关于数学建模以及对中学数学建模教与学的思考

关于数学建模以及对中学数学建模教与学的思考

摘要：数学建模，就是用数学语言与方法对现实问题的一种定量描述，其过程就是数学建模过程，包括构建、求解、检验数学模式的多次运行。其本身并不是一个新的概念，早在公元前300年，欧几里德所著《几何原本》就为数学建模的建立打下了基础，从而一直发展到今天，数学建模仍然在社会的多个领域发挥着极其重要的作用。本文讲述了建立数学模型的6个步骤：建模准备、建模假设、建模建立、建模求解、讨论与验证、模型应用；并结合中外在中学开展数学建模的情况论述了数学建模的几种具体做法：两分法、多分法、混合法、课程内并入法、课程间并入法；介绍了数学建模的重要性。并通过高中数学课程标准论述了中学数学建模的意义——培养学生应用数学的意识、培养学生各方面的能力，从而提出在中学如何开展数学建模和数学应用的教学活动的一些想法。

关键词：数学建模、中学数学、教学

一、背景

随着21 世纪的到来, 科学技术迅猛发展, 人类已跨入了信息与数字化时代,数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，“高科技本质上是数学技术”这一观念已被越来越多的人接受。例如, 军事上和商业活动中广泛用到的密码技术、医学上广泛用到的CT 成像和核磁共振技术、天气预报等领域中采用的大型数值计算技术等, 所有这些技术都是建立在数学的基础上。世界各国现在越来越重视培养学生将数学应用到实际的能力, 更加强调解决数学问题和实际问题的过程，而数学建模正是培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。同时这种能力是各行各业各领域大量需要的，也是我们在走上工作岗位后常常需要的能力。不止在中国，数学建模教学在一些西方国家,诸如美国、英国、荷兰、丹麦、澳大利亚等国的数学教育界成为一个热门话题, 并在国际数学教育大会中占有重要地位, 同时将“问题解决, 建模的应用”列入大会主要研究课题之一。认为“问题解决、建模和应用必须成为从中学到大学所有学生的数学课程的一部分。”可见, 数学建模教学在国外数学教育界越来越受重视。而我国受国际上“问题解决”教学的影响, 也注意强调对学生的分析问题和解决问题的能力培养, 开始在教育中引进实际问题, 教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准》把数学建模纳入了标准中, 这是我国中学数学应用与建模发展的里程碑, 同时标志着数学建模正式进入我国高中数学教学。在这样的背景下，根据社会发展的需要，我们应当学习和提高在这方面的能力。首先我们就对数学建模做如下的了解：二、数学建模的定义和步骤

（一）数学建模的内涵和外延

广义来说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可以成为数学模型；各种数学分支也可以看作数学模型，如欧氏几何、线形代数、代数几何、微积分等。但是平常说的数学模型的涵盖面要狭窄得多，这里的数学模型的内涵是指解决实际问题时所用的一种数学框架。这种数学框架可以是方程、计算机程序乃至图表和图形。

而数学建模也比形成某一数学分支的过程要简短得多。在这里，数学建模就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设找到解决这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行严整的全过程。

数学建模是一个多次循环执行的过程。循环的过程包括实际问题的抽象、简化，作假设明确变量和参数，并依据某种“规律”建立变量和参数的一个明确的

数学关系（即数学模型）；然后解析地或数值地求出模型的解，并对求解所得的结果进结实、分析和验证；若符合实际，则可投入使用，如果与实际情况不符，需要重新对问题的假设进行改进，进入下一个循环。经过多次循环，最终求得令人满意的结果。

数学建模的外延是指各类具体的数学模型，如资源管理的数学模型、社会经济的数学模型、生态系统的数学模型、医学生物工程和遗传的数学模型、交通流的数学模型、过程控制的数学模型等。

（二）数学建模的一般步骤

数学建模一般有6个步骤：建模准备、建模假设、建模建立、建模求解、讨论与验证、模型应用。数学建模是一个多次循环执行的过程。可用一个框图来表示，如下：

建模准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，尽量掌握建模对象的各种信息和数据，寻求实际问题的内在规律，用数学语言来描述问题。

建模假设：根据实际对象的特征的建模的目的，对实际问题进行必要简化或理想化，并利用精确的语言提出一些恰当的假设，这是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了是处理简单，应尽量使问题线形化、均匀化。

模型建立：根据问题的要求和假设，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构建各变量之间的数学关系（数学模型）。这时，我们便会进入一个广阔的应用教学天地，这里在高等数学、概率：“老人”的膝下，有许多可爱的：“孩子们”，“他们”是图论、排队论、线性规划、对策论等。一般来说，在建立数学模型时可能用到数学的任何一个分支。同一个实际问题还可以用不用方法建立不同的数学模型。当然数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，所以在达到预期目的的前提下，应该采用尽可能简单的数学方法建立容易实现的模型。

模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计），可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，

许多时

候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此，编程和熟悉数学软件包便很重要。

讨论与验证：根据模型的特征和模型求解结果，继续分析讨论。将模型分析结果与实际情况进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适合性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释，说明模型的使用范围和注意事项。如果模型和实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程，直至获得满意的结果为止。

模型应用：把所得到的数学模型应用到实际问题中去，应用方式因问题的性质的建模的目的而异。由上可见，这是个系统的内容，我们有必要对它的教育价值进行分析：

三、数学建模的教育价值

（一）国外在中学开展数学建模的情况

在整个发范围来看，世界各国都要求在各年级课程计划中或多或少地包含数学建模内容。

在英国国家同意课程中，把中小数学教程分成四大领域：使用和应用数学、数、代数形和空间、数据处理。其数学课程具有以下特点：注意应用与探索，重视计算机和计算器的使用，注重学生的活动（特别是探究活动），重视改革更新传统的内容体系等。

在瑞典教育部文件中，要求教师善于从学生熟悉的环境中提出问题，同时注意问题的实际意义和社会意义。

在德国的数学必修课中，有37处要求联系物理、化学、经济、日常生活以及哲学观念。他们还强调球面几何、球面三角。建立的模型包括人口增长、质量控制、疾病传播、抽样试验等。

在荷兰，从20世纪60年代末开始，就进行了从传统数学教学向现实数学教学的改革，其改革的主要特征是：与现实生活相关，学生从现实中学数学，再把学到的数学知识用到现实中去，课本中的数学与生活中的数学紧密相连；学生通过自己参与的活动发现数学，获得数学知识。

在美国，数学教学有学习常见技能的偏见发展广泛的基本数学能力转变；数学教学由强调后继课程的工具向更加强调关系学生现在和将来需要的课题转变。

加拿大哥伦比亚省教育部在颁发的文件中规定了中学数学教学目的，其中有一条是：学会将学学知识应用到物理学科和其他领域，能对周围环境中所遇到的问题做出数学模型并设法加以解决。

日本的“数学基础”课程内容包括：数学和人类的活动；用数学理论观察有关的社会生活；身边的统计，主要是培养穴道横的数学兴趣和用学生眼光分析自然界和社会现象的意识。

但是，数学建模的教学在各国、各地区的具体做法存在着很大差异，主要有以下几种：

⒈两分法

数学教学计划由两部分组成，前一部分主要处理纯数学内容，后一部分处理的是与前一部分纯数学内容有关的应用和数学建模，它有时是现成建模结果的应用，有时是整个建模过程。这种做法可简单地表示为：数学内容的学习——数学应用和数学建模。

⒉多分法

整个数学可有很多小单元组成，每个单元做法类似于“两分法”。这样最先是