关于数学建模以及对中学数学建模教与学的思考

关于数学建模以及对中学数学建模教与学的思考

摘要：数学建模，就是用数学语言与方法对现实问题的一种定量描述，其过程就是数学建模过程，包括构建、求解、检验数学模式的多次运行。其本身并不是一个新的概念，早在公元前300年，欧几里德所著《几何原本》就为数学建模的建立打下了基础，从而一直发展到今天，数学建模仍然在社会的多个领域发挥着极其重要的作用。本文讲述了建立数学模型的6个步骤：建模准备、建模假设、建模建立、建模求解、讨论与验证、模型应用；并结合中外在中学开展数学建模的情况论述了数学建模的几种具体做法：两分法、多分法、混合法、课程内并入法、课程间并入法；介绍了数学建模的重要性。并通过高中数学课程标准论述了中学数学建模的意义——培养学生应用数学的意识、培养学生各方面的能力，从而提出在中学如何开展数学建模和数学应用的教学活动的一些想法。

关键词：数学建模、中学数学、教学

一、背景

随着21 世纪的到来, 科学技术迅猛发展, 人类已跨入了信息与数字化时代,数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，“高科技本质上是数学技术”这一观念已被越来越多的人接受。例如, 军事上和商业活动中广泛用到的密码技术、医学上广泛用到的CT 成像和核磁共振技术、天气预报等领域中采用的大型数值计算技术等, 所有这些技术都是建立在数学的基础上。世界各国现在越来越重视培养学生将数学应用到实际的能力, 更加强调解决数学问题和实际问题的过程，而数学建模正是培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。同时这种能力是各行各业各领域大量需要的，也是我们在走上工作岗位后常常需要的能力。不止在中国，数学建模教学在一些西方国家,诸如美国、英国、荷兰、丹麦、澳大利亚等国的数学教育界成为一个热门话题, 并在国际数学教育大会中占有重要地位, 同时将“问题解决, 建模的应用”列入大会主要研究课题之一。认为“问题解决、建模和应用必须成为从中学到大学所有学生的数学课程的一部分。”可见, 数学建模教学在国外数学教育界越来越受重视。而我国受国际上“问题解决”教学的影响, 也注意强调对学生的分析问题和解决问题的能力培养, 开始在教育中引进实际问题, 教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准》把数学建模纳入了标准中, 这是我国中学数学应用与建模发展的里程碑, 同时标志着数学建模正式进入我国高中数学教学。在这样的背景下，根据社会发展的需要，我们应当学习和提高在这方面的能力。首先我们就对数学建模做如下的了解：二、数学建模的定义和步骤

（一）数学建模的内涵和外延

广义来说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可以成为数学模型；各种数学分支也可以看作数学模型，如欧氏几何、线形代数、代数几何、微积分等。但是平常说的数学模型的涵盖面要狭窄得多，这里的数学模型的内涵是指解决实际问题时所用的一种数学框架。这种数学框架可以是方程、计算机程序乃至图表和图形。

而数学建模也比形成某一数学分支的过程要简短得多。在这里，数学建模就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设找到解决这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行严整的全过程。

数学建模是一个多次循环执行的过程。循环的过程包括实际问题的抽象、简化，作假设明确变量和参数，并依据某种“规律”建立变量和参数的一个明确的

数学关系（即数学模型）；然后解析地或数值地求出模型的解，并对求解所得的结果进结实、分析和验证；若符合实际，则可投入使用，如果与实际情况不符，需要重新对问题的假设进行改进，进入下一个循环。经过多次循环，最终求得令人满意的结果。

数学建模的外延是指各类具体的数学模型，如资源管理的数学模型、社会经济的数学模型、生态系统的数学模型、医学生物工程和遗传的数学模型、交通流的数学模型、过程控制的数学模型等。

（二）数学建模的一般步骤

数学建模一般有6个步骤：建模准备、建模假设、建模建立、建模求解、讨论与验证、模型应用。数学建模是一个多次循环执行的过程。可用一个框图来表示，如下：

建模准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，尽量掌握建模对象的各种信息和数据，寻求实际问题的内在规律，用数学语言来描述问题。

建模假设：根据实际对象的特征的建模的目的，对实际问题进行必要简化或理想化，并利用精确的语言提出一些恰当的假设，这是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了是处理简单，应尽量使问题线形化、均匀化。

模型建立：根据问题的要求和假设，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构建各变量之间的数学关系（数学模型）。这时，我们便会进入一个广阔的应用教学天地，这里在高等数学、概率：“老人”的膝下，有许多可爱的：“孩子们”，“他们”是图论、排队论、线性规划、对策论等。一般来说，在建立数学模型时可能用到数学的任何一个分支。同一个实际问题还可以用不用方法建立不同的数学模型。当然数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，所以在达到预期目的的前提下，应该采用尽可能简单的数学方法建立容易实现的模型。

模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计），可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，

许多时

候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此，编程和熟悉数学软件包便很重要。

讨论与验证：根据模型的特征和模型求解结果，继续分析讨论。将模型分析结果与实际情况进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适合性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释，说明模型的使用范围和注意事项。如果模型和实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程，直至获得满意的结果为止。

模型应用：把所得到的数学模型应用到实际问题中去，应用方式因问题的性质的建模的目的而异。由上可见，这是个系统的内容，我们有必要对它的教育价值进行分析：

三、数学建模的教育价值

（一）国外在中学开展数学建模的情况

在整个发范围来看，世界各国都要求在各年级课程计划中或多或少地包含数学建模内容。

在英国国家同意课程中，把中小数学教程分成四大领域：使用和应用数学、数、代数形和空间、数据处理。其数学课程具有以下特点：注意应用与探索，重视计算机和计算器的使用，注重学生的活动（特别是探究活动），重视改革更新传统的内容体系等。

在瑞典教育部文件中，要求教师善于从学生熟悉的环境中提出问题，同时注意问题的实际意义和社会意义。

在德国的数学必修课中，有37处要求联系物理、化学、经济、日常生活以及哲学观念。他们还强调球面几何、球面三角。建立的模型包括人口增长、质量控制、疾病传播、抽样试验等。

在荷兰，从20世纪60年代末开始，就进行了从传统数学教学向现实数学教学的改革，其改革的主要特征是：与现实生活相关，学生从现实中学数学，再把学到的数学知识用到现实中去，课本中的数学与生活中的数学紧密相连；学生通过自己参与的活动发现数学，获得数学知识。

在美国，数学教学有学习常见技能的偏见发展广泛的基本数学能力转变；数学教学由强调后继课程的工具向更加强调关系学生现在和将来需要的课题转变。

加拿大哥伦比亚省教育部在颁发的文件中规定了中学数学教学目的，其中有一条是：学会将学学知识应用到物理学科和其他领域，能对周围环境中所遇到的问题做出数学模型并设法加以解决。

日本的“数学基础”课程内容包括：数学和人类的活动；用数学理论观察有关的社会生活；身边的统计，主要是培养穴道横的数学兴趣和用学生眼光分析自然界和社会现象的意识。

但是，数学建模的教学在各国、各地区的具体做法存在着很大差异，主要有以下几种：

⒈两分法

数学教学计划由两部分组成，前一部分主要处理纯数学内容，后一部分处理的是与前一部分纯数学内容有关的应用和数学建模，它有时是现成建模结果的应用，有时是整个建模过程。这种做法可简单地表示为：数学内容的学习——数学应用和数学建模。

⒉多分法

整个数学可有很多小单元组成，每个单元做法类似于“两分法”。这样最先是

新的数学概念和结果被学习，随后是应用和数学建模过程，主要运用了前面刚学过的数学知识，而紧接着又是新的数学概念和结果的学习，新的应用和建模……这种做法可表示为：数学知识学习→数学应用和建模→下一单元新的数学知识学习→新的应用和建模。

⒊混合法

在这种做法里，新的数学概念和里乱的形成和数学建模活动被设计在一起，相互作用。一方面，新的数学内容被数学建模的问题情景所激发和阐述，而另一方面，数学建模的问题又被这个新的数学内容所描述和解决。这种作法可表示为：问题情景的呈现→数学内容的学习→问题情景的解决→新的问题的呈现→新的数学内容的学习→这个新的问题的解决。

⒋数学课程内并入法

在这种做法里，一个问题首先被呈现，随后与这个问题有关的数学内容被探索和发展，知道问题被解决。这种做法要注意的是，所呈现问题必须与数学内容有关并容易解决。

⒌课程间并入法

这种做法类似与数学课程内并入法，但不完全相同，因为所呈现问题的解决所需要的知识未必主要是数学知识，而可能是其他科目的。

（二）我国以往开展数学建模的情况

有部分学生家长及某些社会人士在对数学与数学教育价值问题的认识上有所偏见，他们不了解数学和数学的作用所发生的巨大变化，加之教育在制度、评价及教学实施等方面存在的问题，数学被看作是落后的独立王国，数学就是搞难题，学校数学教育就是教学生以顺利通过考试的知识和技能，学生学习数学的目的是在毕业和升学考试中得到高分，获得好成绩，他们说不清楚也看布道数学对人的发展究竟有什么价值。产生这种认识的重要原因之一，是教育部门和技术学教育工作者本身对数学和数学教育的发展变化极其价值认识不足，在数学教育中存在着较为严重的脱离显示社会生活的倾向。

虽然我们的数学教学中一直都有应用题的训练，但仔细分析以下数学教材中编制的应用题，容易反刍它们只不过是为了“理论联系实际”而已，而且分量过轻，内容陈旧，范围过窄，离学生的生活现实较远；教材设计仍是以知识为中心，体系过于封闭；教材组织也是以学科逻辑顺序为中心，结构过于严谨；教材中实习作业安排太少，而且，就是这为数不多的实习作业，在教学中也可能被“省略”，“由实际问题引入数学概念”仅被简单地看作“引入数学的一种方式”，而忽略“引入”过程中的抽象、概括、分析，忽视“数学源于现实”的思想教育；数学概念，定理的教学更关注的是理解、证明、推倒，而忽视它的应用，忽视它与我们的生活和生产现实的联系，忽视“数学寓于现实”的思想教育；应用题的数学，强调的是加深对知识的巩固和理解，注重的是一招一式的训练，而忽视应用过程的分析，忽视数学应用意识的培养，忽视“数学用于现实”的思想教育；还有，在数学教学过程中，忽视了形象数学应用能力的诸多因素如数学语言、阅读理解等的有计划有针对性的训练和培养等等。

这种“掐头去尾烧中间”的数学效果当然不尽如人意：每年高考考生在解答数学应用题，特别是大分值应用题时普遍感到困难。与其他类型试题相比，历年的大分值应用题的平均得分是较低的；还有一些对重点中学的学生进行的测试结果反映出学生没有将数学应用于实际的意识，缺乏将实际问题转化为数学问题的能力，甚至连日常生活中非常简单的图表都看不懂，利息不会计算。一言以蔽之，

学生学了数学不知有什么用，更不会用。

所以，加强对中学生数学广泛应用的教育，使他们得到数学的简单运用的训练是我们数学教育改革的一向重要任务。近年来，我国开始对数学应用给予好度重视。进几年的高考数学试卷中出现了一类具有新颖性、应用性和综合性的试题。这类试题通过创设一些情景，要求考生利用所学过的知识，建立数学模型，巧妙解决实际生活中的问题，这个过程就是数学建模。此外，中学数学教学中在开始进行建模教学的探索，开设了数学建模乃至数学实验的课程，并举办了数学建模竞赛，这些改革有效地租金了数学与外部世界的联系，对提高同学的数学素质也起了一定的作用。但总体来说，所作的努力还不够，数学建模在整个数学教育中仍处于较为次要的地位。再回顾近几年的高考数学应用题，虽然应用题的情景相当熟悉，建模稍易、难度适中，但考生的得分率仍达布道应有的水平，所以进一步加强中学数学建模教学仍然是刻不容缓，有重要意义的：

四、数学建模的意义

（一）数学建模的社会意义

数学是研究显示世界中数量关系和空间形式的科学，其特点在于它的抽象性、逻辑性和结论的准确性。数学建模，就是用数学语言与方法对现实问题的一种定量描述，其过程就是数学建模过程，包括构建、求解、检验数学模式的多次运行。

数学建模并不是一个新的概念，早在公元前300年，欧几里德所著《几何原本》就是数学建模的雏形。17世纪，牛顿、莱布尼兹发明的微积分也是一个数学模型，牛顿建立的万有引力定律不仅解释了行星的运行规律，而且对航天事业的发展也产生了巨大的影响。

数学在各个学科领域的应用主要是通过数学模型来实现的。气象工作者提供的天气预报是根据气象卫星收集的气象资料建立数学模型后得到的；天文学家通过天体运行数学模型推测星星的位置；生理医生专家通过建立药学浓度在人体内随时间和空间变化的数学建模，分析药物疗效，有效指导药物疗效；城市规划专家通过建立包括人口、经济、交通状况等多哥因素的数学模型，为城市发展规划提供科学依据。

用数学建模来解决实际问题，仅靠数理分析、定量推断等手段是不够的，还需要强有力的计算工具。从20世纪中期起，电子计算机得到迅速发展和广泛应用，使数学建模已逐渐发展成为数学科学中的一个相对独立的分支，且不断地向应用数学和纯粹数学提供大量挑战性问题，从而推动数学科学的发展。事实上，数学建模的发展与应用，一方面有赖于数学科学的进展，另一反面反过来又极大地推动了数学科学的发展。

（二）中学开展数学建模的意义

数学的应用性在平时的教学中往往被轻视，有的学生可以化简很复杂的三角函数表达式，却不会用三角知识解决身边的实际问题。在中学数学教学中引入数学建模的思想，是提高学生应用意识，培养学生创新思维的有效方法。

⒈数学建模活动有利于培养学生应用数学的意识

目前的中学生已学习了很多数学知识，但大多数学生只会用这些知识来解决课本上的习题，对于实际问题中的问题不会把所学知识灵活应用，使实际问题教学化，更谈不上创新。数学建模为数学理论和具体实际应用之间架起来了一座桥梁。事实证明，只有将数学与现实背景紧密联系在一起，才能帮助学生真正获得富有生命力的数学知识，使他们不仅理解这些知识，而且能够应用。

⒉数学建模活动有利于提高学生数学素质

数学是建模的主要武器，学生虽然已经学习了若干数学知识，但是要灵活地、创造性地使用它，还要有一个长期的练习过程，数学建模练习是达到这一目的的极好途径。数学建模能促进学生有条理地进行数学思维，运用数学知识分析和解决问题，通过“用数学”的活动，可以发展学生的主动性、责任感和自信心，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索知识的创新精神，因此数学建模提高了学生的数学素质。

⒊数学建模活动有利于培养学生合作学习的能力

较复杂问题的数学建模，由于要花费大量的时间和精力，经常以小组合作的形式开展。数学建模的复杂性，不但激发了学生共同探讨、寻求最佳方案的潜力，而且也培养了学生相互学习、积极合作、集体攻关的协作精神，而这正式学生在未来社会中必须具备的基本素质。

⒋数学建模活动有利于培养学生的自学能力和使用文献的能力

数学建模所需要的知识面较广，许多知识学生未曾涉及到，学生可以在老师的指导下进行补课、查阅文献或自学等多种途径来弥补知识的不足，其中自学显得尤为重要。因为老师补课的知识是有限的，时间是固定的，自学就成了学生扩大知识面的有效手段，这恰恰有利于提高学生的自学能力，同时由于学生从浩如烟海的文献中，查找并吸收自己所需要的东西，这有利于提高学生对文献的使用能力。在学习的过程中，学生既要注重知识的吸取，又要注重对他人方法的借鉴，在学习查阅的过程中找到自己解决问题的线索。

⒌数学建模活动有利于培养学生的计算机应用能力

应用计算机解决建模问题，是数学建模的一个非常重要的环节。其一，应用计算机可对复杂的实际问题和繁琐的数据进行技术上的处理，同时可以应用计算机考察将要建立的模型的优劣。其二，一旦模型建立，还是利用计算机进行编程或者利用现成的软件包来完成大量复杂的计算和图形处理。

五、中学学生与教师怎样适应数学建模教学的要求。

当今的教育的方针是素质教育，素质教育的关键是教师的素质，没有好的教师，就没有好的教育，而提高教师的教育素质的关键层次是青年教师。数学建模可以看成是数学素质教育的一种尝试，要适应这项工作，教师自己也有一个提高自己的教育素质和数学专业素质的问题，两种素质缺一不可。对于每一个热爱教育事业的青年来说，当他们走上教育岗位的第一天，都希望能尽快胜任自己的工作，进而早日成为基础教育的栋梁之材。但怎样才能在自己的提高素质、加速成长的道路上走得更快、更好些呢？我觉得更重要的是要有“内动力”，而不断调动，维护，充实和更新自己成长的“动力源”，组织、调度好自己的“动力”分配是加速成长的关键。

（一）高中《课标》中的数学建模

⒈“数学建模是运用数学思想、方法和内容解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容”《课标》简明扼要地介绍了数学建模这个概念，并指出了数学建模教育的普遍性和重要性。

⒉“数学建模是数学学习的一种心得方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识，有助于激发学生学习数学的迎娶，发展数学的创新意识和实践能力。”《课标》合理指出了数学建模为学生提供了自主探索的空间，可以改变学生传统的学习方

式，有助于提高学生的数学素养，增强应用意识，提高学习数学的兴趣，发展创新意识和实践能力。

⒊关于“问题”：“在数学建模中，问题是关键。”《课标》不仅指出数学建模的问题应该是多样的，来自学生的日常生活、显示世界、其他学科等多方面，而且解决这些问题所设计的知识、思想、方法应该与高中数学课程有联系。即我们的问题既应该反映数学应用的防范性，又不要脱离高中数学内容。

（二）对学生的要求和建议：

⒈“每个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。”《课标》鼓励学生自己提出问题、探索问题，从而发展创新意识。

⒉“学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。”《课标》要求学生学会“数学建模”所不可缺少的查询资料等获取信息的手段。在数学建模的过程中，学生往往会发现，仅仅靠数学问题情景中的信息还不足以建立起这种模型，还必须借助于其他信息，这时就要求学生在问题情景外，通过各种方式和通经获取数学建模的信息。

（三）对教师的要求：

⒈提高素质、加速成长主要靠“内动力”。这种动力主要来自自己对事业的责任心和使命感，来自对自己的严格要求，来自对困难和厄运不屈不挠的斗争精神和争取的强烈欲望和信念。

⒉要善于利用环境，勇于抓住机会。一方面学校、社会要努力窗找有利于青年教师成长的环境。另一方面作为青年教师自己应意识到重担和任务，这本身就是机会，你面对的学生就是你独有的“资源”优势。面对这样好的能及时反馈的教育、教学科研的资源，我们应当珍惜并好好运用。把握好人生各个年龄段的优势和特点，优化各个年龄段的成长进程，这样才能为后面的改革创造准备条件。

⒊青年教师提高素质也要有时间观念和质量观念。过去长说“要给学生一杯水，教师自己就要有一桶水”。这一观念已经过时了：当今社会里，知识量是按照指数增长的，快速发展的社会决定了有个快速增长的知识观念的递进；一桶水已经显得“杯水车薪”了，要根据需求发展和进步，我们应该做不断结果的“果树”，在结果的时候，还在不断地吸收新鲜的营养，不断地充实自我，完善自我。教育本身的现代化要求教育的内容，教育的过程和手段，教师的角色和作用、教学方式和媒体都要随之变化。一支粉笔、一本教学参考书业经显得力不从心了；应该不能仅仅满足于学习接见前人的经验，停留在“传道授业解惑”的程度上，要有所发展，有所创新，努力形成自己的教学风格。

参考文献：

⒈《数学建模》湖北省大学生数学建模竞赛专家组编;

⒉《中学数学建模教学的实践与探索》张思明;

⒊《数学建模与中学数学教学》杨守廉;

⒋《面向21世纪的中学数学教育》严士健;

⒌《数学问题与模式探求》丘森;

⒍《A First Course in Mathematical Modeling》(Third Edition)Frank R. Giordano;

⒎《Mathematical Modeling》(Second Edition)Mark M. Meerschaert

英文摘要：

Mathematical Modeling

Abstract: Mathematical modeling is the use of mathematical language and methods of practical issues in a quantitative description of the process is mathematical modeling process, including construction, solving mathematical models tested multiple operations. Itself is not a new concept, as early as 300 BC, Euclidean "written by the original geometry" for the mathematical modeling of laying the foundation for the establishment and development of this has been, Mathematical modeling is still in many areas of society plays an extremely important role. This paper described a mathematical model of six steps : preparation for modeling, modeling assumptions, modeling, modeling solution, to discuss test model; Foreign and secondary schools in the mathematical modeling describes the mathematical modeling of several specific practices : 2 hours, more hours, mixing method, into the curriculum, courses among into law; on the importance of mathematical modeling. And through high school math curriculum standards discussed mathematical modeling of secondary significance -- training students to use math awareness Training students the ability, In turn, how the secondary mathematics and mathematical modeling application of the teaching activities of some of the ideas. 关键字：

Keywords: mathematical modeling, secondary mathematics, teaching.