巧用数形结合思想解题
巧用数形结合的方法解题
为（ 一 １， １ ） 。
４
＝
例 ３ 设厂 （ ） 、 （ ） 分别是 定义在Ｒ上 的奇 函数 和偶 函数 ， 当ｘ ＜ ０ 时， 厂 （ ） ｇ （ ｘ ） ＋ ） （ ） ＞ ０ ， 且 （ 一 ３ ） ０ ， 则不等式 ） （ ） ＜ ０ 的解集 为（ ）
①
思 路 方 法
巧 用数形 结合 的 去解 题
■ 张 爱 洁
摘 要： 本文阐述 了数形结合思想在 中学数学教 学 中的应用 ，通过实例体会数形结合在 函数 、定积 分、 复数及圆锥 曲线 中的应用 。 关键词 ： 数形结合 发散思维 解题 新课程标准指出 ： “ 教师应激 发学生学 习的积极 性， 向学 生提供充分从事数学活动的机会 ， 帮助他们 在 自主探索和合作交流的过 程中真正理解 和掌握基 本 的数学知识与技能 、 数学思想和方法 ， 获得广泛 的 数学活动经验 。 ” 不管是从新课程标准对“ 双基 ” 的要 求、 思维能力的要求及教学 内容 的特点 ， 还是从 高考 题设计背景来看 ， 数形结合 思想都是不可替代 的。 函 数这 一章 明确提 出 ： 通过观察 图像 ， 对 函数是否具有 某种性质 ， 作 出一种猜想 ， 然 后通过推理 的办法 ， 证 明这种猜想的正确性 ，并指 出这是发现和解决 问题 的一种常用数 学方法 。 以“ 形” 的直观启迪 思路 ， 导致 发现 ； 以“ 数” 的严谨表述来论证发现的正确 ， 从而使 新教材把高中数学教学 引导到一个更高的境界 。著 名数学家华罗庚说 ： “ 数 与形本是相倚依 ，怎能分做 ●， ● ■， 两边飞 数缺形时少直觉 ， 形少数 时难入微 。 ” 他还风 趣地说 ： “ 数形结合 百般好 ， 割裂分家万事非。” 并亲 切地教导我们不要 得意忘“ 形” 。 数形结合包含“ 以形 助数” 和“ 以数辅形 ” 两个方面 ， 其应用大致可 以分为 两种情形 ：或者是借助形 的生动 和直观性来 阐明数 之间 的联 系 ， 即以形作为手段 ， 数 为 目的 ， 比如应用 函数 图像来直观地说明函数的性 质 ；或者是借 助于 数 的精 确性和规范严 密性 来 阐明形 的某 些属性 ， 即 以数作为手段 ， 形作为 目的， 如应 用曲线 的方程来精 确地 阐明曲线 的几何性质。 解题经验告诉我们 ， 当寻 找解题思路发生困难的时候 ，不妨从 数形结合 的观 点去探索 ； 当解题过程 的复杂运算使人望而生畏 时， 不妨从数形结合 的观点去开辟新路 ；当需 要经验的 正确性时 ， 不妨从数形结合 的观点去验证 。 数形结合 的方法给数学 的解题带来很大的方便 ，下面通 过几 个数学实例来说 明它在教学 中的重要作用。 例１ 已知 方程 ｓ 一 ３ ｘ 一 １ 一 ｍ＝ ０ 有 三个不 等实根 ， 求ｍ的取值范围。 分析 ： 把方程 ３ — ３ ｘ 一 １ 一 ｍ＝ ０ 有 三个不等实根铮方 程 ， 一 ３ 一 １ ＝ ｍ有三个不等 实根 。令方程左边 为 ） ， 右边为ｇ （ ｘ ） ， 方程有 三个不 等实 根等价 于 函数厂 （ ） 与ｇ （ ｘ ） 的图像 有三个 不同交点 ， 先用 导数 的知识画 出 函数 ） 的近似 图像 ， 然 后平移 直线ｙ ＝ ｍ， 易求 ｍ 的取值范围为［ 一 ３ ， １ ］ 。 例２ 实 系数一元 二次方 程 ０ ＋ 似＋ ２ ６ ＝ ０ 的一根 域 中的点 （ ａ ， ｂ ） 与点（ １ ， ２ ） 的连线 的斜 率 ， 易得结 果
“数形结合”巧计算
“数形结合”巧计算数形结合使“代数问题几何化，几何问题代数化”。
比如列方程解应用题时常画线段图、有理数用数轴上的点来表示等等，都是数形结合的典型例子。
对于一些较难的数学问题，采用由形思数、由数想形，结合具体问题，灵活进行数形转化，往往可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。
下面就以举例谈谈“数形结合”解问题。
例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．分析：对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对正整数n是奇数，还是偶数进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下．方案一：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n 的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为21）（+nn，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝21）（+nn．图1方案二：设计图形如图2所示．图2因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2．（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）【分析】这是一道通过材料阅读，从中得出“解题方法型”的试题；试题中渗透了运用“数形结合”的思想。
巧用数形结合解难题
（ ，） ， １ ２ 时 要使 ｙ＜ ， ２只需使 ｌ ≥ （ —１ 即 ａ ２ ｏ ＆２ ２ ） ， ≤ ．
综上可知 ， 当 １ 。 ２时 ， 等 式 （ 一 １。 １ 对 ｌ∈ （ ， ） ＜ ≤ 不 ｚ ）＜ ｏ ＆ ｚ １２
恒成立 ；
填空 中更显其优势． 下面通过举 例来说 明数形结 合思想
解题 方法 与技巧 ＨＮ ＸＥ Ｊ ＯＵ Ａ ＫＯ ＺＯ ＧＵ Ｉ ＸＥ ＣＮ Ａ Ａ
巧
用
数
形
结
合
解
难
题
青海黄 南 州 中学（ １ ３ ０ 包永海 ８１０ ）
数形结合 ， 实质是将抽象 的数 学语言 与直观的 图形 结合起来 ， 使抽象思维和形象思维 结合起来 ， 通过“ 以形 Nhomakorabea一
、
一
解 ：‘ 。 ． 一厂 ｚ 是定义在 Ｒ上 的奇 函数 ，‘ （ ， ） （） ． 点 ０ ｏ ． 是其对称 中心． 。 ｆ ｘ ２ 一 一厂（ ） 厂 一 ） 即 又 ． （４ ） 。 － ｚ 一－（ ，
－ １ ｚ 一厂 １ ） ．直 线 ｚ １ 厂 ＋Ｉ （ ） （一ｚ ，‘ ． 一 是 一厂 ｚ 的对 称 轴 ， （）
ｚ 一－ １ ｘ ， ） 厂 － ）当一ｌ ≤ｏ时 ，（） （ ≤ 厂 一一寺 ， （．） 则厂８６
（ 任编辑 责
金
铃）
３ ９
ｋ ｘ ３ｌ ｃ １ ¨ 。 ｌ
中学 教 学 参 考
解 题方 法与技 巧
ｘ １２时 ， Ｅ（ ，） 不等式 （ 一１ ｏｏ ｚ ）￣ｌｇ ｘ恒不成立
（ ） ． Ａ． ． ０５ Ｂ． ０ ５ 一 ． Ｃ． ． １５ Ｄ． １ ５ 一 ．
巧用“数形结合”来解题
解析式为 ｙ —ｘ ＋ ２ ， 再由一 ｘ ＋ ２ ＞０解得 Ｘ ＜２ 。 由题 意在坐标 系中画出该直线 （ 如 图所示 ） ， 观察 图象 ， 则“ 当 的 Ｘ ＜２时 Ｙ ＞０ ” 显得非常直观。 即使 我们把条件 中的 Ｂ点坐标改 为（ １ ３ ３ ， １ ３ ） ， 其中 ， Ｉ Ｔ Ｉ ＜ ２ ， ｎ＞０同样 可以得到 Ｘ ＜２ 。 而如 果利 用 上 面代 数方 法解 不 等式 的 话， 很难想象有多少 同学能求准确 ｙ ＝ — 旦 ｘ 一 — 兰 这个解析式 ，更不用谈 解对
而如果利用上面代数方法解不等式的话很难想象有多少同学能求准确ynm2x2nnm2x2n从这个例子我们可以看出若将数与形割裂开来不能有机结合渗透一味在数上埋头苦干虽有寥寥走到成功彼岸者但更多的是浅尝辄止望洋兴叹者
总第 ７ ３ ０期
教海探航
巧 用“ 数形结合 ” 来解题
缪 亚 军
（ Ｌ ＂ ｒ － 阴市暨阳中学 ， 江 苏省 ２ １ ４ ４ ０ ０ ）
ｍ － ｍ －
—
、 ／ ， 、 ／ ｉ ， 、 ／ 是 一个 三角形 的三条边 的长 ， 求 这个 三角形 面积 。（ 用含 ｍ， ｎ 的代 数式表示 ） 。我们 同样可 以 由勾股 定理联 想到利用上面 的构造方法 ， 如 图构造 ：
所以Ｅ Ｆ ＝ 、 ／ ｍ ＋ ｎ ， Ｂ Ｆ ＝ 、 ／ ４ ｍ ２ ＋ ｎ ， Ａ Ｂ ＝ 、 ／ ｍ ｎ
旦 ｘ 一 — 兰 ＿ ＞ ｎ ０ 这个不等式了。
Ｙ Ｊ ｇ ＿ ＋例子我们可以看 出， 若将 “ 数” 与“ 形” 割裂开来 ， 不能有机 结合渗透， 一味在“ 数” 上埋头苦干 ， 虽有寥寥“ 走到成功彼岸 ” 者， 但更
拓学生 的思维视野 ， 培养他们解决问题的能力 。 位 富翁买进 的湖泊 和土地共有多少亩吗？（ 如 图所示 ） 我原来是 利用海伦公式求得三角形面积 的， 因为湖泊都为正方形 ， 参考文献 ： ［ １ ］ 漫谈 一次函数 的教 学， 中学数学教 学参考 ， ２ ０ ０ ７ ． １ ２ Ａ Ｂ ＝ 、 ／ １ ８， Ｂ Ｃ ＝ 、 ／ ２ ６， Ａ Ｃ ＝ 、 ／ ２ ０， 所以 ＡＡＢ Ｃ周长的一半 ［ ２ ］ 中学数 学思想方法概论 ， 广州暨南大学出版社 ， ２ ０ ０ ４ ． ４ ． ｓ ： 堕 ０＿ ＿ ［ ３ ］ 数学课程标 准解读 ， 北京师范大学 出版社 ， ２ ０ ０ ２ ． ５ ｓ 一： 二 ： 、 ／ ；
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。
er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。
J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值
1.利用函数图像：函数的图像能够直观地表示出函数的性质和变化规律。
通过观察函数图像的形状和趋势，可以得到函数的最值。
例如，对于一个连续递增函数，其最小值一定在定义域的最左边，最大值一定在定义域的最右边。
对于一个连续递减函数，则相反。
因此，可以通过观察函数图像的趋势来确定函数的最值。
2.利用导数和极值：当函数存在导数时，可以通过导数和极值的关系来求函数的最值。
根据导数的定义，函数的极值点对应着导数为0的点。
因此，求函数的最值可以转化为求函数导数的零点。
利用微积分的知识，可以求得函数的导数，然后找出导数为0的点，通过比较这些点的函数值来确定函数的最值。
3.利用平均值不等式：平均值不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来求函数的最值。
平均值不等式的基本内容是：对于一组非负数的平均值，其最大值等于这组数中的最大值，最小值等于这组数中的最小值。
利用这个定理，可以将函数的求最值问题转化为一组非负数的最值问题，进而求得函数的最值。
除了以上几种常见的数形结合思想，还有其他一些方法，如利用等式和不等式的性质，利用对称性等。
这些方法在不同的问题中都有所应用。
最后，需要注意的是，求函数的最值并不总是一件容易的事情，它涉及到数学的各个方面，需要灵活运用各种方法。
在解决问题的过程中，除了观察图形和利用数学定理外，还需要深入理解问题的背景和条件，灵活运用数学知识，才能得出准确的结果。
因此，在求函数最值时，需要注意综合运用各种数学思想和方法，以取得较好的效果。
利用数形结合思想方法巧解题
∑ ＋＋２ ＝＿Ａ 。 ＿ ｌ ／ ２ ＝Ｉ ＿ Ａ ＇ Ｂ Ｔ ．
：
三 ：
口２ｉ ＋２
１
问题是每次延长多长的距离呢？计算发现 ：
Ｑ
口２ ‘
¨
３４ ‘３ ３。 √ ‘ ３
从 ＡＡｉ 。２ 延长到 Ａｍ ， ： 只要 Ａ Ａｍ 一 ２
Ｊ
￣－． ｐＩ ｎ －
ｔ ｉ ｔ２ ＋１
２彳ｌ ｎ ＊ 一
使得 Ｂ 。 ，ｏ２ ； Ａ ＝ ＡＡ ＝１
延 长 ＡＡ 到 Ａ ， 得 ＡＡ ＝ａ ； ０２ 使 ２。 ３
延 长 ＡＡ 到 Ａ ， － ６ ； ０４ ６／ Ａ Ａ ＝ ［ ￣
依 次下去 ，
延 到 ２ 使 Ⅲ： ， ， 长 。 １ 得 ：： 穹 … ： ＋ ２
则 ／＋ 胁． －２ Ａ ２ １
ｔ ｎ／ Ａ２ ａ ｉ 。＝ ＝
＝ ＝ 音 ， 等＝ ， 南
＋ ＿ ２ ０ ）
延长 ＡＡ到 Ａｉ ， 厶４Ｂ ２ ＝ … ， ０２ ２ ２使得 ＋ ２ Ａ ２ …， ｆ 延长 ＡＡ 到 Ａ ２使得 厶４ Ｂ ２ ２ ２ １ ｏ ２ ， ＋ ２ Ａ ＝ ； ＋ ＋
延 长 ＡＡ ｏ 到 Ａ ： 使 得 Ａ ：＋ ：＋， ：Ａ ：＝
Ａ０ Ａ ＋ ２＝Ａ０ Ａ２ ＋ Ａ２ Ａ４ ＋ Ａ４ Ａ６＋ … ＋ ２ ２＋ ＋ … ＋ ‘ ‘２
， ｉ
Ａ２Ａ２ ＋ ２
＝ ＋ ＋ … ＋
ａ２ － ａ＋ ｌ＝
＋０ ， ３
Ｏ＇ ｎ ＋１ ２
＝９ ＋ －９ ２ 口 ２ 口 ｌ ａ ２＋．
又 Ａ ＋ ２ 是锐角 ， 则可记 Ａｆ Ｂ ２＝ … ２ ２Ａ ２ ＋ （ ＝１２， ，） ， … ，． １
巧用数形结合解最值问题
—
解得 ： ２ －
３ 。
≤ ≤
３
ｋ＋ｌ
２ ＋ 、 ／ 了， 所 以
一
的最小值 为２ 一 、 ／ 了 ， 最大值 为
Ｖ十
，
Ｉ ｙ ＋２
Ｃ Ａ 边 上分别取 一点Ｄ、 Ｅ、 Ｆ ，
设ｌ ＡＤＩ ＝ ０ ， Ｉ Ｄ Ｂｌ ＝ ｍ， Ｉ Ｂ Ｅｌ ： ｃ ． Ｂ
Ｉ ＥＣＩ －ｒ ， Ｉ Ｃ同 ＝６， Ｉ Ｉ ＝ ｎ。
‘
当 然 这 里 的ｋ 并 非 是 某 一 条直 线 的斜 率 ， 所 以 问题 比 上一题要复杂。 解： 令： ： — ｘ ＋ ｙ — ＋ ２ 则（ １ 一
生 问题 熟 悉 化 。
一
例３ ： 已知 ： 点Ｐ （ ， ｙ ） 是 圆 卅ｙ 的 最 大值 。
＝ ９ 上的一动点 ， 求
距。 画与直线ｙ ＝ ｘ ＋ ｂ 平行的 、 ７ （ 、 、１ 直线系， 问题转化为： 求直 — ＝ ＝ ＿ ７ ＿
－
、
利 用 数 形 结 合 转化 为两 点 之 间的 距 离 问题
二、 利 用 数 形 结 合 转 过
程。
Ａ
例２ ： 已知 ＋ ≤１ ， 求 型 ± 的最值 。
’ —
ｙ ＋２
分析 ： 本 题 可 以 转化 为斜 率 问题 ， 令： ： — ｘ ＋ ｙ — ＋ ２
解 ：构 造 边 长 为ｋ 的 等 边 三 角形 Ａ Ｂ Ｃ ， 并 在 Ｂ、 Ｂ Ｃ、
２
＼
即： ａ ｎ ＋ ｃ ｍ ＋ ｂ ｒ ＜ Ｋ ２ 。
从 以上例子可以知道 ， 使用了数形结合 的方法 ， 很多 问题便迎刃而解了。可见巧妙运用数形结合 的 思想方法 ， 解决一些抽象的数学问题 ， 可起到事半功 倍 的效果 。利用数形结合 ， 不仅使问题更 直观 ， 而且 时也大大加快 了解题的速度。所 以我们要 注意培养
“数形结合”巧解数学问题
说， 用字 母表 示数既有助于揭示概念 的本 质特征 ， 又能使 数量之间的关系更加简单
明 了。 在 教 材 中 ， 学 生 所 接 触 到 的 用 字 母
０天 的 一 半 ， 即第 ２ ９天 时 的 长 度 用数学 知识 ， 能否准确运用有效的数学思 就 是 第 ３ 应 该 是 ２ ０＋２ ＝ １ ０ （ 厘 米 ） ； 再根 据第 ２ ９天 想方法。教学 实践 中我们 发现 ， 小学生 的
力。 其实数形结合就不失为一种 有效 的数 该 追寻 的快 乐教 学 。 总之 ， 数学研究的对象本身就是现实 学方法。
与 除之 间的互逆关系 ， 从 后往前一步一步 地推算 ， 追根究底 ， 逐步推 出结果 ， 使 问题
得 到 解 决 。 当然 ， 在 解决 这 类 稍 复 杂 的 复
０ 厘米 ，半 圆的周长是多 之一。尤其在小学数学教学 中， 数形 结合 半 圆的半径是 １ 法的运 用不仅可 以使一 些数学 问题化抽 象为直观 ， 化难为 易， 化繁为简 ， 使问题简
生通过数形结合 ， 巧 用推理来解决。 如图 ：
圆 的 周长 等 于 ２ １ Ｔ ｒ ， 圆 周 长 的 一 半 就 可 用
题的能 力 ，让他 们在巧 思妙解 中乐学 数
帮助学生理解题意 ， 教学 中我们 可以引导 学， 好学 数学 ， 同时也让 我们 的课堂更 高 周长就 等于 １ Ｔ ｒ ＋ ２ ｒ ＝ ５ ． １ ４ ｒ ， 这道 题便可根 学 生 画 出线 段 图 ： （ 如 图） 效。那么 ， 运 用数形 结合法如何 巧解数学 据 推 理 一 步 来 算 ： Ｃ
关键词 ： 数形结合
在教学中 ， 我 们 要 适 时 对 学 生 进 行 数
这 道题 如让学 生顺 向思维分 析是 很 难 解决 的， 甚至无从 下手。解决这 类数学
巧用数形结合法解题
教 学研 究
２ ０ １ ３ 年０ ３ 月
巧 用数形 结合 法解题
钟 宁
（ 广 东省兴宁市第三 中学 ，广 东 兴 宁 ５ １ ４ ５ ０ ０ ）
数形 结合 法是根据 数量与 图形之 间 的内在关系 ，认 识 研究对象 的数 学特征 ，寻找解 决问题 的一种 数学思想 。 它 的 主要 特 点 ： 数 一形 一 问题 的解 决 ，或 形 一 数 一 问题的解 决 。利用数 形结 合法可 以把复 杂 问题简单 化 ，抽 象 问题 具体化 ，实现 抽象概 念与 具体形 象 的联系和 转化 ， 它 兼有 数的严 谨与 形的直 观之长 ，是优 化解 题过程 的重 要 途 径之 一 。要 想在 数学解题 中运 用这 一数学 思想方 法 ，就 必 须 熟 练 了解 掌 握 一 些概 念 和运 算 的几 何 意义 及 常 见 直 线 、 曲线或几 何 图形隐含 的代数特 征 。数形 结合法 解题 应 用 的渠道 主要如 下几方面 。 数形结合法在二元一次方程与一次函数中的应用。 许 多条件 最值 问题 ，用 代数方 法求解 比较 困难 ，但 其 条 件与 一次 函数结 合起来 有某种 几何解 释 ，此 时可试用 直 角坐标 系转 化构造 图形，用数 形结合法 ，求其最值 。 例１ ：若５ ｘ ＋ １ ２ ｙ ＝ ６ ０ ， 则 ／ 两 最 小值 是 （ ）
・ ．
１ ｌ
，
‘ 直线ｙ ： １（ ６ Ｏ 一 ５ ｘ ） 与ｘ ｙ 轴 的交 点坐标
、
“ 数 ”的联 系 ，用直观法 求得 “ 数 ”的解答 ，从 “ 形 ”开 始到 “ 数 ”的终 结 ，形 、数 的结合和 分离 贯穿 了解题 的全 过程 ，也是 以 “ 形 ”解 “ 数 ”将 问题解决的过程 。
“数形结合”思想在解题过程中的妙用
计算 ＋Ⅲ（ １， ＿ 图 ）学生是非常容易算的 ， １ 可以直接 通分 ， 然后求出结果 。计算 １ （ ２， 图 ）难度 也不
大 ， 分 照样 能 够 解 决 问题 。但 是 如 果 运 用 数 形 结 合思 通 想 ， 生就 会发现 ， 来可 以算得更 简单 ， １ （ 学 原 即 一 空
拿 走 剩 下 的 ＿ 最 后篮 子 里 还 有 ４个 鸡 蛋 。 你 知 道原 来 １， 这 个 篮 子里 有几 个 鸡 蛋 吗 ？三 年 级 习题 ） （ 这道题 单位“ ” 量发 生变化 ， 一 次是把 ‘ 篮 ｌ的 第 整
（
用 数 形 结 合 思 想 和 有 序 思 维 的 策 略 ，能 够 使 学 生 的 思 维 “ 形 可 依 ”解 决 此 类 问题 就 显 得 轻 松 多 了 。如 教 学 有 ， 组 合 问题 时 ，有 这 样 一道 题 ：一 个 箱 子 里 放 入 ４种 不 “ 同 颜 色 的 正 方 体 ｆ 、 、 、 ） ４种 不 同 颜 色 的 球 红 白 黄 绿 和 （ 、 、 、 ）随 意 从 盒 子 里 各 拿 出 １ 球 和 １个 正 黑 橙 紫 蓝 ， 个 方 体 ， 可 能 有 多 少 种 不 同 的 拿 法 ？ ” 生 通 常 只 能 找 其 学
教 师 应 重 视 培 养 学 生 解 决 分 数 应 用 题 的 能 力 。并 以此 为 载 体 ， 力 发 展 学 生 的 数 学 思考 能 力 。但 让 学 生 凭借 着 教 师 总 结 的解 题 技 巧 去 按 图 索 骥 ，是 难 以 达 到 预 期 效 果 的 ， 应 用 数 形 结 合 思想 ， 较 好 地解 决 这 个 问题 。 而 能 如： 一篮 鸡 蛋 ， 一 次 拿 走 整 篮 鸡 蛋 的 第 二 次 叉 第 １，
数形结合巧解题
数学篇通过观察图形来探究数量关系，或利用数量关系来描述图形特征，从而使复杂的问题简单化，这种思想方法称为数形结合思想.用数形结合的思想解题可分为两类：①利用几何图形的直观性表示数的问题，它常常借用数轴、直角坐标系、函数图象等；②运用数量关系来研究几何图形问题，常常要建立方程（组）或建立函数关系等.下面简单介绍“数形结合”巧解初中数学题的几种情形.一、数形结合巧解图形变化规律问题初中阶段的图形变化规律题中往往涉及数字的变化，图形关系在发生规律性的变化时，数量关系也会随之出现规律性的变化.解题时我们应从分析图形结构的形成过程入手，从简单到复杂进行归纳猜想，从而获得隐含的数字规律，并用代数式描述出来，进而解答相关问题.例1图1是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根.图1分析：本题虽然是图形问题，但依然可以采用数形结合思想来解.可以将火柴棒摆成的金鱼“形”转化为火柴棒的“数”量.解：1条金鱼，有8根火柴；2条金鱼，有14根火柴，比1条金鱼多6根；3条金鱼，有20根火柴，比2条金鱼多6根，比1条金鱼多2×6根；……n 条金鱼，有（）根火柴，比（n -1）条金鱼多6根，比（n -2）条金鱼多2×6根，……，比1条金鱼多（n -1）×6根；这样，利用递推的方法就可以推算出第n 条金鱼需要8+6×（n -1）=6n +2根.点评：本题主要考查图形的变化规律.解答此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点.二、数形结合巧解二元一次方程组问题二元一次方程组和一次函数的结合很好地诠释了“数”与“形”的结合，我们可以利用两直线的交点坐标确定方程组的解，也可以利用方程组的解确定两直线的交点坐标.在利用一次函数图象解二元一次方程组时，两函数图象的交点的横坐标是x 的值，纵坐标是y 的值，正确找出交点坐标是解题的关键．例2用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图2所示），则所解的二元一次方程组是（）图2A.{x +y -2=03x -2y -1=0 B.{2x -y -1=03x -2y -1=0C.{2x -y -1=03x +2y -5=0D.{x +y -2=02x -y -1=0数形结合巧解题江苏省启东市南阳中学黄烨华学思导引27数学篇分析：题目已经给出方程组的图象，我们根据图象可以明确两条直线的斜率，进而直接将图象中两直线的交点坐标P带入方程即可以验证准确与否.解：由图可知，两直线都过P（1，1）点，其中一条直线斜率为k=-1，另一条直线斜率为k=2.对比选项，只有选项D满足条件，其中直线x+y-2=0的斜率为k=-1，直线2x-y-1=0的斜率为k=2，而且都满足过P（1，1）.答案为D项.评注：通过图象求解二元一次方程组问题，除了关注交点坐标外，还要看图象能提供哪些其他信息，同时要关注选项，对比出选项的异同点.三、数形结合巧解二次函数问题二次函数蕴含了丰富的数形结合思想，在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.因此，在解答二次函数问题时，要把图形的性质特征与数量关系相互转化，通过观察图象分析图形与数量之间的关系，通过分析数量关系的变化判断函数图象的运动轨迹，从而求解.例3图3为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤2a-b=0；⑥b2=4ac＞0.结论一定成立的是（）.图3A．①②④⑥B．①②③⑤C．②③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥分析：此题考查了二次函数的图象.我们可以借助于二次函数的图象和性质特征完成解题.解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴ac＜0，∴①正确；∵图象与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜0，∴③错误；根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∵-b2a=1，∴2a=-b，∴2a+b=0，不是2a-b=0，∴⑤错误；∵图象和x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴⑥正确；故选A项．评注：“数形结合”要牢牢地抓住“数”的性质和“形”的特征，本题考查了同学们对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了观察图象的能力.同学们一定要重视对定义、概念以及原理的学习，这些都是数形结合的根源.四、数形结合巧解统计问题解答统计问题的重点在于收集数据、分析数据、将数据用图形的方式表达出来，这充分显示了数形结合思想方法的灵活运用.条形统计图、扇形统计图和折线统计图是初中数学统计学中的重点.如果是关于比重的问题，可以使用扇形统计图.如果是关于数据集中分析的问题，可以使用条形统计图.如果是关于数据变化规律问题，可以使用折线统计学思导引28数学篇图.利用统计图简洁明了的特点展示数据，可以让我们对结果或者规律一目了然.例4某自行车公司调查阳光中学的学生对其产品的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷，结果分“非常了解”“比较了解”“一般了解”“不了解”四种类型，分别记为A 、B 、C 、D.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.图4（1）本次问卷共随机调查了名学生，扇形统计图中m =．（2）请根据数据信息补全条形统计图．（3）若该校有1000名学生，估计选择“非常了解”“比较了解”共约有多少人？分析：（1）由A 的数据即可得出调查的人数，得出m =1650×100%=32；（2）求出C 的人数即可；（3）由1000×（16%+40%），计算即可．解：（1）8÷16%=50（人），m =1650×100%=32故答案为：50，32；（2）50×40%=20（人），补全条形统计图如图5所示：图5（3）1000×（16%+40%）=560（人）；答：估计选择“非常了解”“比较了解”共约有560人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.总之，数形结合思想在解答各类数学问题时都有用武之地.同学们要注意结合题目信息以及知识点之间的联系，把握“数”的性质与“形”的特征，充分挖掘隐含条件，灵活实现“以形助数”或“以数解形”，进而准确、快捷、高效地解题.上期《<二次根式>拓展精练》参考答案1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.0；7.30；8.4；9.-1；10.解：（1）当d ＝20m ，f ＝1.2时，v ＝1620×1.2=326（km/h ），答：肇事汽车的速度是326km/h ；（2）v ＝326≈78＞70，∴肇事汽车已经超速．11.解：（1）13；75（2）①3153×151515；②1125-3=11×(25+3)(25-3)×(25+3)=25+3；（3⋯+22023+2021=3-1+5-3+7-5+⋯+2023-2021=2023-1．学思导引29。
数形结合巧解题
数形结合巧解题高考中有很多题目都是以数形结合的形式出现，这类题目可以用抽象思维与具体操作结合在一起进行解答。
在解释数形结合题之前，首先要弄清楚题目具体是什么，即题意要求什么和所给的数据有何关系，弄清题意是解答数形结合题的必要环节。
数形结合的题目中包含了数学概念和图形元素，其中的数据可以通过几何图形来表示，而该几何图形又可以被转换成数学表达式，结合数据可以确定问题的形式，为此，找到题目中的数据及几何图形，分析并结合几何图形的特点及性质，计算出求解的数学表达式，便可以无视细节，直接解题求解。
对于数形结合的题目来说，要掌握几种常见的图形，如角、三角形、正方形、圆等。
针对它们的特点和性质，可以有针对性的运用，进行解答。
例如，总角度和一般是360°，正方形以及长方形的对角线是同样的长度，圆的弧线长度等于其直径乘以2π等，这些性质可以用来解决题目，帮助我们了解几何图形的规律。
除此之外，解决数形结合的题目，还需要运用具体的数学计算和解答方法，如利用比例法解决比例问题、利用概率解决统计问题、利用几何推理进行几何图形问题的解答等。
有了这些具体的技巧和方法，对于遇到的数形结合题目，就可以轻松有效地解决。
此外，解答数形结合题目时，还可以有一些技巧和方法，以提高解决效率。
例如，可以先从题目中抓住最易于理解和解答的部分，以减少弄清题意的时间；其次，可以在解题过程中尽量避免直接计算，而是寻求一些类比、联系，从而利用现有的知识和技巧来解决类似问题；最后，回顾解题过程中出现的数据尝试简化题目，以期获得更高效的解法。
数形结合巧解题是一种涉及几何、数学及解题技巧的综合性能力，要想更快地、更准确地解决题目，就必须做到熟练掌握几何图形的特点与性质，理解不同几何图形之间的联系，并运用相应的解题技巧和方法，把握几何图形与数学表达式的关系，从而更有效的完成解题任务。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析正文高中数学题目往往给学生带来了很大的困扰，尤其是在运用数形结合思想巧解题目时更是难上加难。
今天我们将通过几个例子来演示如何运用数形结合思想巧解高中数学题目。
例一：已知一个等边三角形的边长为a，求其高和面积。
解题思路：首先我们可以通过数学公式得出等边三角形的高和面积，公式如下：1. 等边三角形的高为：sqrt(3)/2*a2. 等边三角形的面积为：sqrt(3)/4*a^2接着我们可以通过数形结合思想来验证这两个公式。
我们可以画出等边三角形的图形，然后利用勾股定理来计算三角形的高和面积。
解题过程：首先我们画出一个等边三角形ABC，边长为a，然后我们假设高为h。
根据勾股定理，我们可以得到：a^2 = h^2 + (a/2)^2通过这个等式，我们可以求解出h的值，即：h = sqrt(3)/2 * a接着我们计算三角形的面积，根据公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形的面积为：S = sqrt(3)/4*a^2。
通过这种数形结合思想，我们不仅验证了等边三角形的高和面积的公式，而且更加深入地理解了这些公式的意义。
例二：已知梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，求其面积。
解题思路：梯形的面积公式为：S=(a+b)*h/2我们可以通过数形结合思想，将梯形拆分成两个三角形和一个矩形，然后分别计算它们的面积来求解梯形的面积。
解题过程：首先我们将梯形拆分成上下两个三角形和一个矩形。
然后我们分别计算这两个三角形和一个矩形的面积，然后相加起来就是梯形的面积。
三角形1的底长为a，高为h，面积为：Sa=1/2*a*h三角形2的底长为b，高为h，面积为：Sb=1/2*b*h矩形的长为(a+b)，宽为h，面积为：Sc=(a+b)*h最后将这三个部分的面积相加起来就是梯形的面积，即：S=Sa+Sb+Sc=(a+b)*h/2通过这种数形结合思想，我们可以更加直观地理解梯形的面积公式，并且能够灵活地应用到解题过程中。
巧用数形结合思想 解决中学数学难题
图 １
面认识． 强数形结合思想应用的精确性 ，因此，我们 要注 意分 加
分 析 ：对 于 此例 题 ，我 们 自然 而 然地 想到 建 立 直 角 坐标 系 ， 析题 目中所蕴含 的信息 ，采 用最恰 当的方法解决 问题 ，而不是 利 用点 的 坐标 通 过 代数 方 法 去 处理 ． 是 ，本 题 中蕴 合 了等 差 数 盲 目地 选 择 数 形 结 合 思 想 方 法． 但
，
原 方 程 在 区 间
解：设双曲线为 一｛ ：１（ ＞０ ； 。 ，ｂ＞０ ，右焦点为 ）
０一
ｆ（） ｔ ：０在 ［ 】 １内 有且 仅 有 一 个 解 ， 一， ）
即二次 函数 ｆ（） 一 ，１ 内和 轴有 ｔ在［ １ ）
一
ｃ ）（ ） ，０ ｃ＞０ ，不 妨 设 ｆ — ｙ＝ ．ｆ ＋ ＝０ １ ：６ ａ ０ ， ：６ ．
误 认 ，ｔ 与 ＝ｎａ０手 上 一 交 ， 解： 为，ａ Ｙｓ （ ）有 个 点 ＝ｎ ｉ ，
因 根 对 性 函 ｔ ｙｓ 在（Ｔ 手）交 此 据 称 ， 数 ＝ｎ与 ＝ｎ 一 ， 上 点 ａ ｉ ＇ ｉ 正 ： 实 ， 数ｙｔ 函 ＝ｉ 在０手） 解 事 上 函 ＝ｎ与 数ｙｓ （ 上 ａ ｎ ，
就 本题 而 言 ，基 于 以上 两 点 ，若 采 用代 数 方 法 求 解 ，虽 然 解 题
例２ 已 方 ｉ ＋ ∞ｓ一 ０ ０ ２， 两 知 程ｓｘ ｝ 。 ， ＜ ＜盯 有 ｎ Ｚ ｌ＝
个相异的实根 ，求实数 ｎ的取值范 围．
误 解 ：将 原 方 程 化 为 ｃｓ 一 一 ｓ 一 １ ＝０ 令 ＝ＣＳ 。 ∞。 Ｏ
数形结合巧妙用 解题思维高效率
要 ＣＢ 须 只 ｛ 得 ＜ ３ 使 Ｃ， 且 需 专叶 ， ２≤． ＿必 解 。 ．
④ 当 ａ一 ＜ ２时 ， ＝ ， Ａ ０ 此时 Ｂ Ｃ ０， ＣＢ成立 。 ＝＝ Ｃ ＿ 综上所述 ， 的取值范围是（ ，２ ｕ［ 一 ］ ａ 一 一） ， 。 １ ３
离 ／＿ 、 二 ＝
义。
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１ ． 恰当设参 、 ．２ ３ 合理用参 ， 建立关系 ， 由数思形 以形想数 ， 做好数形 转化 。 １ ． 正确确定 参数 的取值范 围 ．３ ３
２１ ０ １年
第３ ５期
Ｓ ＩＮＣ Ｃ Ｅ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｎ Ｌ ＹＩＦ Ｒ Ｅ Ｈ Ｏ ＯＧ Ｏ ＭＡＴＯ Ｎ ＩＮ
０教 学研究 ０
科技信息
数形结合巧妙用 Байду номын сангаас解题思维高效率
向金华
（ 桃市 沔城 高级 中学 仙
“ 与“ 作为数学 中最古老最重要的两个方 面 ， 数” 形” 一直就是一对 矛盾体 正如矛和盾 总是 同时存在一样 ． 数” 有“ 必有 “ ”有“ 必有 形 ． 形” “ 。 数” 我国著 名数学家华罗庚先生对此也有“ 数缺形 时少直观 ． 形缺数 时难入微” 的精辟论述 在解决数学问题上 ． ” 形” “ 与“ 两个基本概念常常可 以结合在一 数 起． 相辅相成 ， 相得益 彰 ， 使复杂 的问题 简单 化 ， 抽象 的问题具体化从 而提高学生思维能力 著名数学家拉格朗 日曾经说过 ：只要代数 同几 “ 何分道扬镳 ． 的进展就缓慢 。 它们 它们 的应用就狭窄 。 当这两 门科学 但 结合成伴侣时 ． 它们 就互 相吸收新鲜 的活力 ． 从而 以快捷 的步伐走 向 完美 ”
巧用数形结合思维解题的几个关键点
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巧用数形结合思维解题的几个关键点
作者：刘雨桐
来源：《学习导刊》2013年第12期
在几何方面解题过程中，数形结合一般是首选解题方式，经过解答诸多几何题，对其基本的解题思路进行总结得出，将数在结构方面表现出来的特征，绘画以及构建出与其相对应的立体或平面图形，并对图形所表现出来的规律和特征进行充分的利用，将数学问题进行解决。
或者相反表达关系，这种解题方式在应用的过程中有三个关键点，以下对数形结合开展的研究。
1.充分利用图像性质
通过应用数形结合的解题方式对诸多类型的题目进行解答得出，不管是将代数形式转变成图形形式，还是将图形形式转变成代数形式，其中必然会出现图像，而不管是哪一种表现的方式，它最终表现出来的图形中都会有相对应的特殊性质，在采用数形结合的方式进行解题时，一定要做到了解不同图形所具有的特殊性质，并对这些特殊的图像性质进行充分的利用，从而可以快速且准确的进行解题[1]。
随着练习题目数量不断增多，可以发现考试的题型也越来越多，与此同时，题目的难度也在不断的增大，对于高中数学教学内容中的诸多题目，都可以采用数形结合的方式进行有效的解决，因此，学生需要对该解题技巧进行有效的掌握，详细了解该解题方式中的关键点，解题时把握题目重心，从而真实提高自身的数学成绩。