第1篇运动学习题解答

第1章 运动学

1-1在质点运动中：已知e kt x a =，

d e d kt y

bk t

-=-，0y b =（k 为常数）

，求质点的轨迹方程。 解 由

d e d kt y

bk t

-=-，得d e d kt y bk t -=-，考虑初始条件积分 0

d e d y

t

kt b

y bk t -=-⎰

⎰ 得 e kt y b b b --=-

即

e kt y b -= 又因为e kt x a =，从x 和y 的表达式消去时间t ，得到轨迹方程

x

ab y =

1-2 已知某光点在示波器荧屏上的运动方程为12()cos cos() r t A t i A t j ωωφ=+-，式中

1A 、

2A 、ω和φ均为已知非负常量，设12A A <，试求轨迹方程并就0φ=、

π4和π

2

分别讨论光点的运动轨迹。

解 由题意知1cos x A t ω=、

2cos() y A t ωφ=-，消去时间t ，可得光点的轨迹方程。因为

1

cos x

t A ω= （1）2

cos() =cos cos sin sin y

t t t A ωφωφωφ=-+ （2） 式（1）左右两边同乘sin φ得

1

cos sin sin x t A ωφφ=

（3） 式（2）变形可得

221

sin sin cos cos cos y y x t t A A A ωφωφφ=

-=-

（4）

式（3）的平方加式（4）的平方，可消去时间t ，即得光点轨迹

222

22

1212

2cos sin x y xy A A A A φφ+-= （5） 可见，光点的轨迹一般情况下为椭圆,与φ值有很大关系。讨论如下：

（1）当0φ=时，

式（5）简化为2

1

A y x A =，光点的运动范围为11[,]x A A ∈-、22[,]y A A ∈-，轨迹为通过原点在第一、三象限的线段。

（2）当π4φ=时，式（5

）为222212121

2

x y A A A A +-=，可以按此方程逐点描图绘出光点的轨迹

曲线，这是一个斜椭圆，如图。光点的运动速度υ在x 、

y 方向的分量为

1d sin d x x A t t υωω=

=- 2d s i n ()d y y

A t t

υωωφ==-- 当0t =时，(0)0x υ=、2π

(0)sin 04

y A υω=>，光点沿斜椭圆作逆时针方向运动。

（3）当π2φ=时，式（5）简化为22

2212

1x y A A +=，光点的轨迹为以坐轴为主轴的正椭圆。同样，

当0t

=时，(0)0x υ=、2π

(0)sin

02

y A υω=>，光点仍沿椭圆作逆时针方向运动。 1-3质点的运动方程为()

2

()346m r t ti t

j k =

++。试求(1)它的轨迹方程;(2)它在前三秒内的位

移；(3) 它在5秒末的速度与加速度。

解 (1) 由于23,4x

t y t ==，消去t ，得到轨迹方程

0φ= π4φ=

π2

φ= 习题1-2 解用图

2

49

y x =

， =6z ()0x ≥ 即为在=6z 的平面内2

49

y x =

抛物线的右侧。 (2)

()06m r k =， ()()

39366m r i j k =++

前三秒内质点的位移

()()()30936m r r r i j ∆=-=+ (3) ()()5s

5d 5(38)340m/s d t t r i tj i j t

υ

===

=+=+

()225s

2

d 58m/s d t r a j t

===

1-4质点的运动方程为()

()cos sin 6 m r t R t i R t j t k =++，式中

R 为已知正常量。试求

π

0,

s 2

t =时的速度和加速度。 解 ()

d sin cos 6 m/s d r

R t i R t j k t υ=

=-++

()2d cos sin m/s d a R t i R t j t υ==--

()()0 6 m/s R j k υ

=+，()20 m/s a R i =-

()

π 6 m/s 2R i k υ⎛⎫=-+

⎪⎝⎭，2

π m/s 2a R j ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

*

1-5 在习题1-2中，当π

2

φ=

时光点的运动轨迹是椭圆，试由运动速度判断该光点是顺时针运动还是逆时针运动。

解 当π2φ=时，式（5）简化为22

2212

1x y A A +=，光点的轨迹为以坐轴为主轴的正椭圆。

光点的运动速度υ在x 、

y 方向的分量为

1d sin d x x A t t υωω=

=- 2d sin()d y y

A t t

υωωφ==-- 当0t =时，(0)0x υ=、2π

(0)sin 02

y A υω=>，光点沿椭圆作逆时针方向运动。