初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编附答案

关系，列出关系式．
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风
靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进 A 、 B 两种汾阳月饼共 1500 个，已知购
进 A 种月饼和 B 种月饼的费用分别为 3000 元和 2000 元，且 A 种月饼的单价比 B 种月饼 单价多 1 元．求 A 、 B 两种月饼的单价各是多少？设 A 种月饼单价为 x 元，根据题意，列
A．5
B．-5
C．3
【答案】A
【解析】
D．-3
把 x=3 代入原分式方程得， a 2 1 0 ，解得，a=5，经检验 a=5 适合原方程. 3 32
故选 A.
4．某施工队承接了 60 公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计 划提高了 25%，结果提前 60 天完成了这项任务．设原计划每天修路 x 公里，根据题意列出 的方程正确的是（ ）
|-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组
有解，找出-6＜a＜3 且 a≠2 是解题的关键．
12．解分式方程 1 3 4 时，去分母得（ ） x2 2x
A．1 3(x 2) 4 B．1 3(x 2) 4 C． 1 3(x 2) 4 D．1 3(2 x) 4
方程正确的是( )
A． 3000 2000 1500 x x 1
B． 2000 3000 1500 x x 1
C． 3000 2000 1500 x x 1
D． 2000 3000 1500 x x 1
【答案】C
【解析】
【分析】
设 A 种月饼单价为 x 元，再分别表示出 A 种月饼和 B 种月饼的个数，根据“购进 A 、 B 两
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】 甲种机器人每小时搬运 x 千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克，
由题意得：
，
故选 B. 【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运 5000kg 所用时间与 乙搬运 8000kg 所用时间相等建立方程是关键．
3．若 x=3 是分式方程 a 2 1 0 的根，则 a 的值是 x x2
【详解】
设原来每天修路 xm，引入新技术后每天修路 1.2xm，实际工作天数为（ 1000 4000 ）， x 1.2x
原计划工作天数为 5000 天，根据题意得， x
5000 5 1000 4000 ，
x
x 1.2x
故选 D.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量
出方程即可．
解：设乙骑自行车的平均速度为 x 千米/时，由题意得：
110 x2
=
100 x
，
故选 A．
6．若关于 x 的分式方程 x 2 m 有增根，则 m 的值是（ ） x3 x3
A． 1
B．1
【答案】B
C．2
D．3
【解析】
【分析】
根据分式方程的增根的定义得出 x-3=0，再进行判断即可．
【详解】
天，由题意可以列出的方程是（ ）
A． 1 1 1 x 10 x 30 x 20
B． 1 1 1 x 10 x 30 x 20
C． 1 1 1 x 10 x 30 x 20
【答案】B
D． 1 1 1 x 10 x 20 x 30
【解析】
【分析】
设规定的时间为 x 天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这
A． 5000 4000 1000 5
x
x 1.2x
B． 5000 .2x
C． 5000 5 4000 1000
x
x 1.2x
【答案】D
D． 5000 5 1000 4000
x
x 1.2x
【解析】
【分析】
本题依题意可知等量关系为原计划工作时间-实际工作时间=5，根据等量关系列出方程即可.
方程．
14．如果关于 x 的方程 ax2 4x 3 0 有两个实数根，且关于 x 的分式方程
x a 2 a 有整数解，则 符合条件的整数 a 有（ ）个． x3 3x
A． 2
【答案】B
B． 3
C． 4
D． 5
【解析】
【分析】 由一元二次方程根的判别式求得 a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答 案． 【详解】
去分母得：x-2=m，
∴x=2+m
∵分式方程 x 2 m 有增根， x3 x3
∴x-3=0，
∴x= 3，
∴2+m=3，
所以 m=1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程 x-3=0 是解此题
的关键，题目比较典型，难度不大．
7．下列运算正确的是( ) A． ( 2 3)2 5
A． 60 (1 25%) 60 60
x
x
B． 60 60 (1 25%) 60
x
x
C．
(1
60 25%) x
60 x
60
D．
60 x
(1
60 25%) x
60
【答案】D 【解析】
【分析】
设原计划每天修路 x 公里，则实际每天的工作效率为 (1 25%)x 公里，根据题意即可列出
分式方程. 【详解】
解：设原计划每天修路 x 公里，则实际每天的工作效率为 (1 25%)x 公里，
依题意得： 60 60 60 ． x (1 25%)x
故选：D． 【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
5．甲、乙两人同时分别从 A，B 两地沿同一条公路骑自行车到 C 地．已知 A，C 两地间的 距离为 110 千米，B，C 两地间的距离为 100 千米．甲骑自行车的平均速度比乙快 2 千米/ 时．结果两人同时到达 C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速 度为 x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）
初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编附答案
一、选择题
1．为保证某高速公路在 2019 年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任
务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用 10 天，乙队单独完成这项工程比规定时间
多用 30 天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前 20 天完成任务．若设规定的时间为 x
的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这任
务，设原计划工作时每天绿化面积为 x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ）
A．
60 x
- 1
60
25 00 x
30
B．
1
60
25%
x
-
60 x
30
C． 60 1 25% - 60 30
x
x
D． 60 - 60 1 25% 30
当 a 1时，方程的解为 x 2a 2 2 4 ，
a 1
a 1
因为 x 为整数且 x 3，
所以 a 1是 4 的约数，所以 a 1 1, a 1 2, a 1 4,
所以 a 的值为： 3, 1, 0, 2,3,5 ，
又因为： a 4 且 a 0 ， a 1, x 3，
3
所以 a 3, a 0, a 5 不合题意舍掉，
A． 110 100 x2 x
B． 110 100 x x2
C． 110 100 x2 x
D． 110 100 x x2
【答案】A
【解析】
设乙骑自行车的平均速度为 x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据
题意可得等量关系：甲骑 110 千米所用时间=乙骑 100 千米所用时间，根据等量关系可列
B． x 0
C． x 3
D． x 1
【答案】D
【解析】
【分析】
方程两边同乘以 3x（x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得 x 的值，检验即可
求得分式方程的解.
【详解】
方程两边同乘以 3x（x+5）得，
x+5=6x，
解得 x=1，
经检验，x=1 是原分式方程的解.
故选 D.
【点睛】 本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问 题的关键.注意，解分式方程一定要验根.
项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前 20 天完成任务，
列方程为 1 1 1 . x 10 x 30 x 20
【详解】
设规定时间为 x 天，则
甲队单独一天完成这项工程的 1 ， x 10
乙队单独一天完成这项工程的 1 ， x 30
甲、乙两队合作一天完成这项工程的 1 . x 20
x
x
【答案】A
【解析】
【分析】
根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这任务，可
列出方程．
【详解】
解：设原计划工作时每天绿化面积为 x 万平方米，则根据题意可得：
60 x
1
60
25 00
x
30
，
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出
C． 2x3 x2 2x
【答案】C 【解析】
B． 2x3 3 6x6
D．若 1 x 1则1 x2 x 1 x 1
【分析】 分别计算出每一项的结果，再进行判断即可. 【详解】
A. ( 2 3)2 5+2 6 ，故原选项错误；
B. 2x3 3 8x9 ，故原选项错误；
C. 2x3 x2 2x ，计算正确； D. 若 1 x 1则 2 x2 =0 ，，故原选项错误
11．关于 x 的分式方程 ax 2 6 3 的解为正数，且关于 x 的不等式组 4x x4
x 1
a
2
x
x
7 2
有解，则满足上述要求的所有整数
a
的绝对值之和为（
）
A．12
B．14
C．16
D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出 a＜2 且 a≠1，根据不等式组有解，即可得出 a＞-5，找 出-5＜a＜2 且 a≠1 中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】
种汾阳月饼共 1500 个”，列出方程即可.
【详解】
设 A 种月饼单价为 x 元，则 B 种月饼单价为(x-1)元，
根据题意可列出方程 3000 2000 1500 ， x x 1
故选 C.
【点睛】
本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.
10．方程 1 2 的解为( ). 3x x 5
A． x 1
【答案】B 【解析】 【分析】 根据等式性质计算即可. 【详解】
在方程的两边同时乘以 x-2，得1 3(x 2) 4 ，
故选：B. 【点睛】 此题考查解分式方程，等式的性质，正确计算是解题的关键，此题中容易出现错误的地方 是原方程中的分母是互为相反数，注意符号不要弄错.
13．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季
解：因为：关于 x 的方程 ax2 4x 3 0 有两个实数根， 所以： 42 4a (3) 0 ，且 a 0 ，
解得： a 4 且 a 0 ，
3
因为： x a 2 a ， x3 3x
所以： x a 2 ax 3a ， 所以： (a 1)x 2a 2 ，
当 a 1时，方程无解，
解分式方程 ax 2 6 3 得：x= 4 ，
4x x4
3a
因为分式方程的解为正数，
所以 4 ＞0 且 4 ≠4，
3a
3a
解得：a＜3 且 a≠2，
x 1
解不等式
a
2
x
x
7 2
，得：x≤a+7，
∵不等式组有解，
∴a+7＞1，
解得：a＞-6，
综上，-6＜a＜3，且 a≠2，
则满足上述要求的所有整数 a 的绝对值的和为：
所以 a 的值为： 1, 2,3, ．
x 1
故选 C. 【点睛】 本题主要考查了二次根式的混合运算、积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式和解分式 方程，熟练运用法则是解题关键.
8．为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市
计划在某村修路 5000m ，在修了1000m 后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的 1.2 倍，结果提前 5 天完成了任务.若设原来每天修路 x m ，则可列方程为( )
则11 1 . x 10 x 30 x 20
故选 B.
【点睛】
此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.
2．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运 600kg，甲搬运 5000kg 所 用的时间与乙搬运 8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货 物．设甲每小时搬运 xkg 货物，则可列方程为