足A^T = A，则以下选项中一定成立的是（）A. A为对称矩阵B. A为反对称矩阵C. A为单位矩阵D. A为零矩阵二、线性方程组1. 设线性方程组Ax=b有唯一解，则下列选项中正确的是（）A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的秩等于nD. b ∈ Col(A)2. 设线性方程组Ax=b有解，其中A为m×n矩阵，b为n维向量，则下列选项中一定成立的是（）A. 线性方程组有唯一解B. 线性方程组无解C. A的秩等于nD. A为方阵3. 设矩阵A为n阶方阵，若线性方程组Ax=b有无穷多解，则下列选项中一定成立的是（）A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A为可逆矩阵4. 已知矩阵A为n×n矩阵，若存在非零向量x，使得Ax=O，则以下选项中正确的是（）A. A的秩小于nB. A的秩等于nC. A的行向量组线性相关D. A为可逆矩阵三、特征值与特征向量1. 设n阶矩阵A的特征值全部为零，则下列选项中正确的是（）A. A为零矩阵B. A的秩等于nC. A不可逆D. A的行向量组线性相关2. 设矩阵A为3阶可对角化矩阵，若A有两个特征值为2，一个特征值为3，则以下选项中正确的是（）A. A的秩等于2B. A的秩等于3C. A为非奇异矩阵D. A的行向量组线性无关3. 设矩阵A为n阶方阵，若A有n个互不相同的特征值，则以下选项中一定成立的是（）A. A为可对角化矩阵B. A的秩等于nC. A的行向量组线性无关D. A为非奇异矩阵4. 已知矩阵A的特征值为1，2，3，若A的特征向量分别为x1，x2，x3，则下列选项中正确的是（）A. x1与x2线性无关B. x2与x3线性无关C. x1与x3线性无关D. x1，x2，x3线性无关通过以上题目的扫描，我们可以发现线性代数在考研数学一中占据了重要的地位。
[考研类试卷]考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编9.doc
![[考研类试卷]考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编9.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/14be428116fc700aba68fc0d.png)
[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (11)设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵．A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为（A）α1，α3．（B）α1，α2．（C）α1，α2，α3．（D）α2，α3，α4．2 (15)设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为3 (05分)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是（A）λ1≠0（B）λ2≠0（C）λ1=0（D）λ2=0二、填空题4 (01)设方程组有无穷多个解，则a=______．5 (02)矩阵A=的非零特征值是______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6 (97)λ取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．7 (98)已知α1=[1，4，0，2]T，α2=[2，7，1，3]T，α3=[0，1，-1，a]T，β=[3，10，6，4]，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示? (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并写出此表示式．8 (00)设A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置．求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+y9 (01)已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα1，β4=α1+tα1．讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX=0的一个基础解系．10 (02)已知矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．11 (03)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．12 (04)设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．13 (05)已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b．c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．14 (06)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；(2)求a，b的值及方程组的通解．15 (07)设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a-1 ②有公共解，求a的值及所有公共解．16 (08)设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)a n；(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．17 (09)设(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，Aξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关.18 (10)没A=已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解．(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．19 (12)设A=(Ⅰ)计算行列式｜A｜；(Ⅱ)当实数n为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．20 (13)设A=，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.21 (14)设A=，E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．22 (16)设矩阵A=，且方程组Ax=β无解．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求方程组A T Ax=A Tβ的通解．23 (17)设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2， (Ⅰ)证明r(A)=2； (Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．24 (18)已知a是常数，且矩阵A=可经初等列变换化为矩阵B=(1)求a；(2)求满足AP=B的可逆矩阵P．25 (03)若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使Pr-1AP=Λ．26 (04)设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求n的值，并讨论A是否可相似对角化．27 (06)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q T AQ=A．28 (07)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A 的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵b．。
考研数学一线性代数历年真题全解2024
考研数学一线性代数历年真题全解2024线性代数是数学的一个分支，是研究向量空间和线性变换的理论。
在考研数学一科目中，线性代数占据了一定的比重，因此熟练掌握线性代数的知识是非常重要的。
本文将针对考研数学一线性代数部分历年真题进行全面解析，以帮助考生更好地备考。
第一部分：向量空间向量空间是线性代数中的重要概念，也是线性代数的基础知识之一。
在考研数学一中，向量空间的相关知识经常会出现在选择题和计算题中。
下面我们将从历年真题中选取一些典型题目，进行详细解析。
题目1：已知向量空间V中的两个非零向量a，b满足a+b和2a-3b线性相关，求向量a和向量b的线性相关关系。
解析：根据已知条件，可以得到方程组：k1(a+b) + k2(2a-3b) = 0化简可得：(2k1+k2)a + (k1-3k2)b = 0由于a和b非零，所以方程组只有零解。
即：2k1+k2=0k1-3k2=0解得k1=3，k2=-6所以，向量a和向量b的线性相关关系为：3a-6b=0。
题目2：设V是数域K上的线性空间，W是V的子空间。
证明：W和V/W的维数之和等于V的维数。
解析：设V的维数为n，W的维数为m，V/W的维数为k。
由定义可知，W是V的子空间，所以m≤n。
而V/W的维数k的定义是：V中所有代表元素的集合构成的集合的维数。
所以，V中任意一组代表元素的集合都可以作为V的一组基，维数为n。
而V中所有代表元素的集合的元素个数为k，所以k≤n。
综上所述，m+k≤n，并且n=m+k。
第二部分：线性变换线性变换在线性代数中扮演着重要的角色，在考研数学一线性代数部分也是一道重要的考点。
线性变换的相关内容通常会涉及到矩阵、特征值等知识。
下面我们将通过历年真题来进行详细解析。
题目3：设A是n阶方阵，证明：矩阵A与其伴随矩阵A*相乘的结果为A的行列式的n次方。
解析：根据定义，矩阵的伴随矩阵满足以下性质：AA*=|A|E其中，|A|为A的行列式，E为单位矩阵。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(11)设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵．A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为A．α1，α3．B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D解析：首先，4元齐次线性方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-r(A*)，其中r(A*)为A*的秩，因此求r(A*)是一个关键．其次，由Ax=0的基础解系只含1个向量，即4-r(A)=1，得r(A)=3，于是由r(A*)与r(A)的关系，知r(A*)=1，因此，方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-r(A*)=3，故选项(A)、(B)不对．再次．由(1，0，1，0)T是方程组Ax=0或x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的解，知α1+α3=0，故α1与α3线性相关，于是只有选项(D)正确．知识模块：线性方程组2．(15)设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为A．B．C．D．正确答案：D解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a-1)(a-2)=0，即a=1或a=2，此时系数矩阵的秩为2，由有解判定定理知，当且仅当a∈Ω且d∈Ω，所以选(D)．知识模块：线性方程组3．(05分)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是A．λ1≠0B．λ2≠0C．λ1=0D．λ2=0正确答案：B解析：由λ1≠λ2及特征值的性质知α1，α2线性无关．显然，向量组{α1，A(α1+α2)}={α1，λ1α1+λ2α2}等价于向量组{α1，λ2α2}．当λ2≠0时，它线性无关，当λ2=0时，它线性相关，故α1，A(α1+α2)线性无关λ2≠0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题4．(01)设方程组有无穷多个解，则a=______．正确答案：-2解析：对方程组的增广矩阵作初等行变换：由此可见：(1)当a≠1且a ≠-2时，r(A)==3，方程组有唯一解；(2)当a=1时，r(A)=1，=2，方程组无解；(3)当a=-2时，r(A)==2＜3，方程组有无穷多解．故当且仅当a=-2时方程组有无穷多解．知识模块：线性方程组5．(02)矩阵A=的非零特征值是______．正确答案：4解析：由A的特征方程=λ(λ-4)=λ2(λ-4)=0 知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编16.doc
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[考研类试卷]考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编16一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A为n阶实矩阵，A T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A T Ax=0，必有（A）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．（B）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．（C）(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．（D）(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．2 4个平面a i x+b i y+c i z=d i(i=1，2，3，4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵=（A）1（B）2（C）3（D）43 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且则线性方程组（A）Ax=α必有无穷多解．（B）Ax=α必有唯一解．（C）=0仅有零解．（D）=0必有非零解．4 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系（A）不存在．（B）仅含一个非零解向量．（C）含有两个线性无关的解向量．（D）含有3个线性无关的解向量．5 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为（A）+k1(η2—η1)．（B）+k1(η2—η1)．（C）+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．（D）+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6 对于方程组问k1与k2各取何值，方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在有无穷多解时．求其一般解．7 设方程组有解．(1)确定a、b的值；(2)求其导出组的基础解系，并用之表示原方程组的全部解．8 设向量α1=(1，一1，1)T，α2=(1，k，一1)T，α3=(k，1，2)T，β=(4，k2，一4)T．问k取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并求出此线性表示式．8 设有线性方程组9 证明：当a1，a2，a3，a4两两不等时，此方程组无解；10 设a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)时，β1=(一1，1，1)T，β2=(1，1，一1)T是方程组的两个解，写出此方程组的通解．11 设A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A)=r(A┊B)．12 设A=X=(x ij)3×3问a、b、c各取何值时，矩阵方程AX=B有解?并在有解时，求出全部解．13 设已知方程组Ax=0的解空间的维数为2，求c的值，并求出方程组Ax=0的通解．14 求解线性方程组，(a、b为参数)15 设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，求证：β，β+α1，…，α+αt线性无关．16 设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*，r(A)=r＜n，证明：方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解，而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解．17 设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．18 设齐次线性方程组A m×n x=0的解全是方程b1x1+b2x2+…+b n x n=0的解，其中x=(x1，x2，…，x n)T．证明：向量b=(b1，b2，…，b n)可由A的行向量组线性表出．19 设α1，α2，…，αk(k＞n)是R n中k个线性无关的列向量，证明：存在行阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．20 设矩阵A=(a ij)n×n的秩为，2，记A的元素a ij的代数余子式为A ij，并记A的前r 行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组α1=(A r+1，1，…，A r+1，n)Tα1=(A r+2，1，…，A r+2，n)T…… αn—r=(A n1，…，A nn)T是齐次线性方程组Bx=0的基础解系．21 设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：r(A*)=22 设有两个线性方程组：其中向量b=(b1，b2，…，b m)T≠0．证明：方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y1，y2，…，y m)T都满足方程b1y1+b2y2+…+b m y m=0．23 已知齐次线性方程组其中a i≠0．试讨论a1，a2，…，a n和b满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．24 设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，一1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?25 讨论三个平面：x+2y+z=1，2x+3y+(a+2)z=3，x+ay一2z=0的相互位置关系．26 设有向量α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，一3a)T，α3=(一1，一b一2，a+2b)T，β=(1，3，一3)T．试讨论当a、b为何值时， (1)β不能由α1，α2，α3线性表示；(2)β可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式； (3)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式．27 已知(1，一1，1，一1)T是线性方程组的一个解，试求： (1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足x2=x3的全部解．28 确定常数a的值，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，a)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．29 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．。
2024考研数学一线性代数历年真题全解析
2024考研数学一线性代数历年真题全解析线性代数是数学中的一个重要分支，也是考研数学一科目的必考内容之一。
掌握线性代数的基本理论和解题方法，对于考研的成功至关重要。
本文将对2024年考研数学一线性代数历年真题进行全面解析，帮助考生更好地理解和掌握这一内容。
一、第一题：（2024年考研数学一真题）题目描述：设A、B为n阶方阵，且满足A^2=AB-B^2。
求证：可以得出B^2=BA-A^2。
解析：根据题目中的等式A^2=AB-B^2，我们可以推导出：A^3 = (AB-B^2)A = ABA-BA^2将B^2=BA-A^2代入上式，得到：A^3 = A(BA-A^2) = ABA-A^3移项化简可得：2A^3 = ABA进一步整理：2A^3 - ABA = 0因此，我们证明了B^2=BA-A^2。
二、第二题：（2023年考研数学一真题）题目描述：已知线性变换T：R^3->R^3的矩阵为A=[a1,a2,a3]，其中a1、a2、a3分别为R^3的列向量，向量a3可以表示为a3=k1a1+k2a2，其中k1、k2为实数。
证明：线性变换T在R^3的任意向量上的投影运算P与反射运算S满足P^2=P，S^2=S。
解析：设矩阵A=[a1,a2,a3]，且a3=k1a1+k2a2，根据题目条件可知向量a3可由a1、a2线性表示。
由此，我们可以得到矩阵A的列向量组线性相关。
由于投影运算P的定义为P^2=P，这意味着对于任意向量x，有P(P(x))=P(x)，即P^2(x)=P(x)。
另一方面，反射运算S的定义为S^2=S，即S(S(x))=S(x)，即S^2(x)=S(x)。
根据线性变换T的定义，我们有T(x)=Ax，其中A=[a1,a2,a3]。
根据题意，向量a3可由a1、a2线性表示，说明向量a3可以写为a3=k1a1+k2a2。
我们知道，投影运算P的定义为P(x)=A(A^TA)^(-1)A^Tx，反射运算S的定义为S(x)=2P(x)-x。
考研真题数学二(2000——2018)线性代数大题
数学二线性代数（22）（本题满分11分）（2018）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数 (I) 123(,,)0f x x x =求的解；(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.（23）（本题满分11分） （2018）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I) ;a 求(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵（22）（本题满分11分）（2017）三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+（1）证明()2r A =（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解（23）（本题满分11分）（2017）设二次型132221232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为221122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .（22）（本题满分11分）（2016）设矩阵11110111a A a a a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，0122a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且方程组Ax β=无解。
（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求方程组T TA Ax A β=的通解。
（23）（本题满分11分）（2016） 已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。
记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
22、（本题满分11分）（2015）设矩阵111100a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且O A =3.（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足E E AXA AX XA X ,22=+--为3阶单位矩阵，求X 。
考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设则A与BA．合同且相似．B．合同但不相似．C．不合同但相似．D．不合同且不相似．正确答案：A解析：因为A为实对称矩阵，且易求出A的特征值为λ1=4，λ2=λ3=λ4=0，所以必有正交矩阵P，使得P—1AP—PTAP==B即A既相似于B，也合同于B，所以(A)正确．知识模块：二次型2．设矩阵A=，则A与BA．合同，且相似．B．合同，但不相似．C．不合同，但相似．D．既不合同，也不相似．正确答案：B解析：由A的特征方程｜λE一A｜==(λ一3)2λ=0得A的全部特征值为λ1，λ2=3，λ3=0，由此知A不相似于对角矩阵B(因为A的相似对角矩阵的主对角线元素必是A的全部特征值3，3．0)，但油A的特征值知3元二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩及正惯性指数均为(二次型f=xTAx经适当的正交变换可化成标准形f=3y12+3y22，再经可逆线性变换可化成规范形f=z12+z22。
而f的矩阵A 与f的规范形的矩阵B=diag(1，1，0)是合同的)．知识模块：二次型3．设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：由图形知该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为λ1x’2—λ2y’2—λ3z’2=1，其中λi＞0(i=1，2，3)，由于用正交变换化成的标准方程中各变量平方项的系数为A的特征值，故A的特征值为：λ1＞0，一λ2＜0，一λ3＜0，因此A的正特征值的个数为1．知识模块：二次型4．设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22—y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，e2，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为A．2y12—y22+y32．B．2y12+y22—y32．C．2y12—y22—y32．D．2y12+y22+y32．正确答案：A解析：设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e1，e2，e3是矩阵A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，一1．即有Ae1=2e1，Ae2=2e2，A3=23从而有AQ=A(e1，—e3，e2)=(Ae1，—Ae3，Ae2)一(2e1，—(—e3)，e2)=(e1，—e3，e2) 矩阵Q的列向量e1，—e3，e2仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，一1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q —1=QT，上式两端左乘Q—1，得Q—1AQ=QTAQ=从而知f在正交变换x=Py 下的标准形为f=2y12—y22+y32．于是选A．知识模块：二次型5．设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为A．单叶双曲面．B．双叶双曲面．C．椭球面．D．柱面．正确答案：B解析：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为A=，由得A的全部特征值为λ1=5，λ2=λ3=一1，因此，二次曲面方程f(x1，x2，x3)=2在适当的旋转变换下可化成方程5y12—y22—y32=2，由此可知该二次曲面是双叶双曲面．知识模块：二次型填空题6．已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=___________．正确答案：2解析：由题设条件知，f的矩阵为由于在正交变换下化f所成的标准形中，变量平方项的系数为A的全部特征值，故由f的标准形知A的特征值为6，0，0．再由特征值的性质：A全部特征值之和等于A的主对角线元素之和，即6+0+0=a+a+a便得a=2．知识模块：二次型7．若二次曲面的方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y12+4z12=4，则a=___________．正确答案：1解析：由题设条件知二次曲面方程左端的二次型的秩为2，即矩阵A=的秩为2．于是有0=det(A)==一(a一1)2所以，a=1．知识模块：二次型8．设二次型f(x1，x2，x3)=x12—x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是___________．正确答案：[一2．2]．解析：对f配方，可得f=(x3+ax3)!一(x2一2x3)。
考研数学一2024线性代数历年真题答案解析
考研数学一2024线性代数历年真题答案解析一、真题回顾在开始解答具体问题之前，我们先回顾一下考研数学一2024年的线性代数真题，了解题目的背景和要求。
（这里省略了小节一、小节二等文字，直接进入正文）二、题目一解析接下来，我们逐个解析2024年考研数学一的线性代数历年真题，首先是题目一。
【题目一】(2024年考研数学一真题)题目：已知3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量分别为α1=(1,1,1)T，α2=(1,λ2,λ2^2)T，α2=(1,λ3,λ3^2)T，则矩阵A满足的谱定理条件是 ________。
解析：根据谱定理，对于任意实对称矩阵A，其必定有3个特征值，并且可以通过正交矩阵P对角化，即A=PDP^T。
其中D是对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值。
由已知条件，A的特征向量分别为α1=(1,1,1)T，α2=(1,λ2,λ2^2)T，α2=(1,λ3,λ3^2)T。
首先，我们可以通过特征向量求出P矩阵。
将特征向量α1, α2, α3归一化得到P矩阵的列向量，即为：P=[α1/|α1|, α2/|α2|, α3/|α3|]其中，|α|表示向量α的模。
由于α1, α2, α3都是不同的特征向量，它们之间是线性无关的，因此可以得到满秩的P矩阵。
接下来，我们可以构造对角矩阵D。
根据题目已知的特征值，我们可以得到D：D=diag(λ1, λ2, λ3)=diag(1, 2, 3)最后，根据谱定理的公式A=PDP^T，我们可以得到矩阵A满足的谱定理条件为：A=PDP^T将P和D代入上述公式，即可得到矩阵A满足的谱定理条件。
三、题目二解析接下来，我们继续解析2024年考研数学一的线性代数历年真题，下面是题目二的解析。
【题目二】(2024年考研数学一真题)题目：设F是n维欧氏空间，T是线性变换:F→F，T*是T的伴随变换。
证明：T的不变子空间与T*的不变子空间维度相等。
解析：要证明T的不变子空间与T*的不变子空间维度相等，我们可以采用证明维数相等的方法。
考研数学一(线性代数)-试卷3
考研数学一（线性代数）-试卷3(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设n维列向量组α1，α2，…，αm (m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为 ( )（分数：2.00）A.向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出B.向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表出C.向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价D.矩阵A=[α1，α2，…，αm ]与矩阵B=[β1，β2，…，βm ]等价√解析：解析：A=[α1，α2，…，αm ]，β=[β1，β2，…，βn ]等价r(α1，αm )=r(β1，…，βmβ1，β2，…，βm线性无关(已知α1，α2，…，αm线性无关时)．3.要使都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：因[2，1，1]ξ1 =0，[-2，1，1]ξ2 =0．4.A，若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则 ( )（分数：2.00）A.λ=-2且｜B｜=0B.λ=-2且｜B｜≠0C.λ=1且｜B｜=0 √D.λ=1且｜B｜≠0解析：解析：B≠O，AB=O，故AX=0有非零解，｜A｜=0A≠O，故B不可逆，故λ=1，且｜B｜=0．5.齐次线性方程组的系数矩阵A 4×5 =[β1，β2，β3，β4，β5 ]经过初等行变换化成阶梯形矩阵为则 ( )（分数：2.00）A.β1不能由β3，β4，β5线性表出B.β2不能由β1，β3，β5线性表出C.β3不能由β1，β2，β5线性表出D.β4不能由β1，β2，β3线性表出√解析：解析：βi能否由其他向量线性表出，只须将βi视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可．由阶梯形矩阵知，β4不能由β1，β2，β3线性表出．6.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是 ( )（分数：2.00）A.A的列向量线性无关√B.A的列向量线性相关C.A的行向量线性无关D.A的行向量线性相关解析：解析：A唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件．7.设A为n阶实矩阵，则对线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)A T AX=0，必有 ( )（分数：2.00）A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解√B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解解析：解析：方程AX=0和A T AX=0是同解方程组．8.已知β1，β2是AX=b的两个不同的解，α1，α2是相应的齐次方程组AX=0的基础解系，k 1，k 2是任意常数，则AX=b的通解是（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：(A)，(C)中没有非齐次特解，(D)中两个齐次解α1与β1 -β2是否线性无关未知，而(B)中因α1，α2是基础解系，故α1，α1 -α2仍是基础解系，仍是特解．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.方程组x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0的基础解系是 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ξ1 =[1，-1，0，0，0] T，ξ2 =[1，0，-1，0，0] T，ξ3 =[1，0，0，-1，0] T，ξ4 =[1，0，0，0，-1] T）解析：10. 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：k[1，1，1，1] T，其中k是任意常数）解析：11. 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）12.设线性方程组有解，则方程组右端（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：其中k 1，k 2，k 3是任意常数，方程组有解，即[k 1，k 2，k 3 ] T．或说是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时，方程组有解．13.已知非齐次线性方程组 A 3×4X=b ① 有通解k 1 [1，2，0，-2] T +k 2 [4，-1，-1，-1] T +[1，0，-1，1] T，则满足方程组①且满足条件x 1 =x 2，x 3 =x 4的解是 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[2，2，-1，-1] T）解析：解析：方程组①的通解为由题设x 1 =x 2，x 3 =x 4得k 1 =1，k 2 =0，代入通解得满足①及x 1 =x 2，x 3 =x 4的解为[2，2，-1，-1] T三、解答题(总题数：15，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A、B、A+B、A—1+B—1均为n阶可逆方阵，则(A—1+B—1)—1= A．A—1+B—1B．A+BC．A(A+B)—1BD．(A+B)—1正确答案：C解析：由(A—1+B—1)[A(A+B)—1B]=(E+B—1A)(A+B)—1B—B—1(B+A)(A+B)—1B=B—1B=E，或A(A+B)—1B=[B—1(A+B)A—1]—1=(B—1AA —1+B—1BA—1)—1=(B—1+A—1)—1=(A—1+B—1)—1即知只有(C)正确．知识模块：矩阵2．设n维行向量α=()，矩阵A=I—αTα，B=I+2αTα，其中I为n阶单位矩阵，则ABA．O．B．一I．C．I．D．I+αTα．正确答案：C解析：AB=(I一αTα)(I+2αTα)=I+2αTα—αTα一2αTααTα=I+αT α一2αT(ααT)α．而ααT+．故得AB=I．知识模块：矩阵3．设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有A．a=b或a+2b=0．B．a=b或a+2b≠0。
C．a≠b且a+2b=0．D．a≠b且a+2b≠0．正确答案：C解析：由r(A*)=1，知A*至少有一个元素Aij=(一1)i+1Mij≠0．其中Mij为A的(i，j)元素的余子式即A的一个2阶子式，故r(A)≥2，又由0=｜A*｜=｜A2｜．知｜A｜=0，故得，r(A)=2．由0=｜A｜=(a+2b)(a一b)2，得a=b或a+2b=0，若a=b．则显然有r(A)≤1，与r(A)=2矛盾，故a≠b且a+2b=0．知识模块：矩阵4．设矩阵B=，已知矩阵A相似于B，则秩(A一2E)与秩(A—E)之和等于A．2．B．3．C．4．D．5．正确答案：C解析：由条件知存在可逆矩阵P．使P—1AP=B．故有P—1(A一2E)P=P—1AP—2E=B一2E=，P—1(A—E)P=B—E=，利用相似矩阵有相同的秩．得r(A一2E)+r(A—E)==3+1=4．知识模块：矩阵5．设其中A可逆，则B—1等于A．A—1P1P2B．P1A—1P2C．P1P2A—1D．P2A—1P1正确答案：C解析：利用初等变换与初等矩阵的关系．可得B=AP2P1．故B—1=P—1P —1A—1=P1P2A—1．知识模块：矩阵6．设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A 的转置矩阵．若a1，a2，a3为三个相等的正数，则a11为A．B．C．D．正确答案：A解析：由比较A*=AT对应元素知a=A，(i，j=1，2，3)，其中A，为｜Aij｜中aij的代数余子式，利用行列式按行展开法则得｜A｜=a1j2=3a112＞0．又由A*=AT两端取行列式得｜A｜2=｜A｜，→｜A｜=1，故得3a112=1，a11=．知识模块：矩阵填空题7．设则秩(AB)=_________．正确答案：2解析：秩(AB)=秩(A)=2．知识模块：矩阵8．设B≠O满足BA=O，则t=_________．正确答案：t=一3．解析：BA=O且B≠O时，必有｜A｜=0．知识模块：矩阵9．设矩阵B满足A2一AB=2B+4E，则B=_________．正确答案：解析：B=(A+2E)—1(A2一4E)=(A+2E)—1(A+2E)(A一2E)=A一2E= 知识模块：矩阵10．设n(n≥3)阶方阵的秩为n一1，则a=_________．正确答案：解析：r(A)=n一1→｜A｜=[1+(n—1)a](1一a)n—1≠0→a=或a=1而当a=1时，有r(A)=1；而当a=时，有r(A)=n一1．知识模块：矩阵11．设的伴随矩阵为A*，且A*BA=2BA一8E．则矩阵B=_________．正确答案：解析：B=8(2E—A*)—1A—1=8[A(2E—A*)—1=8(2A—AA*)—1=8(2A—｜A｜E)—1=8(2A+2E)=4(A+E)—1=．知识模块：矩阵12．设n≥2为正整数，则An一2An—1=_________．正确答案：O解析：因A2=2A，故当n=2时，An一2An+1=A2一2A=O；当n＞2时，An一2An+1=An—2(A2一2A)=An—2O=O，故恒有An一2An—1=O(n≥2)．知识模块：矩阵13．设A、B分别为m阶和n阶方阵，且｜A｜=a，｜B｜=b，则行列式=_________．正确答案：(一1)mn｜A｜｜B｜解析：(一1)mnab．可用行列式的拉普拉斯展开法则．或经mn次相邻两列的互换，得=(一1)mn｜A｜｜B｜．知识模块：矩阵14．设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_________．正确答案：O解析：0．当r(A4×4)=2时，A中3阶子式全为零=>A*=O．知识模块：矩阵15．设A、B均是n阶矩阵，且｜A｜—2，｜B｜=一3，A*为A的伴随矩阵，则行列式｜2A*B—1｜=_________．正确答案：解析：｜2A*B—1｜=2n｜A*｜｜B—1｜=2n｜A｜n—1｜B｜—1=一．知识模块：矩阵16．设B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=_________．正确答案：解析：E+B=E+(E+A)—1(E—A)，两端左乘E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+E—A=2E→[(E+A)](E+B)=E→(E+B)—1=．知识模块：矩阵17．设α为3维列向量，αT是α的转量．若ααT=，则αTα=_________．正确答案：3．解析：设α=，则ααT=故αTα=a12+a22+a32=1+1+1=3．知识模块：矩阵18．设三阶方阵A、B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则行列式｜B｜=_________．正确答案：解析：由题设方程解得(A—E)B=E，两端取行列式，得2｜B=1，故｜B｜=．知识模块：矩阵19．设n维向量α=(a，0，…，0，a)T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E一ααT，B=E+ααT，其中A的逆矩阵为B，则a=_________．正确答案：一1．解析：由αTα=2a2，及E=AB=E+ααT一ααT一α(αTα)αT=E+(一1—2a)ααT，得一1—2a=0，→a=一1．知识模块：矩阵20．设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵．已知AB=2A+B，B=，则(A—E)—1=_________．正确答案：解析：由题设方程得(A—E)B一2A=O，→(A—E)B一2(A—E)=2E，→(A —E)(B一2E)=2E，→(A—E)—1=．知识模块：矩阵21．设A=，B=P—1AP，其中P为3阶可逆矩阵，则B2004—2A2=_________．正确答案：解析：由于A2=，A4=(A2)2=E，A2004=(A4)501=E501=E．故B2004一2A2=P —1A2004P一2A2=E一2A2=．知识模块：矩阵22．设A=(aij)3×3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1，0，0)T，则线性方程组Ax=b的解是_________．正确答案：解析：由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故A=，又A—1=AT，故方程组Ax=b的解为x=A—1b=ATb=．知识模块：矩阵23．已知α1，α2均为2维向量，矩阵A=[2α1+α2，α1—α2]，β=[α1，α2]，若行列式｜A｜=6，则｜B｜=_________。
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考研数学线性代数历年真题
线性代数作为考研数学三个科目之一，内容最少，理论最简单，每年考题的变化最微小，然考生的得分率虽比前几年有所提高，但总得来看依旧偏低。
要将线性代数特征值与特征向量的相关内容一网打尽，不仅要对大纲内容熟悉，而且要选择一本质量上乘去粗取精的辅导资料。
纵观近14年数一真题，几乎每年都会出现关于特征值与特征向量的题目，所以理解特征值与特征向量的概念，熟悉与之相关的题型及解法，对于取得这部分题目的分数尤为重要。
2011真题
设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且
（1）求A的所有特征值与特征向量；
（2）求矩阵A。
2009真题
设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2 x1 x3-2 x2 x3.
（1）求二次型f的矩阵的所有特征值；
（2）若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。
2007真题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=（1，-1，1）T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵。
（1）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
（2）求矩阵B。
2006真题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（-1，2，-1）T，α2=（0，-1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。
（1）求A的特征值与特征向量；
（2）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。
2003真题
设矩阵A=
，P=
，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵。
1999真题
设矩阵A=
，其行列式|A|=-1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=（-1， -1，1）T，求a,b,c和λ0的值。
真题中关于特征向量与特征值的题型主要有：根据已知条件求特征值及其特征向量，已知某个特征值及特征向量求其他特征值与特征向量或其中所含参数，根据所给式子得到隐含其中的特征值与特征向量，再求其他特征值及特征向量，根据求得的特征值与特征向量讨论矩阵是否可对角化或求二次型的规范形或由规范形求参数等。