工程数学复习及答案 (1)

工程数学 复习题 填空题

1．设A 是2阶矩阵，且9=A ，='-)(31A ．

2．已知齐次线性方程组0=AX 中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非零解，则≤)(A r ．

3．2.0)(,5.0)(==A B P A P ，则=+)(B A P ．

4．若连续型随机变量X 的密度函数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,

01

0,2)(x x x f ，则=)(X E ．

5．若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2

ˆθ比1ˆθ更 ．

单项选择题

1．设B A ,都是n 阶矩阵)1(>n ，则下列命题正确的是（ ）．

A . 若AC A

B =，且0≠A ，则

C B = B . 2

2

2

2)(B AB A B A ++=+

C . A B B A '-'='-)(

D . 0=AB ，且0≠A ，则0=B 2．在下列所指明的各向量组中，（ ）中的向量组是线性无关的． A . 向量组中含有零向量

B . 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出

C . 存在一个向量可以被其余的向量线性表出

D . 向量组的向量个数大于向量的维数

3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ) ．

A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101

B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101

C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011

D ．⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡100

4. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ ）的事件． A . 至少有一人没射中 B . 二人都没射中

C . 至少有一人射中

D . 两人都射中

5．设)1,0(~N X ，)(x Φ是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．

A . 5.0)0(=Φ

B . 1)()(=Φ+-Φx x

C . )()(a a Φ=-Φ

D . 1)(2)(-Φ=

6．设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2

的样本，则（ ）是μ无偏估计． A . 321x x x ++ B . 3215

25252x x x ++ C .

321515151x x x ++ D . 3215

3

5151x x x ++ 7．对正态总体),(2

σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（ ）． A . 已知方差，检验均值 B . 未知方差，检验均值

C . 已知均值，检验方差

D . 未知均值，检验方差 计算题

1．设矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，问：

A 是否可逆？若A 可逆，求

B A 1-．

2．线性方程组的增广矩阵为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1123132111511

求此线性方程组的全部解．

3．用配方法将二次型32212

322213214242),,(x x x x x x x x x x f ++++=化为标准型，

并求出所作的满秩变换．

4．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．

5．设)4,3(~N X ，试求⑴)95(<X P ．（已知,8413.0)1(=Φ

9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）

6．设x x x n 12,,,Λ来自指数分布⎪⎩

⎪⎨⎧≤>=-0

,00,

e 1),(x x x

f x

θθ

θ，其中θ是未知参数，求θ

的最大似然估计值．

四、证明题（本题4分）

设B A ,是随机事件，试证：)()()()(AB P B A P B A P B A P ++=+． 五．求

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A

的特征值和特征向量．

六\计算

2

9

31132434124141-=

D ．

七|随机地从一批铁钉中抽取16枚，测得它们的长度（单位：cm ）如下：

已知铁钉长度服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2未知。在显着性水平α=1%下，试问： 能否认为这批铁钉的平均长度为 cm ? （(15)=）.

八\ 设（X 1，X 2，…，X n ） 是来自正态总体N(μ,σ2),的一个样本，其中μ,σ2未知，求μ与σ2的极大似然估计量。

参考

、填空题

1．1 2．空 3． 4．空 5． 有效 计算题

1．解：因为

1433

42

1110013

2

2

121

011

-=-=-=--=A

所以A 可逆。利用初等行变换求1-A ，即

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001 即 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341

A

由矩阵乘法得

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-520125151051585000500021461351341B A

2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2720272015111123132111511⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000027201511

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡--→0000127

101511⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→00001271022301

此时齐次方程组化为

⎩⎨⎧==？？

2

1x x ，（其中x 3为自由未知量）.

分别令13=x ，得齐次方程组的一个基础解系