第1篇运动学习题解答

第1章 运动学
1-1在质点运动中：已知e kt x a =，
d e d kt y
bk t
-=-，0y b =（k 为常数）
，求质点的轨迹方程。

解 由
d e d kt y
bk t
-=-，得d e d kt y bk t -=-，考虑初始条件积分 0
d e d y
t
kt b
y bk t -=-⎰
⎰ 得 e kt y b b b --=-
即
e kt y b -= 又因为e kt x a =，从x 和y 的表达式消去时间t ，得到轨迹方程
x
ab y =
1-2 已知某光点在示波器荧屏上的运动方程为12()cos cos() r t A t i A t j ωωφ=+-，式中
1A 、
2A 、ω和φ均为已知非负常量，设12A A <，试求轨迹方程并就0φ=、
π4和π
2
分别讨论光点的运动轨迹。

解 由题意知1cos x A t ω=、
2cos() y A t ωφ=-，消去时间t ，可得光点的轨迹方程。

因为
1
cos x
t A ω= （1）2
cos() =cos cos sin sin y
t t t A ωφωφωφ=-+ （2） 式（1）左右两边同乘sin φ得
1
cos sin sin x t A ωφφ=
（3） 式（2）变形可得
221
sin sin cos cos cos y y x t t A A A ωφωφφ=
-=-
（4）
式（3）的平方加式（4）的平方，可消去时间t ，即得光点轨迹
222
22
1212
2cos sin x y xy A A A A φφ+-= （5） 可见，光点的轨迹一般情况下为椭圆,与φ值有很大关系。

讨论如下：
（1）当0φ=时，
式（5）简化为2
1
A y x A =，光点的运动范围为11[,]x A A ∈-、22[,]y A A ∈-，轨迹为通过原点在第一、三象限的线段。

（2）当π4φ=时，式（5
）为222212121
2
x y A A A A +-=，可以按此方程逐点描图绘出光点的轨迹
曲线，这是一个斜椭圆，如图。

光点的运动速度υ在x 、
y 方向的分量为
1d sin d x x A t t υωω=
=- 2d s i n ()d y y
A t t
υωωφ==-- 当0t =时，(0)0x υ=、2π
(0)sin 04
y A υω=>，光点沿斜椭圆作逆时针方向运动。

（3）当π2φ=时，式（5）简化为22
2212
1x y A A +=，光点的轨迹为以坐轴为主轴的正椭圆。

同样，
当0t
=时，(0)0x υ=、2π
(0)sin
02
y A υω=>，光点仍沿椭圆作逆时针方向运动。

1-3质点的运动方程为()
2
()346m r t ti t
j k =
++。

试求(1)它的轨迹方程;(2)它在前三秒内的位
移；(3) 它在5秒末的速度与加速度。

解 (1) 由于23,4x
t y t ==，消去t ，得到轨迹方程
0φ= π4φ=
π2
φ= 习题1-2 解用图
2
49
y x =
， =6z ()0x ≥ 即为在=6z 的平面内2
49
y x =
抛物线的右侧。

(2)
()06m r k =， ()()
39366m r i j k =++
前三秒内质点的位移
()()()30936m r r r i j ∆=-=+ (3) ()()5s
5d 5(38)340m/s d t t r i tj i j t
υ
===
=+=+
()225s
2
d 58m/s d t r a j t
===
1-4质点的运动方程为()
()cos sin 6 m r t R t i R t j t k =++，式中
R 为已知正常量。

试求
π
0,
s 2
t =时的速度和加速度。

解 ()
d sin cos 6 m/s d r
R t i R t j k t υ=
=-++
()2d cos sin m/s d a R t i R t j t υ==--
()()0 6 m/s R j k υ
=+，()20 m/s a R i =-
()
π 6 m/s 2R i k υ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭，2
π m/s 2a R j ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
*
1-5 在习题1-2中，当π
2
φ=
时光点的运动轨迹是椭圆，试由运动速度判断该光点是顺时针运动还是逆时针运动。

解 当π2φ=时，式（5）简化为22
2212
1x y A A +=，光点的轨迹为以坐轴为主轴的正椭圆。

光点的运动速度υ在x 、
y 方向的分量为
1d sin d x x A t t υωω=
=- 2d sin()d y y
A t t
υωωφ==-- 当0t =时，(0)0x υ=、2π
(0)sin 02
y A υω=>，光点沿椭圆作逆时针方向运动。

1-6 路灯距地面的高度为h ，身高为l 的人以速率υ在路上沿通过路灯杆的直线行走。

求(1) 头顶在地面影子移动速度的大小和加速度的大小；(2) 人在地面上影子增长速度的大小。

解 (1) 建立如图的坐标系，设人的坐标为1x ，头顶影子的坐标为2x ，设人移动速度为υ，头顶影子移动速度为V ，则 1
d d x t
υ
=
2d d x V t
=
考虑到几何关系有
221
h l x x x =- 解得
21h x x h l
=
- 头顶影子移动速度 21d d d d x x h h
V t h l t h l υ===-- (1)
加速度的大小 d d d d V h a t h l t
υ
==
- (2) 式（2）说明人加速行走，影子也将加速运动。

(2) 从图中可以看出，影子在地面上的长度为2
1x x -，影子增长速度的大小
2121d d d d d d x x l
u x x t t t h l
υ=-=-=-（）
1-7 质点作圆周运动，t 时刻角位置3
4-at bt
ct θ＝＋，求t 时刻的角速度和角加速度。

解 3423d d(-)34d d at bt ct a bt ct t t
θω===+-＋
2d 612d bt ct t
ω
α=
=- 1-8 质点以R 为半径做圆周运动，质点沿圆周所经历的路程的表达式为22
1bt S =，
其中b 为常数，求质点在t 时刻的速率υ及总加速度a 。

习题1-6 解用图
解 2
d d 1()d d 2
s bt bt t t υ=== 222n b t a R R υ==
d d t a b t
υ
== 22t n b t a be e R =+ 或
a == a
与t a 的夹角θ满足 222t a n
n t a b t b t a b R R
θ=== 1-9 已知质点沿半径为0.1 m R =的圆周运动，其角位置()2
2 rad t θ＝
＋,求
（1） 2 s t =时，质点法向加速度和切向加速度各是多少？（2） 当切向加速度的大小正好是总加速度大小的一半时，角位置θ的值是多少？
解 2
2)rad t θ＝(＋ ()2d d(2)2rad/s d d t t t t
θω+=== 2d 2rad/s d t
ω
α=
= 0.2m/s R t υω==
20.2m/s t a R α== 2220.4m/s n a R t ω==
(1)
()220.2m/s t a = ()220.16m/s n a =
(2) 总加速度大小
2a ==
当切向加速度的大小正好是总加速度的一半时，即0.2=
解得22s 2t = 角位置
.87 rad θ＝2
1-10 质点沿半径为R 的圆周运动，总加速度a 与速度υ两者之间的夹角θ保持不变,已知0
=t 时速率为0υ,试求质点速率υ随时间的变化规律。

解切向加速度d cos d t a a t
υ
θ==
，法向加速度2
sin n
a a R
υθ==
，两式两边分别相比并分离
变量得
2d d tan t R υυθ
= 由题意知tan θ为常数, 考虑初始条件并积分得 020d d tan t t R υ
υυυθ
=⎰⎰
积分得
1
1
tan t
R υ
υθ
=
-
或 00tan tan R R t
υθ
υθυ=
-
1-11 一铁饼以20m/s 的速度，450的仰角抛出，若把铁饼当作质点，求铁饼在飞行过程中任意时刻的曲率半径。

解 设θ为抛射角，抛体任意时刻的速度
()00cos sin i gt j υυθυθ=+-
υ=
=
2d d t a t υ
==
加速度的大小恒为
g
)x
n g a υυ
===
=
由法向加速度2
n
a υρ
=
得
()32
22230002sin cos x gt g t g g υυθυρυθυ-+⎛⎫== ⎪⎝⎭
代入0υ与θ值得
)
32
22
40020g t
g
ρ-+=
1-12质点沿x 轴运动，已知加速度26 m/s a
t =，0t =时， 0 3 m/s υ=-, 010 m x =，求（1）
质点的运动方程；（2）质点在前2秒内的位移和路程。

解 (1)由d 6d a
t t
υ
=
=得d 6d t t υ=，考虑初始条件,积分得
3
d 6d t
t t υ
υ-=⎰
⎰ 即 2(33)m/s t υ=-+
由d d x t
υ
=
，得()2
d 33d x t t =-+ 考虑初始条件,积分得 ()x
210
d 33d t
x t t =-+⎰
⎰
质点的运动方程
3(310)m x t t =-+
(2)
()010m x =， ()212m x =，前2秒内质点的位移
()()202m x x x ∆=-=。

令2d 330d x
t t
=-=，即当1s t =，质点速度改变符号，由负变为正，质点到达左边最远处，此时()18m x
=，得前2秒内质点的路程
()()()()1021246m s x x x x ∆=-+-=+=
1-13质点具有加速度()226m s a
i tj =+，在0=t 时，其速度为零，位矢0 m r i =。

求(1)
在任意时刻的速度和位矢；(2) 质点的轨迹方程。

解 （1）由d 26d a
i tj t
υ
=
=+得，()d 26d i tj t υ=+，积分并考虑初始条件 0
d (26)d t i tj t υ
υ=+⎰
⎰ 得 ()
223m/s ti t j υ=+
由d d r t
υ
=
得d d r
t υ=，积分并考虑初始条件
20
d d (23)d r
t
t r r t ti t j t υ==+⎰
⎰⎰ 或 23230 =(1) m r r t i t j t i t j ⎡⎤=++++⎣⎦
（2）由运动方程23(1) r
t i t j =++得，21x t =+，3y t =，消去时间t 得质点的轨迹方程为
3/2(1)y x =- （1x ≥）
1-14质点沿x 轴运动，加速度a k υ=-（k 为正常量），设0t
=时，质点的速度为0υ，位置
00x =，求运动方程。

解 由d d a
t υ=
得d d k t υυ=-或d d k t υ
υ
=-，积分并考虑初始条件
d d t
k t υ
υ
υ
υ
=-⎰⎰ 得 0e kt υυ-=
由d d x t υ
=
得，0000d d e d x t t kt
x x t t υυ-==⎰⎰⎰，积分得 0(1e )kt x k
υ-=- 1-15质点沿x 轴运动，加速度3a
Ax Bx =+（A 、B 均为正常量），设0t =时，质点的速度
00υ=，位置00x =，求质点在任意位置x 的速度。

解 由加速度的定义得d d d d d d d d x a
t x t x
υυυ
υ=
==，即d d a x υυ=，积分并考虑初始条件
30
d d ()d x
x
a x Ax Bx x υ
υυ==+⎰
⎰⎰ 得 υ=
1-16质点以初始角速度0ω作圆周运动，设运动过程中角加速度k αω=-（k 为正常量）
，求质点的角速度从0ω变为
02
ω所需要的时间。

解 由d d t
ω
α=
得
d d k t ω
ω
=-，积分
00
2
d d t
k t ωω
ω
ω
=-⎰⎰
得所需时间
ln 2
t k
=
1-17质点作圆周运动，设0t
=时，
角速度为0ω，角位置为0θ，运动过程中角加速度sin k αθ=-（k 为正常量），求质点在任意角位置θ的角速度。

解 由角加速度的定义得d d d d d d d d t t ωωθω
α
ω
θθ
=
==，即d d ωωαθ=，积分 0
d d sin d k ω
θθ
ω
θθωωαθθθ==-⎰⎰⎰
角速度
ω=1-18 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 两船都以2 m/s 的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向运动，B 船沿
y 轴正向运动。

求在A 船上看B 船的速度。

解 以地为基本参照系K ，A 船为运动参照系，B 船为运动物体，则AK
2i
υ=，BK
2j υ=。

BK BA AK υυυ=+
习题1-20 计算 等腰直角三角形薄板的质心
习题1-20 解用图
()BA BK AK 22 m/s i j υυυ=-=-+
1-19 将A 、B 两物体同时以速度A υ、B υ抛出，试证明在飞行过程中任意时刻物体B 相对于物体A 的速度为常矢量。

证明
A 、
B 两物体均作抛体运动，任意时刻物体A 的速度1A gt
υυ=+，
B 的速度
2B gt υυ=+，两物体的相对速度B A υυυ∆=-
1-20 如图，求质量为m 、边长为a 的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。

解 等腰直角三角形均匀薄板的质量面密度2
2m
a σ
=。

根据对称性，有质心坐标0C y =。

如解用图，在x 处取宽为d x 的矩形质元，则其质量 22d 2d 2d m
m y x x x a
σ==
22
d 4
d 3
C
x m x x x a m
a ==
⎰＝
1-21 汽车发动机的转速在7 s 内由200 r/min 增加到3000 r/min ，假定是匀变速的，求（1）求在这段时间内的初角速度和末角速度以及角加速度；（2）这段时间内转了多少转？（3）发动机轴上装有一半径为0.2 m r =的飞轮。

求它的边缘上一点在第7 s 末的切向加速度、法向加速度和总加速度
的大小。