最优化作业1-黄金分割法

优化设计-黄金分割法+插值法

抛物线插值法
1.8.4.2 抛物线插值法迭代步骤
• 下面具体介绍缩短区间,构成新三点的方法．由式（4.10）得到的点 t ,在区间[t1 , t 2 ] 内既可能在点t 0的左侧(即t t 0 ),又可能在t 0 的右侧(即 t t 0 ). • 分别对应这两种情形比较 (t )和 (t 0 ) 的大小，又有 ( t ) (t0 ), ( t ) (t0 ), ( t ) (t0 ) 等三种情形，故共有如下六种情况（如图所示）：
t1 t t 2
min (t )
抛物线插值法
通过目标函数曲线上的三个点 (t1 , (t1 )), (t 0 , (t 0 )), (t 2 , (t 2 ))
作它的二次拟合曲线（如图所示） P(t ) a0 a1t a2 t 2 ．
图4.14
抛物线插值法
由于上述三个点既是目标函数曲线 (t )上的点，又是二次拟合曲线 P(t ) 上的点，故有方程组

将方程组（4.5）中的 a 0消去，得
2 2 a ( t t ) a ( t t 1 1 0 2 1 0 ) (t1 ) (t0 )， 2 2 a ( t t ) a ( t t 2 0 2 ) (t0 ) (t2 )． 1 0 2
抛物线插值法
将式（4.7）与式（4.8）代入式（4.9）得
2 2 2 2 t2 t12 ) (t0 ) (t12 t0 ) (t1 ) (t2 ) (t2 ) a1 1 (t0 ． t 2a2 2 (t0 t2 ) (t1 ) (t2 t1 ) (t0 ) (t1 t0 ) (t2 )
即要求

最优化课程设计--黄金分割法及其算法实现

最优化方法课程设计题目：黄金分割法及其算法实现院（系）：数学与计算科学专业：信息与计算科学课题类型：验证性设计性工综合性软件开发2011年 12月 25日摘要最优化理论和方法日益受到重视，已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域，而最优化模型与方法广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、同学、政府机关等各个部门及各个领域。

伴随着计算机技术的高速发展，最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。

其中，MATLAB软件已经成为最优化领域应用最广的软件之一。

有了MATLAB 这个强大的计算平台，既可以利用MATLAB优化工具箱（OptimizationToolbox）中的函数，又可以通过算法变成实现相应的最优化计算。

在最优化计算中一维最优化方法是优化设计中最简单、最基本的方法。

一维搜索，又称为线性搜索，一维问题是多维问题的基础，在数值方法迭代计算过程中，都要进行一维搜索，也可以把多维问题化为一些一维问题来处理。

一维问题的算法好坏，直接影响到最优化问题的求解速度。

而黄金分割法是一维搜索方法中重要的方法之一，它适用于任何单峰函数求最小值的问题，甚至于对函数可以不要求连续，是一种基于区间收缩的极小点搜索算法。

关键词：最优化、黄金分割法、MATLAB、算法、一维搜索AbstractOptimization theory and methods and more attention, have penetrated into the production, management, business, military, decision-making and other fields, andoptimization models and methods widely used in industry, agriculture, transportation, commerce, defense, construction, students, government various departments and agencies and other fields. With the rapid development of computer technology, optimization theory and methods for the rapid progress of the optimization problem to solve practical software is also developing rapidly. Which, MATLAB software has become the most optimization software is one of the most widely used. With this powerful computing platform MATLAB, either using MA TLAB optimization toolbox (OptimizationToolbox) in the function, but also can achieve the appropriate algorithm to optimize into the calculation.In the calculation of one-dimensional optimization optimization method is to optimize the design of the simplest, most basic method. One-dimensional search, also known as linear search, one-dimensional problem is multi-dimensional problem based on iterative methods in numerical calculation, should be one-dimensional search, can also multi-dimensional problem into a number of one-dimensional problem to deal with. One-dimensional algorithms are directly affected by the speed of solving optimization problems. The golden section method is a one-dimensional search method is one important method, which applies to any single peak function for the minimum of the problem, even on the function does not require a continuous, interval-based contraction is a very small point search algorithm .Key words: Optimization、Golden section method、MATLAB、Algorithm、One-dimensional search目录摘要 (2)第一章引言 (5)第二章最优化方法原理 (6)2.1 无约束问题的最优性条件 (6)第三章黄金分割法的基本思想与原理 (7)3.1 黄金分割法基本思路： (7)3.2 黄金分割法的基本原理与步骤 (7)3.3 0.618法算法 (8)3.4 算法流程图 (8)3.5 用matlab编写源程序 (9)第四章黄金分割法应用举例 (10)4.1 例1 (10)4.2 例2 (11)第五章总结 (12)5.1概括总结 (12)5.2具体分工 (12)5.3 个人感言 (12)参考文献 (15)第一章引言数学科学不仅是自然科学的基础，也是一切重要技术发展的基础。

优化设计黄金分割法实验报告

机械优化设计黄金分割法实验报告1、黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于［a,b］区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。

因此，这种方法的适应面非常广。

黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间［a,b］内适当插入两点al,a2,并计算其函数值。

al,a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。

然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。

2黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。

一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。

该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。

rl=a+O382(Js-a)r2=a+0,618(b-a)如图fi(r2)>f(rl)所以新区间为［迈以为新区间，继续求新的试点黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间［a,b］内搜索极小点**的一种方法。

它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数⑹，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。

其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间［7］。

具体步骤是：在区间［a,b］内取点：al,a2把［a,b］分为三段。

如果f(a1)>f(a2),令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a);如果f(a1)<f(a2),令b=a2,a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果|(b-a)/b|和|(y1-y2)/y2|都大于收敛精度e重新开始。

因为［a,b］为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区［a,b］逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。

用黄金分割求解最优化问题

黄金分割法求解最优化问题用进退算法来确定初始搜索区间给定)0(a ，h;)0(a 值可任意选取，最好)0(a 选取接近于极小点，或可取)0(a =0。

h为初始步设给定某初始点)0(a及初始步长h ，求初始搜索区间的步骤：（1）长，h>0,可取 h=1。

（2）令)0(a⇒)1(a ,)1(a +h ⇒)2(a ,得两个试点)1(a ,)2(a 。

)1(a <)2(a 计算其函数值()1a f 和()2a f ，令()1a f ⇒1f ,()2a f ⇒2f（3）比较1f 与2f ；若1f <2f ，则作前进运算。

以第二点)2(a 为起始点，以h为长，前进搜索即可取得第三试点)3(a =)2(a+h=)0(a+2h ，并计算()3a f ⇒3f 。

若。

则区间[a,b]=[)0(a ,)0(a +2h]为初始搜索区间，即a=)0(a ,b=)0(a +2h ；否则即2f >3f ，则以)3(a 为起始点，第二点)2(a 到第三点)3(a的方向将步长再加倍，重复上述搜索运算，直到出现相继的第三点，其两端试点的函数值大于中间试点的函数值为止。

这时左端试点坐标即为a ，右端试点坐标即为b 。

则区间[a,b]=[)0(a +2h,)0(a +8h]为初始搜索区间，即a=)0(a +2h ，b=)0(a +8h（4）如果在步骤（2）中的两个函数值有2f >=1f ，则作后退运算。

以第一点)1(a 为起始点，仍以h 大小为步长但反方搜索取得第三试点)3(a =)1(a-h=)0(a-h ，并计算()3a f ⇒3f 。

若3f >=1f ，则区间[a,b]=[ )0(a -h,)0(a +h]为初始搜索区间，即a=)0(a -h, b=)0(a +h ；否则，即3f <1f ,则以)3(a 为起始点，按第一点)1(a 到第三点)3(a 的方向将步长再加倍重复上述运算，，直到出现相继的第三试点，其两端试点的函数值于中间试点的函数值为止。

黄金分割法

（令次22=）。bα=f同11≤,,α样ff222≤，新，f1极区产。小间生点α新2必区点在间与[[原aa,，区αb2间]]内，的，到α消1此点去区重区间合间缩，(短α可2了,令b一]α，
当缩短的新区间长度小于等于某一精度ε，即b-
a≤ε时，取
为近似极小点。
黄金分割法（0.618法）
3.
黄金分割法算法框图
然后再在保留下来的区间上作同样的处置如此迭代下去使搜索区间无限缩小从而得到极小点的数值近似解
黄金分割法（0.618法）
1.黄金分割法基本思路：
ห้องสมุดไป่ตู้黄金分割法适用于[a,b]区间（它可通过进退法得到）上的任何单谷函数求极小值问题。对函数除要求 “单谷”外不作其它要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面相当广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间
[αa2,将b]内区适间当分插成入三两段点。α应1、用α函2数，的并计单算谷其性函质数，值通。过α函1、
数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
黄金分割法（0.618法）
2.黄金分割法基本原理：
黄金分割法又称0.618法，它是通过不断缩短搜索区间的长度来寻求一维函数的极小点。这种方法的基本原理是：在搜索区间[a，b]内按如下规则对称地取两点：
计算它们的函数值结果有两种可能：
,比较它们的大小，
黄金分割法（0.618法）
黄金分割法区间收缩
黄金分割法（0.618法）
（去此与个1）区区原新f间间区点1＞缩间和[af2,短的节，α了省α1如)2，一一点图令次次重1所a。函合=示值数，α，1得值可，极注计令产小意算α生1点的。=新必α是区2在，新间[这区α[a1样间，,b可的]b内]少α，，1找到点消一

黄金分割法,进退法,基础原理及经过流程图

1黄金分割法的优化问题(1)黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于［a , b］区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。

因此，这种方法的适应面非常广。

黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间［a, b］内适当插入两点al, a2,并计算其函数值。

al, a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。

然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。

(2)黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。

一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法(0.618法)。

该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。

rl=a+0,382(>-a) r2=a+0,618Cb-a) 如图班2户母4) 所以新区间为［a ,于2］以为新区间，继域求新的试点黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间［a,b］内搜索极小点* *的一种方法。

它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数［6］,即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。

其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间［7］。

具体步骤是：在区间［a,b］内取点：al , a2把［a,b］分为三段。

如果f(a1)>f(a2),令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a);如果f(a1)<f(a2) ,令b=a2,a2=a1,a1=b-r*(b-a), 如果 | (b-a)/b | 和 | (y1-y2)/y2 | 都大于收敛精度e重新开始。

黄金分割法,进退法,原理及流程图

1黄金分割法的优化问题（1）黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。

因此，这种方法的适应面非常广。

黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。

a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。

然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。

（2）黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。

一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。

该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。

黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。

它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。

其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。

具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。

如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2，a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始。

因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。

最优化方法中关于黄金分割的课题设计

1、阐述黄金分割的基本思路及原理基本思路：黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单股函数求极小值问题,对函数除要求”单峰”外不做其他要求,甚至可以不连续.因此,这种方法的适应面非常广,黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法,即在搜索区间[a,b 内适当插入两点a1,a2,并计算其函数值。

a1,a2将区间分成三段，应用函数的单峰性质，通过函数值大小的比较，删除其中一段，是搜索区间得以缩小。

然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小值的数值近似解。

基本原理：在单谷区间],[b a 内适当插入两点21,t t ，由此把区间],[b a 分为三段，然后再通过比较这两点函数值的大小，就可以确定是删去最左端还是最右端，或者同时删去左右两端保留中间段.如此继续下去可将单谷区间无缩小. 基本原理：所谓黄金分割就是将一线段分为两段时，要求整段长L 与较长段x 的比值正好等于较长段x 与较短段x L -的比值（如图所示），即xL xx L -= 于是有022=-+L Lx x ，解出其正根L L x 618.0215≈-=. 由此可见长段的长度应为全长的618.0倍，而短段的长度应为全长的382.0倍.因为古代的人们认为按618.0的比率来分割线段时最协调，胜似黄金，故称之为黄金分割. 2、黄金分割的算法步骤.（1）给定初始区间],[11b a ，精度要求0>ε。

令)(382.01111a b a -+=λ，)(618.01111a b a -+=μ，并计算)(1λf 与)(1μf 。

令1:=k 。

（2）若ε<-k k a b ，停止，且2kk a b x +=。

否则，当)()(k k f f μλ>时，转3；当)()(k k f f μλ≤时，转4。

（3）令k k k k k k b b a μλλ===+++111,,，)(618.01111++++-+=k k k k a b a μ，计算)(1+k f μ，令1:+=k k ，转2。

最优化方法三分法+黄金分割法+牛顿法

最优化⽅法三分法+黄⾦分割法+⽜顿法最优化_三等分法+黄⾦分割法+⽜顿法⼀、实验⽬的1. 掌握⼀维优化⽅法的集中算法；2. 编写三分法算法3. 编写黄⾦分割法算法4. 编写⽜顿法算法⼆、系统设计三分法1.编程思路：三分法⽤于求解单峰函数的最值。

对于单峰函数，在区间内⽤两个mid将区间分成三份，这样的查找算法称为三分查找,也就是三分法。

在区间[a,b]内部取n=2个内等分点，区间被分为n+1=3等分，区间长度缩短率=1 3 .各分点的坐标为x k=a+b−an+1⋅k (k=1,2) ，然后计算出x1,x2,⋯;y1,y2,⋯;找出y min=min{y k,k=1,2} ，新区间(a,b)⇐(x m−1,x m+1) .coding中，建⽴left,mid1,mid2,right四个变量⽤于计算，⽤新的结果赋值给旧区间即可。

2.算法描述function [left]=gridpoint(left,right,f)epsilon=1e-5; %给定误差范围while((left+epsilon)<right) %检查left,right区间精度margin=(right-left)/3; %将区间三等分,每⼩段长度=marginm1=left+margin; %left-m1-m2-right，三等分需要两个点m2=m1+margin; %m2=left+margin+marginif(f(m1)<=f(m2))right=m2; %离极值点越近，函数值越⼩(也有可能越⼤，视函数⽽定)。

else %当f(m1)>f(m2),m2离极值点更近。

缩⼩区间范围，逼近极值点left=m1; %所以令left=m1.endend %这是matlab的.m⽂件，不⽤写return.黄⾦分割法1.编程思路三分法进化版，区间长度缩短率≈0.618.在区间[a,b]上取两个内试探点，p i,q i要求满⾜下⾯两个条件：1.[a i,q i]与[p i,b i]的长度相同，即b i−p i=q i−a i;2.区间长度的缩短率相同，即b i+1−a i+1=t(b i−a i)]2.算法描述⾃⼰编写的：function [s,func_s,E]=my_golds(func,left,right,delta)tic%输⼊: func:⽬标函数，left,right:初始区间两个端点% delta：⾃变量的容许误差%输出: s,func_s:近似极⼩点和函数极⼩值% E=[ds,dfunc] ds,dfunc分别为s和dfunc的误差限%0.618法的改进形式：每次缩⼩区间时，同时⽐较两内点和两端点处的函数值。

一维搜索的最优方法(黄金分割法)

用较广1xyyfx331f2f3fypx?p?ab2??123123??????????ab在ab中设定三点和123123ffffff??对应有且??2012xaaxax???构造二次多项式p1?xyyfxab2?3?1f2f3fypx111201?21222201?22333201?23i012??1?aaaafaaafaaaf?????????????????????i由插值条件确定待定的ppp121131p2p2202c12cxxaaxaa?????????????????????求p极小点pf3ff311121211223c?ccfff?????????????其中2pp211322p11322p1ffffffff??lt
* 设一元函数 f( a ) 的起始搜索区间为 [ ab ,] , 是
函数的极小点。
(1) ( 2) 在搜索区间 [a,b] 内任取两点、。且 (1) ( 2) (1) ( 2) (1) a b ,计算 f( ) 、 f( ) 。将 f( ) 与 ( 2) f( ) 进行比较，可能出现三种情况：
(3) (2)，f3 f 2 (2) h (3)，计算（ f ），令（ f ） f3 ,
(3) (3)
返回( 1 )重新开始。
进退试算法步骤
s t e p 4 . 若在步 2 中， f 2 f 1，后退运算以 ( 1 )为起始点，步长反号，反方向搜索。 - h h ; ( 1 ) ( 3 ) , f 1 f 3， (2) (1) , f 2 f1 ; 重排顺序 (3) (2) , f 3 f 2 ;

最优化课后作业-进退法、牛顿法、黄金分割法

第6-7次课作业-参考答案1. 用进退法确定函数f(x)=x 2-7x+16的一维优化初始区间[a,b ]，设初始点x 1=0，h 0=1。

解： f 1=f(x 1)=16,取x 2=x 1+ h 0=0+1=1, f 2=f(x 2)=10。

比较函数值：f 1>f 2。

则加大步长令h=2h 0=2。

取x 3=x 2+h=3, 则 f 3=4。

比较函数值：f 3<f 2。

令x 1= x 2=1, f 1=10; x 2= x 3=3, f 2=4;取x 3=x 2+h=5, f 3=6。

比较函数值：f 3>f 2, 这时满足：f 1>f 2 , f 2<f 3，故单峰区间为[1,5]。

2．用牛顿法求0()arctg xf x tdt =⎰的极小点，取11,0.01x ε==。

解：因为21'()arctg ,"()1f x x f x x ==+，取11x =，计算 '()0.7854,"()2f x f x ==故有 1211'()0.5708"()f x x x f x =-=- 同理有2322'()0.5708(0.5178) 1.32580.1169"()f x x x f x =-=---⨯= 3433'()0.11690.1163 1.01370.00106"()f x x x f x =-=-⨯=- 而4|'()|=0.001060.01f x <，故迭代停止，输出近似极小解：*0.00106x ≈-。

3. 用黄金分割法求函数f(x)=x3-2x+1在区间[0,3]上的极小点，ε=0.5。

解：根据(0.618)k≤εb−a =0.53,k≥4.可知需迭代4次，即可满足精度要求。

第一次缩小区间：x1=0+0.382· (3-0)=1.146, f1=0.213x2=0+0.618·(3-0)=1.854, f2=3.665由于f1<f2, 则新区间[a,b]=[a, x2]=[0, 1.854], b-a>0.5，应继续缩小区间。

最优化思想黄金分割和优选法

0.618这个“黄金比”能产生“优选法”，这告诉我们，美的东西与有用的东西之间，常常是有联系的。
• 由此再反观0.618的分割点为什么在许多场合都反映了“恰到好处的和谐”。
• 其数学依据就是“黄金分割点的再生性”。
• 数学的美，在于数学思想深刻之美。
25
分数法
• 例：在配置某种清洗液时，需要加入某种材料。经验表明，加入量大于130ml肯定不好。用 150ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10ml。
（正五角星很美）
AB
0.618
C
AC
AB 0.618 AD
AD 0.618 DC
E'
A'
D
B
D' C'
A
B' E
舞台报幕者的最佳站位
在整个舞台宽度的 0.618处较美 (111),(21),(12)
5的分割点让人感觉愉悦，而是0. 黄金分割点的再生性，是“黄金分割”之所以美的数学依据。介绍学科最新成果的课程：现代数学概览、分形几何若8好，则去掉[0,5]，剩下[5，13]；大学初级课程：微积分、线性代数、空间解析几何 ——每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同。的黄金分割点，等等，一直延续下去。黄金分割点具有再生性。可能的试点总数正好是某一个(Fn+1-1)；
De Moivre提出，J.P.M.Binet 1843年证明，世称Binet公式
该数列相邻两项之比构成的“比值”数列
1,1,2,3,5, 8, 1 2 3 5 8 13
该数列极限为 5 1
2
黄金分割率，它是美的标准之一，也是优选法的理论基础。
黄金分割的美（黄金比0.618）人体各部分的比

最优化方法

1 1
经过有限次迭代后(在 matlab 可见全部迭代结果)满足要求的结果为： f �� ∗ = −1.00000047499302 。采用解析法可求得其精确解为： �� ∗ = −1， f �� ∗ = −1，可见通过有限次迭代后可求得精度相当高的数值解，而且收敛速度也很快。因此在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法就是黄金分割法。
��1 ← �� − �� − �� 1 ← �� 1
Y
�� − �� 2 − 1 < ��和 < �� ? �� 2
N
��∗ ←
1 �� + �� 2
对函数f �� = �� 2 + 2��,在给定的搜索区间−3 ≤ x ≤ 5上，试用黄金分割法求极小值点�� ∗ 。如图 2。
四、算法描述：
黄金分割法的搜索过程是： 1） 2）给出初始搜索区间[a,b]及收敛精度ε，将μ赋以 0.618。按坐标点计算公式��1 = b − μ �� − �� , ��2 = �� − μ �� − �� , 计算��1 和 ��2 ，并计算其对应的函数值f(��1 ), f ��2 。 3）跟区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的坐标点计算公式，需要进行区间名称的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。 4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件不满足则返回到步骤 2。 5）如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。

黄金分割法

黄金分割法
若第一次选取的试点为 x1 x2 , 则下一步保留因此我们选取试点时希望 x2 a b x1 .
的区间为 a, x2 或 x1 , b, 两者的机会是均等的．设 x1 a pb a, 则 x2 a 1 pb a.
另外，我们希望如果缩小的区间包含原来的
1,3
x1
0.528
x2
1.472
f1
f2
ba
否否否
1.751
2.695
1,1.472 -0.056 0.528 2.059 1.751
0.056,1.472 0.528 0.056,0.888 0.305 0.305,0.888 0.528 0.305,0.665 0.443 0.443,0.665 0.528
化简得：
3 5 p 3 p 1 0 p 0.382 1 p 0.618 2 若保留区间为 x1 , b, 我们得到的结果是
2
一致的．该方法称为黄金分割法，实际计算取：
x1 a 0.382 b a x2 a 0.618 b a
所以黄金分割法又称为0.618法．黄金分割法每次缩小区间的比例是一致的，每次将区间长度缩小到原来的0.618倍．
*
右边 f x 严格上升。在 a, b 内任取 x1 x2 , 若 f x1 f x2 , 则 x a, x2
*
f x1 f x2 , 则 x* x1 , b 若
基本思想
通过一些试点将最优解所在的区间缩小得尽量小，最后取区间的中点为最优解。但如果在区间只有一个试点，我们无法将区间缩小。如果知道两个试点 x1 x2 , 根据 f x1 , f x2 的大小关系，可以得到缩小的区间 a, x2 或者 x1 , b.

最优化算法【线搜索-黄金分割（0.618）算法】

最优化算法【线搜索-黄⾦分割（0.618）算法】使⽤条件优化函数在搜索区间内为单峰函数算法算法类似于⼆分查找算法，能够求单峰函数在搜索区间的极值算法如下：step0:确定单峰函数f(x)的搜索区间[a0,b0]；容错误差δ=a−b, ϵ=f(b)−f(a) ,t=0.618;p=a0+(1−t)(b0−a0),q=a0+t(b0−a0) step1:f(p)<=f(q)yes,to step 2 no,to step 3step2:if |f(b)-f(a)| >= $\epsilon or |b-a|>=\delta$b=q,f(b)=f(q), q=p, f(q)=f(p);p=a+(1-t)(b-a), resolve f(p);elsestop;print p;\\p为求得极值点step3:if |f(b)-f(a)| >= $\epsilon or |b-a|>\delta$a=p,f(a)=f(p), p=q, f(p)=f(q);q=a+t(b-a), resolve f(q);elsestop;print q;\\p为求得极值点算法实现函数：function [R,loos,loos_t] = xiansousuo_golds(func,a,b,delta,epsilon,iterate) t = (sqrt(5)-1)/2;p = a+(1-t)*(b-a);q = a+t*(b-a);f_a=func(a);f_b=func(b);f_p = func(p);f_q = func(q);R=zeros(1,2);loos_t = zeros(iterate,1);loos = zeros(1,2);%step1k=0;while abs(f_b-f_a)>=epsilon || abs(b-a) >= delta || k < iteratek=k+1;loos_t(k,1)=abs(f_b-f_a);if f_p <= f_qb=q;f_b=f_q;q=p;f_q =f_p;p=a+(1-t)*(b-a);f_p = func(p);elsea=p;f_a=f_p;p=q;{f_p =f_q;q=a+t*(b-a);f_q=func(q);end%disp([p,abs(f_b-f_a)]);endif f_p <= f_qR(1,1)=p;R(1,2)=func(p);elseR(1,1)=q;R(1,2)=func(q);endloos=[abs(b-a),abs(f_b-f_a)];endmain函数clc;close all;iterate=30;func=@(s) s^2-sin(s);[R,loos,loos_t]=xiansousuo_golds(func,0,1,1e-4,1e-5,iterate);disp(R);disp(loos);figure(1);plot(1:iterate,loos_t);figure(2);t=linspace(0,1,iterate);y=zeros(iterate,1);for i =1:iteratey(i,1)=func(t(i));endplot(t,y);hold on;minimum = fminbnd(func,0,1);f_min=func(minimum);plot(minimum,f_min,'rp','MarkerSize',10);text(minimum,f_min,['(',num2str(minimum),',',num2str(f_min),')'],'color','b'); disp([minimum,f_min]);epsilon随迭代变化所求函数及极⼩值conclusion1. 算法求得结果和matlab极⼩值函数结果相同，精度较⾼；2. 对于应⽤范围有限制【单峰函数】。

一维搜索的最优方法(黄金分割法)

05 黄金分割法的应用举例
在函数优化中的应用
一元函数优化
黄金分割法可用于一元函数的极值求解，通过不断缩小搜索区间来逼近最优解。
多元函数优化的辅助手段
在多元函数优化中，黄金分割法可作为辅助手段，用于一维搜索或线搜索过程。
在工程问题中的应用
结构设计优化
在结构设计中，黄金分割法可用于寻找最优的结构参数，如梁、柱的截面尺寸等，以实现结构性能和经济性的平衡。
二分法每次迭代将搜索区间减半，而黄金分割法每次迭代将搜索区间缩小为原来的约 0.618倍。在收敛速度上，二分法通常比黄金分割法更快。但二分法要求函数在搜索区间内连续且单调，而黄金分割法则没有这样的限制。
与牛顿法相比
牛顿法是一种基于导数信息的搜索方法，具有较快的收敛速度。但在一维搜索问题中，当导数信息不可用或难以获取时，黄金分割法则更为适用。此外，牛顿法对初始点的选择较为敏感，而黄金分割法则相对稳健。
解决一维搜索问题的方法有多种，其中黄金分割法是一种较为常用且有效的方法。
黄金分割法简介
黄金分割法是一种通过不断缩小搜索区间来逼近函数极小值点的方法。
黄金分割法具有简单、快速、稳定等优点，适用于单峰函数的一维搜索问题。
它在每次迭代中，通过比较区间两个端点处的函数值，来确定下一步的搜索区间。
黄金分割点
在一条线段上，按照黄金分割比例将线段分割成两部分，分割点
即为黄金分割点。
函数图像
对于一元函数，可以将其图像视为一条曲线。黄金分割法通过不断在曲线上选取试探点来逼近最
优解。
搜索区间缩小
每次迭代后，根据试探点的函数值比较结果，将搜索区间缩小，
使得下一步的搜索更加精确。
黄金分割法的算法步骤

最优法与黄金分割

最优法与黄金分割优选法应用在我国从70年代初，华罗庚先生最初研究推广并大量应用。

对编程领域某些解决问题的方法有所帮助。

其实数学上的很多方法可以解决一个程序时间和空间最优复杂度的问题。

希望对大家有用……优选法,是以数学原理（即中国的古代黄金分割）为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验的方法。

例如：在现代体育实践的科学实验中，怎样选取最合适的配方、配比；寻找最好的操作和工艺条件；找出产品的最合理的设计参数，使产品的质量最好，产量最多，或在一定条件下使成本最低，消耗原料最少，生产周期最短等。

把这种最合适、最好、最合理的方案，一般总称为最优；把选取最合适的配方、配比，寻找最好的操作和工艺条件，给出产品最合理的设计参数，叫做优选。

也就是根据问题的性质在一定条件下选取最优方案。

最简单的最优化问题是极值问题，这样问题用微分学的知识即可解决。

实际工作中的优选问题，即最优化问题，大体上有两类：一类是求函数的极值；如果目标函数有明显的表达式，一般可用微分法、变分法、极大值原理或动态规划等分析方法求解（间接选优）。

另一类是求泛函的极值。

如果目标函数的表达式过于复杂或根本没有明显的表达式，则可用数值方法或试验最优化等直接方法求解（直接选优）。

优选法的优点：用较少的试验次数和外在条件，缩短时间和空间的消费、提高质量，达到解决问题的最经济的方法。

优选法基本步骤1）选定优化判据（试验指标），确定影响因素，优选数据是用来判断优选程度的依据。

2）优化判据与影响因素直接的关系称为目标函数。

3）优化计算。

优化(选）试验方法一般分为两类：分析法：同步试验法；黑箱法：循序试验法优选法的分类优选法分为单因素方法和多因素方法两类。

单因素方法有平分法、0.618法(黄金分割法)、分数法、分批试验法等；多因素方法很多．但在理论上都不完备．主要有降维法、爬山法、单纯形调优胜。

随机试验法、试验设计法等。

优选法已在体育领域得到广泛应用。

优化练习-黄金分割法

一维搜索——黄金分割法在迭代算法中，需要进行一维搜索。

它的快慢、好坏，直接影响最优化问题的求解速度。

迭代算法的基本公式，可写成()()kkX X S α=+其涵义是从()k X 点出发，沿()k S 方向，寻求最小值点。

当()kαα=时，则找到了最小值点()1k X +，所以X 点的函数值可表示为：()()()()()kk F X F X S αϕα=+=可以看出，当()k X 、()kS 一定，()F X 只是α的函数，这就是一维搜索。

其意义是寻求一最优的α，使函数值最小。

在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法是黄金分割法，黄金分割法的计算次数较少。

黄金分割法也称做0.618法。

是在给定的14~αα 区间内，搜索最优步长*α的值。

如图1所示：图1 黄金分割法区间分割如果14~αα 区间很小，则可令()*1412ααα=+ 如何使14~αα区间缩小，首先在区间内插入两个分割点1α ，2α ，且满足1234αααα<<<，这样就可以根据分割点的函数值，决定割舍区间。

可以证明，对于单峰函数，设*α已在14~αα区间内，且不管*α在哪一点上，只要经过()2ϕα 和()3ϕα函数值比较，将函数值大的邻近部份去掉，*α仍将保留在剩余段的区间内，如图2所示。

图2 缩小分割区间图中阴影部分即为根据函数比较而去掉的部分。

可以看出*α在任何情况下，都将保留在剩余段中。

用这种办法缩小区间，每一步都建立两个分割点，进行两次函数值计算。

如把分割点按对称原则建立，就能利用前次保留的一个分割点，就可使计算工作量减少一半，使计算速度提高一倍。

按这一思路形成的算法，就是黄金分割法。

具体做法如图3所示。

图3确定缩短率第一次区间是14~αα，假定()()32ϕαϕα>,根据缩小规则，去掉34~αα段。

此时区间缩短率λ为：V lλ=式中V 、l 分别对应区段的长度。

第二次区间是14~αα'，假定()()32ϕαϕα''>，去掉34~αα''段。