第七章概率论基础
概率论基础：定义与原理
概率论基础：定义与原理概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性和统计规律性。
在现代科学和工程技术中有着广泛的应用。
概率论的基础是概率的定义和概率的基本原理。
本文将介绍概率论的基础知识，包括概率的定义、概率的性质、概率的基本原理等内容。
一、概率的定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
在数学上，概率可以用数值来表示，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的定义有多种形式，其中最常见的是古典概率和统计概率。
1. 古典概率古典概率是指在随机试验中，样本空间有限且每个基本事件发生的可能性相同的情况下，事件A发生的概率可以用如下公式表示：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A发生的基本事件数，n(S)表示样本空间中基本事件的总数。
2. 统计概率统计概率是指在实际观察中，通过频率来估计事件发生的概率。
当试验次数足够多时，事件A发生的频率将逼近其概率值。
统计概率是概率论中最基本的概念之一，也是实际应用中最常用的概率计算方法。
二、概率的性质概率具有一些基本性质，这些性质是概率论研究的基础，也是概率计算的重要依据。
1. 非负性对于任意事件A，其概率值满足P(A) ≥ 0。
2. 规范性对于样本空间S，其概率值为1，即P(S) = 1。
3. 可列可加性对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 对立事件的性质对立事件是指事件A和其补事件A'，即A与A'互为对立事件。
对立事件的概率满足P(A) + P(A') = 1。
5. 事件的包含关系若事件A包含事件B，则P(A) ≥ P(B)。
三、概率的基本原理概率的基本原理包括加法法则和乘法法则，是概率计算的基础。
1. 加法法则加法法则是指对于任意两个事件A和B，它们的并事件的概率可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
概率论的基础
概率论的基础1 预备知识在开始介绍概率论之前，我们需要先了解一些预备知识。
1.1 集合运算概率论中经常会涉及到集合运算，因此我们需要先了解集合运算的基本概念。
集合是由一些确定的对象组成的整体。
我们用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
常见的集合运算有：- 并集：将两个集合的元素合起来，得到包含这两个集合所有元素的新集合。
记作A∪B。
- 交集：只将两个集合中都有的元素取出来，得到一个新的集合。
记作A∩B。
- 补集：集合A的补集是指集合U中所有不在A中的元素的集合。
记作A'或者A^c。
- 差集：从集合A中减去集合B中的元素，得到一个新的集合。
记作A-B。
1.2 条件概率在概率论中，条件概率是指在已知一种事件发生的前提下，另一种事件发生的概率。
记作P(B|A)，表示在事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
条件概率的计算公式为：$$P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
1.3 独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生不会互相影响。
也就是说，当事件A发生与否对事件B发生的概率没有任何影响时，我们称事件A和事件B是独立的。
如果事件A和事件B是独立的，那么有以下公式成立：$$P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$$反之，如果有以上公式成立，那么我们可以认为事件A和事件B是独立的。
2 概率的定义概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在概率论中，我们用P(E)表示事件E发生的概率。
2.1 古典概型如果所有的结果都是等可能的，那么我们可以使用古典概型来计算概率。
例如，掷硬币和掷骰子都是古典概型，因为每一个结果都是等可能的。
在古典概型中，如果一个事件E可以由n个元素构成，且所有的元素等可能，那么事件E发生的概率就是：$$P(E) = \frac{\text{符合事件E的结果个数}}{\text{总结果个数}} = \frac{n_E}{n}$$2.2 条件概率法则如果我们已知事件B发生，在B的基础上怎么计算事件A发生的概率呢？根据条件概率公式，我们有：$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$这个公式被称为条件概率法则。
概率论基础与随机过程的研究
概率论基础与随机过程的研究概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件的发生规律和不确定性的数学理论。
随机过程是概率论的一个应用领域，研究随机事件在时间上的演变规律。
本文将探讨概率论的基础知识和随机过程的研究。
一、概率论基础概率论的基础是概率的定义和性质。
概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用一个介于0和1之间的实数表示。
概率的定义可以通过古典概型、几何概型和统计概型等不同方法进行描述。
1. 古典概型古典概型适用于有限个数的等可能结果的情况。
例如，抛掷一枚硬币，正面和反面出现的概率均为1/2。
在古典概型中，概率可以通过计算有利结果的个数除以总结果的个数来计算。
2. 几何概型几何概型适用于连续性的随机事件。
例如，自然界中很多现象都可以用几何概型来描述，比如测量一段时间内的降雨量、人的身高等。
在几何概型中，概率可以通过测量或者积分计算来得到。
3. 统计概型统计概型适用于大量试验的情况。
例如，掷骰子的结果、抽取扑克牌的结果等都可以用统计概型来描述。
在统计概型中，概率可以通过频率来估计，即事件发生的次数除以试验次数。
概率论的基本性质包括加法定理、乘法定理、条件概率和独立性等。
这些性质为概率的计算和推理提供了重要的工具和方法。
二、随机过程的研究随机过程是研究随机事件在时间上的演变规律的数学模型。
它可以用来描述许多自然界和社会现象，比如金融市场的波动、天气的变化等。
1. 马尔可夫过程马尔可夫过程是随机过程的一种重要类型，具有马尔可夫性质。
马尔可夫性质指的是，在给定当前状态的条件下，未来状态的发展只与当前状态有关，而与过去状态无关。
马尔可夫过程常用于对连续时间和离散状态的系统进行建模。
2. 随机游走随机游走是一种最简单的随机过程，描述了随机事件在空间上的移动。
它可以用来模拟分子的扩散、股票价格的变动等。
随机游走有两种类型，一种是离散时间的随机游走，另一种是连续时间的随机游走。
3. 泊松过程泊松过程是一种重要的随机过程，描述了在一段时间内随机事件发生的次数。
概率论的基础
概率论的基础概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律性和不确定性。
它在各个领域都有广泛的应用，例如统计学、金融学、物理学和生物学等。
本文将介绍概率论的基础概念和原理，以及它在现实生活中的应用。
一、随机事件和样本空间在概率论中，我们研究的对象是随机事件。
随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
样本空间是所有可能的结果组成的集合，每个结果称为一个样本点。
例如，投掷一个骰子，样本空间就是1到6的整数集合。
二、概率的定义和性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率具有以下性质：1. 非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0。
2. 规范性：对于必然事件S，有P(S)=1。
3. 可列可加性：对于两个互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
三、条件概率和独立性条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
条件概率的计算使用了贝叶斯定理和乘法法则。
如果事件A和B的发生是相互独立的，那么P(A|B)=P(A)，即事件B的发生与事件A的发生无关。
四、概率分布和期望值概率分布描述了随机变量取值的可能性和相应的概率。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数表示，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数表示。
期望值是随机变量的平均值，它是每个取值乘以对应的概率后的总和。
五、大数定律和中心极限定理大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会趋向于其概率。
中心极限定理指出，独立同分布的随机变量的和的分布在试验次数趋向于无穷时近似服从正态分布。
概率论在现实生活中有许多应用。
例如，在医学诊断中，我们可以根据症状和概率分布来推断患者是否患有某种疾病。
在金融学中，概率论可以用于风险评估和投资决策。
在运输和物流中，我们可以利用概率论来优化路线规划和资源分配。
概率论是一门重要的数学工具，它帮助我们理解和描述随机事件的发生规律和不确定性。
《概率论基础》课件
本课程将为您介绍概率论的基础知识，包括概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及在实际问题中的应用。
课程介绍
欢迎参加《概率论基础》课程！它将帮助您理解概率论的重要性以及其在实 际生活中的应用。
在本课程中，您将学习概率的基本概念、概率的性质，以及如何使用概率模 型解决实际问题。
天气预报
探索概率在天气预报中的应 用。
医学研究
学习如何使用概率在医学研 究中进行数据分析。
总结和回顾
感谢您参加《概率论基础》课程！在本课程中，我们深入学习了概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及概率在实际问题中的应用。 希望您通过本课程的学习，加深对概率论的理解，并能将其应用于实际生活和工作中。
连续概率分布
了解连续概率分布，如 正态分布和指数分布。
混合概率模型
探索混合概率模型和它 们的应用。
概率计算方法
1
排列组合
学习如何使用排列和组合计算概率。
条件概率树
2
掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
贝叶斯定理
了解贝叶斯定理在概率计算中的重 要性。
概率在实际问题中的应用
股票市场
了解如何使用概率计算股票 行情和投资决策。
概率的基本概念
1 随机事件
了解随机事件的定义和特征。
3 事件的概率
学习如何计算事件的概率。
2 样本空间
掌握样本空间的概念和表示方法。Βιβλιοθήκη 概率的性质互斥事件
研究互斥事件的特性和计算 方法。
独立事件
条件概率
探讨独立事件的概念和性质。
学习如何计算条件概率和应 用。
常见的概率模型
概率论基础优秀课件
• 样本空间()：一个随机试验的所有可能结 果的集合
• 样本点()：试验的每一个可能结果
例1.2 随机现象的样本空间
• 试列出例1.1中随机现象的样本空间
– 掷一颗骰子的样本空间：Ω1={ω1,ω2,…,ω6}，其 中ωi表示出现i点，i=1,2,…,6。也即掷一颗骰子 的样本空间为：Ω1={1,2,…,6}
件A，则事件A包含的样
本点数为C51C31 ，故取到 两个不同颜色球的概率为
P(A)
C51C
1 3
15
C82
28
– 将“白球”、“黑球” 替换为“正品”、“次 品”，就可以用来求解 产品质量抽样检查问题
– 向口袋中加入其他颜色 的球，可以描述具有更 多等级的产品抽样问题， 如将产品分为一等品、 二等品、三等品、等外 品的产品抽样检查问题
＋FN(B)
(2)概率的古典定义
• 古典概型：具有以下两个基本特点的概率模型
– 试验具有有限个可能出现的结果 – 试验的每个基本事件出现的可能性都是相等的
• 古典概型中基本事件ω的概率（假定样本空间
={ω1，ω2，…，ωn}
P(1 ) P(2
）
)
P(n
)
1 n
• 古典概型中随机事件A的概率
P(A)
概率论基础
1 概率论基础
1.1 事件与概率 1.2 概率的基本性质 1.3 条件概率与事件独立性 1.4 随机变量及其分布
1.1 事件与概率
• 自然界和人类社会生产实践中的两类现象
– 确定性现象：具有确定结果的现象 – 不确定性现象/随机现象：在基本条件不变的情
况下，一系列试验或观察会得到不同的结果， 并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪 种结果
概率论与数理统计各章重点知识整理
概率论与数理统计各章重点知识整理 第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,当P(A)>0, P(B i )>0时,.六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1)(3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度.2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f . (3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dy y f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛),}{},{jji j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====,}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n pn p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X ~t(n)自由度为n 的t 分布.(2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α.(3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求. 2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间μ σ2已知nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知 nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w+---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w +-+±-α其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。
数学概率论基础
数学概率论基础概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律和统计规律。
它是从人们认识自然界和社会现象的客观需要中发展起来的。
概率论广泛应用于自然科学、社会科学、经济学、管理学等众多领域，是一门具有广泛应用价值的学科。
一、基本概念1. 随机事件在概率论中，随机事件指的是在一定的条件下，有可能发生也有可能不发生的事件。
例如，扔一枚硬币的结果是正面或反面，这就是一个随机事件。
2. 样本空间样本空间是指随机事件可能发生的所有结果的集合。
例如，扔一枚硬币的样本空间是{正面，反面}。
3. 事件事件是样本空间的子集，它是指某些结果的集合。
例如，扔一枚硬币出现正面就是一个事件。
4. 概率概率是指某个事件发生的可能性大小。
在概率论中，用一个介于0和1之间的实数表示概率。
概率为0表示不可能事件，概率为1表示必然事件。
例如，扔一枚硬币出现正面的概率为1/2。
二、概率计算1. 古典概型古典概型是指每个样本点的概率相等的情况。
例如，扔一枚均匀硬币的结果，正面和反面的概率都是1/2。
2. 几何概型几何概型是指样本空间可以用几何图形表示的情况。
例如，扔一颗骰子的结果，其样本空间是{1, 2, 3, 4, 5, 6}，可以表示为一个六面体。
3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
4. 独立事件独立事件指的是两个事件相互独立，一个事件的发生不受另一个事件发生与否的影响。
对于两个独立事件A和B，有P(A|B)=P(A)，P(B|A)=P(B)。
三、概率分布1. 离散概率分布离散概率分布是指样本空间中的样本点是孤立的。
例如，扔一颗骰子的结果就是一个离散概率分布，每个结果的概率都是1/6。
2. 连续概率分布连续概率分布是指样本空间中的样本点是连续的。
例如，身高、体重等连续变量的概率分布就是连续概率分布，可以用概率密度函数表示。
概率论基础知识点
概率论基础知识点概率论作为一门重要的数学分支，被广泛应用于统计、金融、生物学等领域。
了解概率论的基础知识点是理解这门学科的关键。
本文将介绍概率论中的一些基础知识点，包括概率的定义、概率的性质、随机变量、概率分布等内容。
概率的定义概率是描述事件发生可能性大小的数值。
一般来说，概率的取值范围在0到1之间，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的定义可以用数学公式表示为：$$ P(A) = \\frac{n(A)}{n(S)} $$其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间S中的总次数。
概率的性质概率具有一些重要的性质，包括加法法则、乘法法则和互斥事件的概率计算等。
•加法法则：对于两个事件A和B，它们的并事件的概率可以用加法法则表示为$P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$。
•乘法法则：对于两个事件A和B，它们同时发生的概率可以用乘法法则表示为$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B|A)$。
•互斥事件：如果事件A和B互斥（即不能同时发生），则它们的联合概率为0，即$P(A \\cap B) = 0$。
随机变量随机变量是描述随机实验结果的变量。
它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。
离散型随机变量的取值为有限或无限个，连续型随机变量的取值为某个区间内的所有数值。
随机变量的概率分布描述了随机事件发生的可能性分布情况。
常见的概率分布包括二项分布、正态分布、泊松分布等。
概率分布概率分布是描述随机变量可能取值及其对应概率的函数。
常见的概率分布有：•二项分布：描述n次独立重复实验中成功次数的概率分布。
•正态分布：又称高斯分布，是自然界中最常见的分布，具有钟形曲线。
•泊松分布：描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的概率分布。
小结本文介绍了概率论中的一些基础知识点，包括概率的定义、概率的性质、随机变量和概率分布等内容。
概率论基础
概率论基础1、概率基础知识1.1 引言先做两个简单的试验：试验1：一个盒子中有十个完全相同的白球，从中任意摸出一个；试验2：盒子中有十个完全相同的球，其中五个白球，五个红球。
对于试验1，在球没有取出之前，我们就能确定取出的必定是白球。
这种试验，根据试验开始的条件应可以确定实验的结果。
而对于试验2，在球没有取出之前，我们从试验开始时的条件不能确定试验的结果(即取出的是白球还是黑球)，也就是说一次试验的结果在试验之前是无法确定的。
对于后一种试验，似乎没有什么规律可言，但是，实践告诉我们，若从盒子中反复多次取球(每次取出一球，记录其颜色后放回)，那么可以观察到这样的事实：试验次数n相当大时，出现白球的次数n白和出现黑球的次数n红是很接近的，其比值n白/n红会逐渐稳定于?，这个事实是可以理解的，因为盒子里的白球数等于红球数，从中任意摸出一个，取得白球或红球的"机会"应该是平等的。
于是，我们面对着两种类型的试验。
试验1代表的类型在试验之前就能断定它的结果，这种试验所对应的现象叫确定现象。
比如："早晨，太阳从东方升起""边长为a,b的矩形，其面积为ab"…过去我们所学的各门课程基本上都是用来处理和研究这类确定现象的。
试验2所代表的类型，它有多于一种可能的结果，但在一次试验之前会出现那种结果，应一次试验而言，没有规律可言，但是?quot;大数次"的重复这个试验，试验结果又遵循某些规律(这些规律我们称之为"统计规律")，这类试验叫做随机试验。
其代表的现象叫随机现象。
比如："某地区的年降雨量""打靶时弹着点离靶心的距离""电话交换台单位时间内收到的用户的呼唤次数"…概率论和数理统计就是研究随机现象的统计规律的数学分科。
1.2 随机事件与样本空间我们在前面已经介绍了随机试验，现在再进一步明确其含义。
统计学中的概率论基础
统计学中的概率论基础概率论是统计学中的基础理论之一，它主要研究随机现象的规律性和不确定性。
概率论为我们提供了一种描述和分析随机事件发生概率的数学工具。
本文将介绍统计学中的概率论基础，包括概率的定义、概率的性质、基本概率分布以及重要的概率公式。
一、概率的定义在统计学中，我们通常用概率来描述事件发生的可能性。
概率的定义可以从频率的角度来解释，也可以从古典概型和几何概型的角度来解释。
从频率的角度来看，概率是指事件在重复试验中出现的比例。
例如，当抛掷一个均匀硬币时，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率也为0.5。
从古典概型的角度来看，概率是指在有限个等可能结果中某个结果发生的可能性。
例如，在一次掷骰子的实验中，每个点数出现的概率均为1/6。
从几何概型的角度来看，概率是指由某个事件所组成的区域在整个样本空间中所占的比例。
例如，当在一个正方形区域内随机取一点，点落在正方形的某个子区域内的概率为子区域的面积与正方形面积之比。
二、概率的性质概率具有以下几个基本性质：1. 非负性：任何事件的概率都是非负的，即大于等于0。
2. 规范性：样本空间的概率为1，表示一定会发生某个结果。
3. 可列可加性：对于两个互斥事件，其概率之和等于这两个事件分别发生的概率之和。
三、基本概率分布在概率论中，有几个基本的概率分布可以帮助我们描述和分析随机变量的性质。
1. 二项分布：二项分布描述了在一系列独立重复的伯努利实验中成功次数的概率分布。
例如，抛掷硬币的次数是一个二项分布。
2. 泊松分布：泊松分布用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的概率分布。
例如，一定时间内到达某个商店的顾客数量可以用泊松分布来描述。
3. 正态分布：正态分布是一种常见的连续型概率分布，也称为高斯分布。
它在统计学和自然科学中有着广泛的应用，例如描述人群的身高分布、测量误差分布等。
四、重要的概率公式在概率论中，有一些重要的公式可以用于计算概率和推导概率分布。
第七讲 概率论基础、推断统计
1、包含关系，若A发生必定导致事件 发生，称B包含 ，或A被B包含，记 包含关系， 发生必定导致事件B发生， 包含A， 被 包含， 发生必定导致事件 发生 包含 包含 为A⊂ B。 。 例如，掷一颗骰子， 为出现 为出现2点 为出现偶数点， 发生必定导致B发 例如，掷一颗骰子，A为出现 点，B为出现偶数点，则A发生必定导致 发 为出现偶数点 发生必定导致 相等， 生，则A⊂ B。如果 ⊂ B,B A，则称 与B相等，记为 。如果A 。 ⊂ ，则称A与 相等 记为A=B。
2、事件的并(和)，若事件由A与B至少发生一个的事件所组成，称为A与B 事件的并( 若事件由 与 至少发生一个的事件所组成，称为 与 至少发生一个的事件所组成 的并，记为 ∪ 或 的并也可说成是： 发生， 的并，记为A∪B或(A+B)。事件 与B的并也可说成是：或者 发生，或者 。事件A与 的并也可说成是 或者A发生 或者B 发生。例如，掷一颗骰子， 为出现 为出现3点 为出现偶数点,则 ∪ 发生。例如，掷一颗骰子，A为出现 点，B为出现偶数点 则A∪B={2,3,4,6}。 为出现偶数点 。
1 C52C3 P( A) = 3 = 0.54 C8
某班52名学生分为 个组，每组13人 如果来访记者找该班任意 名学生分为4个组 如果来访记者找该班任意4名学 例2 某班 名学生分为 个组，每组 人.如果来访记者找该班任意 名学 生谈话， 生谈话，求 (1) 这4名学生都是第一组学生的概率； 名学生都是第一组学生的概率； 名学生都是第一组学生的概率 (2) 每组各有 名学生的概率。 每组各有1名学生的概率 名学生的概率。
Ai , i = 1, L , n
1 P ( Ai ) = , i = 1, L , n. n 我们称具有上述特征的试验为古典型试验，有关古典型试验中的概率模
第七章概率论基础.ppt
证： 按概率的古典定义来证明
设试验的可能结果是由N个基本事件总数构 成，其中事件A包含M1个，事件B包含M2个， 由于事件A与B互不相容，所以A包含的基本事件 与则B包AP+(含BA包的含B基)的本基M事本1件N事一M件定2 共是有MN完M1 全1＋不MNM22相个同，P的(于A，)是 得P(B )
1.2 事件的关系及运算:
1. 事件 A包含 B（B 包含于 A）：表示事
件 B 发生事件 A 必然发生，记作 A B
（或 B A ）。例如 :A（掷出奇数点）
B(掷出一点)
BA
事件A与B相等；记作A =B，表示A B 并且B A. 例如: …
A+ B
4.事件 A 与 B 的交事件；表示 A 与 B 两
例如，在美国某大学高血压研究中心就诊的 306名有末端器官损害的高血压病人，按严重 程度和有无心绞痛分类。各组病人数如下表
轻型至中型
重型
合计
有心绞痛
18
7
25
无心绞痛
243
38
281
合计
261
45
306
以A表示任选一名高血压病人是重型患者， 以B表示病人无心绞痛史，
P(A)=45／306，P(B)＝281/306，P(AB) ＝38/306
推论1 若A1, A2,…，An是n个两两互不相 容事件，则有 P(A1+A2+…+An)
＝P(A1)+P(A2)+…+P(An)
推论2 事件A的逆事件 A 的概率为
P( A) 1 P( A)
定理2 设A，B为任意二事件，则
P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)
数学：概率论基础
期望的性质：线性性、单调性、旋转不变性
期望的计算方法：直接计算法、积分法、蒙特卡洛模拟法
期望在概率论中的应用：预测随机变量的平均值，评估风险和收益
方差的定义和性质
方差的定义：衡量随机变量偏离其期望值的程度
方差的性质：非负性、对称性、可加性、齐次性
性质：概率密度函数在任意区间上积分为1
应用：在统计学、物理学、工程学等领域广泛应用
均匀分布和正态分布
均匀分布：所有结果出现的概率相等
正态分布：大多数结果集中在平均值附近，两端逐渐减少
正态分布的特点：对称性、集中性、均匀性
正态分布的应用：质量控制、数据分析、预测模型等
期望与方差
04
期望的定义和性质
概率分布
03
离散概率分布
定义：随机变量取值为有限个或可数无穷多个，且每个取值的概率都是非零的
应用：在统计、计算机科学、经济学等领域有广泛应用
常见的离散概率分布：二项分布、泊松分布、超几何分布等
性质：所有取值的概率之和为1
连续概率分布
常见的连续概率分布：正态分布、指数分布、伽马分布等
定义：随机变量取值在实数范围内，其概率密度函数连续
质量控制：用于判断生产过程中的产品质量是否稳定
经济学：用于预测市场价格、利率等金融指标的变化
生物学：用于研究基因表达、蛋白质结构等生物学问题
贝叶斯定理与决策理论
06
贝叶斯定理的概念和性质
贝叶斯定理：一种用于计算条件概率的公式，由英国数学家托马斯·贝叶斯提出
概念：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在A发生的条件下B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B发生的概率
概率论基础与公式推导
概率论基础与公式推导概率论是一门研究随机事件发生规律和概率的学科，是统计学和数学中的一个重要分支。
概率论应用广泛，从自然科学到社会科学，都需要概率论提供对随机现象的理解和描述。
一、概率论基础1.1 随机试验与样本空间概率论的一个重要概念是随机试验。
随机试验是指在一定条件下进行的，所有相同情况下的实验结果不确定的试验。
试验的每一次实验结果称为试验的一个结果，所有可能的结果组成的集合就是样本空间。
样本空间用S表示，其中的元素称为样本点。
样本点的数目称为样本空间的基数。
1.2 事件与概率事件是指样本空间S的子集，即S的任何一个子集都是一个事件。
事件的概率是指事件发生的可能性或程度。
概率的数学定义为0到1之间的实数。
当事件不可能发生时，概率为0；当事件必然发生时，概率为1。
1.3 概率的性质概率具有以下性质：（1）非负性：对于任何事件A，有P(A)≥0。
（2）规范性：对于样本空间S，有P(S)=1。
（3）可列可加性：对于任何可列不相交事件Ai，有P(∪iAi)=ΣiP(Ai)。
（4）补事件概率：对于事件A，有P(A’)=1-P(A)。
二、公式推导2.1 条件概率条件概率是指在另一事件发生的情况下，所考虑事件发生的概率。
设事件B已经发生，事件A发生的概率为条件概率P(A|B)。
则有：P(A|B)=P(AB)/P(B)其中，P(AB)为事件A与事件B同时发生的概率，P(B)为事件B发生的概率。
2.2 乘法公式乘法公式是指将一个事件分解成多个子事件，从而求得该事件的概率。
设事件A与事件B独立，即事件B不受事件A的影响。
则有：P(AB)=P(A)P(B)2.3 加法公式加法公式是指将两个事件的概率相加，从而求得它们并集的概率。
设事件A与事件B不相交，即事件A与事件B无公共元素。
则有：P(A∪B)=P(A)+P(B)如果事件A与事件B不是不相交的，则有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)三、总结概率论是一门基础学科，但其应用却十分广泛。
概率论基础知识
对立事件概率 “至少一个的”对立事件是该事件没有发生 “至少一个”的计算过程 设A为至少一个事件发生 求事件A没有发生的概率 至少一个事件发生的概率=1-事件没有发生的概率
条件概率 一个事件的条件概率是指通过其他时间发生的额外信息所得概率 假设事件A发生了，计算事件B发生的概率 A和B同时发生的概率/A发生的概率
概率论基础知识
概率
概率的基本概念 基本定义 事件是一个过程的结果或结果的任意集合 对立事件：事件未发生的所有结果组成 简单事件时不能进一步拆分的结果或事件 一个过程的样本空间由所有可能得简单事件组成 计算事件概率的三种方法 相对频数法 事件概率=事件发生的次数/重复该过程的次数 经典计算法 如果一个过程由N个等可能性的不同简单事件，且事件A有S种不同的发生 方式 事件概率=事件A可能发生的次数/不同简单事件的个数 主观估计法 根据相关情况估计事件发生的概率
贝叶斯定理 贝叶斯定理的重要性和实用性在于可以利用连续事件，由此可以通过后续事件中 的新信息修正初始事件的概率 先验概率：在未获得额外信息情况下的初始概率 后验概率：在获得额外信息情况下的修正概率
计数法则
乘法计数法则 对于一个事件序列，第一个事件可以有n1种发生方式，第二个事件可以有n2种 发生方式，第三个时间可以有n3种发生方式，以此类推，事件结果总数为 n1*n2*n3
阶乘法则 有n种不同的方式可以从所有元素中选出第一个元素，有n-1种不同的方式可以 从n-1个元素中选出第二个元素，以此类推 阶乘法则：n个不同元素的排列方式总数n！等于所有小于或等于该数的正整数 乘积
排列法则(元素相异) 从n个元素中无放回地任取r个元素排成一列，并考虑他们之间的先后次序，其排 列数为n!/(n-r)!
概率论基础
第七章 概率论基础[目的要求]概率论是研究随机现象的数量规律的学科，既从错综复杂的偶然性现象中揭示出潜在的必然性。
由于随机现象在客观世界是广泛存在，因些概率论的基本理论和方法已被广泛地应用到社会科学和自然科学（尤其生命科学）的许多领域之中。
概率论不仅是学习统计学的重要基础，也是从事生命科学和医务工作的有力工具，因此要求：１.了解随机事件的概念及随机事件的运算关系。
２.清楚理解概率的统计定义、全概率和贝叶斯公式、及其概率加法和乘法运算。
３.掌握随机变量及其概率分布，概率密度函数和分布函数，特别是二项分布及正态分布。
４.掌握常见五种随机变量的均值和方差。
[知识要点与重点内容例题分析选讲] 知识要点与重点1:事件的概率运算(1)概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=（2）若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒（3）对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i kj i nj i j i ni i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑(4)条件概率：()=A B P )()(A P AB P(5)乘法公式：())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P(6)全概率公式：∑==ni i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=(7)Bayes 公式：)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni iik k B A P B P B A P B P 1)()()()(典型例题:1. 一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件取出后不放回，求（1）第二次才取得正品的概率（2）第二次取得正品的概率。
概率论基础
乘法公式
定义 对于事件 A 和 B ，若 P( A ) 0，则称
P(B | A) P(AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率
（conditional probability）．
事件的出现都是等可能的，即
P(ei
)
1 n
,
i 1, 2,
, n ．如果
事件 B 包括了其中 m 个基本事件，则定义事件 B 的概率为
P(B) m ， n
即事件包含的基本事件数除以基本事件总数．这就是概率的古
典定义，又称为古典概型．
例 瓶中装有 30 片药，其中 6 片已失效，从瓶中任取 5 片，求其中两片失效的概率．
概率论基础 Probability
第一节 随机事件及概率
随机事件
• 随机试验
特点：重复；结果多样性；结果的不确定行
• 随机事件 • 样本点与样本空间
事件的关系和运算
• 包含；相等；交；并；互斥；对立；差
事件关系和运算
设 A ， B 和 C 为三个事件，
利用事件的关系和运算表示下面的事件：
（1） A 发生而 B 和 C 都不发生； （2） A 与 B 发生而 C 不发生；
乘法公式
例 某工厂有职工 500 人，男女各半，男女职工中非 熟练工人分别有 40 人与 10 人．现从该厂职工中任意 选取一人，试问：
（1）该职工是非熟练工的概率是多少？ （2）若已知选出的是女职工，她是非熟练工的概 率是多少？
乘法公式
推广 概率的乘法公式可以推广到有限多个事件的情形，即 P(A1A2 An ) P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2 ) P(An | A1A2 An1)
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定义3（概率的统计定义）
如果在某一组条件下，当试验次数越 来越多，事件A出现的频率稳定在某一常 数p附近作微小摆动，称常数p为事件A的 概率。记作P(A)=p.
问题提出
第七章 概率论基础
引言
概率论研究的对象是什么？
确定现象 现象
随机现象
确定性现象: 在一定条件下必然发生 (必然不发生)的现象称为确定性现象
1.水从高处流向低处； 2.水的沸点摄氏100度(标
准大气压下); 3.太阳不会从西边升起.
随机现象：在一定条件下可能出 现也可能不出现的现象
例1. 抛掷硬币， 出现正面还是反面？
解：事件A与B是对立的， 事件B与C和事件A与B均是互斥事件， B +C表示最多一人不正常， A∩C=C表示恰有一个人不正常， A – C表示至少有二人不正常
例2 设A、B、C三事件，则如何表示：
1、A发生而B与C都不发生可表示为
A2、BCA与或B都A发生B而C不C发或生A可表(示B为 C) 3、AB这C三个或事A件B恰好C发或 生两A个B可表A示BC 为4、这三A个B事C件不A多B于C一事件A发B生C可表示为 5、AAB、CB、CA不B都C发生可B表A示C为 CAB
本章主要内容： 1、随机事件及其概率 2、随机变量及其分布和数字特征 3、大数定律和中心极限定理
第一节 随机事件及其概率
第二节 第三节
概率基本运算法则 及其应用
随机变量及其概率分布
第四节 随机变量的数字特征 第五节* 大数定律和中心极限定理
第一节 随机事件及其概率
7.1.1 随机事件 7.1.2 事件关系及运算 7.1.3 随机事件的概率
2.“从一批产品中,依次任 选三件,记录出现正品 与次品的件数”.
3.考察某地区 10 月份的 平均气温.
在随机试验中, 可能出现的结果称为随机事件，简称事 件。用A,B,C表示，如掷一枚骰子 基本事件 必然事件
复合事件 不可能事件 • 所有基本事件组成的集合，成为样本空 间，记为Ω，不包含任何基本事件的空 集记作 Ø
7.1.1 随机事件 随机现象是通过随机试验来研究的.
问题 什么是随机试验?
随机试验（简称试验）
定义1： 在概率论中,把具有以下三个特
征的试验称为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
： 可 能
T 0.072 L
0.029 B 0.010 性
O 0.065 U
0.0255 V
5 0.008
的 大 小
4
具
A 0.063 C
0.023 K
0.003
有 稳
N 0.059 F
0.0225 X 0.002 定
I
0.055 M 0.021 J
0.001 性
R 0.054 P
0.0175 Q 0.001
3.可加性: 若A与B是两个不会同时发生 的事件，以A+B表示A或B至少出现其 一这个事件，则 W(A+B)=W(A)+W(B)
例3 表7-1 掷币试验
试验者
投掷次数N 正面数m 频率
De Morgram 2048
1061 0.5181
Buffon
4040
2048 0.5069
Pearson
12000 6019 0.5016
说明 ：随机试验简称为试验，通常用 E 来
表示
实例 “抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现
的情况”.
分析:
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 字面、花面;
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结
果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出 现的点数”.
生一个，即 A∩B=且 A∪B= , 就说 B 是 A 的逆事件
（或对立事件）；记作 B= A (或 c )；此时 A 也是 B 的
逆事件. 例如: …
A
B
几个成立的等式
（1） A （2） A A
（3） A A （4） A B AB （5） A B AB
例1 设有三人做尿常规化验，用A表示至 少有一人不正常，B表示三人都正常，C 表示三人中恰有一人不正常，试问哪些 是对立事件？哪些是互斥事件？ B+C,A∩C,A – C各表示何实际意义？
事件都发生，记 作 A∩B，(也记 作 AB)，即. 例如:
AB
5.事件A与B的差事件：
表示A发生而B不发生，A-B
记作A-B， 例如: …
6.互不相容或互斥事件：若 A 与 B 两
事件不能同时发生，即 A∩B=，就称
A 与 B 互不相容. 例如: A
B
7.如果事件 A 与 B 不能同时发生，并且 A 与 B 至少发
1.2 事件的关系及运算:
1. 事件 A包含 B（B 包含于 A）：表示事
件 B 发生事件 A 必然发生，记作 A B
（或 B A ）。例如 :A（掷出奇数点）
B(掷出一点)
BA
事件A与B相等；记作A =B，表示A B 并且B A. 例如: …
A+ B
4.事件 A 与 B 的交事件；表示 A 与 B 两
例 2. 车站等车人数。
例 3. 同一种病用同一种药的结果
概率论研究的对象是：随机现象
概率论研究的对象是随机现象， 研究随机现象什么问题呢？
在大量试验或观察中, 这种随机现 象中出现的各种结果具有一定的统计规 律性 , （举例）。概率论就是研究随机 现象的数量规律的一门数学学科.
概率论在气象、生物学、临床医学、数理 统计、经济、军事等各个领域有着广泛的应用。
Pearson
24000 12012 0.5005
结论：大量重复试验，出现正面频率接近50%。 思考：少量的试验（如7次）能否出现同样结果？
例4 表7-2 英文字母使用频率
论
空格 0.2 H E 0.105 D
0.047 W 0.035 G
0.012 0.011
或AABCB或ABBCC ABACC BAC
CAB ABC ACB BCA
7.1.3 随机事件的概率
一、频率和概率的统计定义
定义2：大量重复试验（观察） Ｎ次，Ａ出现m次，事件A的频率为： 频率W(A)=m
N
频率的性质：
1.非负性：0≤W(A) ≤1
2.规范性: Ω为必然事件，则 W(Ω)=1， Ø为不可能事件，则W(Ø)=0