陕西省2021年高考数学模拟试卷(理科)A卷
2021年陕西省高考数学适应性试卷(有答案)
2021年陕西省某校高考数学适应性试卷（理科）（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x||x|<2}，集合B={−1, 0, 1, 2, 3}，则A∩B=( )A.{0, 1}B.{0, 1, 2}C.{−1, 0, 1}D.{−1, 0, 1, 2}2. 设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=()A.1 2B.√22C.√2D.23. 函数f(x)＝cos22x的最小正周期是（）A.2πB.πC.π2D.π44. 设等比数列{a n}满足a1+a2＝−1，a1−a3＝−3，则a4＝（）A.8B.−8C.4D.−45. (1+x)7的展开式中x2的系数是（）A.42B.35C.28D.216. 已知函数f(x)＝3x−(13)x，则f(x)()A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为( )A.1B.2C.3D.48. 已知a∈R，则“a>1”是“1a<1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件9. 记函数f(x)=√6+x−x2的定义域为D，在区间[−4, 5]上随机取一个数x，则x∈D 的概率为（）A.19B.13C.49D.5910. α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n // β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n // α，那么m⊥n．③如果α // β，m⊂α，那么m // β．④如果m // n，α // β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题的个数为（）A.1B.2C.3D.411. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A.1033B.1053C.1073D.109312. 已知函数f(x)=x2−2x+a(e x−1+e−x+1)有唯一零点，则a=（）A.−12B.13C.12D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．已知点P 在圆x 2+y 2＝1上，点A 的坐标为(−2, 0)，O 为原点，则AO →⋅AP →的最大值为________．已知椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N:x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．三.解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a >b ，a =5，c =6，sin B =35． (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin (2A +π4)的值．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2． (Ⅰ)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(Ⅱ)设PO ＝4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB ＝90∘，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的正切值．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(Ⅰ)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(Ⅱ)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E(ξ)．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(Ⅰ)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(Ⅱ)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E(ξ)．已知函数f(x)＝(x−√2x−1)e−x(x≥12)．（1）求f(x)的导函数；（2）求f(x)在区间[12, +∞)上的取值范围．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．（2）若P是半椭圆x2+y24[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|⋅|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．（Ⅱ）设点A的极坐标为(2,π3[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝−x2+ax+4，g(x)＝|x+1|+|x−1|．(Ⅰ)求不等式g(x)<3的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1, 1]，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2021年陕西省高考数学适应性试卷（理科）（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|<2}={x|−2<x<2}，B={−1, 0, 1, 2, 3}，∴A∩B={−1, 0, 1}．故选C.2.【答案】C【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵(1+i)z=2i，∴(1−i)(1+i)z=2i(1−i)，z=i+1．则|z|=√2．故选C.3.【答案】C【考点】三角函数的周期性二倍角的三角函数【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求f(x)=12cos4x+12，进而根据余弦函数的周期公式即可求解．【解答】f(x)＝cos22x=1+cos4x2=12cos4x+12，可得f(x)的最小正周期T=2π4=π2．4.【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2＝−1，a1−a3＝−3，∴a1(1+q)＝−1，a1(1−q2)＝−3，解得：q＝−2，a1＝1．则a4＝(−2)3＝−8．5.【答案】D【考点】二项式定理及相关概念【解析】由题设，二项式(1+x)7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是C72，计算出答案即可得出正确选项【解答】由题意，二项式(1+x)7的展开式通项是T r+1=C7r x r故展开式中x2的系数是C72=216.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由已知得f(−x)＝−f(x)，即函数f(x)为奇函数，由函数y＝3x为增函数，y＝(13)x为减函数，结合“增”-“减”＝“增”可得答案．【解答】f(x)＝3x−(13)x＝3x−3−x，∴f(−x)＝3−x−3x＝−f(x)，即函数f(x)为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝(13)x为减函数，故函数f(x)＝3x−(13)x为增函数，7.【答案】B程序框图【解析】本题主要考查循环结构的程序框图．【解答】解：运行程序，Ni=10是整数，T=1，i=3；N i =203不是整数，i=4；Ni=5是整数，T=2，i=5，退出循环．输出T的值为2．故选B．8.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】“a>1”⇒“1a <1”，“1a<1”⇒“a>1或a<0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a>1”⇒“1a<1”，“1a<1”⇒“a>1或a<0”，∴ “a>1”是“1a<1”的充分非必要条件．故选A．9.【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】由6+x−x2≥0得x2−x−6≤0，得−2≤x≤3，则D＝[−2, 3]，则在区间[−4, 5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P=59．10.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断；对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断；对③，运用面面平行的性质定理，即可判断；对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④．【解答】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l // n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果α // β，m⊂α，那么m // β．③正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果m // n，α // β，那么m与α所成的角和n 与β所成的角相等，④正确．11.【答案】D【考点】对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】由M≈3361得lg M≈361×lg3≈361×0.48=173.28，由N≈1080得lg N≈80，所以lg MN =lg M−lg N≈173.28−80=93.28，所以MN≈1093.28≈1093，故选D．本题考查指对数函数的计算．本题首先要读懂题意，搞清其本质就是利用对数来比较两个数的大小，然后根据相关计算公式直接计算即可．12.【答案】C【考点】函数的零点【解析】本题考查函数的零点.【解答】解：由f(x)=x2−2x+a(e x−1+e−x+1)，得f(2−x)=(2−x)2−2(2−x)+a[e2−x−1+e−(2−x)+1]=x2−4x+4−4+2x+a(e1−x+e x−1)=x2−2x+a(e x−1+e−x+1)，所以f(2−x)=f(x)，即x=1为函数f(x)图象的对称轴．由题意f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x=1，即f(1)=12−2×1+a(e1−1+e−1+1)=0，解得a=12．故选C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】9π简单空间图形的三视图 【解析】由球的体积公式，可得半径R ＝3，再由主视图为圆，可得面积． 【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R ，可得43πR 3=36π，可得R =3，该球主视图为半径为3的圆， 可得面积为πR 2=9π． 故答案为：9π. 【答案】 0.3【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C 52＝10种，其中全是女生的有C 32＝3种，根据概率公式计算即可， （适合文科生），设2名男生为a ，b ，3名女生为A ，B ，C ，则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，Bc ，AB ，AC ，BC 共10种，其中全是女生为AB ，AC ，BC 共3种，根据概率公式计算即可 【解答】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C 52＝10种，其中全是女生的有C 32＝3种， 故选中的2人都是女同学的概率P =310=0.3，（适合文科生），设2名男生为a ，b ，3名女生为A ，B ，C ，则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，Bc ，AB ，AC ，BC 共10种， 其中全是女生为AB ，AC ，BC 共3种， 故选中的2人都是女同学的概率P =310=0.3，故答案为：0.3 【答案】 6【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】设P(cos α, sin α)．可得AO →=(2, 0)，AP →=(cos α+2, sin α)．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出． 【解答】设P(cos α, sin α).AO →=(2, 0)，AP →=(cos α+2, sin α)． 则AO →⋅AP →=2(cos α+2)≤6，当且仅当cos α＝1时取等号． 【答案】【考点】 椭圆的定义 双曲线的特性【解析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N:x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标(c, 0)，正六边形的一个顶点(c2, √3c2)， 可得：c 24a2+3c 24b 2=1， 可得14e 2+34(1e2−1)=1，可得e 4−8e 2+4=0，e ∈(0, 1)， 解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即nm =√3， 可得：n 2m 2=3，即m 2+n 2m 2=4，可得双曲线的离心率为e =√m 2+n 2m 2=2．故答案为：√3−1；2．三.解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【答案】解：(1)在△ABC 中，因为a >b ， 故由sin B =35，可得cos B =45．由已知及余弦定理，得b 2=a 2+c 2−2ac cos B =13. 所以b =√13． 由正弦定理a sin A=b sin B，得sin A =a sin B b=3√1313． (2)由(1)及a <c ，得cos A =2√1313， 所以sin 2A =2sin A cos A =1213， cos 2A =1−2sin 2A =−513,故sin (2A +π4)=sin 2A cos π4+cos 2A sin π4=7√226．二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 余弦定理 正弦定理【解析】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用. 【解答】解：(1)在△ABC 中，因为a >b ， 故由sin B =35，可得cos B =45． 由已知及余弦定理，得b 2=a 2+c 2−2ac cos B =13. 所以b =√13． 由正弦定理a sin A=b sin B，得sin A =a sin B b=3√1313． (2)由(1)及a <c ，得cos A =2√1313， 所以sin 2A =2sin A cos A =1213， cos 2A =1−2sin 2A =−513,故sin (2A +π4)=sin 2A cos π4+cos 2A sin π4=7√226． 【答案】（1）由圆锥母线长为4，即PB ＝4，底面半径OB ＝2， 可得圆锥的高PO =√42−22=2√3． ∴ 该圆锥的体积V =13π×22×2√3=8√33π； （2）∵ PO ⊥底面AOB ，∴ PO ⊥OB ，又∠AOB ＝90∘，即OB ⊥OA ，PO ∩OA ＝O ， ∴ OB ⊥平面POA ，取OA 中点H ，连接MH ，则MH // OB ，且MH =12OB =1． ∴ ∠PMH 为异面直线PM 与OB 所成的角．由OB ⊥平面POA ，MH // OB ，可得MH ⊥平面POA ，得MH ⊥PH ． 在Rt △POH 中，求得PH =√42+12=√17， 在Rt △PHM 中，可得tan ∠PMH =PHMH =√17．【考点】异面直线及其所成的角棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】（1）由已知取得圆锥的高，再由圆锥体积公式求解；（2）证明OB⊥平面POA，取OA中点H，连接MH，则MH // OB，且MH=12OB= 1．可得∠PMH为异面直线PM与OB所成的角，再证明MH⊥PH，然后求解三角形可得异面直线PM与OB所成的角的正切值．【解答】（1）由圆锥母线长为4，即PB＝4，底面半径OB＝2，可得圆锥的高PO=√42−22=2√3．∴该圆锥的体积V=13π×22×2√3=8√33π；（2）∵PO⊥底面AOB，∴PO⊥OB，又∠AOB＝90∘，即OB⊥OA，PO∩OA＝O，∴OB⊥平面POA，取OA中点H，连接MH，则MH // OB，且MH=12OB=1．∴∠PMH为异面直线PM与OB所成的角．由OB⊥平面POA，MH // OB，可得MH⊥平面POA，得MH⊥PH．在Rt△POH中，求得PH=√42+12=√17，在Rt△PHM中，可得tan∠PMH=PHMH=√17．【答案】（1）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．都付0元的概率为P1=14×16=124，都付40元的概率为P2=12×23=13，都付80元的概率为P3＝(1−14−12)(1−16−23)=124，故所付费用相同的概率为P＝P1+P2+P3=512．（2）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，P(ξ＝0)=14×16=124，P(ξ＝40)=14×23+12×16=312，P(ξ＝80)=14×(1−16−23)+(1−14−12)×16+12×23=1024，P(ξ＝120)=12×(1−16−23)+23×(1−14−12)=312，P(ξ＝160)＝(1−16−23)(1−14−12)=124，∴ξ的分布列为：数学期望E(ξ)=0×124+40×312+80×1024+120×312+160×124=80．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(Ⅱ)确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．【解答】（1）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．都付0元的概率为P1=14×16=124，都付40元的概率为P2=12×23=13，都付80元的概率为P3＝(1−14−12)(1−16−23)=124，故所付费用相同的概率为P＝P1+P2+P3=512．（2）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，P(ξ＝0)=14×16=124，P(ξ＝40)=14×23+12×16=312，P(ξ＝80)=14×(1−16−23)+(1−14−12)×16+12×23=1024，P(ξ＝120)=12×(1−16−23)+23×(1−14−12)=312， P(ξ＝160)＝(1−16−23)(1−14−12)=124，∴ ξ的分布列为：数学期望E(ξ)=0×124+40×312+80×1024+120×312+160×124=80． 【答案】函数f(x)＝(x −√2x −1)e −x (x ≥12)，导数f′(x)＝(1−12√2x−12)e −x −(x −√2x −1)e −x＝(1−x +√2x−1)e −x ＝(1−x)(1√2x−1)e −x ；由f(x)的导数f′(x)＝(1−x)(1√2x−1)e −x ，可得f′(x)＝0时，x ＝1或52，当12<x <1时，f′(x)<0，f(x)递减； 当1<x <52时，f′(x)>0，f(x)递增； 当x >52时，f′(x)<0，f(x)递减，且x ≥√2x −1⇔x 2≥2x −1⇔(x −1)2≥0， 则f(x)≥0．由f(12)=12e −12，f(1)＝0，f(52)=12e −52， 即有f(x)的最大值为12e −12，最小值为f(1)＝0． 则f(x)在区间[12, +∞)上的取值范围是[0, 12e −12]． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出f(x)的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（2）求出f(x)的导数，求得极值点，讨论当12<x <1时，当1<x <52时，当x >52时，f(x)的单调性，判断f(x)≥0，计算f(12)，f(1)，f(52)，即可得到所求取值范围．【解答】函数f(x)＝(x −√2x −1)e −x (x ≥12)， 导数f′(x)＝(1−12√2x−12)e −x −(x −√2x −1)e −x＝(1−x +√2x−1)e −x ＝(1−x)(1√2x−1)e −x ；由f(x)的导数f′(x)＝(1−x)(1√2x−1)e −x， 可得f′(x)＝0时，x ＝1或52，当12<x <1时，f′(x)<0，f(x)递减； 当1<x <52时，f′(x)>0，f(x)递增； 当x >52时，f′(x)<0，f(x)递减，且x ≥√2x −1⇔x 2≥2x −1⇔(x −1)2≥0，则f(x)≥0．由f(12)=12e −12，f(1)＝0，f(52)=12e −52， 即有f(x)的最大值为12e −12，最小值为f(1)＝0． 则f(x)在区间[12, +∞)上的取值范围是[0, 12e −12]． 【答案】（1）证明：设P (x 0,y 0)，A(14y 12,y 1)，B(14y 22,y 2).因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程(y+y02)2=4⋅14y 2+x 02即y 2−2y 0y +8x 0−y 02=0的两个不同的实根.所以y 1+y 2=2y 0， 因此，PM 垂直于y 轴.（2）解：由（1）可知{y 1+y 2=2y 0，y 1y 2=8x 0−y 02，所以|PM|=18(y 12+y 22)−x 0=34y 02−3x 0， |y 1−y 2|=2√2(y 02−4x 0).因此，△PAB的面积S△PAB=12|PM|⋅|y1−y2|=3√24(y02−4x0)32.因为x02+y024=1(x0<0)，所以y02−4x0=−4x02−4x0+4∈[4,5]，因此，△PAB面积的取值范围是[6√2,15√104]. 【考点】直线与抛物线的位置关系直线与椭圆的位置关系【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系.【解答】（1）证明：设P(x0,y0)，A(14y12,y1)，B(14y22,y2).因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程(y+y02)2=4⋅14y2+x02即y2−2y0y+8x0−y02=0的两个不同的实根. 所以y1+y2=2y0，因此，PM垂直于y轴.（2）解：由（1）可知{y1+y2=2y0，y1y2=8x0−y02，所以|PM|=18(y12+y22)−x0=34y02−3x0，|y1−y2|=2√2(y02−4x0). 因此，△PAB的面积S△PAB=12|PM|⋅|y1−y2|=3√24(y02−4x0)32.因为x02+y024=1(x0<0)，所以y02−4x0=−4x02−4x0+4∈[4,5]，因此，△PAB面积的取值范围是[6√2,15√104]. [选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：（Ⅰ）设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|=ρ，|OM|=ρ1=4cos θ．由|OM|⋅|OP|=16得C 2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4(x ≠0)． （Ⅱ）设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0)． 由题设知|OA|=2，ρB =4cos α， 于是△OAB 面积S =12|OA|⋅ρB ⋅sin ∠AOB =4cos α⋅|sin (α−π3)|=2|sin (2α−π3)−√32|≤2+√3．当α=−π12时，S 取得最大值2+√3． 所以△OAB 面积的最大值为2+√3． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】本题考查坐标系与参数方程． 【解答】 解：（Ⅰ）设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0)， M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP|=ρ，|OM|=ρ1=4cos θ．由|OM|⋅|OP|=16得C 2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4(x ≠0)． （Ⅱ）设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0)． 由题设知|OA|=2，ρB =4cos α， 于是△OAB 面积S =12|OA|⋅ρB ⋅sin ∠AOB =4cos α⋅|sin (α−π3)|=2|sin (2α−π3)−√32|≤2+√3．当α=−π12时，S 取得最大值2+√3． 所以△OAB 面积的最大值为2+√3． [选修4-5：不等式选讲] 【答案】（1）g(x)＝|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1 ．∵ g(x)<3，∴ {2x <3x >1 或−1≤x ≤1或{−2x <3x <−1 ，∴ 1<x <23或−1≤x ≤1或−12<x <−1，∴ −32<x <32，∴ 不等式的解集为(−32,32)．（2）当x ∈[−1, 1]时，g(x)＝2，若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1, 1]，则 当x ∈[−1, 1]时，f(x)⩾2，又f(x)在[−1, 1]的最小值为min {f(−1), f(1)}， ∴ 只需f(−1)⩾2 且 f(1)⩾2，∴ −1⩽a⩽1， ∴ a 的取值范围为[−1, 1] 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)将g(x)写为分段函数的形式，然后根据g(x)<3，利用零点分段法解不等式即可； (Ⅱ)根据条件可知，若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1, 1]，则当x ∈[−1, 1]时，f(x)⩾2，然后根据二次函数的性质，求出a 的取值范围． 【解答】（1）g(x)＝|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1 ．∵ g(x)<3，∴ {2x <3x >1 或−1≤x ≤1或{−2x <3x <−1 ，∴ 1<x <23或−1≤x ≤1或−12<x <−1，∴ −32<x <32， ∴ 不等式的解集为(−32,32)．（2）当x ∈[−1, 1]时，g(x)＝2，若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1, 1]，则 当x ∈[−1, 1]时，f(x)⩾2，又f(x)在[−1, 1]的最小值为min {f(−1), f(1)}， ∴ 只需f(−1)⩾2 且 f(1)⩾2，∴ −1⩽a⩽1， ∴ a 的取值范围为[−1, 1]。
2021年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷
2021年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年陕西高三二模理科第1题5分已知集合A ={x |12⩽2x <16}，B ={x |y =log 2(9−x 2)}，则A ∩B =（ ）． A. [−1,3)B. (−3,3)C. (−3,4)D. [−1,4)2、【来源】 2021年陕西高三二模理科第2题5分复数z =21+2i 在复平面内对应的点位于（ ）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、【来源】 2021年陕西高三二模理科第3题5分屠格涅夫是俄罗斯杰出的现实主义作家，其作品《屠格涅夫文集》共六卷，若从中任取3卷，则取出的3卷相连的概率为（ ）．A. 310B. 415C. 710D. 154、【来源】 2021年陕西高三二模理科第4题5分若向量a →，b →的夹角为60°，且|a →|=2，|b →|=1，则向量a →与向量a →+2b →的夹角等于（ ）．A. 30°B. 45°C. 60°D. 150°5、【来源】 2021年陕西高三二模理科第5题5分2019~2020学年12月四川成都锦江区成都七中嘉祥外国语学校高二上学期月考文科第1题5分 2020~2021学年陕西宝鸡金台区高二上学期期末文科（选修1-1）第3题5分2018~2019学年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期末理科第2题5分 2021年陕西西安莲湖区高三一模文科第5题5分若双曲线x 2−y 2m =1的一个焦点为(−3,0)，则m =（ ）． A. 2√2 B. 8 C. 9 D. 646、【来源】 2021年陕西高三二模理科第6题5分2019~2020学年12月河北衡水武邑县河北武邑中学高三上学期月考文科第10题5分2017~2018学年1月山东济南历城区济南外国语学校高三上学期月考文科第9题5分2018~2019学年四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高三上学期月考理科第5题5分如图是函数y =Asin(ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y =sinx(x ∈R)的图象上的所有的点（ ）．A. 向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B. 向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C. 向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D. 向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变7、【来源】 2021年陕西高三二模理科第7题5分2021年陕西高三二模文科第7题5分2021年陕西西安莲湖区高三一模文科第7题5分2020~2021学年10月河南郑州金水区河南省实验中学高三上学期月考理科第10题5分2020~2021学年江苏南京秦淮区南京航空航天大学附属高级中学高三上学期期中第7题5分，则下列关系式中不可能成立的是（）．已知实数a，b，c满足lga=10b=1cA. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a8、【来源】 2021年陕西高三二模理科第8题5分2021年陕西高三二模文科第8题5分2021年陕西西安莲湖区高三一模文科第8题5分2019~2020学年11月吉林桦甸市桦甸市第八中学高三上学期月考文科第7题5分记单调递增的等比数列{a n}前n项和为S n，若a2+a4=10，a2a3a4=64，则（）．A. S n+1−S n=2n+1B. a n=2nC. S n=2n−1D. S n=2n−1−19、【来源】 2021年陕西高三二模理科第9题5分2016~2017学年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高一下学期期末第10题3分2021年陕西高三二模文科第9题5分2021年陕西西安莲湖区高三一模文科第9题5分一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）．A. 12πB. 4√3πC. 3πD. 12√3π10、【来源】 2021年陕西高三二模理科第10题5分2021年陕西高三二模文科第10题5分2021年陕西西安莲湖区高三一模文科第10题5分已知动点P(x,y)在椭圆x 225+y216=1上，若A点坐标为(3,0)，|AM→|=1，且PM→⋅AM→=0．则|PM→|的最小值是（）．A. √2B. √3C. 2D. 311、【来源】 2021年陕西高三二模理科第11题5分2021年陕西高三二模文科第11题5分2021年陕西西安莲湖区高三一模文科第11题5分埃及著名的吉沙（Giza）大金字塔，它的形状是正四棱锥．大金字塔内有着奇妙的走道设计，以及神秘的密室．已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积．则高的平方与底面棱长的平方的比值为（）．A. 1−√58B. 1+√58C. 1−√54D. 1+√5412、【来源】 2021年陕西高三二模理科第12题5分2021年陕西高三二模文科第12题5分2021年陕西西安莲湖区高三一模文科第12题5分若x是一个三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）．A. −1B. 1C. √2+12D. √2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年陕西高三二模理科第13题5分2020~2021学年5月四川成都高新区成都石室天府中学高二下学期月考理科第13题5分2020~2021学年5月四川成都高新区成都石室天府中学高二下学期月考文科第13题5分某产品的宣传费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程y^=9x+a，则宣传费用为6万元时，销售额约为万元．14、【来源】 2021年陕西高三二模理科第14题5分已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+8)+f(x)=0，且f(5)=5，则f(2019)+ f(2024)=．15、【来源】 2021年陕西高三二模理科第15题5分已知a>0，b>0，a+2b=2，若2a+4b⩾m恒成立，则实数m的取值范围是．16、【来源】 2021年陕西高三二模理科第16题5分已知数列{a n}满足，a1=−1，a n−a n−1=(−1)n⋅n2（n⩾2，n∈N∗），则a100=．三、必考题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年陕西高三二模理科第17题12分在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若(2b−√3c)cosA=√3acosC．(1) 求A．(2) 若a=√3−1，求△ABC面积的最大值．18、【来源】 2021年陕西高三二模理科第18题12分2017年安徽高三一模理科江南十校第18题12分美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：(1) 求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系．(2) 若将频率视为概率，回答下列问题：①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19、【来源】 2021年陕西高三二模理科第19题12分如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=2√2，E是PB的中点．(1) 求证：PA⊥CB．(2) 若三棱锥D−ACE的体积为1，求二面角P−AC−E的正弦值．20、【来源】 2021年陕西高三二模理科第20题12分2021年陕西高三二模文科第20题12分2021年陕西西安莲湖区高三一模文科第20题12分2019年四川成都高新区高三一模理科第20题已知抛物线C:y2=4x，过点(−1,0)的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P．(1) 证明：点P在x轴上的射影为焦点F．(2) 若过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于A、B两点，圆M是以线段AB为直径的圆且过点P，求直线l与圆M的方程．21、【来源】 2021年陕西高三二模理科第21题12分设函数f(x)=(x−1)e x+a(2e−e x)，(1) 当a=0时，求函数f(x)图象在x=1处的切线方程．(2) 求f(x)的单调区间．(3) 若不等式f(x)>0对x∈(2,+∞)恒成立，求整数a的最大值．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2021年陕西高三二模理科第22题10分2016年广东深圳高三二模理科第23题10分2021年陕西高三二模文科第22题10分2021年陕西西安莲湖区高三一模文科第22题10分已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为{x =3+2cosαy =2sinα（α是参数），直线l 的极坐标方程为√2ρsin(θ−π4)=1． (1) 将曲线C 的参数方程化为极坐标方程．(2) 由直线l 上一点向曲线C 引切线，求切线长的最小值．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2021年陕西高三二模理科第23题10分2016~2017学年高二单元测试2015~2016学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二下学期期末2021年陕西西安莲湖区高三一模文科第23题10分2021年陕西高三二模文科第23题10分设函数f (x )=|x +1|+|x −a |(a >0)．(1) 若a =2时，解不等式f (x )⩽4．(2) 若不等式f (x )⩽4对一切x ∈[a,2]恒成立，求实数a 的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 D;3 、【答案】 D;4 、【答案】 A;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】59;14 、【答案】5;15 、【答案】(−∞,4];16 、【答案】5050;17 、【答案】 (1) A=π6．;(2) 12．;18 、【答案】 (1) y={100(n⩽45,n∈N∗)6n−170(n>45,n∈N∗);(2)①X的分布列为：E(X)=112（元）．②推荐小明去美团外卖应聘．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √1010． ;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 当m =−12时，直线l 的方程为y =−2x +4，圆M 的方程为(x −52)2+(y +1)2=454； 当m =−32时，直线l 的方程为y =−23x +43，圆M 的方程为(x −132)2+(y +3)2=2214． ;21 、【答案】 (1) y =e(x −1)．;(2) f(x)的单调递增区间是(a,+∞)，单调递减区间是(−∞,a)．;(3) 最大值为2．;22 、【答案】 (1) ρ2−6ρcosθ+5=0．;(2) 2．;23 、【答案】 (1) [−32,52];(2) [1,2];。
2021年陕西省西安中学高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2021年陕西省西安中学高考数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1）D．[﹣2，1）2．若复数z满足z⋅（1+i）＝﹣2i，则|z|＝（）A．B．C．2D．3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A．6500元B．7000元C．7500元D．8000元4．过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程为x+2y﹣4＝0，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．5．将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．y＝cos x D．y＝sin4x6．在四边形ABCD中，AB∥CD，设．若，则＝（）A．B．C．D．7．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为（）A．B．C．D．8．若sin（﹣α）＝，则sin（）＝（）A．B．C．D．9．设正项等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6﹣2S3＝2，则的最小值为（）A．8B．16C．24D．3610．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为（1，1），则直线l的斜率为（）A．B．C．D．111．已知实数a＞0，a≠1，函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．2≤a≤5B．a＜5C．3＜a＜5D．1＜a≤212．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点不可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直．A．0B．1C．2D．3二、填空题（共4小题）.13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A ＝．14．若二项式（+）6的展开式中的常数项为m，则3x2dx＝．15．已知直线l、m与平面α、β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（填写正确命题对应的序号）．①若l∥m，则α∥β；②若l⊥m，则α⊥β；③若l⊥β，则α⊥β；④若α⊥β，则m⊥α．16．已知，若函数y＝f（x）+g（x）﹣m（x＞0）恰有两个不相等的零点，则实数m的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1．设F为线段AC上一点，，有下列条件：①c＝1；②；③．请从以上三个条件中任选两个，求S△ABF：S△CBF的值．18．在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠CAD ＝90°，EF∥BC，EF＝BC，AC＝2，AE＝EC＝．（1）求证：A，D，E，F四点共面，且平面ADEF⊥平面CDE；（2）若二面角E﹣AC﹣F的大小为45°，求点D到平面ACF的距离．19．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）求最低录取分数（结果保留为整数）；（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．20．已知椭圆C：，点A（1，），B（1，2）．（Ⅰ）若直线l与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；（Ⅱ）若直线l2：y＝2x+t（t≠0）与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值．21．已知函数，其中0＜a＜e．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）零点的个数；（3）若f（x）存在两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＜e2．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心为（0，1），半径为1，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设M，N是圆C上两个动点，满足∠MON＝，求|OM|+|ON|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）若∃x∈[﹣1，0]，使得不等式f（x）≥a|x﹣3|成立，求实数a的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1）D．[﹣2，1）解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∪B＝{x|x≤3}＝（﹣∞，3]．故选：A．2．若复数z满足z⋅（1+i）＝﹣2i，则|z|＝（）A．B．C．2D．解：由z（1+i）＝﹣2i，得z＝，∴|z|＝．故选：A．3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A．6500元B．7000元C．7500元D．8000元解：设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x＝8000．故选：D．4．过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程为x+2y﹣4＝0，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．解：根据题意，直线方程为x+2y﹣4＝0，与x轴交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），则椭圆C的右顶点坐标为（4，0），上顶点坐标为（0，2），则a＝4，b＝2，则椭圆C的标准方程为+＝1；故选：A．5．将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．y＝cos x D．y＝sin4x解：函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到：y＝sin[2（x+）+]＝sin（2x+）＝cos（2x+），再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为y＝cos（x+）．故选：A．6．在四边形ABCD中，AB∥CD，设．若，则＝（）A．B．C．D．解：∵AB∥CD，∴设＝k，则＝k，k＞0，∵＝+＝k+＝λ+μ，∴，∵，∴1+k＝，即k＝，即＝，故选：C．7．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为（）A．B．C．D．解：在Rt△ABC中，∠B为直角，且AB＝5，BC＝12，AC＝13，则△ABC的面积S＝×5×12＝30，若在三角形ABC内任取一点，则该点到三个定点A，B，C的距离不小于2，则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S＝＝2π，则阴影部分的面积S＝30﹣2π，则对应的概率P＝，故选：C．8．若sin（﹣α）＝，则sin（）＝（）A．B．C．D．解：因为sin（﹣α）＝，所以sin（）＝sin[﹣（﹣2α）]＝cos（﹣2α）＝1﹣2sin2（﹣α）＝1﹣2×（）2＝．故选：D．9．设正项等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6﹣2S3＝2，则的最小值为（）A．8B．16C．24D．36解：设等差数列{a n}的公差为d，由S6﹣2S3＝2可得：6a1+﹣2（3a1+）＝2，整理得：d＝，又a2＞0，∴＝3×＝3×＝3（a2++）≥3（2+）＝16，当且仅当a2＝时取“＝“，故选：B．10．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为（1，1），则直线l的斜率为（）A．B．C．D．1解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点坐标为（，），由题意可得x1+x2＝2，y1+y2＝2，将A，B的坐标的代入椭圆的方程：，作差可得+＝0，所以＝﹣•＝﹣，又因为离心率e＝＝，所以1﹣＝，所以﹣＝﹣，即直线AB的斜率为﹣，故选：A．11．已知实数a＞0，a≠1，函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．2≤a≤5B．a＜5C．3＜a＜5D．1＜a≤2解：∵函数f（x）在R上单调递增，∴当x＜1时，有a＞1；当x≥1时，f'（x）＝≥0恒成立，令g（x）＝2x3+ax﹣4，x∈[1，+∞），则g'（x）＝6x2+a，∵a＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）＝2+a﹣4＝a﹣2，要使当x≥1时，f'（x）≥0恒成立，则a﹣2≥0，解得a≥2．∵函数f（x）在R上单调递增，∴还需要满足，即a≤5，综上，a的取值范围是2≤a≤5．故选：A．12．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点不可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直．A．0B．1C．2D．3解：对于①，在图2中记AC与BD的交点（中点）为O，取BE的中点为M，连结MO，易证得四边形AOMF为平行四边形，即AC∥FM，∴AC∥平面BEF，故①正确；对于②，如果四点共面，则由BC∥平面ADEF⇒BC∥EF∥AD⇒AD＝EF，与已知矛盾，故②不正确；对于③，在梯形ADEF中，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，∴EF⊥平面CDF，即有CD⊥EF，∴CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，故③正确；对于④，延长AF至G使得AF＝FG，连结BG、EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F 作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE．若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE 垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．故选：C．二、填空题：把答案填在对应题号的横线上．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A ＝．解：∵，∴由正弦定理，可得：，可得：sin B＝，∵b＜c，B为锐角，可得：B＝，∴A＝π﹣B﹣C＝．故答案为：．14．若二项式（+）6的展开式中的常数项为m，则3x2dx＝124．解：二项式（+）6的展开式的通项＝．由12﹣3r＝0，得r＝4．∴m＝．则3x2dx＝．故答案为：124．15．已知直线l、m与平面α、β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是③（填写正确命题对应的序号）．①若l∥m，则α∥β；②若l⊥m，则α⊥β；③若l⊥β，则α⊥β；④若α⊥β，则m⊥α．解：①α∩β＝n，l∥m∥n，故①不正确；②α∩β＝n，m∥n，l⊥n，则l⊥m，故②不正确；③由面面垂直的判定定理，若l⊥β，则α⊥β，故③正确；④若α⊥β，α∩β＝n，由面面垂直的性质定理知，m⊥n时，m⊥α，故④不正确．故答案为：③．16．已知，若函数y＝f（x）+g（x）﹣m（x＞0）恰有两个不相等的零点，则实数m的取值范围为（ln3﹣3，0）∪[5，+∞）．解：由y＝f（x）+g（x）﹣m＝0得g（x）﹣m＝﹣f（x），设h（x）＝﹣f（x）＝，设m（x）＝g（x）﹣m＝|lnx|﹣m，作出h（x）和m（x）的图象如图：m（1）＝﹣m，当﹣m＝0时，即m＝0时，m（3）＝ln3，此时h（3）＝3＞m（3），即此时两个函数有3个交点，不满足条件．当﹣m＞0时，即m＜0时，要使两个函数有两个交点，则此时只需要满足m（3）＝ln3﹣m＜h（3）＝3，即m＞ln3﹣3，此时ln3﹣3＜m＜0，当﹣m＜0时，即m＞0时，此时当0＜x≤1时，两个函数一定有一个交点，则此时只要在x＞1时有一个交点即可，此时当x→1，f（1）→﹣5，m（1）＝﹣m此时只要满足m（1）＝﹣m≤﹣5，即m≥5即可，综上实数m的取值范围是m≥5或ln3﹣3＜m＜0，故答案为：（ln3﹣3，0）∪[5，+∞），三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1．设F为线段AC上一点，，有下列条件：①c＝1；②；③．请从以上三个条件中任选两个，求S△ABF：S△CBF的值．解：选①②，则a＝c＝1，，由余弦定理可得：cos∠ABC＝＝﹣，又∠ABC∈（0，π），所以∠ABC＝，所以A＝C＝．在△BCF中，由正弦定理得＝，因为，所以sin∠CBF＝．又∠CBF＜∠ABC＝，所以∠CBF＝，所以∠ABF＝．所以sin∠ABF＝sin＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝．于是S△ABF：S△CBF＝sin∠ABF：sin∠CBF＝sin：sin＝．选②③，因为a＝1，b＝，a2+b2﹣ab＝c2，所以c＝1．由余弦定理可得cos C＝＝，又∠C∈（0，π），所以C＝，所以A＝C＝，所以∠ABC＝π﹣A﹣C＝．在△BCF中，由正弦定理可得＝，因为，所以sin∠CBF＝．又∠CBF＜∠ABC＝，所以∠CBF＝，所以∠ABF＝．所以sin∠ABF＝sin＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝．于是S△ABF：S△CBF＝sin∠ABF：sin∠CBF＝sin：sin＝．选①③，则a＝c＝1，a2+b2﹣ab＝c2，则a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可得cos C＝＝，又∠C∈（0，π），所以C＝，因为a＝c，所以A＝C＝，所以∠ABC＝π﹣A﹣C＝．在△BCF中，由正弦定理可得＝，因为，所以sin∠CBF＝．又∠CBF＜∠ABC＝，所以∠CBF＝，所以∠ABF＝．所以sin∠ABF＝sin＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝．于是S△ABF：S△CBF＝sin∠ABF：sin∠CBF＝sin：sin＝．18．在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠CAD ＝90°，EF∥BC，EF＝BC，AC＝2，AE＝EC＝．（1）求证：A，D，E，F四点共面，且平面ADEF⊥平面CDE；（2）若二面角E﹣AC﹣F的大小为45°，求点D到平面ACF的距离．解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵EF∥BC，∴EF∥AD，∴A，D，E，F四点共面，∵∠CAD＝90°，∴AC⊥AD，∵平面ACE⊥平面ABCD，平面ACE∩平面ABCD＝AC，∴AD⊥平面ACE，∵CE⊂平面ACE，∴CE⊥AD，∵AC＝2，AE＝EC＝，∴CE2+AE2＝AC2，∴CE⊥AE，∵AE∩AD＝A，AD，AE⊂平面ADEF，∴CE⊥平面ADEF，∵CE⊂平面CDE，∴平面ADEF⊥平面CDE．（2）∵平面ACE⊥平面ABCD，∠CAD＝90°，∴如图以A为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，设AD＝2a，则A（0，0，0），C（2，0，0），E（1，0，1），F（1，﹣a，1），＝（2，0，0），＝（1，﹣a，1），设平面ACF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，a），平面ACE的一个法向量＝（0，1，0），∵二面角E﹣AC﹣F的大小为45°，∴cos45°＝＝＝，解得a＝1，∴AD＝2，＝（0，2，0），∴D（0，2，0），平面ACF的法向量＝（0，1，1），∴点D到平面ACF的距离为d＝＝＝．19．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）求最低录取分数（结果保留为整数）；（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得X～N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0＝266.32，即最低录取分数线为266；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．20．已知椭圆C：，点A（1，），B（1，2）．（Ⅰ）若直线l与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；（Ⅱ）若直线l2：y＝2x+t（t≠0）与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值．解：（Ⅰ）设M（x1，y1），N（x2，y2），∵A为线段MN的中点，∴x1+x2＝2，y1+y2＝1∵，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，∴k MN＝＝﹣1．（Ⅱ）联立，消去y得，9x2+8tx+2（t2﹣1）＝0，由△＝（8t）2﹣4×9×2（t2﹣1）＞0，可得0＜t2＜9，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴|PQ|＝•＝＝•，又点B到直线l2的距离d＝＝，∴△BPQ的面积S＝×|PQ|×d＝ו×＝•≤•＝，当且仅当9﹣t2＝t2，即t＝±时取等号，故△BPQ面积的最大值21．已知函数，其中0＜a＜e．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）零点的个数；（3）若f（x）存在两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＜e2．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝（x﹣a）lnx+（）+2a﹣，＝（x﹣a）lnx++2a﹣，＝（x﹣a）（lnx﹣1），令f′（x）＝0，得x＝a或x＝e，因为0＜a＜e，当0＜x＜a或x＞e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当a＜x＜e时，f′（x）＜0，f （x）单调递减，所以f（x）的增区间为（0，a），（e，+∞），减区间为（a，e），（2）取δ＝min{1，2a}，则当x∈（0，δ）时，＜0，lnx＜0，2a﹣，f（x）＝x（）lnx+x（2a﹣）＞0，又因为0＜a＜e，由（1）可知f（x）在（0，a）上单增，因此，当x∈（0，a]，恒f′（x）＞0，即f（x）在（0，a]上无零点下面讨论x＞a的情况：①当时，因为f（x）在（a，e）单减，（e，+∞）单增，且f（a）＞0，f（e）＜0，f（e2）＞0，根据零点存在定理，f（x）有两个不同的零点．②当a＝时，由f（x）在（a，e）单减，（e，+∞）单增，且f（e）＝0，此时f（x）有唯一零点e．③若，由f（x）在（a，e）单减，（e，+∞）单增，f（x）≥f（e）＝e（a﹣）＞0，此时f（x）无零点综上，若，f（x）有两个不同的零点；若a＝，f（x）有唯一零点e；若，f（x）无零点．（3）证明：由（2）知，，且a＜x1＜e＜x2，构造函数F（x）＝f（x）﹣f（），x∈（a，e），则F′（x）＝（x﹣a）（lnx﹣1）﹣（lnx﹣1）（）＝（lnx﹣1）令g（x）＝x4﹣ax3+e2ax﹣e4，x∈（a，e），因为当x∈（a，e）时，x2+e2﹣ax＞0，x2﹣e2＜0，所以g（x）＜0，又lnx﹣1＜lne﹣1＝0，所以F′（x）＞0恒成立，即F（x）在（a，e）单增．于是当a＜x＜e时，F（x）＜F（e）＝0，即f（x）＜f（），因为x1∈（a，e），所以f（x1）＜f（），又f（x1）＝f（x2），所以f（x2）＜f（），因为x2＞e，，且f（x）在（e，+∞）单增，所以由f（x2）＜f（），可得•e，即x1x2＜e2．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心为（0，1），半径为1，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设M，N是圆C上两个动点，满足∠MON＝，求|OM|+|ON|的取值范围．解：（1）圆C的圆心为（0，1），半径为1，所以圆的方程为x2+（y﹣1）2＝1，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．（2）设M（ρ1，θ），N（），故|OM|+|ON|＝ρ1+ρ2＝sin＝＝sin（），由于，故，所以，故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）若∃x∈[﹣1，0]，使得不等式f（x）≥a|x﹣3|成立，求实数a的最大值．解：（1）f（x）≥2即为|x+1|+|2x﹣1|≥2，等价为或或，解得x≤﹣1或﹣1＜x≤0或x≥，则原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（2）∃x∈[﹣1，0]，使得不等式f（x）≥a|x﹣3|成立，等价为∃x∈[﹣1，0]，x+1+1﹣2x≥a（3﹣x）即a≤成立，设g（x）＝，﹣1≤x≤0，则g（x）＝1+，由﹣4≤x﹣3≤﹣3，可得≤1+≤，即g（x）的最大值为，所以a≤，即a的取值范围是（﹣∞，]．。
陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)(解析版)
2021年陕西省高考数学全真模拟试卷〔理科〕〔三〕一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．集合A={x|y=lnx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=〔〕A．〔0，3〕B．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，+∞〕C．〔﹣∞，﹣1〕∪〔3，+∞〕D．〔﹣1，3〕2．复数z=，则以下推断正确的选项是〔〕A．z的实部为﹣1 B．|z|=C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为1﹣i3．双曲线C：x2﹣y2=1的焦点到渐近线的距离等于〔〕A．1 B．C．2 D．24．等比数列{a n}中，a2=2，a4=8，则a3=〔〕A．±4 B．16 C．﹣4 D．45．实数x，y满足，则z=的最小值为〔〕A．﹣B．1 C．﹣1 D．06．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．假设要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有〔〕A．3种B．6种C．9种D．18种7．函数y=的图象可能是〔〕A．B．C．D．8．某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的体积是〔〕A．36 B．30 C．27 D．129．执行如下图的程序框图，如果输入n=4，则输出的S=〔〕A．B．C．D．10．抛物线C：y2=8x的焦点为F，P为抛物线的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，Q 是直线PF与抛物线C的一个交点，假设，则直线PF的方程为〔〕A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x±y﹣2=0 D．不确定11．以下四个命题中，其中真命题的个数为〔〕①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②假设命题p：全部幂函数的图象不过第四象限，命题q：存在x∈R，使得x﹣10＞lgx，则命题p且q为真．③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1．④假设a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2≤1成立的概率为．A．1 B．2 C．3 D．412．函数f〔x〕=，则函数y=f〔x〕﹣x+的零点个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．向量=〔2，1〕，=〔x，﹣1〕，且与共线，则|x|的值为_______．14．随机变量X服从正态分布N〔4，σ2〕，且P〔2＜X≤6〕=0.98，则P〔X＜2〕=_______．15．〔1﹣x〕〔1+x〕4的展开式中x3系数为_______．16．A，B，C是球O是球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=，且棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的外表积为_______．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．设f〔x〕=sin〔2x+〕+sin〔2x﹣〕﹣．〔1〕求f〔x〕的单调递增区间；〔2〕在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设f〔〕=，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．18．如图，高为3的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=2，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，=0，且A1F=1．〔1〕求证：CF⊥平面B1DF；〔2〕求平面B1FC与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．19．如图，将一个半径适当的小球放入容器上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A地域或B地域中，小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．〔1〕分别求出小球落入A地域和B地域中的概率；〔2〕假设在容器入口处依次放入3个小球，记X为落入B地域中的小球个数，求X的分布列和数学期望．20．设点P〔﹣2，0〕，Q〔2，0〕，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣．〔1〕求动点M的轨迹C的方程；〔2〕直线l的斜率为1，直线l与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．21．函数f〔x〕=e x﹣mx〔e是自然对数的底数，m∈R〕．〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕假设m=1，且当x＞0时，〔t﹣x〕f′〔x〕＜x+1恒成立，其中f′〔x〕为f〔x〕的导函数，求整数t的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．〔1〕求证：FB=FC；〔2〕假设AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=9，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M〔3，4〕，其倾斜角为45°，曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．〔1〕求曲线C的极坐标方程；〔2〕设曲线C与直线l交于点A，B，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|2x+1|+|2x﹣3|〔1〕求不等式f〔x〕≤6的解集；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．2021年陕西省高考数学全真模拟试卷〔理科〕〔三〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．集合A={x|y=lnx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=〔〕A．〔0，3〕B．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，+∞〕C．〔﹣∞，﹣1〕∪〔3，+∞〕D．〔﹣1，3〕【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=lnx，得到x＞0，即A=〔0，+∞〕，由B中不等式变形得：〔x﹣3〕〔x+1〕＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=〔﹣1，3〕，则A∩B=〔0，3〕，应选：A．2．复数z=，则以下推断正确的选项是〔〕A．z的实部为﹣1 B．|z|=C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===1﹣i，∴|z|=，应选：B．3．双曲线C：x2﹣y2=1的焦点到渐近线的距离等于〔〕A．1 B．C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=1的a=b=1，c==，可得焦点为〔±，0〕，渐近线方程为y=±x，即有焦点到渐近线的距离等于=1．应选：A．4．等比数列{a n}中，a2=2，a4=8，则a3=〔〕A．±4 B．16 C．﹣4 D．4【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列{a n}的性质可得：a3=．【解答】解：由等比数列{a n}中，∵a2=2，a4=8，则a3==±4．应选：A．5．实数x，y满足，则z=的最小值为〔〕A．﹣B．1 C．﹣1 D．0【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面地域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面地域如图：z=的几何意义是地域内的点到定点C〔2，0〕的斜率由图象知CA的斜率最小，此时最小值为﹣1，应选：C．6．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．假设要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有〔〕A．3种B．6种C．9种D．18种【考点】计数原理的应用．【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．应选：C7．函数y=的图象可能是〔〕A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．【解答】解：函数y=的定义域为〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．应选B8．某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的体积是〔〕A．36 B．30 C．27 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，且底面向左，底面是一个边长为3正方形，且四棱锥的高为4，∴几何体的体积V==12，应选：D．9．执行如下图的程序框图，如果输入n=4，则输出的S=〔〕A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出S=+++的值，利用裂项相消法，可得答案．【解答】解：由中的程序框图可知，该程序的功能是计算并输出S=+++的值，由于：S=+++=×〔1﹣﹣+…+﹣〕=〔1﹣〕=．应选：D．10．抛物线C：y2=8x的焦点为F，P为抛物线的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，假设，则直线PF的方程为〔〕A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x±y﹣2=0 D．不确定【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，结合，P的纵坐标为正数求出直线的斜率，即可求出直线PF的方程．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F〔2，0〕，设Q到准线l的距离为d，则|QF|=d∵，∴||=d，∵P的纵坐标为正数，∴直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率为﹣1，∴直线的方程为x+y﹣2=0．应选：B．11．以下四个命题中，其中真命题的个数为〔〕①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②假设命题p：全部幂函数的图象不过第四象限，命题q：存在x∈R，使得x﹣10＞lgx，则命题p且q为真．③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1．④假设a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2≤1成立的概率为．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假推断与应用．【分析】①根据系统抽样的应用进行推断．②根据复合命题的真假关系进行推断．③根据线性相关系数r意义推断．④利用几何概型进行推断．【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样．故①错误，②假设命题p：全部幂函数的图象不过第四象限，为真命题．命题q：存在x∈R，使得x ﹣10＞lgx，为真命题，比方当x=100时，不等式x﹣10＞lgx成立，则命题p且q为真．故②正确，③根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r的绝对值越接近于1，故③正确；④假设a，b∈[0，1]，则a，b对应的平面地域为正方形，面积为1，不等式a2+b2≤1成立，对应的地域为半径为1的圆在第一象限的局部，所以面积为，所以由几何概型可知不等式a2+b2≤1成立的概率是．故④正确，应选：C12．函数f〔x〕=，则函数y=f〔x〕﹣x+的零点个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】令y=0，可得f〔x〕=x﹣，作出函数y=f〔x〕的图象和直线y=x﹣，通过图象观察交点的个数，即可得到所求零点的个数．【解答】解：由y=f〔x〕﹣x+=0，可得：f〔x〕=x﹣，作出函数y=f〔x〕的图象和直线y=x﹣，可得当x=1时，ln1=0；﹣＞0，ln2＞×2﹣，由图象可得y=f〔x〕的图象与直线有4个交点．即函数y=f〔x〕﹣x+的零点个数为4．应选：D．二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．向量=〔2，1〕，=〔x，﹣1〕，且与共线，则|x|的值为2．【考点】平行向量与共线向量．【分析】由向量的坐标运算和平行关系可得x的方程，解方程可得．【解答】解：∵向量=〔2，1〕，=〔x，﹣1〕，∴=〔2﹣x，2〕，∵与共线，∴﹣〔2﹣x〕=2x，解得x=﹣2，故|x|=2故答案为：214．随机变量X服从正态分布N〔4，σ2〕，且P〔2＜X≤6〕=0.98，则P〔X＜2〕=0.01．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量X服从正态分布N〔4，σ2〕，根据对称性，由P〔2＜X≤4〕的概率可求出P〔X＜2〕．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N〔4，σ2〕，且P〔2＜X≤6〕=0.98，∴P〔2＜X≤4〕=P〔2＜X≤6〕=0.49，∴P〔X＜2〕=0.5﹣P〔2＜X≤4〕=0.5﹣0.49=0.01．故答案为：0.01．15．〔1﹣x〕〔1+x〕4的展开式中x3系数为﹣2．【考点】二项式系数的性质．【分析】由于〔1+x〕4的展开式中x2、x3系数分别为，，可得〔1﹣x〕〔1+x〕4的展开式中x3系数为﹣+．【解答】解：∵〔1+x〕4的展开式中x2、x3系数分别为，，∴〔1﹣x〕〔1+x〕4的展开式中x3系数为﹣+=﹣6+4=﹣2．故答案为：﹣2．16．A，B，C是球O是球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=，且棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的外表积为2π．【考点】球的体积和外表积．【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的外表积．【解答】解：三棱锥O﹣ABC，A、B、C三点均在球心O的外表上，且AB=2，BC=4，∠ABC=60°，AC=2，外接圆的半径为：GA=2，△ABC的外接圆的圆心为G，则OG⊥⊙G，∵S△ABC==2，三棱锥O﹣ABC的体积为，∴S△ABC•OG=，即=，∴OG=2，球的半径为：2．球的外表积：4π×8=32π．故答案为：32π．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．设f〔x〕=sin〔2x+〕+sin〔2x﹣〕﹣．〔1〕求f〔x〕的单调递增区间；〔2〕在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设f〔〕=，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦函数的图象．【分析】〔1〕利用两角和与差的正弦函数公式化简可得f〔x〕=sin2x﹣，由2kπ﹣≤2x ≤2kπ+，k∈Z，即可解得f〔x〕的单调递增区间．〔2〕在锐角△ABC中，由f〔〕=sinA﹣=，可得sinA=，A=，又a=1，b+c=2，利用余弦定理可得bc=1，利用三角形面积公式即可得解．【解答】〔此题总分值为12分〕解：〔1〕∵f〔x〕=sin〔2x+〕+sin〔2x﹣〕﹣=sin2x﹣…3分∴由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f〔x〕的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．〔2〕在锐角△ABC中，f〔〕=sinA﹣=，sinA=，A=，…8分∵a=1，b+c=2，∴由余弦定理可得：1=b2+c2﹣2bccos=〔b+c〕2﹣2bc﹣bc=4﹣3bc，∴bc=1，∴S△ABC=bcsinA==…12分18．如图，高为3的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=2，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，=0，且A1F=1．〔1〕求证：CF⊥平面B1DF；〔2〕求平面B1FC与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】〔1〕根据线面垂直的判定定理先证明CF⊥B1F即即可证明CF⊥平面B1DF；〔2〕建立空间坐标系，求出平面的法向量，即可求平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值．【解答】〔1〕证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，D为A1C1的中点，∴DB1⊥AA1，∵CF⊥DB1，CF∩⊥AA1=F．∴DB1⊥平面AA1CC1．∴DB1⊥A1B1，则△A1B1C1为等腰直角三角形，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中高为3，AC=2，A1F=1∴AB=BC=，AF=2，FB1=，B1C=，CF=2，满足B1F2+CF2=B1C2，即CF⊥B1F，∵CF⊥DB1，DB1∩B1F=B1，∴CF⊥平面B1DF；〔2〕建立以B为坐标原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：A〔，0，0〕，C〔0，，0〕，B1〔0，0，3〕，A1〔，0，3〕，C1〔0，，3〕，F〔，0，2〕，则平面ABC的法向量为=〔0，0，1〕，即平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值为．设平面B1FC的法向量为=〔x，y，z〕，由得，令x=1．则为=〔1，3，〕，则|cos＜，＞|=||==19．如图，将一个半径适当的小球放入容器上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A地域或B地域中，小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．〔1〕分别求出小球落入A地域和B地域中的概率；〔2〕假设在容器入口处依次放入3个小球，记X为落入B地域中的小球个数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔1〕记“小球落入A地域〞为事件M，“小球落入B地域〞为事件N，事件M的对立事件为事件N，小球落入A地域中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，由此能分别求出小球落入A地域和B地域中的概率．〔2〕由题意随机变量X的全部可能的取值为0，1，2，3，且X～B〔3，﹣〕，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：〔1〕记“小球落入A地域〞为事件M，“小球落入B地域〞为事件N，则事件M的对立事件为事件N，而小球落入A地域中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P〔M〕==．∴P〔N〕=1﹣P〔M〕=1﹣．〔2〕由题意随机变量X的全部可能的取值为0，1，2，3，且X～B〔3，﹣〕，P〔X=0〕=，P〔X=1〕==，P〔X=2〕==，P〔X=3〕==，∵X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．20．设点P〔﹣2，0〕，Q〔2，0〕，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣．〔1〕求动点M的轨迹C的方程；〔2〕直线l的斜率为1，直线l与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕设出点M的坐标，表示出直线MP、MQ的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是﹣，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程；〔2〕设l：y=x+b，代入x2+4y2=4，结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出弦AB长，求出点O到直线l的距离，利用均值定理推导出S△ABO=|AB|•d≤1，并能求出此时直线l的方程．【解答】解：〔1〕设M〔x，y〕，由P〔﹣2，0〕，Q〔2，0〕，所以k MP=〔x≠﹣2〕，k QM=〔x≠2〕，由，•=﹣〔x≠±2〕，化简，得+y2=1〔x≠±2〕，点P的轨迹方程为+y2=1〔x≠±2〕；〔2〕设l：y=x+b，代入x2+4y2=4，整理得5x2+8bx+4b2﹣4=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，则x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|=•|x1﹣x2|=•==•=•．由△＞0，得64b2﹣20〔4b2﹣4〕＞0，解得b2＜5，点O到直线l的距离d=，即有S△ABO=|AB|•d=≤•=1，当且仅当5﹣b2=b2，即b=±时取等号，故〔S△ABO〕max=1，此时l：2x﹣2y±=0．21．函数f〔x〕=e x﹣mx〔e是自然对数的底数，m∈R〕．〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕假设m=1，且当x＞0时，〔t﹣x〕f′〔x〕＜x+1恒成立，其中f′〔x〕为f〔x〕的导函数，求整数t的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】〔1〕由中函数的解析式，求出导函数的解析式，对m进行分类商量，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调递增区间；〔2〕问题转化为t＜+x，①，令g〔x〕=+x，〔x＞0〕，根据函数的单调性求出t的最大整数值即可．【解答】解：〔1〕由f〔x〕=e x﹣mx，x∈R，得f'〔x〕=e x﹣m，①当m≤0时，则f'〔x〕=e x﹣m＞0对x∈R恒成立，此时f〔x〕的单调递增，递增区间为〔﹣∞，+∞〕；②当m＞0时，由f'〔x〕=e x﹣m＞0，得到x＞lnm，所以，m＞0时，f〔x〕的单调递增区间是〔lnm，+∞〕；综上，当m≤0时，f〔x〕的单调递增区间为〔﹣∞，+∞〕．当m＞0时，f〔x〕的单调递增区间是〔lnm，+∞〕；〔2〕m=1时，〔t﹣x〕〔e x﹣1〕＜x+1，x＞0时，e x﹣1＞0，故t＜+x，①，令g〔x〕=+x，〔x＞0〕，则g′〔x〕=，令h〔x〕=e x﹣x﹣2，则h′〔x〕=e x﹣1＞0，〔x＞0〕，函数h〔x〕在〔0，+∞〕递增，而h〔1〕＜0，h〔2〕＞0，∴h〔x〕在〔0，+∞〕上存在唯一零点，即g′〔x〕在〔0，+∞〕上存在唯一零点，设此零点是x0，则x0∈〔1，2〕，x∈〔0，x0〕时，g′〔x〕＜0，x∈〔x0，+∞〕时，g′〔x〕＞0，∴g〔x〕在〔0，+∞〕上的最小值是g〔x0〕，由g′〔x0〕=0得：=x0+2，∴g〔x0〕=x0+1∈〔2，3〕，由于①式等价于t＜g〔x0〕，故整数t的最大值是2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．〔1〕求证：FB=FC；〔2〕假设AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=9，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】〔1〕由得∠EAD=∠DAC，∠DAC=∠FBC，从而∠FBC=∠FCB，由此能证明FB=FC．〔2〕由得∠ACB=90°从而∠ABC=30°，∠DAC=∠EAC=60°，由此能求出AD．【解答】〔1〕证明：因为AD平分∠EAC，所以∠EAD=∠DAC．…因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC=∠FBC．…因为∠EAD=∠FAB=∠FCB，…所以∠FBC=∠FCB，…，所以FB=FC．…〔2〕解：因为AB是圆的直径，所以∠ACB=90°，…又∠EAC=120°，所以∠ABC=30°，…∠DAC=∠EAC=60°，…因为BC=9，所以AC=BCtan∠ABC=3，…所以AD==6…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M〔3，4〕，其倾斜角为45°，曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．〔1〕求曲线C的极坐标方程；〔2〕设曲线C与直线l交于点A，B，求|MA|+|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．【分析】〔1〕曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，利用cos2θ+sin2θ=1，可得直角坐标方程，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．〔2〕直线l的参数方程为：，代入圆的方程可得：t2+5t+9=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2．利用|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：〔1〕曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，利用cos2θ+sin2θ=1，可得直角坐标方程：x2+〔y﹣2〕2=4．展开为x2+y2﹣4y=0，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．〔2〕直线l的参数方程为：，代入圆的方程可得：t2+5t+9=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2．∴t1+t2=﹣5，t1•t2=9．∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=5．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|2x+1|+|2x﹣3|〔1〕求不等式f〔x〕≤6的解集；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】〔1〕把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．〔2〕利用绝对值三角不等式求得f〔x〕的最小值为4，再根据|a﹣2|≥4，求得a的范围．【解答】解：〔1〕∵函数f〔x〕=|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f〔x〕≤6 等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x≤2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．〔2〕∵f〔x〕=|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣〔2x﹣3〕|=4，则f〔x〕的最小值为4．假设关于x的不等式f〔x〕≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2}．2021年9月8日。
陕西省2021年高考数学二模试卷(理科)A卷
陕西省2021年高考数学二模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）设全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9},A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（）A . {5，8}B . {7，9}C . {0，1，3}D . {2，4，6}2. （2分）的值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高三上·山东期中) 已知四边形中，，分别为，的中点，，，若，则（）A .B .C .D . 14. （2分） (2016高二上·临川期中) 从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a，b，则logab为整数的概率（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高三上·湖北月考) 下列四个结论：①若点为角终边上一点，则；②命题“存在，”的否定是“对于任意的，”；③若函数在上有零点，则；④“ （且）”是“ ，”的必要不充分条件.其中正确结论的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分） (2016高三上·上海模拟) 已知函数f（x）= sinϖx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A . g（x）是奇函数B . g（x）关于直线x=﹣对称C . g（x）在[ ， ]上是增函数D . 当x∈[ ， ]时，g（x）的值域是[2，1]7. （2分）(2019·榆林模拟) 某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如表所示：（）月份i123456因感冒就诊人数如图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（）A . ；B . ；C . ；D . ；8. （2分）已知，，若对任意，都存在，使，则a的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·晋城模拟) 如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·晋城模拟) 如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·吉林期中) 双曲线 =1的焦点到其渐近线距离为（）A . 1B .C .D . 212. （2分） (2019高一上·西安月考) 若的定义域为且在上是减函数，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二下·新乡期末) 若实数x、y满足不等式组，且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a=________14. （1分）(2016·普兰店模拟) 的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为________．15. （1分）(2012·北京) 直线（t为参数）与曲线（α为参数）的交点个数为________．16. （2分） (2018高二上·杭州期中) 在中，，当的面积等于时，________， ________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高二上·南城期中) 已知数列{an}的前n项和是Sn ，且Sn+ an=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log4（1﹣Sn+1）（n∈N*），Tn= + +…+ ，求使Tn≥ 成立的最小的正整数n的值．18. （5分）(2017·昆明模拟) 某市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三（1）班共有30名学生，如图表格为该班学生的这两项成绩，表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成绩合格或合格以上的概率是．实验操作不合格合格良好优秀体能测试不合格0111合格021b良好1a24优秀1136（Ⅰ）试确定a，b的值；（Ⅱ）从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．19. （10分） (2017高一下·景德镇期末) 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．20. （10分） (2016高二上·温州期末) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B，两点，△AOB的面积为8，直线l与抛物线C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合）．（1）求抛物线C的方程；（2）若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，求|PF|的最小值．21. （15分） (2015高三上·滨州期末) 设函数f（x）=lnx﹣ ax2﹣2x，其中a≤0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求a﹣2b的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设函数g（x）=x2﹣3x+3，如果对于任意的x，t∈（0，1]，都有f（x）≤g（t）恒成立，求实数a的取值范围．22. （10分） (2021高三上·太原期中) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为，若曲线与相交于A，B两点，求的值.23. （10分）(2018·山东模拟) 已知函数．（1）解不等式；（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
陕西省西安中学2021届高考数学模拟试卷(理科)(三)(含答案解析)
陕西省西安中学2021届高考数学模拟试卷(理科)(三)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合A ={x|x ≤2}，B ={x|0<x <3}，则A ∪B =( )A. {x|x ≤2}B. {x|x <3}C. {x|2<x <3}D. {x|2≤x <3}2.(√21+i)2=( )A. −iB. iC. −1D. 13.从某校2100名学生随机抽取一个30名学生的样本，样本中每个学生用于课外作业的时间(单位：min)依次为：75，80，85，65，95，100，70，55，65，75，85，110，120，80，85，80，75，90，90，95，70，60，60，75，90，95，65，75，80，80.则该校的所有学生中，课外作业时间超过一个半小时(含一个半小时)的学生人数为( )A. 9B. 270C. 630D. 10504.设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若直线y =√3x 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且四边形PF 1QF 2是矩形，则C 的离心率为( )A. √33B. √36C. 13D. √3−15.已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的最小正周期为π，且其图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)=cosωx 的图象，则f(x)图象的一条对称轴为( )A. x =5π6B. x =π2C. x =2π3D. x =π6.在三棱锥OABC 中，D 是BC 的中点，则直AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x ∈(0,π))及直线x =a(a ∈(0,π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为316，则a 的值为( )A. 712πB. 23πC. 34πD. 56π8.已知α−π4的终边上有一点(−1,2)，则tan2α=()A. −2B. −3C. −13D. −349.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a2+a8−a4=6，则S11=()A. 132B. 108C. 66D. 不能确定10.与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为()A. B. C. D.11.12.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，又f(−2)=0，则{x|x·f(x)>0}等于()A. {x|x>2，或−2<x<0}B. {x|0<x<2，或x<−2}C. {x|x>2，或x<−2}D. {x|0<x<2，或−2<x<0}12.下列四种说法中，错误的个数是()①A={0,1}的子集有3个；②“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件；④命题“∀x∈R，均有x2−3x−2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2−3x−2≤0”A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.△ABC中，BC=4，AC=2√3，B=π3，则cosA=______．14.若(x−2)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=______ ．15.设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列四个命题，其中正确命题的序号是______ ．①若α//β，m⊂α，则m//β；②若m//α，n⊂α，则m//n；③若α⊥β，β⊥γ，则α//γ或α⊥γ；④若m⊥α，m//β，则α⊥β．}(x>0)，则不等式f(x)≥16.对于两个实数a，b，min{a,b}表示a，b中的较小数．设f(x)=min{x,1xlog42的解集是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，acosB=−(b+2c)cosA，AD=1．(1)求A；(2)求△ABC面积的最大值．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，BB1⊥平面ABC(Ⅰ)求证：AB1⊥平面A1BD；(Ⅱ)求二面角A−A1D−B的余弦值；(Ⅲ)求点C到平面A1BD的距离．19.A企业为了监控某种零件的一条流水生产线的产品质量，检验员从该生产线上随机抽取100个零件，测量其尺寸X(单位：mm)并经过统计分析，得到这100个零件的平均尺寸为10，标准差为0.5.企业规定：若X∈(9.5,10.5)，该零件为一等品，企业获利20元；若X∈(9,11)且X∈(9.5,10.5)，该零件为二等品，企业获利10元；否则，该零件为不合格品，企业损失40元．(1)在某一时刻内，依次下线10个零件，如果其中出现了不合格品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查若这10个零件的尺寸分别为9.6，10.5，9.8，10.1，10.7，9.4，10.9，9.5，10，10.9，则从这一天抽检的结果看，是否需要对当天的生产过程进行检查？(2)将样本的估计近似地看作总体的估计通过检验发现，该零件的尺寸X服从正态分布N(μ,σ2).其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差S12．(ⅰ)从下线的零件中随机抽取20件，设其中为合格品的个数为Y，求Y的数学期望(结果保留整数)(ⅰ)试估计生产10000个零件所获得的利润．附：若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．20. 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y = kx −(1+k 2) x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21. 已知函数f(x)=x −lnx −a 有两个相异零点x 1，x 2(x 1<x 2). (1)求a 的取值范围； (2)求证：x 1+x 2<4a+23．22. 已知曲线C 的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，曲线C 1：{x =3cosαy =2sinα(α为参数)． (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；(Ⅱ)若点M 在曲线C 1上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值及该点坐标．23. 若函数f(x)对于定义域内的某个区间I 内的任意一个x ，满足f(−x)=−f(x)，则称函数f(x)为I 上的“局部奇函数”；满足f(−x)=f(x)，则称函数f(x)为I 上的“局部偶函数”.已知函数f(x)=2x +k ×2−x ，其中k 为常数．(1)若f(x)为[−3,3]上的“局部奇函数”，当x ∈[−3,3]时，求不等式f(x)>32的解集；(2)已知函数f(x)在区间[−1,1]上是“局部奇函数”，在区间[−3,−1)∪(1,3]上是“局部偶函数”，F(x)={f(x),x ∈[−1,1]f(x),x ∈[−3,−1)∪(1,3]．(ⅰ)求函数F(x)的值域；(ⅰ)对于[−3,3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F(x1)+F(x2)+5>mF(x3)恒成立，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：集合A={x|x≤2}，B={x|0<x<3}，则A∪B={x|x<3}．故选：B．根据并集的定义写出A∪B．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.答案：A解析：解：法1：(√21+i )2=[√2(1+i)(1−i)(1−i)]2=[√22(1−i)]2=12(−2i)=−i；法2：(√21+i )2=22i=1i=−i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，属基础题．3.答案：C解析：解：∵样本中课外作业时间超过一个半小时(含一个半小时)的学生所占的百分比是：930×100%=30%，∴该校的所有学生中，课外作业时间超过一个半小时(含一个半小时)的学生人数为：2100×30%=630.故选C．先求出样本中课外作业时间超过一个半小时(含一个半小时)的学生所占的百分比，再利用样本估计总体的思想，用2100乘以这个百分比即可．本题考查了用样本估计总体，让整体×样本的百分比即可.求出样本中课外作业时间超过一个半小时(含一个半小时)的学生所占的百分比是解题的关键．4.答案：D解析：解：方法一：由直线PQ的倾斜角为π3，∠F1PF2=π2，则|PF2|=|OF2|=c，∠PF1F2=π6，∴|PF1|=√3c，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=(√3+1)c，椭圆的离心率e=ca =√3+1=√3−1；∴椭圆的离心率为√3−1；故选D．方法二：设∠F1PF2=θ，∠PF1F2=α，∠F1F2P=β，由正弦定理可知：|PF1|=2Rsinβ，|PF2|=2Rsinα，|F1F2|=2Rsinθ=2Rsin(α+β)，由椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|=2R(sinβ+sinα)，则椭圆的离心率e=ca =sin(α+β)sinα+sinβ，由直线PQ的倾斜角为π3，∠F1PF2=π2，则|PF2|=|OF2|=c，∠PF1F2=π6，则，∠F1F2P=π3，∴e=ca =sin(α+β)sinα+sinβ=12+√32=√3−1；∴椭圆的离心率为√3−1；故选：D．方法一：又题意可知|PF2|=|OF2|=c，∠PF1F2=π6，|PF1|=√3c，根据椭圆的定义及椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率；方法二：根据正弦定理及椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率e=ca =sin(α+β)sinα+sinβ，代入即可求得C的离心率．本题考查椭圆的离心率公式，考查椭圆定义的应用，考查转化思想，属于中档题．5.答案：A解析：解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的最小正周期为π，∴2πω=π，∴ω=2．∵f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=sin(2x−π3+φ)=cos2x的图象，∴−π3+φ=π2，即φ=5π6，故f(x)=sin(2x+5π6).令2x+5π6=kπ+π2，k∈Z，求得x=kπ2−π6，故函数f(x)的图象的对称轴为x=kπ2−π6，k∈Z．故令k=2，可得函数f(x)的图象的一条对称轴为x=5π6，故选：A．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵D 是BC 的中点，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：C ．利用三角形中线向量即可求解．本题主要考察三角形的中线向量对应的性质；属于基础题．7.答案：B解析：根据定积分计算公式，算出阴影部分的面积关于a 的表达式，结合矩形的面积为8，代入几何概型计算公式得到关于a 的等式，解之即可得出实数a 的值．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据P =N(A)：N 计算即可得到答案． 解析：解：根据题意，可得阴影部分的面积为S =∫s a0inxdx =−cosx|0a =−cosa −(−cos0)=1−cosa ， 又∵矩形的面积为S′=a ×8a =8， ∴根据几何概型计算公式， 可得P =SS′=1−cosa 8=316，解之得cosa =−12， ∵a ∈(0,π)， ∴a =2π3．故选B ．8.答案：D解析：解：已知α−π4的终边上有一点(−1,2)，∴tan(α−π4)=−2， 则tan2α=cot(π2−2α)=−cot(2α−π2)=−1tan(2α−π2)=−1+tan 2(α−π4)2tan(α−π4)=−1+4−4=−34，故选：D ．)=−2，同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍利用任意角的三角函数的定义，求得tan(α−π4角的正弦公式求得tan2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．9.答案：C解析：解：设公差为d，∵a2+a8−a4=6，∴a6−4d+a6+2d−a6+2d=6，∴a6=6，∴S11=11(a1+a11)=11a6=11×6=66，2故选：C．设公差为d，由题意可得a6=6，再根据等差数列的求和公式即可求出答案．本题考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础题．10.答案：A解析：解：故答案选：A．11.答案：C解析：解：∵f(x)是奇函数，且在区间(0,+∞)上是单调增函数，又f(−2)=0，∴f(2)=0，且当x<−2与0<x<2时，函数图象在x轴下方，当x>2与−2<x<0时函数图象在x轴上方∴xf(x)>0的解集为(2,+∞)∪(−∞,−2)故答案为C12.答案：D解析：解：①A={0,1}的子集个数为：22=4，故①错误；②“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为：若a<b，则am2<bm2，若m=0，则a=b，故②错误；③∵命题p∩q为真，则p和q都得为真，p∪q为真，则p和q至少有一个为真，∴命题p∩q为真⇒命题p∪q为真，反之则不能，故③正确；④命题“∀x∈R，均有x2−3x−2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2−3x−2<0”，故④错误；故选D．①根据非空集合子集个数的计算公式进行判断；②先写出其逆命题，然后再判断是否正确；③已知命题p∧q为真，则p和q都得为真，利用这点进行判断；④根据命题否定的规则进行判断，注意任意的否定为存在；此题主要考查集合子集个数的计算公式和逆命题、否命题的定义，是一道基础题，若一个集合的元素个数为n，则其子集的个数为2n；13.答案：0解析：由正弦定理，得ACsinB =BCsinA，所以sinA=1.因为A∈(0,π)，所以cosA=0．故答案为：0．利用正弦定理可得sin A，进而求出cos A本题主要考察正弦定理，属于基本题．14.答案：−1解析：解：∵(x−2)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，∴令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1−2)5=−1，故答案为：−1根据二项式定理，利用赋值法令x=1即可得到结论．本题主要考查二项定理的应用，利用赋值法是解决本题的关键．15.答案：①④解析：解：①若α//β，m⊂α，则由直线与平面平行的判定定理得m//β，故①正确；②若m//α，n⊂α，则m与n平行或异面，故②错误；③若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故③错误；④若m ⊥α，m//β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确． 故答案为：①④．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.答案：[12,2]解析：解：根据，min{a,b}表示a ，b 中的较小数， 得到函数f(x)=min{x,1x }(x >0)的图象，如图所示： 当x =12或2时，y =12，由图象可知， f (x)≥log 42的解集是[12,2]， 故答案为：[12,2]先根据，min{a,b}表示a ，b 中的较小数求得函数f(x)，再按分段函数的图象解得用满足f(x)<12时x 的集合．本题考查了其他不等式的解法，是一道新定义题，首先要根据新定义求得函数图象，再应用函数图象解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键．17.答案：解：(1)由acosB =−(b +2c)cosA 以及正弦定理可得sinAcosB =−(sinB +2sinC)cosA ，得sinAcosB +cosAsinB =−2sinCcosA ， 得sinC =−2sinCcosA ， ∵0<C <π，∴sinC ≠0， ∴cosA =−12，又0<A <π，∴A =2π3．(2)∵点D 为BC 边的中点， ∴2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴4AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AD =1，∴4=b 2+c 2+2bccos2π3=b 2+c 2−bc ≥bc ，∴bc ≤4，当且仅当b =c 时等号成立．∴S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√3，当且仅当b =c 时等号成立，∴△ABC 面积的最大值为√3． 解析：(1)根据正弦定理边化角可得；(2)根据向量数量积以及基本不等式，面积公式可得． 本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．18.答案：解：(I)取BC 中点O ，连接AO ．∴△ABC 为正三角形， ∴AO ⊥BC ．∵在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ， ∴AO ⊥平面B 1C 1CB ，取B 1C 1中点O 1，以0为原点，OB ，OO 1，OA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B(1,0，0)，D(−1,1，0)，A 1(0,2，√3)，A(0,0，√3)，B 1(1,2，0)， ∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，√3). ∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+2=0，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+4−3=0 ∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)设平面AA 1D 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)．∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)．m ⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ⊥AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +y −√3z =02y =0令z =1得m ⃗⃗⃗ =(−√3,0，1) 由(I)知AB 1⊥平面A 1BD ， ∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面A 1BD 的法向量．∴cos <m ⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√3+√32⋅2√2=−√64∴二面角A −A 1D −B 的余弦值为√64．(3)由(2)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面A 1BD 的法向量， 又∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−√3)，． ∴点C 到平面A 1BD 的距离d =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2=√22．解析：(I)取BC 中点O ，连接AO. 可由面面垂直的性质得到AO ⊥平面B 1C 1CB ，令B 1C 1中点为O 1，以0为原点，OB ，OO 1，OA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出向量AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，用向量法可得AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而由线面垂直的判定定理得到AB 1⊥平面A 1BD ； (II)求出平面AA 1D 的法向量m ⃗⃗⃗ ，结合(I)中结论AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面A 1BD 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A −A 1D −B 的余弦值；(Ⅲ)由(I)中AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面A 1BD 的法向量，求出向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，代入d =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得点C 到平面A 1BD的距离．本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中建立空间坐标系，将空间线面关系，夹角问题转化为向量问题是解答的关键．19.答案：解：(1)由于这10个零件的尺寸都在(9,11)内．所以不需要对当天的生产过程进行检查．(2)(i)因为合格品的尺寸范围为(9,11).所以抽取1个零件为合格品的概率为P(9<X <11)=P(10−2×0.5<X <10+2×0.5)=0.9544．由题意．得Y ～B(20,0.9544).所以EY =20×0.9544=19.088≈19． (ii)10000个零件中，一等品约为10000×0.6826=6826(个)， 二等品约为10000×(0.9544−0.6826)=2718(个)， 不合格品约为10000×(1−0.9544)=456(个)．生产10000个零件，估计所获得的利润为6286×20+2718×10−456×40=145460(元)． 解析：(1)判断这10个零件的尺寸所在的范围，即可得到结论． (2)(i)判断Y ～B(20,0.9544).然后求解期望．(ii)10000个零件中，一等品的个数，二等品个数，不合格品个数，然后求解生产10000个零件，估计所获得的利润．本题考查离散型随机变量的期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)令y =0，得kx −(1+k 2) x 2=0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故，当且仅当k =1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标存在k >0，使3.2= ka −(1+k 2) a 2成立关于k 的方程a 2 k 2−20 ak + a 2+64=0有正根判别式=(−20a )2−4 a 2(a 2+64)≥0 a ≤6．所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．解析：略21.答案：解：(1)f′(x)=x−1x(x >0)，当0<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x >1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；要使函数f(x)=x −lnx −a 有两个相异零点，必有f(1)=1−a <0，∴a >1， 当a >1时，∵e −a <1，且f(e −a )=e −a >0，∴函数f(x)在(0,1)有一个零点 ∵e a >1，f(e a )=e a −2a >0，∴函数f(x)在(1,+∞)有一个零点， ∴a 的取值范围为(1,+∞)． (2)由(1)知，0<x 1<1<x 2， ∵x 1−lnx 1−a =0，∴a =x 1−lnx 1， 要证x 1+x 2<4a+23，x 2<4a+23−x 1=4(x 1−lnx 1)+23−x 1=x 1−4lnx 1+23，故构造函数g(x)= x−4lnx+23，(0<x <1)，则g′(x)=x−43x<0，所以g(x)在(0,1)单调递减，g(x)>g(1)=1．∴x 2>1，x 1−4lnx 1+23>1，构造函数ℎ(x)=f(x)−f(x−4lnx+23)，(0<x <1)ℎ′(x)=2x+13x+1x−4lnx+2⋅x−4x，下面证明ℎ′(x)>0，即证明lnx −(x+5)(x−1)4x+2<0，构造函数H(x)=lnx −(x+5)(x−1)4x+2，(0<x <1)．H′(x)=(1−x)3(2x+1)2x>0在(0,1)上恒成立，因此H(x)在(0,1)递增，从而H(x)<H(1)=0， ∴ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,1)递增， ∴ℎ(x)<ℎ(1)=0，∴f(x 1)<f(x 1−4lnx 1+23) ∴f(x 2)<f(x 1−4lnx 1+23)，∵x >1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴x 2<x 1−4lnx 1+23，即x 1+x 2<4a+23．解析：本题考查了利用导数处理函数的最值、单调性，以及极值点偏移问题，考查了转化思想、计算能力，属于难题．(1)利用导数，求得单调区间，利用最小值小于0，结合f(e −a )=e −a >0，f(e a )=e a −2a >0，求得a 的取值范围． (2)要证x 1+x 2<4a+23，x 2<4a+23−x 1=4(x 1−lnx 1)+23−x 1=x 1−4lnx 1+23，构造函数ℎ(x)=f(x)−f(x−4lnx+23)(0<x <1)，利用ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,1)递增，可得f(x 1)<f(x 1−4lnx 1+23)即可得f(x 2)<f(x 1−4lnx 1+23)，从而有x 2<x 1−4lnx 1+23，即x 1+x 2<4a+23.即可证明．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程是：x +2y −10=0，由{x =3cosαy =2sinα得{cosα=x3sinα=y 2，代入cos 2α+sin 2α=1得x 29+y 24=1． (Ⅱ)曲线C 的普通方程是：x +2y −10=0， 设点M(3cosα,2sinα)，由点到直线的距离公式得： d =√5=√5，其中cosφ=35,sinφ=45，α−φ=0时，d min =√5，此时．M(98,85)解析：(Ⅰ)将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后消去参数，得到普通方程即可，(Ⅱ)利用点到直线距离公式得到距离的三角解析式，然后结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果．本题考查极坐标方程与参数方程的应用，点到直线距离公式，三角函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．23.答案：解：(1)若f(x)为[−3,3]上的“局部奇函数”，则f(−x)=−f(x)，即2−x +k ⋅2x =−(2x +k ⋅2−x )，整理可得(k +1)(2x +2−x )=0， 解得k =−1，即f(x)=2x −2−x ，当x ∈[−3,3]时，不等式f(x)>32，即为2(2x )2−3⋅2x −2>0， 可得2x >2，即x >1， 则原不等式的解集为(1,3]；(2)(ⅰ)F(x)={2x −2−x ,x ∈[−1,1]2x +2−x ,x ∈[−3,1)∪(1,3]，令t =2x ，则y =t −1t 在[12,2]递增，当x ∈[−1,1]时，F(x)∈[−32,32]； 因为y =t +1t 在(2,4]递增，所以x ∈(1,3]时，F(x)∈(52,174]；又因为f(x)在[−3,−1)∪(1,3]为“局部偶函数”，可得x ∈[−3,−1)∪(1,3]时，F(x)∈(52,174]； 综上可得，F(x)的值域为[−32,32]∪(52，174]；(ⅰ)对于[−3,3]上的任意实数x 1，x 2，x 3，不等式F(x 1)+F(x 2)+5>mF(x 3)恒成立， 可得2F(x)min +5>mF(x)max ， 即有2×(−32)+5>174m ，解得m <817，即m 的取值范围是(−∞,817).解析：(1)由“局部奇函数”的定义，结合指数不等式的解法，可得解集；(2)(ⅰ)由分段函数的形式写出F(x)的解析式，再由换元法和函数的单调性、基本不等式，可得所求值域；(ⅰ)由题意可得可得2F(x)min +5>mF(x)max ，结合F(x)的值域，可得所求范围．本题考查函数的新定义的理解和应用，以及函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2021年陕西高三一模理科数学试卷-学生用卷
2021年陕西高三一模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年陕西高三一模理科第1题5分2018年四川成都武侯区成都市第七中学高三二模理科第1题5分2019~2020学年10月广东广州越秀区广州市执信中学高三上学期月考理科第1题5分设集合S={x|x(3−x)⩽0}，T={x|(12)x−1<1}，则S∪T=（）．A. [0,+∞)B. (1,3]C. [3,+∞)D. (−∞,0]∪(1,+∞)2、【来源】 2021年陕西高三一模理科第2题5分2020~2021学年12月西藏拉萨城关区西藏自治区拉萨中学高三上学期月考文科第2题5分复数z=1−2i（其中i为虚数单位），则|z+3i|=（）．A. 5B. √2C. 2D. √263、【来源】 2021年陕西高三一模理科第3题5分已知向量a→=(1,2)，b→=(2,−2)，c→=(1,λ)，若c→//(2a→+b→)，则实数λ=（）．A. 12B. 1 C. −12D. −14、【来源】 2021年陕西高三一模理科第4题5分2016~2017学年甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高一下学期期中第6题4分2018~2019学年12月山西太原迎泽区师苑中学高一上学期月考第8题3分2017~2018学年5月江西南昌东湖区南昌市第十中学高一下学期月考文科第6题5分2019~2020学年2月北京海淀区中国人民大学附属中学高三下学期月考第4题4分甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）．A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5、【来源】 2021年陕西高三一模理科第5题5分《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（）．A. 12尺布B. 518尺布C. 1631尺布D. 1629尺布6、【来源】 2021年陕西高三一模理科第6题5分2011年高考真题天津卷理科第5题2016~2017学年北京朝阳区清华大学附属中学奥森校区高二下学期期末理科第8题5分2017~2018学年北京东城区北京市第一七一中学高二下学期期中理科第6题2018~2019学年河北唐山高三上学期期末理科第6题5分在(√x2√x )6的二项展开式中，x2的系数为（）．A. −154B. 154C. −38D. 387、【来源】 2021年陕西高三一模理科第7题5分2018~2019学年河北唐山高三上学期期末理科第7题5分某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）．A. 83B. 43C. 8D. 48、【来源】 2021年陕西高三一模理科第8题5分2012年高考真题大纲卷理科第9题2017~2018学年4月安徽高三下学期月考文科皖南八校第4题5分2015~2016学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二上学期期中理科第2题5分2020年天津和平区天津市耀华中学高三二模第2题5分已知x=lnπ，y=log52，z=e−12，则（）．A. x<y<zB. z<x<yC. z<y<xD. y<z<x9、【来源】 2021年陕西高三一模理科第9题5分2019年山东临沂高三三模理科第12题2019~2020学年3月北京海淀区北京一零一中学高三下学期月考第7题已知函数f(x)=sin(2x−π6)，若方程f(x)=35的解为x1，x2（0<x1<x2<π），则sin(x1−x2)=（）．A. −35B. −45C. −√23D. −√3310、【来源】 2021年陕西高三一模理科第10题5分双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−2,0)，F2(2,0)，M是C右支上的一点，MF1与y轴交于点P，△MPF2的内切圆在边PF2上的切点为Q，若|PQ|=√2，则C的离心率为（）．A. 2B. √2C. 6D. √611、【来源】 2021年陕西高三一模理科第11题5分已知函数f(x)=−x2+a，g(x)=x2e x，若对于任意的x2∈[−1,1]，存在唯一的x1∈[−12,2]．使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是（）．A. (e,4)B. (e+14,4]C. (e+14,4)D. (14,4]12、【来源】 2021年陕西高三一模理科第12题5分设数列{a n}的前n项和S n=2a n−1，数列{b n}满足b1=3，b n+1=a n+b n，且数列{b n}的前n项和为T n，若T n<2021，则n的最大值为（）．A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年陕西高三一模理科第13题5分2018~2019学年河北唐山高三上学期期末理科第13题5分2018~2019学年河北唐山高三上学期期末文科第13题5分若x，y满足约束条件{x−y+1⩾0x+y−1⩽0x+3y+1⩾0，则x+2y的最大值为．14、【来源】 2021年陕西高三一模理科第14题5分过原点(0,0)作函数f(x)=x3+2x2图象的切线，则切线方程为．15、【来源】 2021年陕西高三一模理科第15题5分2020年北京东城区高三一模（线上一）第14题5分2019~2020学年北京朝阳区高三上学期期末第13题4分若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，(2,12)，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．16、【来源】 2021年陕西高三一模理科第16题5分某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年陕西高三一模理科第17题12分如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB与∠D互补，cos∠ACB=13，AC=BC=2√3，AB=4AD．(1) 求AB长．(2) 求sin∠ACD．18、【来源】 2021年陕西高三一模理科第18题12分某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如下图）．(1) 跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”．已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数．(2) 为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，记X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60,70)的学生人数，求X的分布列．(3) 假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a，b，c∈N∗．当数据a，b，c的方差S2最小时，写出a，b，c的值．（写一组即可，结论不要求证明）[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，其中x为数据x1，x2，⋯，x n的平均数）（注：S2=1n19、【来源】 2021年陕西高三一模理科第19题12分如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD的中点，AD//BC，CD⊥AD，BC=CD=2，AD=4．(1) 求证：CE//平面PAB．(2) 求二面角P−AC−E的余弦值．20、【来源】 2021年陕西高三一模理科第20题12分已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．(1) 求椭圆E的方程．(2) 设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．21、【来源】 2021年陕西高三一模理科第21题12分函数f(x)=e x−e−x−mx(m∈R)，x0是f(x)的极小值点．(1) 求实数m的取值范围．(2) 当x⩾0时，f(x0)⩾−2e恒成立，求实数m的取值范围．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2021年陕西高三一模理科第22题10分2018~2019学年内蒙古鄂尔多斯高三上学期期末理科（西部四旗）第22题10分在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C以极坐标系中的点(0,0)为中心、点(1,0)为焦点、(√2,0)为一个顶点．直线l的参数方程是{x=1−ty=2t，（t为参数）．(1) 求椭圆C的极坐标方程．(2) 若直线l与椭圆C的交点分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，求线段MN的长度．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2021年陕西高三一模理科第23题10分已知函数f(x)=|x−√24|+|x+√24|，M为不等式f(x)<2√2的解集．(1) 求集合M．(2) 证明：当a，b∈M时，|√2(a+b)|<|ab+2|．1 、【答案】 D;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】2;14 、【答案】y=0或x+y=0;15 、【答案】x2=8y或y2=x;16 、【答案】80π;17 、【答案】 (1) 4．;(2) √6．9;18 、【答案】 (1) 325．;(2);(3) 79，84，90或79，85，90．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 3√6．8;+y2=1．20 、【答案】 (1) x24;(2) 2．;21 、【答案】 (1) (2,+∞)．;]．(2) (2,e+1e;22 、【答案】 (1) ρ2=2．1+sin2θ;√2．(2) 109;23 、【答案】 (1) M={x|−√2<x<√2}．;(2) 证明见解析．;。
陕西省西安市2021届高三一模数学试卷及答案(理科)
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5} 2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN 的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN 的最大值为二、填空题（共4小题）.13．已知向量，，若，则k ＝．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为．（用数值表示）15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5}解：∵集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}＝{x|﹣2＜x＜5}，＝{x|﹣3≤x≤3}，∴∁R N＝{x|x＜﹣3或x＞3}，∴（∁R N）∩M＝{x|3＜x＜5}．故选：A．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．解：设切线长为d，由题设条件可得：d2＝（m﹣2）2+（3﹣0）2﹣1＝（m﹣2）2+8≥8，∴，当且仅当m＝2时取“＝“，故选：D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R 恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x ）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．3解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|＝3b ，所以，两式相乘得．结合c2＝a2+b2得．故e ＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为解：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即．∵M、N分别为外接球和内切球上动点，∴，解得：a＝2．即正方体惨长为2，C正确；∴正方体外接球表面积为，A正确；内切球体积为，B正确；线段MN的最大值为，D错误．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则k＝12．解：根据题意，向量，，则，若，则有，解得k＝12，故答案为：12．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为﹣20．（用数值表示）解：二项式（x﹣）6＝[x+（﹣x﹣1）]6，其展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r••x6﹣2r，当6﹣2r＝0时，得r＝3，所以展开式的常数项为：T4＝（﹣1）3•＝﹣20．故答案为：﹣20．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝时取等号，此时B＝，C＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．解：（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71～80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．由图2知．年龄在71～80岁的居民签概率为0.7．所以该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×0.7＝56万．（2）由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：．数学期望E（X）＝3×0.7＝2.1，方差D（X）＝3×0.7×0.3＝0.63．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．解：（1）因为f（x）＝e x（x+a），所以f'（x）＝e x（x+a+1）．………………………………………………………………（1分）由f'（x）＞0，得x＞﹣a﹣1；由f'（x）＜0，得x＜﹣a﹣1．………………………………………………………………所以f（x）的增区间是（﹣a﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣a﹣1）．………………………（2）因为g（x）＝f（x﹣a）﹣x2＝xe x﹣a﹣x2＝x（e x﹣a﹣x）．由g（x）＝0，得x＝0或e x﹣a﹣x＝0．………………………………………………………………………设h（x）＝e x﹣a﹣x，又h（0）＝e﹣a≠0，即x＝0不是h（x）的零点，故只需再讨论函数h（x）零点的个数．因为h'（x）＝e x﹣a﹣1，所以当x∈（﹣∞，a）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．…………………………………………所以当x＝a时，h（x）取得最小值h（a）＝1﹣a．………………………………………①当h（a）＞0，即a＜1时，h（x）＞0，h（x）无零点；…………………………………②当h（a）＝0，即a＝1时，h（x）有唯一零点；…………………………………………③当h（a）＜0，即a＞1时，因为h（0）＝e﹣a＞0，所以h（x）在（﹣∞，a）上有且只有一个零点．……………………………………………令x＝2a，则h（2a）＝e a﹣2a．设φ（a）＝h（2a）＝e a﹣2a（a＞1），则φ'（a）＝e a﹣2＞0，所以φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以，∀a∈（1，+∞），都有φ（a）≥φ（1）＝e﹣2＞0．所以h（2a）＝φ（a）＝e a﹣2a＞0．………………………………………………………所以h（x）在（a，+∞）上有且只有一个零点．所以当a＞1时，h（x）有两个零点．………………………………………………………综上所述，当a＜1时，g（x）有一个零点；当a＝1时，g（x）有两个零点；当a＞1时，g（x）有三个零点．……………………………………………………………（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。
陕西省2021年高考数学模拟试卷(理科)A卷(模拟)
陕西省2021年高考数学模拟试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁UM）∩N等于（）A . {2，3}B . {2，3，5，6}C . {1，4}D . {1，4，5，6}2. （2分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A . 1+iB . 1﹣iC . ﹣1+iD . ﹣1﹣i3. （2分）等差数列中，，，设是数列的前n项和，则S8＝（）A . -16B . 16C . -32D . 324. （2分） (2019高二上·长沙月考) 在三角形ABC中，给出命题“ ”，命题“ ”，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2017高一下·南昌期末) 圆O内有一内接正三角形，向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·珠海月考) 一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）(2016·连江模拟) 双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2渐近线分别为l1 ， l2 ，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1 ，l2∥PF2 ，则双曲线的离心率是（）A .B .C . 2D .8. （2分）如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）A .B .C .D .9. （2分）下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（）A . z的虚部为B . z为纯虚数C .D .10. （2分） (2020高二上·舟山期末) 在长方体中，，，分别在对角线，上取点M，N，使得直线平面，则线段MN长的最小值为A .B .C .D . 211. （2分） (2019高二下·浙江期中) 已知椭圆，焦点， .过作倾斜角为的直线L交上半椭圆于点A，以，（O为坐标原点）为邻边作平行四边形，点B恰好也在椭圆上，则椭圆的长轴长为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·湖南模拟) 已知函数f（x）= ，则函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2019高三上·丽水月考) 复数（为虚数单位）为纯虚数,则复数的模为________.已知的展开式中没有常数项,且，则 ________.14. （1分）(2017·辽宁模拟) 已知x、y满足，若x2+y2的最大值为m，最小值为n，则mx+ny 的最小值为________．15. （1分） (2020高一下·天津期末) 已知中，D边上的点，且，若，则 ________.16. （1分） (2020高二上·青铜峡期末) 已知数列中，，则数列通项公式为________．三、解答题 (共8题；共75分)17. （5分）已知向量 =（sinωx，cosωx）， =（cosωx，cosωx），其中ω＞0，函数f（x）=2 •﹣1的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[ ， ]上的最大值．18. （5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4正三角形，，M为A1B1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥MC；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．19. （15分）(2017·河南模拟) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y1：12：13：44：520. （15分） (2019高二上·青冈月考) 求满足下列条件的各圆的标准方程:（1）圆心在原点,半径长为3;（2）圆心为点 ,半径长是（3）圆心为点 ,且经过点21. （10分） (2020高二下·阳江期中) 已知函数在处有极值．（1）求a,b的值；（2）求的单调区间．22. （10分） (2015高三上·太原期末) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．（1）求证：BE•EF=CE•BF；（2）求证：FE=FG．23. （5分）(2013·江苏理) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C 的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．24. （10分） (2020高一下·奉化期中) 在中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且（1）求角A的大小；（2）若的面积为，求的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共75分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、。
陕西省2021版数学高三高考理数模拟试卷A卷
陕西省2021版数学高三高考理数模拟试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）复数等于（）A .B .C .D .2. （2分）已知集合A={1,2,3}，，则为（）.A .B . {1}C . {2}D . {1,2}3. （2分）等比数列{an}的各项均为正数，且，则（）A . 12B . 10C . 8D . 144. （2分） (2016高二上·孝感期中) 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A . 1365石B . 338石C . 168石D . 134石5. （2分）设，函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（）A .B .C . 3D .6. （2分） (2017高一下·扶余期末) 若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 以上均有可能7. （2分） (2019高一上·合肥月考) 已知函数，则函数的值域为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·宾县期中) 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二下·南山期末) 直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，这样的直线有（）条.A . 1B . 2C . 3D . 不确定10. （2分）(2016高一下·朝阳期中) 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令⊙ =mq-np，下面说法错误的是（）A . 若与共线，则⊙ =0B . ⊙ = ⊙C . 对任意的λ∈R，有⊙ = ⊙ ）D . （⊙ ）2+（）2=| |2| |211. （2分） (2020高二上·平谷月考) 袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P（ξ≥8）等于（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·上海月考) 关于函数，有下列四个命题：① 的值域是；② 是奇函数；③ 在上单调递增；④方程总有四个不同的解；其中正确的是（）A . ①②B . ②③C . ②④D . ③④二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·东阳期中) 实数x，y满足不等式组，则的最小值是________，的最大值为________．14. （1分） (2019高三上·浙江月考) 若函数与的图象有交点，则的最小值为________．15. （1分） (2016高三上·黄冈期中) 数列﹣1，1，﹣，，…的一个通项公式为________．16. （1分） (2016高二下·连云港期中) 已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），使⊥成立的x值为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高三上·佛山月考) 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积（其中为坐标原点）.18. （5分）(2020·徐州模拟) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC⏊BC,D,E分别是A1B1,BC的中点．求证：（1）平面ACD⊥平面BCC1B1；（2）B1E∥平面ACD ．19. （10分） (2019高二上·厦门月考) 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.20. （10分） (2018·长沙模拟) 已知函数，．（1）证明：，直线都不是曲线的切线；（2）若，使成立，求实数的取值范围．21. （10分）(2017·徐水模拟) 某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．（Ⅰ）求进入决赛的人数；（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记X表示两人中进入决赛的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．22. （10分） (2019高二下·凤城月考) 在直角坐标系中，曲线（t为参数，），其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）求与交点的直角坐标；（2）若与相交于点A，与相交于点B，求的最大值．23. （10分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2021年陕西省高考数学教学质量测评试卷(理科)(解析版)
2021年陕西省高考数学教学质量测评试卷（理科）（四）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|lnx＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1≤x＜e2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜e2} 2．若复数z满足（z﹣|z|）（1+i）＝﹣3﹣i，则z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，已知等边△ABC的外接圆是等边△EFG的内切圆，向△EFG内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．4．已知圆C在第一象限与x，y轴和直线l：x+y﹣2＝0都相切，则圆C的半径r＝（）A．B．C．1D．或5．已知函数，则f（f（4））＝（）A．1B．2C．3D．46．已知函数的图象关于对称，则ω的最小值为（）A．1B．C．2D．7．已知，满足，||+||＝•＝2，|+|＝，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．8．化简＝（）A．B．C．D．29．已知（x+4）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a3（x+2）3+a4（x+2）4+a5（x+2）5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝（）A．242B．243C．404D．40510．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，AA1＝6，D为CC1中点，E 为BB1上一点，＝3，∠A1AC＝60°，M为平面AA1C1C上一点，且BM∥平面ADE，则点M的轨迹的长度为（）A．1B．C．D．211．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A（0，），＝（1，﹣），P为C右支上一点，当|PA|+|PF1|取得最小值时，＝λ，则C的离心率为（）A．B．2C．D．12．已知函数（x＞e，e为自然对数的底数），，若f（x）﹣g（x）＝0有解，则a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．[e，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣3y的最小值为．14．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且＝，|PF2|+|F2Q|＝4，则E的标准方程为．15．已知△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，AB＝3，AC＝3，点D在BC上，∠BAD+∠BAC＝π，记△ABD的面积为S1，△ABC的面积为S2，，则BC＝．16．在古代数学中把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导了方亭的体积公式，如图正四棱台的下底面边长为a，上底面边长为b，高为h，则体积，某景区计划在景区内挖一条景观河，河的横截面为等腰梯形，上口宽10米，下口宽6米，深2米，河的总长度为1638米（按直线长度计算）把挖出的土堆成一个正四棱台形状的地基，设计地基的高为6米，侧面与底面所成的二面角为45°，则正四棱台地基的底面边长为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足3（a1+a3）＝S4，且a1，a3+1，a4成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项；（Ⅱ）设b n＝a n•log2a n+1，数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞2021成立的n的最小值．18．为了考察购物商场播放背景音乐对消费者的购物消费是否有促进作用，某商场对往年同期的销售额进行了统计整理，在往年数据的基础上，比较播放背景音乐的楼层和不播放背景音乐的楼层与往年同期相比销售额是否上涨，得到了如表所示的2×2列联表：上涨天数不上涨天数总计播放背景音乐楼层9020110不播放背景音乐楼层6040110总计15060210（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为播放背景音乐对促进消费者消费有效果？（Ⅱ）为了进一步了解消费者对背景音乐的需求，该商场从播放背景音乐的楼层随机抽取10位幸运消费者，从不播放背景音乐的楼层分别随机抽取了5位幸运消费者赠送礼品并进行采访，然后又从15位幸运消费者中随机抽取3位进行深入调查，记抽取的3位幸运消费者中从播放背景音乐的楼层抽取的幸运消费者数为X，求X的分布列和数学期望．（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝BC＝CD＝2，点E为AB中点，把△ADE 沿DE折起，点A到达平面ABCD外一点P处，点F为AD中点．（I）求证：PB∥平面CEF；（Ⅱ）当时，求二面角D﹣CE﹣F的余弦值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交E于A，B两点，设E的准线与x轴的交点为K，当S△KAF＝2S△KBF时，．（Ⅰ）求抛物线E的标准方程；（Ⅱ）若点N（3，0），M（﹣3，0），过点N的直线l与E交于P，Q两点，求证：N 点到直线MP和直线MQ的距离相等．21．已知函数f（x）＝me x﹣x（m∈R）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当x2≥4x1时，不等式恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的直角坐标方程为x﹣y+2＝0．（Ⅰ）求曲线C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）直线l与曲线C相交于A，B两点，点P是曲线C上的一个动点，求△ABP的面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+2＜0；（Ⅱ）对任意的x∈R，f（x）≤m2+2m恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|lnx＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1≤x＜e2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜e2}解：∵A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|0＜x＜e2}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}，故选：C．2．若复数z满足（z﹣|z|）（1+i）＝﹣3﹣i，则z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），则．因为（z﹣|z|）（1+i）＝﹣3﹣i，所以（a﹣+bi）（1+i）＝（a﹣b﹣）+（a+b﹣）i＝﹣3+i，所以，解得a＝﹣，所以z＝+i，即复数z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B．3．如图，已知等边△ABC的外接圆是等边△EFG的内切圆，向△EFG内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．解：由题可知△EFG内切圆的切点分别为A，B，C，∴EA＝EC，FA＝FB，GC＝GB．又△EFG是等边三角形，∴△ACE，△ABF，△BCG，△ABC是4个全等的等边三角形，∴所求的概率P＝＝．故选：C．4．已知圆C在第一象限与x，y轴和直线l：x+y﹣2＝0都相切，则圆C的半径r＝（）A．B．C．1D．或解：根据题意，圆C在第一象限与x，y轴都相切，设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2（a＞0），又由圆C与直线l：x+y﹣2＝0相切，则有，解可得a＝2﹣或2+，故选：D．5．已知函数，则f（f（4））＝（）A．1B．2C．3D．4解：∵，∴，故选：A．6．已知函数的图象关于对称，则ω的最小值为（）A．1B．C．2D．解：函数f（x）＝cosωx+sinωx＝2（cosωx+sinωx）＝2sin（ωx+），且f（x）的图象关于对称，所以•ω+＝kπ+，k∈Z，解得ω＝3k+，k∈Z．又ω＞0，所以当k＝0时，ω取最小值，即ωmin＝．故选：B．7．已知，满足，||+||＝•＝2，|+|＝，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．解：因为，所以．又，所以，所以，故选：A．8．化简＝（）A．B．C．D．2解：原式＝＝．故选：B．9．已知（x+4）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a3（x+2）3+a4（x+2）4+a5（x+2）5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝（）A．242B．243C．404D．405解：设x+2＝t，可知原式变为，两边同时求导可得．令t＝1，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝405，故选：D．10．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，AA1＝6，D为CC1中点，E 为BB1上一点，＝3，∠A1AC＝60°，M为平面AA1C1C上一点，且BM∥平面ADE，则点M的轨迹的长度为（）A．1B．C．D．2解：由题意得BE＝2，CD＝3，在CD上取点M1，使M1D＝2，M1C＝1，则M1D∥BE 且M1D＝BE，所以四边形BEDM1是平行四边形，所以BM1∥DE．在AC上取点M2，使M2A＝2，M2C＝1，则，所以M1M2∥AD．又BM1∩M1M2＝M1，DE∩AD＝D，所以平面BM1M2∥平面ADE，所以点M的轨迹就是线段M1M2，在△CM1M2中，CM1＝CM2＝1，∠M1CM2＝120°，由余弦定理得M1M2＝＝．，故选：C．11．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A（0，），＝（1，﹣），P为C右支上一点，当|PA|+|PF1|取得最小值时，＝λ，则C的离心率为（）A．B．2C．D．解：记t＝|PA|+|PF1|＝|PA|+|PF2|+2a≥|AF2|+2a，当A，P，F2三点共线时，t有最小值，此时，所以．设焦距为2c，则F2（c，0），所以．又，所以，化简得e4﹣e2﹣2＝0，解得e2＝2（舍负），所以双曲线C的离心率（舍负），故选：C．12．已知函数（x＞e，e为自然对数的底数），，若f（x）﹣g（x）＝0有解，则a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．[e，+∞）C．D．解：因为x﹣e＞0，所以，当且仅当，即x＝e+1时，等号成立，此时f（x）有最小值2，，则，令g′（x）＝0，得x＝e+1，当1＜x＜e+1时，g′（x）＞0，则g（x）是增函数，当x＞e+1时，g′（x）＜0，则g（x）是减函数，所以当x＝e+1时，g（x）有极大值也是最大值，，要满足f（x）﹣g（x）＝0有解，只需要，所以，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣3y的最小值为．解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示．作直线l0：x﹣3y＝0，平移直线l0，可知当直线l0平移至点C时，目标函数z＝x﹣3y取得最小值．联立，解得点C的坐标为，则．故答案为：．14．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且＝，|PF2|+|F2Q|＝4，则E的标准方程为＝1．解：连接PF1，QF1．因为|OP|＝|OQ|，|OF1|＝|OF2|，所以四边形PF1QF2为平行四边形，则PF1＝F2Q．又PF2⊥F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则解得所以，则椭圆E的标准方程为．故答案为：．15．已知△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，AB＝3，AC＝3，点D在BC上，∠BAD+∠BAC＝π，记△ABD的面积为S1，△ABC的面积为S2，，则BC＝6．解：法一：设∠BAD＝θ，则∠BAC＝π﹣θ，则．因为，所以AD＝2．在△ABD中，由正弦定理得，在△ABC中，由正弦定理得，两式相比得．设CD＝x，则BD＝2x，BC＝3x，在△ABC中，由余弦定理得，所以①．在△ABD中，由余弦定理得，所以②，联立①②得x＝2，所以BC＝6．法二：因为∠BAD+∠BAC＝π，把△ABD沿AB翻折到△ABD′，使C，A，D′三点共线，则AB平分∠CBD′．因为，所以．因为，所以AD′＝2，设BC＝3x，则BD′＝2x，设∠BAD′＝θ，则∠BAC＝π﹣θ．在△ABC中，由余弦定理得，所以①，在△ABD′中，由余弦定理得，所以②，联立①②得x＝2，所以BC＝6．故答案为：6．16．在古代数学中把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导了方亭的体积公式，如图正四棱台的下底面边长为a，上底面边长为b，高为h，则体积，某景区计划在景区内挖一条景观河，河的横截面为等腰梯形，上口宽10米，下口宽6米，深2米，河的总长度为1638米（按直线长度计算）把挖出的土堆成一个正四棱台形状的地基，设计地基的高为6米，侧面与底面所成的二面角为45°，则正四棱台地基的底面边长为72米．解：景观河挖出的土的体积（立方米），由题意得正四棱台的下底面边长为a，高h为6米，侧面与底面所成的二面角为45°，如图，上底面边长为（a﹣12）米，所以正四棱台地基的体积．因为V1＝V2，所以a2﹣12a﹣4320＝0，解得a＝72或﹣60（舍负），所以正四棱台地基的底面边长为72米．故答案为：72米．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足3（a1+a3）＝S4，且a1，a3+1，a4成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项；（Ⅱ）设b n＝a n•log2a n+1，数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞2021成立的n的最小值．解：（I）设数列{a n}的首项为a1，公比为q，∵3（a1+a3）＝S4＝a1+a2+a3+a4，∴（q﹣2）（q2+1）＝0，∴q＝2．∵a1，a3+1，a4成等差数列，∴a1+a4＝2（a3+1），∴a1＝2，∴．（Ⅱ）由（I）知，则①，②，①﹣②得：，∴．∵，∴n≥8，∴n的最小值为8．18．为了考察购物商场播放背景音乐对消费者的购物消费是否有促进作用，某商场对往年同期的销售额进行了统计整理，在往年数据的基础上，比较播放背景音乐的楼层和不播放背景音乐的楼层与往年同期相比销售额是否上涨，得到了如表所示的2×2列联表：上涨天数不上涨天数总计播放背景音乐楼层9020110不播放背景音乐楼层6040110总计15060210（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为播放背景音乐对促进消费者消费有效果？（Ⅱ）为了进一步了解消费者对背景音乐的需求，该商场从播放背景音乐的楼层随机抽取10位幸运消费者，从不播放背景音乐的楼层分别随机抽取了5位幸运消费者赠送礼品并进行采访，然后又从15位幸运消费者中随机抽取3位进行深入调查，记抽取的3位幸运消费者中从播放背景音乐的楼层抽取的幸运消费者数为X，求X的分布列和数学期望．（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（Ⅰ）根据2×2列联表中的数据，可得，因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为播放背景音乐对促进消费者消费有效果．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；，所以随机变量X的分布列为X0123P所以随机变量X的数学期望．19．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝BC＝CD＝2，点E为AB中点，把△ADE 沿DE折起，点A到达平面ABCD外一点P处，点F为AD中点．（I）求证：PB∥平面CEF；（Ⅱ）当时，求二面角D﹣CE﹣F的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由题可得到四棱锥P﹣EBCD如图所示，连接EF，CE，CF．易知BE＝CD，且BE∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形．又BC＝CD＝2，所以四边形BCDE是菱形，所以DE＝PD＝PE＝2，所以△PDE是等边三角形，则∠DPE＝∠EBC＝60°，易知△CDE是等边三角形．连接BD交EC于点G，连接FG，则点G为BD的中点，所以FG是△PBD的中位线，则FG∥PB．因为FG⊂平面CEF，PB⊄平面CEF，所以PB∥平面CEF．（Ⅱ）如图，设DE的中点为点O，连接OP，OC，OB，EC，则OP⊥DE，OC⊥DE．在△OBE中，OE＝1，BE＝2，∠BEO＝120°，由余弦定理得．在△POB中，．因为OP2+OB2＝PB2，所以OP⊥OB．又DE∩OB＝O，所以OP⊥平面BCDE，所以OP，OE，OC两两垂直，则以点O为坐标原点，OE，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面CEF的法向量为，则解得令y＝1，得，所以．由题可知平面CDE的一个法向量为．设二面角D﹣CE﹣F的平面角为α，且由图可知α为锐角，则．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F 的直线交E于A，B两点，设E的准线与x轴的交点为K，当S△KAF＝2S△KBF时，．（Ⅰ）求抛物线E的标准方程；（Ⅱ）若点N（3，0），M（﹣3，0），过点N的直线l与E交于P，Q两点，求证：N 点到直线MP和直线MQ的距离相等．解：（1）因为，所以|KF|＝p．由题意得直线AB的斜率不为0，设直线，代入y2＝2px（p＞0），消去x得y2﹣2pmy﹣p2＝0，△＞0成立．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则．因为S△KAF＝2S△KBF，所以y1＝﹣2y2，所以．又，所以p＝2，所以抛物线E的标准方程为y2＝4x．（Ⅱ）证明：设直线l：x＝ny+3，代入y2＝4x消x得y2﹣4ny﹣12＝0，△＞0成立，设P（x3，y3），Q（x4，y4），则y3+y4＝4n，y3⋅y4＝﹣12，所以＝＝＝＝，即k MP+k MQ＝0，所以k MP＝﹣k MQ，即∠PMN＝∠QMN，所以N点到直线MP和直线MQ的距离相等．21．已知函数f（x）＝me x﹣x（m∈R）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当x2≥4x1时，不等式恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）解法一：f′（x）＝me x﹣1，当m＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，不可能有两个零点，不符合题意，当m＝0时，f（x）＝﹣x，有一个零点，不符合题意，当m＞0时，令f′（x）＝0，则，解得，当时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以当时，f（x）有极小值也是最小值，且，因为f（x）有两个零点，所以，即，即，解得，此时，f（0）＝m＞0，f（1）＝me﹣1＜0，所以0＜x1＜1，因为，，易知当x＞0时恒有x﹣lnx＞0，所以，所以，且符合x1＜x2，所以m的取值范围为．解法二：令f（x）＝me x﹣x＝0，因为e x＞0，所以．令，则，令φ′（x）＝0，解得x＝1，当x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，故当x＝1时，φ（x）有极大值也是最大值，且，当x＜0时，φ（x）＜0，当x＝0时，φ（x）＝0，当x＞0时，φ（x）＞0，所以当时，f（x）＝me x﹣x＝0有两个零点，所以m的取值范围为．（Ⅱ）因为，，所以，所以，又因为当x2≥4x1时，不等式恒成立，所以，，令，因为x2≥4x1，所以t≥4，则lnt＜（t﹣3）a+1，所以对t≥4恒成立，令，则＝，令h（t）＝2t﹣tlnt﹣3，则h′（t）＝1﹣lnt，当t≥4时，h′（t）＜0，所以h（t）在[4，+∞）上单调递减，h（t）≤h（4）＝5﹣4ln4＜0，所以g′（t）＜0，g（t）在[4，+∞）上单调递减，g（t）≤g（4）＝2ln2﹣1，所以a＞2ln2﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的直角坐标方程为x﹣y+2＝0．（Ⅰ）求曲线C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）直线l与曲线C相交于A，B两点，点P是曲线C上的一个动点，求△ABP的面积的最大值．解：（Ⅰ）将（α为参数）中的参数α消去得x2+y2＝4，将x2+y2＝ρ2代入上式得ρ2＝4，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2．将x＝ρcosα，y＝ρsinα代入直线方程x﹣y+2＝0得直线l的极坐标方程为ρcosα﹣ρsinα+2＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C是圆心为（0，0），半径R＝2的圆．设P（2cosθ，2sinθ），则坐标原点O到直线l的距离，∴，∴＝＝．又∵θ∈[0，2π），∴，∴，∴△ABP面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+2＜0；（Ⅱ）对任意的x∈R，f（x）≤m2+2m恒成立，求m的取值范围．解：（I）f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|＝，......2分，所以不等式f（x）+2＜0等价于，或，或；解得x∈∅，或＜x＜2，或x≥2；所以不等式f（x）+2＜0的解集为（，+∞）．......5分（Ⅱ）由（I）知f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|＝，作出函数f（x）的图象如图所示：由图象可知﹣3≤f（x）≤3；......8分因为对任意的x∈R，有f（x）≤m2+2m恒成立，所以m2+2m≥3，......9分即m2+2m﹣3≥0，解得m≥1或m≤﹣3，所以m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．......10分。
2021年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷(理科)解析版
2021年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（理科）1.若，则A. B. 2 C. D. 32.设集合，，且，则A. 2B.C.D. 43.设抛物线C：的焦点为F，准线为是抛物线C上异于O的一点，过P作于Q，则线段FQ的垂直平分线A. 经过点PB. 经过点OC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP4.的展开式中的系数为A. 25B.C. 15D.5.某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价元456789销量件908483807568由表中数据求得线性回归方程为若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为A. B. C. D.6.“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜如图其反射面的形状为球冠球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中R为球的半径，h为球冠的高，设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当，时，A. B. C. D.7.将函数其中的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值是A. B. 1 C. D.8.已知直线l是曲线在点处的切线，点是直线l上位于第一象限的一点，则的最小值为A. 4B. 9C. 25D. 169.一个动圆与定圆F：相外切，且与直线l：相切，则动圆圆心的轨迹方程为A. B. C. D.10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，的面积为，则A. B. 5 C. 8 D.11.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.12.设点P在内且为的外心，，如图，若，，的面积分别为，x，y，则的最大值是A. B. C. D.13.已知，，则______.14.若x，y满足约束条件，则的最小值是______ .15.点P在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的离心率为______.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物.将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______ ；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是______ .17.如图，四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PA上一点，且证明：平面平面PAC；求直线PB与平面BEC所成角的正弦值.18.已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列.求数列的通项公式；若为数列的前n项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.19.2020年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验480人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验480次.方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次这时认为每个人的血化验次；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组k个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立.设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；设试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？最后结果四舍五入保留整数20.已知点P到的距离与它到直线l：的距离之比为求点P的轨迹E的方程；若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点的直线l与轨迹E交于B，C 两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.21.已知函数若函数其中是的导函数在上单调递增，求m的取值范围；当时，若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为写出曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；设点M的极坐标为，射线分别交，于A，B两点异于极点，当时，求23.已知函数，解不等式：；记的最小值为M，若实数a，b满足，试证明：答案和解析【答案】1. A2. C3. A4. B5. C6. B7. D8. B9. D10. B11. D12. B13.14.15.16.17. 证明：平面ABCD，平面ABCD，，在直角梯形ABCD中，，，，，，，，又平面PAC，平面PAC，平面PAC，平面EBC，平面平面PAC；…………………………………………分解：以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示易知则，设是平面BCE的法向量．则即所以可取直线PB与平面BEC所成角的正弦值为…………………………………分18. 解：由题意可得即又因为，所以所以………………………………………分，存在，使得成立．存在，使得成立．即存在，使得成立．当且仅当时取等号，即实数的取值范围是…………………………分19. 解：设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为依题意可知，所以X的分布列为：XP………………………………………分方案②中．结合知每个人的平均化验次数为：，当时，，此时480人需要化验的总次数为331次，时，，此时480人需要化验的总次数为290次，时，，此时480人需要化验的次数总为285次，即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少．而采用方案①则需化验480次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当时化验次数最多可以平均减少次．………………分20. 解：设点，由题意可得化简整理可得，所以点P的轨迹E的方程为………………………………………分证明：由可得，过点D的直线l斜率存在且不为0，故可设l的方程为，，，由得，，即，，而，由于直线l过点，所以，所以即为定值………………………………………分21. 解：函数的导数，，在上单调递增，在上恒成立，在上恒成立，，故m的取值范围为当时，，关于x的不等式在上恒成立，，设，则，由的导数为，可得时，，函数递增，时，函数递减，则，即，当时，，则在递增，可得，则，即a的取值范围是22. 解：为参数，曲线的普通方程为，即，，，，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为………………………………分依题意设，，由，可得，由，得，，，是圆的直径，在直角中，，在直角中，，，即，………………………………………分23. 解：易知因为，所以，或，或所以，或，或，所以，所以不等式的解集为分证明：，当且仅当时取等号．的最小值为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号．分【解析】1. 解：，，则故选：利用复数代数形式的乘法运算求得，进一步求得，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2. 解：，且，，解得故选：可求出集合A，B，然后根据即可求出a的值．本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3. 解：如图所示：，由抛物线的定义可知，，为等腰三角形，且FQ为等腰三角形FPQ的底边，线段FQ的垂直平分线经过点P，故选：利用抛物线的定义可知，进而可得线段FQ的垂直平分线一定过点本题主要考查了抛物线的定义，是基础题．4. 解：在的展开式中，的系数为故选：由题意利用二项展开式的通项公式，求出展开式中的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．5. 根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件在回归直线右上方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．本题考查的知识是等可能性事件的概率及线性回归方程，求出回归直线方程，判断各数据点与回归直线的位置关系，并求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键解：，，，回归直线方程；数据，，，，，6个点中有3个点在直线右上方，即，，其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，故这点恰好在回归直线右上方的概率故选：6. 解：由已知可得平面中心到球心的距离为，又球冠周长为，所以，又，所以，因为，即，解得，即，故，故选：根据球冠底周长求出球冠底半径，再根据球冠面积求出R与h的关系，然后利用勾股定理求出R，进而可以求解．本题考查了球的表面积，考查了学生的空间想象能力以及运算能力，属于中档题．7. 解：将函数的图象向右平移个单位长度，得，的图象关于直线对称，，，，，，的最小值为，故选：由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，，即，，由此求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8. 解：的导数为，可得在点处的切线的斜率为，切点为，切线的方程为，即为，则，所以，当且仅当时，取得等号．则的最小值为故选：求得的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程，由乘“1”法和基本不等式，可得所求最小值．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及基本不等式的运用：求最值，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．9. 解：定圆F：的圆心，半径为2，设动圆圆心P点坐标为，动圆得半径为r，d为动圆圆心到直线的距离，即r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，，，即：，化简得：动圆圆心轨迹方程为故选：设动圆圆心P点坐标为，定圆，动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，，，从而，由此能求出动圆圆心轨迹方程．本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．10. 解：因为，由正弦定理可得，因为，所以，所以，可得，即，解得，所以，因为，所以，又，所以，所以故选：利用正弦定理以及同角三角函数的基本关系可求得，的值，由三角形面积公式可求得bc，再由余弦定理即可求得a的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查同角三角函数的基本关系，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．11. 解：，，即，，，，，又，，即，，故选：先求出，得到，再把a，b变形得，，得到，即可得解．本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式，考查了计算能力，属于中档题．12. 解：因为，所以，设外接圆半径为r，所以，解得，设，，则，，，故当时，等号成立．故选：由得到外接圆半径的平方，设，将x，y用表示，再结合二倍角公式化简即可得到答案．本题主要考查三角恒等变换在三角形中的几何计算问题，考查学生建模能力，是一道中档题．13. 【分析】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的综合应用，属于基础题．根据题意由范围，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简化简求解．【解答】解：因为，所以，因为，可得，可得故答案为：14. 解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影所示：目标函数可化为，平移目标函数知，当目标函数过点时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，所以z的最小值为故答案为：画出约束条件表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，从而求出目标函数的最小值．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了运算求解能力与数形结合思想，是基础题．15. 解：由线段的垂直平分线恰好过点，可得，由直线与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得，设的中点为M，由中位线定理可得，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，即，即，即有，即，可得，即，故答案为：运用线段的垂直平分线的性质定理可得，设的中点为M，由中位线定理可得，再由勾股定理和双曲线的定义可得，结合a，b，c的关系，可得a，c的关系，即可得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率，考查平面几何中垂直平分线定理和中位线定理的运用，考查运算能力，属于中档题．16. 解：由题意可得该六面体是由两个全等的四面体组合而成，四面体的两两垂直的棱长为2，如图，该六面体的体积为，当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，其中D为BC的中点，过球心O作，则OE就是球的半径，，，故，，，因为，所以球的半径，所以该球的表面积为，故答案为：该六面体是由两个全等的四面体组合而成，四面体的棱两两垂直，棱长为2，求出外接球半径即可求出体积，当外接球与SD相切时六面体的体积取得最大值，求出半径即可求解．本题考查了求解正四面体的外接球的体积与表面积，考查了学生的空间想象能力与运算能力，属于中档题．17. 证明，，，即可证明平面PAC，平面平面以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BCE的法向量，利用空间向量的数量积求解直线PB与平面BEC所成角的正弦值即可．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．18. 利用等差数列的和以及等比数列的通项公式，求解数列的首项与公差，然后求解数列的通项公式．数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，通过成立．说明存在，使得成立．得到成立．利用基本不等式转化求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，等差数列以及等比数列的应用，是中档题．19. 设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则可知，得到X 的分布列．方案②中．结合知每个人的平均化验次数，求出期望；当时，时，时的期望，然后推出结果．本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．20. 设点，由题意列出方程，化简求解可得点P的轨迹E的方程．过点D的直线l斜率存在且不为0，设l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，通过直线的斜率的和，结合，推出结果即可．本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21. 求出函数的导数，根据函数的单调性得到在上恒成立，求出m的取值范围即可；代入m的值，问题转化为，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，求出a的取值范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题．22. 消去参数求出曲线的普通方程，利用极坐标与普通方程的互化，求解极坐标方程即可．设，，通过，可得，由，得说明，通过，转化求解即可．本题考查圆锥曲线的极坐标方程以及参数方程与普通方程的互化，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．23. 取得绝对值符号，利用分段函数，求解不等式的焦距即可．求出的最小值为，得到，然后利用基本不等式转化求解证明即可．本题考查函数的最值的求法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
2021届陕西省西安市长安区高三下学期5月第二次模拟考试理科数学试题 PDF版
有一项是符合题目要求的。
1--5:BDACB; 6--10:CDBDA;
11--12: AC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 1 2
14． 2,18
15．5,
16． (1,)
四、解答题：共 70 分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第 17-21 题为必考题，
长安区 2021 年高三年级第二次模拟试题
理科数学
本试卷分为选择题和非选择题两部分，总分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：
1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码 上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 非选择题答案用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
23、已知 f (x) (x 1) x a 2 x 2 ， a R .
（1）当 a 2 时，求不等式 f (x) 0 的解集.
（2）求 f (2) f (3) 的取值范围.
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长安区 2021 年高三年级第二次模拟试题
数学（理科）评分细则
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
组织相关检测员对这 8 款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区有 6 家婴幼儿用品商店在售这
几种品牌的奶粉，甲、乙、丙 3 名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检 1 家商店，且
检测过的商店不重复检测，则甲检测员至少检测 3 家商店的概率为（ ）
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A． 5 18
2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科数学试卷(预测卷)-学生用卷
2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科数学试卷（预测卷）-学生用卷一、单选题1、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第1题已知2−mi1+ni =i，(m,n∈R)，则mn=（）A. 12B. −12C. 2D. −22、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第2题已知集合A={x|x2−3x−4=0}，B={x|a<x<a2}，若A⋂B=∅，则实数 a的取值范围是（）A. (−∞,−1]B. [4,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,4)D. [−1,2]∪[4,+∞)3、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第3题为了降低成本和节约时间，在进行核酸检测时，常常10人一组进行混合检测.若每人的核酸检测结果呈阳性的概率为p(0<p<1)，则10人一组的混合核酸检测结果呈阳性的概率为（）A. 1−p10B. p10C. 1−(1−p)10D. C101p1(1−p)94、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第4题已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−1)2+y2=1所截得的弦长为√2，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2√2C. √2D. √35、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第5题已知a >0，b >0，则“ab ≥1”是“2a +2b ≥4”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第6题若(1−2x )2022=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 2022(x +1)2022，则a 2022a 0=（ ）A. 22022B. (12)2022C. (23)2022 D. (32)20227、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第7题在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1，点 P 满足BP →=λBB 1→+μBC →(λ+μ=1)，则下列说法不正确的是（ ）A. 三棱锥D 1−PAD 的体积为定值B. AB ⊥BPC. B 1､ P ､ C 三点共线D. △ABP 的面积为定值8、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第8题已知函数f (x )=sinωx −√3cosωx +1 (ω>0)在(0,2π)上有且只有5个零点，则实数ω的范围是（ ）A. (112,376] B. (136,72] C. (2512,114] D. (2512,112]9、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第9题已知x 1 是方程x ⋅3x =2的根，x 2 是方程x ⋅log 3x =2的根，则x 1⋅x 2的值为（ ）A. 2B. 3C. 6D. 1010、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第10题已知数列{a n }满足n ⋅a n+1=(n +1)a n +2，(n ∈N ∗)，且a 1=1，则a 2022=（ ）A. 6065B. 6064C. 4044D. 404311、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第11题已知 F 是抛物线y 2=4x 的焦点，直线y =kx +k 与该抛物线交于第一象限内的两点 A ， B ，若|AF |=4|FB |，则 k 的值是（ ）A. 45B. 3√24C. √174D. 2√3312、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第12题已知函数f (x )=x 2−alnx −2a (a <2)，若对于∀x 1、x 2∈[1,2]，x 1≠x 2，都有|f(x 1)−f (x 2)||x 1−x 2|>2a 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A. (−∞,12]B. (−∞,2)C. (−∞,0)D. (−∞,23]二、填空题13、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第13题已知不等式组{y≤−x+2y≥kx+1x≥0，所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k的值为.14、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第14题某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积为.15、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第15题已知等差数列{b n}公差d≠0，其前 n项和为T n，若记数据b1,b2,b3,⋯⋯b2022的方差为s12，数据T1,12T2,13T3,⋯⋯12022T2022的方差为s22，则s12:s22=.三、双空题16、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第16题我国古代数学家已经会借助三角数表来计算二阶等差数列的和，例如计算1+(1+2)+(1+2+3)，把第一个数表逆时针旋转两次，得到后两个数表，再把3个数表叠在一起，每一个位置的和都是5，所以1+(1+2)+(1+2+3)=5×63，我们使用类似的想法计算：1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+4+⋯+12)，三个数表叠加之后每一个位置的和都是 ；推广可得1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+4+⋯+n )的求和公式S n = ．四、解答题17、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第17题在①(a −c )sin(A +B )=(a −b )(sinA +sinB )，②bcos(π2−A)=√3acosB ，③2S △ABC =√3BA →⋅BC →这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在△ABC 中，已知内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c.且___________.(1)求角 B 的大小；(2)若b =2，求△ABC 周长的最大值.18、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第18题疫情过后，某商场为了应对销售窘境，清明节前后特对1000台笔记本电脑推出促销活动，其中高配400台，低配600台.(1)若高配笔记本4月1日到4月6日的销量分别为：9､ m ､12､10､ n ､10（单位：台），把这些数据看作一个总体，其均值为10，方差为3，求|m −n |的值；(2)现欲从这批笔记本电脑中分层抽取一个容量为25的样本，将此部分样本看成一个总体，再从中任取3台笔记本电脑，求至少有1台为高配的概率（用最简分数表示）.19、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第19题如图所示，直三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均相等，点 E在AA1上，满足EB1⊥BC1.(1)证明E为AA1的中点；(2)求平面CEB1与平面C1EB1夹角的余弦值.20、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第20题已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，椭圆长轴长为4，离心率为12， AB是经过右焦点 F的任一弦，设直线 AB与直线l:x=4交于点 M.(1)求椭圆 C的标准方程；(2)试问在椭圆上是否存在一定点 P 使得k1，k2，k3成等差数列（其中k1，k2，k3分别为直线 PA， PM， PB的斜率），若存在，求出点 P坐标，若不存在，请说明理由.21、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第21题已知函数f(x)=(x−1)e x−12ax2+x+a.若函数f(x)的图像与直线y=x相切.(1)求实数a的值；(2)若a<e，且0<x<1时，求证：1e x −e x>4xx2−2.22、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第22题平面直角坐标系xOy中，圆C1的圆心为(0,1)，半径为1，圆C1与圆C2关于直线y=x对称.现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C1与圆C2的极坐标方程；(2)设M，N分别是圆C1和圆C2上的两个动点，且∠MON=2π3，求△MON面积的最大值.23、【来源】 2021年陕西西安高三下学期高考模拟理科（预测卷）第23题设函数f(x)=|x−a2|+|x+1a|−4x(a>0)(1)当a=1时，求不等式f(x)≤52的解集；(2)已知不等式f(x)≥|x+1a |的解集为{x∣x≤1}，m>0，n>0，m+n=a，求2m+8n的最小值.1 、【答案】 A;2 、【答案】 D;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 C;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】−12;14 、【答案】12π;15 、【答案】4;16 、【答案】 14;n(n+1)(n+2)6;17 、【答案】 (1)B=π3(2)6;18 、【答案】 (1)5(2)369460;19 、【答案】 (1)证明见解析(2)√64;20 、【答案】 (1)x24+y23=1(2)P(1,32);21 、【答案】 (1)a=1或a=e2(2)证明见解析.;22 、【答案】 (1)圆C1：ρ=2sinθ；圆C2：ρ=2cosθ(2)1+√32;23 、【答案】 (1)[−14,+∞)(2)95;。
陕西省2021版高考数学三模试卷(理科)A卷
陕西省2021版高考数学三模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共23分)1. （2分）(2019·泸州模拟) 已知集合，，则A .B .C .D . 2，2. （2分） (2016高一下·长春期中) 若向量 =（1，1）， =（1，4）， =（2，x），满足条件（2 +）• =30，则x=（）A . 4B . 3C . 2D . 13. （2分） (2019高一上·重庆月考) 下列函数中,既是偶函数,又在区间上是单调递减的函数是（）A .B .C .D .4. （1分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为________5. （2分）(2018·重庆模拟) 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，与双曲线的右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A .B .C .D .6. （2分）计算机执行右边程序框图设计的程序语言后，输出的数据是55,则判断框内应填（）A . n＜7B . n≤7C . n≤8D . n≤97. （2分）(2018·恩施模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 4B . 3C . 2D . 18. （2分） (2016高二下·玉溪期中) 曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A . x﹣y﹣2=0B . x﹣y+2=0C . x+y+2=0D . x+y﹣2=09. （2分） (2019高一下·吉林月考) 若，，且，则值为（）A .B .C . 或D . 或10. （2分） (2019高一上·鹤壁月考) 如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·鄂尔多斯模拟) 已知函数，若，则的最小值为（）参考数据：A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·邹平期中) 某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．14. （1分）(2018·兴化模拟) 将函数的图像向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 ________．15. （1分）(2017·石家庄模拟) 已知数列{an}满足，an+1bn=bn+1an+bn ，且（n∈N*），则数列{an}的前2n项和S2n取最大值时，n=________．16. （1分） (2018高二上·成都月考) 由动点引圆的两条切线，切点分别为，若，则点的轨迹方程是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （15分） (2016高一下·重庆期中) 已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn ，且对任意的m，n∈N*，都有（Sm+n+S1）2=4a2ma2n ．（1）求的值；（2）求证：{an}为等比数列；（3）已知数列{cn}，{dn}满足|cn|=|dn|=an ， p（p≥3）是给定的正整数，数列{cn}，{dn}的前p项的和分别为Tp ， Rp ，且Tp=Rp ，求证：对任意正整数k（1≤k≤p），ck=dk ．18. （5分）(2017·福州模拟) 某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位共分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付频率）．工种类别A B C赔付频率对于A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为a元，a元，b元，出险后的赔偿金额分别为100万元，100万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．（Ⅰ）若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a、b所要满足的条件；（Ⅱ）现有如下两个方案供企业选择；方案1：企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择翻翻2的支出（不包括职工支出）低于选择方案1的支出期望，求保费a、b所要满足的条件，并判断企业是否可与保险公司合作．（若企业选择方案2的支出低于选择方案1的支出期望，且与（Ⅰ）中保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作．）19. （5分）(2017·沈阳模拟) 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计（Ⅱ）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为X，若每次抽检的结果都相互独立，求X的分布列和数学期望E（X）．参考公式与数据：，其中n=a+b+c+d．P（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820. （5分）(2018·宣城模拟) 已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．（）求椭圆的方程．21. （5分） (2019高三上·朝阳月考) 设函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）讨论的极值点的个数；（Ⅲ）若在y轴右侧的图象都不在x轴下方，求实数a的取值范围．22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，圆P：（x﹣1）2+y2=4，圆Q：（x+1）2+y2=4．（1）以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P和圆Q的极坐标方程，并求出这两圆的交点M，N的极坐标；（2）求这两圆的公共弦MN的参数方程．参考答案一、选择题 (共12题；共23分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、20-1、22-1、22-2、。
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陕西省2021年高考数学模拟试卷（理科）A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·吉林模拟) 已知U=R，M={x|﹣l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则（∁UM）∩N=（）
A . {x|2≤x≤3}
B . {x|2＜x≤3}
C . {x|x≤﹣1，或2≤x≤3}
D . {x|x＜﹣1，或2＜x≤3}
2. （2分） (2016高二下·咸阳期末) 实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，设z=x+yi，则下列说法错误的是（）
A . z在复平面内对应的点在第一象限
B . |z|=
C . z的虚部是i
D . z的实部是1
3. （2分） (2019高一下·西湖期中) 函数的最小正周期为，若将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则的解析式为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下面命题正确的是（）
A . 若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B . 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C . 若m∥l，n∥l，则m∥n
D . 若m∥α，n∥α，则m∥n
5. （2分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018高二下·顺德期末) 用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上（）
A . 增加一项
B . 增加项
C . 增加项
D . 增加项
7. （2分）阅读如图所示的算法框图，输出的结果S的值为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2019高一下·南宁期中) 已知，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2019高二下·南海期末) 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）
A . 20种
B . 30种
C . 40种
D . 60种
10. （2分）(2020·银川模拟) 若满足约束条件，则的最大值为（）
A .
B . 1
C .
D . 2
11. （2分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）
A . f（x）=2x
B . f（x）=xsinx
C .
D . f（x）=﹣x|x|
12. （2分） (2017高二下·孝感期末) 若函数f（x）=xex在x=x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于（）
A . 0
B . ﹣1
C .
D . 不存在
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2019高二下·来宾期末) 已知随机变量服从正态分布，若，则 ________．
14. （1分） (2017高二下·南通期中) 已知，
则的值是________．
15. （1分） (2018高二上·新乡月考) 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的面积等于________.
16. （1分）在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是________.
三、解答题 (共8题；共70分)
17. （10分） (2019高一下·重庆期中) 已知数列满足：，，数列满足：（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和，并比较与的大小.
18. （10分）(2017·蔡甸模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD= AC=2，∠ACB=∠ACD=
．
（1）证明：AP⊥BD；
（2）若AP= ，AP与BC所成角的余弦值为，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．
19. （5分） (2017高三上·郫县期中) 某市举行“中学生诗词大赛”海选，规定：成绩大于或等于90分的具有参赛资格．某校有800名学生参加了海选，所有学生的成绩均在区间[30，150]内，其频率分布直方图如图：（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；
（Ⅱ）若大赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数X的分布列及数学期望E（X）
20. （10分） (2019高三上·珠海期末) 在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 (t 为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的坐标方程为，直线L与曲线C分别交于M,N两点
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）若点P的直角坐标为（0，-4）且M为线段PN的中点，求r的值
21. （10分） (2016高二下·故城期中) 已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）．
（1）求导数f′（x）；
（2）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．
22. （10分）如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P，连接BC，CN．
（1）求证：∠BCN=∠PMN；
（2）若∠BCN=60°，PM=1，求OM的长．
23. （5分）(2019·大庆模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），
是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线 .
（Ⅰ）求的普通方程；
（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与交于，两点，交轴于点，求的值.
24. （10分）(2020·海南模拟) 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左顶点为，满足，其中为坐标原点，为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共8题；共70分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、20-1、
20-2、21-1、
21-2、22-1、
22-2、23-1、
24-1、24-2、。