相似三角形常见题型解法归纳

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A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形

双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD •AB

结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD

结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略

1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法

2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件

相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略：

遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。

（3）等比代换：若d c b a ,,,是四条线段，欲证

d

c b a =，可先证得

f

e b a =（f

e ,是两条线段）然

后证

d

c f e =，这里把

f

e 叫做中间比。

①∠ABC =∠ADE ．求证：AB ·AE =AC ·AD

②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形,求证：BD•CN=BM•CE ．

③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。 求证：BP •PC=BM •CN

D

C

B

A

2

F E

D A

B C

☞有射影，或平行，等比传递我看行斜边上面作高线，比例中项一大片

①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF

②ABCD

③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD,求证：OC 2=OA.OE

☞四共线，看条件，其中一条可转换；

①

Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。 求证：EF 2=BE •FC

②△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ， 求证：BP 2=PE·PF 。

③AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AB 于F. 求证： DE 2=BE ·CE.

12

F

E

D B C A

3

☞两共线，上下比，过端平行条件边。

①AD 是△ABC 的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.

②在△ABC 中，AB=AC ， 求证：DF:FE=BD:CE.

③在△ABC 中，AB >AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 上一点，AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ，求证：BP:CP=BD:CE.

④在△ABC 中，BF 交AD 于E.

(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC ； (2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.

（3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC

⑤在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，AC 边上的中线BM 交AD 于P ，交AE 于Q ，若BM=10cm ，试求BP 、PQ 、QM 的长.

F B A C

D E 3

2

1E D

A

B

C

P D A B C E E A B C D F

4

⑥△ABC 中，AC=BC ，F 为底边AB 上的一点，（m 、 n ＞0），取CF 的中点D ，

连结AD 并延长交BC 于E.（1）

的值.（2）如果BE=2EC ，那么CF 所在直线与边AB 有

怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。

☞彼相似，我条件，创造边角再相似 ①AE 2＝AD ·AB ，且∠ABE ＝∠BCE ，试说明△EBC ∽△DEB

②已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．

③D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD ，求证：△DBE ∽△ABC 。

④D 、E 分别在△ABC 的AC 、AB 边上，且AE •AB=AD •AC ，BD 、CE 交于点O. 求证：△BOE ∽△COD.

O

D B

A E