最新北师大版《圆的对称性》

圆心角的概念
B A
O C
D
我们把顶点在圆心的 角叫做圆心角.
∠AOB ∠COD ∠AOC ∠BOD
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
做一做 按下面的步骤做一做
1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和 ⊙O′上分别作相等的圆心角 ∠A O B和∠A′O′B′,然后将两圆 的圆心固定在一起。
B
B′
O
A
A′
O′
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
(1)∵⊙O 和⊙O′是等圆,且∠A O B= ∠A′O′B′
∴A B=A′B′，A B= A′B′.
B
B′
在同圆或等圆中，如果两个圆心 角所对的弧相等，那么它们所对 的弦相等,所对的圆心角相等.
O A
O′ A′
(2) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′, ∴ A B=A′B′， ∠A O B= ∠A′O′B′.
B
O A
B′
O′ A′
归纳填空：
1、如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距．
（1）如果AB=CD，那么___⌒A_B_=__⌒C_D___，__∠__A_O_B_=_∠__C_O_D_， OE=OF
．
（2）如果 ⌒AB= ⌒CD ，那么___A_B_=_C_D____，_∠__A_O_B_=_∠__C_O_D__， OE=OF
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 圆心角相等,它们所对的弧相等.
(3) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且A B= A′B′, ∴ A B=A′B′， ∠A O B=∠A′O′B′
等对等定理： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两
条弧、两条弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等。
︵︵ ∴ AB= A'B' ，AB=A'B'
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等。
想一想
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它 们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗?你是怎么想的？ 2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆 心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？
●O
用旋转的方法即可解决这个问题.
猜一猜 请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O’
它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定 在一起。
然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个 圆还重合吗 ?
归纳 ：
圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的 圆心旋转任意一个角度，都能与原来的 圆重合。因此,圆是中心对称圆形，对 称中心为圆心。圆的中心对称性是其旋 转不变性的特例.
2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′重合。
B
B′
A
A′
O
O′
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转
到∠A′OB′的位置时，
A′
∵∠AOB＝∠A′OB′，半径 OA 与 OA′重合
B′
B ∴半径 OB 与 OB′重合．
∵点 A 与 A′重合，B 与 B′重合
·
O
︵︵ A ∴ AB与 A'B' 重合，AB 与 A′B′重合．
北师大版《圆的对称性》
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们学过哪 些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的 部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称 图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱 形、等腰梯形、正方形
2、我们所学的圆是不是轴对
.
称图形呢？
想一想
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？
．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么___A_B_=_C_D___，__⌒A_B_=__⌒C_D__ , OE=OF ．
（4）如果OE=OF，那么__A__B_=_C_D____，___⌒A_B_=__⌒C_D__， ∠AOB=∠COD ．
A
E
B
O
D
F C
例题
例1、如图, 在⊙O中，⌒AB= ⌒CD , ∠ACB=60°.
A O
B
∴ ∠AOE=180°-3×35°
=75°
练习2：
A
C
如图，在⊙O中，AB，CD是两 E
条弦，OE⊥AB，OF⊥CD,重
足分别为E，F。
B
F O
D
⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小
有什么关系？为什么？
⑵如果OE=OF那么A⌒B与C⌒D的大小有什么关 系？为什么？ ∠ AOB与∠ COD呢？
2
2
∵∠AOB=∠COD，∴∠EOB=∠FOD，
∵在△EOB和△FOD中，
∠OEB＝∠OFD,∠EOB＝∠FOD , OB＝OD
∴△EOB≌△FOD（AAS）∴OE=OF．
例2：（数学理解2）
A
C
如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，
E
OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别为E，F。
F
⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什 B 么关系？ A⌒B与C⌒D的大小有什么关系？
你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
●O
如果是,它的对称中心是什么?你能 找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个问题的?
想一想
圆的对称性
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, 它有无数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：
∵A⌒B= C⌒D ∴AB=AC． 又∠ACB=60°
A
O
B
C
∴AB=BC=CA.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例 2:如图，AB，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的一点，且
︵︵ AD= CE，BE 与 CE 的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE。
例2：（数学理解2）
ห้องสมุดไป่ตู้
A
如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，
C
OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别为E，F。 E
F
⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的 B
O
大小有什么关系？为什么？
D
解：OE=OF， 理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，
∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB= 1 ∠AOB,∠FOD= 1∠COD
理由是： ∵∠AOD=∠BOE
B
E
︵︵ ∴ AD= BE
︵︵ 又∵ AD= CE
OC
︵︵ ∴ BE= CE ∴BE=CE
DA
练习
1、如图，AB是⊙O 的直径，⌒BC=⌒CD=D⌒E，∠COD=35°， 求∠AOE 的度数．
解：
E
D
∵ B⌒C=C⌒D=D⌒E
C
∴ ∠BOD=∠COD=∠DOE=35°