反馈线性化设计方法_1(6)

例：动态系统 ： x& = f (x) + g(x)u y = h(x)
定义新的状态为： z = φ (x)
求微分得：
z&
=
∂φ
∂x
x&
=
∂φ
∂x
(f
(x)
+
g(x))u)
新的状态方程： z& = f * (z) + g* (z)u
y = h*(z)
反馈线性化设计方法
考虑非线性矢量函数
⎡ z1 ⎢⎣ z 2
§5.1 数学基础
反馈线性化设计方法
一、基本术语
平滑的标量函数h(x) 的梯度记为：∇h
矢量场f (x) 雅可比矩阵记为：
=
∂h ∂x
∇f = ∂f ∂x
二、李导数和李括号
李导数定义：令 h ：R n → R 为一个平滑的标量函
数；f ： R n → R n 为 R n 上的一个平滑的矢量场，则 h 对 f 的李导数是一个定义为L f h = ∇hf 的标量函数。
⎤ ⎥⎦
=
φ(x)
=
⎡2 ⎢ ⎣
x1 3
+ 5x1 sin x2
x22
⎤ ⎥ ⎦
它对所有的 x1 和 x2都有定义，其雅可比矩阵为
∂φ
∂x
=
⎡2 ⎢ ⎣
+5 0
x22
10 x1 x2 2 cos x2
⎤ ⎥ ⎦
它在 x = (0,0) 的秩为2，这个函数在原点定义了一个局部
的微分同胚。这个微分同胚成立的区域为
x1
⎤ ⎥⎦
−
⎡− ⎢⎣
2 + cos x1 x2 sin x1
=
⎡ ⎢⎣cos
x1
cos(2x1 )
−
a cos(2x1 ) 2sin(2x1 )(−2x1
+
ax2
+
sin
⎤ x1 )⎥⎦
a ⎤⎡ 0 ⎤ − cos x1 ⎥⎦⎢⎣cos(2x1 )⎥⎦
反馈线性化设计方法
引理：李括号具有下列性质
2、由单独的一个矢量 f 组成的集合总是对合的；
3、由定义检验矢量场集合 {f1 , f 2 ,L , f m }是否对合等于就是检
验下式是否对于全体 x 和全体 i, j 都成立。
{ [ ] } rank {f1(x),L, fm (x)}= rank f1(x),L, fm (x), fi , f j (x)
R n上的一组线性无关的矢量场 {f1 , f 2 ,L , f m }是完全可积的，
当且仅当存在 n − m 个标量函数 h1(x), h2 (x),L, hn−m (x) 满足 一组偏微分方程：
∇hif j = 0
其中 1 ≤ i ≤ n − m ,1 ≤ j ≤ m ，而梯度∇hi 是线性无关的。 偏微分方程共有 m(n − m) 个。
正式的定义为：
定义：定义在区域 Ω 上的函数 φ ：R n → R n ，如果它是平
滑的，它的逆 φ −1 存在并且平滑，则称之为微分同胚。
反馈线性化设计方法
引理：令函数 φ (x)为在 R n 中的区域 Ω 内定义的一个平滑函
数，如果雅可比矩阵∇φ 在 Ω 内一点 x = x 0 非奇异，则
φ(x) 在 Ω 的一个子区域内为一个局部的微分同胚。
反馈线性化设计方法
Frobenius定理：令 f1,f2 ,L,fm 为一组线性无关的矢量场， 当且仅当这个集合为对合时它是完全可积的。
反馈线性化设计方法
第五章 反馈线性化设计方法
反馈线性化是近年来引起人们极大研究兴趣的一种非线 性控制设计方法。 基本思想：是用代数变换将一个非线性系统的动态特性 变换成（全部或部分地）线性的动态系统，从而可以应 用熟知的线性控制的方法。 本章讲述：什么是反馈线性化，如何将其应用于控制器 的设计，以及这个方法的局限性。
[f , g] = ∇gf − ∇fg
李括号 [f , g] 通常写为 ad f g，多重李括号可以递归定义为：
ad
0 f
g
=
g
ad
i f
g
=
[f ,
ad
g i −1
f
]
i = 1,2,L
考虑系统
x&1 = −2x1 + ax2 + sin x1 x&2 = −x2 cos x1 + u cos(2x1 )
1、双线性： [a1f1 + a2f2 , g] = a1[f1 , g] + a2 [f2 , g] [f , a1g1 + a2g 2 ] = a1[f , g1 ] + a2 [f , g 2 ]
2、斜交换性： [f , g] = −[g, f ] 3、雅可比恒等式：Lad f g h = L f Lg h − Lg L f h 三、微分同胚与坐标变换 微分同胚的概念可看成是熟知的坐标变换概念的推广，其
Ω = {(x1 , x2 ), x2 < π / 2}
反馈线性化设计方法
四、Frobenius定理
Frobenius定理提供一类特殊的偏微分方程可解性的充分 必要条件。
例子：对一阶偏微分方程组
∂h ∂x1
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f1
+
∂h ∂x 2
f2
+
∂h ∂x3
f3 = 0
∂h ∂x1
g1
+
∂h ∂x 2
g2
+
∂h ∂x 3
g3
=0
如果它的解 h(x1, x2 , x3 ) 存在，我们称这组矢量场 {f , g}为
完全可积的。
Frobenius定理提供了一个比较简单确定这些方程可解的
条件：
[f , g] = a1f + a2g
反馈线性化设计方法
这个条件称为矢量场 {f , g }的对合条件。
Frobenius定理断言一组矢量场当且仅当它满足对合条件 时是完全可积的。 定义1：线性无关的矢量场的可积性定义
反馈线性化设计方法
多重李导数可以递归地定义为：
L0f h = h Lif h = ∇(Lif−1h)f
i =1,2,L
如果 g 是另一个矢量场，则标量函数 Lg L f h(x) = ∇(L f h)g。 李括号定义：令 f 与 g 为 R n上的两个矢量场， f 与 g 的
李括号是第三个矢量场，定义为：
反馈线性化设计方法
定义2：线性无关的矢量场的对合性定义
线性无关的矢量场集合 {f 1 , f 2 , L , f m } 是对合的，当且仅
当存在标量函数 aijk : R n → R ，使：
说明：
[ ] ∑m
fi , f j (x) = aijk (x)fk (x)
k =1
∀i, j
1、恒矢量场总是对合的；
反馈线性化设计方法
写成为下列形式 x& = f (x) + g(x)u
f
=
⎡− ⎢ ⎣
2x1 + ax2 + sin − x2 cos x1
x1
⎤ ⎥,
g
⎦
=
⎡0⎤ ⎢⎣cos(2x1 )⎥⎦
[f
,
g]
=
⎡ ⎢⎣−
2
0 sin(2x1
)
0⎤ 0⎥⎦
⎡− ⎢⎣
2
x1 + ax2 + sin − x2 cos x1