【新教材】新人教A版必修一 分段函数及映射 学案

第2课时分段函数及映射

学习目标1。会用解析法及图象法表示分段函数；2.给出分段函数，能研究有关性质；3。了解映射的概念．

知识点一分段函数

思考设集合A＝R，B＝[0，＋∞)．对于A中任一元素x,规定：若x≥0，则对应B中的y＝x;若x＜0，则对应B中的y＝－x。按函数定义，这一对应算不算函数?

答案算函数．因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应．（1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．

(2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．

（3）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．

知识点二映射

思考设A＝｛三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长．这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？

答案因为A不是非空数集，故该对应不是函数．但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”．

映射的概念：

设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B 的一个映射．

函数一定是映射，映射不一定是函数．

类型一分段函数模型

例1如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为

7cm，腰长为2错误!cm，当垂直于底边BC（垂足为F）的直线l

从左至右移动（与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x,试写出左边

部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．

解过点A，D分别作AG⊥BC,DH⊥BC，垂足分别是G，H。

因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2错误!cm，

所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，

又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.

（1)当点F在BG上，即x∈［0,2]时，y＝错误!x2；

（2)当点F在GH上，即x∈(2，5]时,y＝错误!×2＝2x－2；

（3)当点F在HC上，即x∈(5，7]时,y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－S Rt△CEF＝错误!（7＋3）×2－错误!（7－x）2

＝－错误!(x－7)2＋10.

综合(1)(2）(3），得函数的解析式为

y＝错误!

图象如图所示．

反思与感悟当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．

跟踪训练1某市“招手即停"公共汽车的票价按下列规则制定：

（1)5公里以内（含5公里)，票价2元；

（2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）．

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象．

解设票价为y元，里程为x公里，定义域为（0,20］．

由题意得函数的解析式如下：y＝错误!

函数图象如图所示：

类型二研究分段函数的性质

例2已知函数f(x）＝|x－3|－｜x＋1｜.

(1）求f（x)的值域；

(2)解不等式：f（x)〉0;

(3)若直线y＝a与f(x）的图象无交点，求实数a的取值范围．

解若x≤－1,则x－3〈0，x＋1≤0,

f(x）＝－(x－3）＋(x＋1）＝4;

若－1〈x≤3，则x－3≤0，x＋1〉0，

f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；

若x>3,则x－3〉0，x＋1〉0，

f(x)＝（x－3)－(x＋1)＝－4。

∴f（x)＝错误!

（1）－1

∴f（x）的值域为[－4,4）∪｛4｝∪{－4｝＝［－4，4］．

（2）f(x)>0，即错误!①

或错误!②

或错误!③

解①得x≤－1，解②得－1

所以f(x）>0的解集为（－∞，－1]∪（－1，1）∪∅＝（－∞，1）．（3）f(x)的图象如下:

由图可知，当a∈（－∞，－4)∪（4,＋∞）时，直线y＝a与f（x)的图象无交点．

反思与感悟研究分段函数，要牢牢抓住两个要点:

（1）分段研究．

（2）合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数,对外是一个整体．

跟踪训练2已知f（x)＝错误!

（1）画出f（x）的图象；

(2）若f(x)≥错误!，求x的取值范围;

(3)求f(x)的值域．

解(1）利用描点法，作出f（x)的图象,如图所示．

(2)由于f（±错误!)＝错误!,结合此函数图象可知，使f（x）≥错误!的x的取值范围是（－∞，－错误!］∪[错误!，＋∞)．

(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为［0，1］，

当x〉1或x<－1时,f（x)＝1。

所以f(x)的值域为［0，1］．

类型三映射的概念

例3以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射?

(1)集合A＝{P｜P是数轴上的点｝，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

(2)集合A＝{P｜P是平面直角坐标系中的点},集合B＝｛(x，y)｜x∈R，y∈R｝，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

(3）集合A＝{x｜x是三角形}，集合B＝｛x|x是圆｝，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

(4）集合A＝｛x｜x是新华中学的班级｝，集合B＝{x|x是新华中学的学生｝,对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．

解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应,所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．

(2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．

（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．