第2章 维纳滤波讲解

?
kJ
?
?J ?wk
k ? 0,1,2,?
进一步可求得
[ [ ? k J
?
?J ?wk
?
?E e2 (n)] ?wk
? 2E ?e(n) e(n)] ?wk
[ ? ?2E u(n ? k )e(n)]
k ? 0,1,2,?
2
第2章 维纳滤波
置梯度为零,得维纳滤波器最优解的一个充要条件
[E u(n ? k)eo (n)] ? 0
2.1 问题的提出
第2章 维纳滤波
u(n)
线性离散时间滤波器
h(n)
y(n) ??
d (n) ?
在给定的约束 条件以及最优 准则下来设计
e(n)
最佳滤波器
离散形式维纳滤波问题示意图
要求: 滤波器是离散时间滤波器；滤波器是线性的；滤波器为无限冲激响应（IIR） 滤波器，有限冲激响应滤波器可以看成是它的一个特例。 准则: 最小均方误差（MMSE）准则。 维纳滤波器: 输入信号和期望响应平稳且联合平稳时所得到的最佳滤波器。 本质：给定一个输入信号，设计一个线性离散滤波器，对期望响应估计，使得其 估计误差的均方值为最小。
[ [ p ? E u(n)d (n)] ? p(0), p(? 1),? , p(1? M )]T
[ 则横向滤波器的维纳-霍夫方程式的矩阵表示形式为 Rw o ? p ，即维纳解为 wo ? R ?1p
式中： w o ? wo,0 , wo,1 ,? , wo,M ?1 ]T 是横向滤波器最优抽头权向量。
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第2章 维纳滤波
2.4.2 横向滤波器的误差性能
一、误差性能曲面
输出：
1
第2章 维纳滤波
2.2 离散形式维纳滤波器的解 单位冲激响应 h(n) 用 w0 , w1, w2 ,? 表示，则滤波器的输出 y(n) 为线性卷积和
?
y(n) ? ? wk u(n ? k) k?0
n ? 0,1,2,?
最小均方误差准则下的代价函数
[ J ? E e2 (n)]
代价函数的梯度向量
u(n)
u(n ? 1)
z?1
z?1
? u(n ? M ? 2) z ?1 u ( n ? M ? 1)
w0
w1
?
?
wM? 2
?
?
wM ?1
d (n )
d? ( n
)
?
?
e(n )
?
?
横向滤波器结构示意图 由Ｍ级抽头延迟线级联而成，每个抽头的输入分别为u(n), u(n ? 1),? ,u(n ? M ? 1) 各抽头权值分别为 w0 , w1,? , wM ?1，构成一组权系数 wk (k ? 0,1,? , M ? 1) 。
2.3 离散形式维纳滤波器的性质 2.3.1 正交原理的几何解释
d (1)
eo (1)
u (1)
yo
样本空间
u (0)
正交原理的几何解释（二维的情况）
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第2章 维纳滤波
2.3.2 正交原理推论 考察滤波器输出信号与估计误差之间的相关特性
[ [ [ ?
?
E y(n)e(n)] ? E ? wk u(n ? k )e(n)] ? ? wk E u(n ? k )e(n)]
k ? 0,1,2,?
(※)
式中 eo (n) 表示滤波器工作在最优条件下的估计误差。 正交原理: 使均方误差代价函数达到最小值的充要条件是其相应的估计误差 eo (n) 正交于
用于估计期望响应的每个输入样本值。
充要条件之二 的推导:
[ )[ 由正交原理出发 E u(n ? k)eo (n)] ? E{u(n ? k d(n) ? yo (n)]}
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第2章 维纳滤波
2.3.3 最小均方误差
维纳滤波器的估计误差为
eo (n) ? d(n) ? yo (n) ? d(n) ? d?o (n)
? ? d (n) ? d?o (n) ? eo (n)
(△)
定义最小均方误差为
[ J min ? E eo2 (n)]
假定d?o (n)和 d (n)为零均值，对△式两边同时取方差，得
? r(0)
r(1)
r(M ? 1)?
[?
R ? E u(n)uT (n)] ? ?
r (1)
?
r(0)
r(M
?
2)
? ?
?
??r(M ? 1) r(M ? 2)
r(0)
? ?
[ 式中：u(n) ? u(n),u(n ? 1),? ,u(n ? M ? 1)]T 是抽头输入向量，矩阵Ｒ对称。
定义横向滤波器抽头输入与期望响应的互相关向量为ｐ，则
?
2 d
?
?
2 d?o
?
J min
即
J min
?
?
2 d
?
?
2 d?o
式中：
?
2 d
是期望响应 d
(n) 的方差，
?
2 d?o
是其最优估值 d?o (n) 的方差。
结论：维纳滤波器所得最小均方误差等于期望响应的方差与滤波器输出方差的差值。
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第2章 维纳滤波
2.4 横向滤波器的维纳解 2.4.1 横向滤波器的维纳-霍夫方程及其解
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第2章百度文库维纳滤波
滤波器的当前输入值：u(n) ，当前输出y(n) ，期望响应为 d (n) 重写维纳-霍夫方程
M ?1
? woi r(i ? k) ? p(? k) k ? 0,1,2,?
i? 0
定义横向滤波器的抽头输入 u(n), u(n ? 1),? ,u(n ? M ? 1) 的相关矩阵为Ｒ，则
因输入平稳， 故ｒ只与ｉ和 ｋ的差有关
滤波器输入与期望响应的互相关函数 E?u(n ? k)d (n)?? p(? k)
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第2章 维纳滤波
得到维纳滤波器的另一个充要条件，即著名的维纳-霍夫（Wiener-Hopf ）方程为
?
? woi r(i ? k) ? p(? k )
i?0
k ? 0,1,2,?
k?0
k?0
最优状态下，上式为
?
?
[ [ [ ? ? E yo (n)eo (n)] ? E wok u(n ? k )eo (n)] ? wok E u(n ? k )eo (n)]
k?0
k?0
由正交原理(右端为零)可得
[E yo (n)eo (n)] ? 0
(※)
结论：维纳滤波器的估计误差 eo (n) 输入样本值 u(n) 和滤波器的输出 yo (n) 正交。
?
)[ ? ? E{u(n ? k d(n) ? woiu(n ? i)]} ? 0 k ? 0,1,2,? i?0
?
整理得 ? woi E?u(n ? k)u(n ? i)?? E?u(n ? k )d (n)? k ? 0,1,2,? i?0
定义 滤波器输入的自相关函数 E?u(n ? k )u(n ? i)?? r(i ? k )