二次函数图像分析
二次函数的图像分析
二次函数的图像分析二次函数是一种常见的二次多项式函数，其一般形式为$f(x) =ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$为常数且$a \neq 0$。
在数学中，二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，通过对二次函数的系数$a$、$b$、$c$进行分析，我们可以得到关于二次函数图像的许多重要信息。
本文将对二次函数的图像进行详细分析，帮助读者更好地理解和掌握二次函数的性质。
### 一、二次函数图像的开口方向二次函数的图像开口方向取决于二次项系数$a$的正负。
当$a >0$时，二次函数的图像开口向上；当$a < 0$时，二次函数的图像开口向下。
这是因为二次函数的图像是一个抛物线，而$a$的正负决定了抛物线的凹凸性质。
### 二、二次函数图像的顶点坐标二次函数的顶点坐标可以通过顶点公式求得。
顶点公式为$x = -\frac{b}{2a}$，$y = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$。
顶点坐标即为抛物线的最高点或最低点，是二次函数图像的一个重要特征。
### 三、二次函数图像的对称轴二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于$x$轴的一条直线。
对称轴的方程为$x = -\frac{b}{2a}$，是二次函数图像的对称中心线。
### 四、二次函数图像的焦点焦点是二次函数图像的一个重要特征，它是抛物线的焦点，也是抛物线上到焦点距离与到准线距离的比值为定值的点。
焦点的坐标可以通过公式$F\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac -b^2}{4a}\right)$求得。
### 五、二次函数图像的准线二次函数的准线是与抛物线平行且通过焦点的一条直线。
准线的方程为$y = \frac{4ac - b^2}{4a}$，是二次函数图像的对称轴上的一点。
### 六、二次函数图像的焦距焦距是焦点到准线的距离，可以通过公式$\frac{|4ac -b^2|}{4|a|}$求得。
二次函数的图像和性质
+
k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直对线称x轴=-3 顶( -点3，坐标
直线x=1 (51)， -
所以该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13.
（2）点A（-1，3）和B(2，-6）的坐标满足抛
物线的表达式，即
解得
a b 6 3， 4a 2b 6 6.
a 3， b 6.
所以该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6.
例. 通过配方，写出下列抛物线的 开口方向、对称轴和顶点坐标．
x<-
b 2a
x>-
b 2a
a>0
向 下
x<-
b 2a
x>-
b 2a
当x=
-
b 2a
时，
y有最小值：4a4ca-b2
当x=
-
b 2a
时，
y有最大值：4a4ca-b2
数学核心素养
一、什么是数学核心素养 二、如何在数学教学活动中体现数学核心素养 三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
一、什么是数学核心素养 文件《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务》
根据这些特点，我们容易画出它的图像．
解
列表：
画出的图像如图26.2.4所示.
一般地，我们可以用配方法求 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点 与对称轴.
y= ax2+bx+c
二次函数的增减性与像分析
二次函数的增减性与像分析二次函数是高中数学课程中的一大重点内容，它的形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c为常数，a不等于零。
在本文中，我们将探讨二次函数的增减性质以及对应的像的分析方法。
一、二次函数的增减性要了解二次函数的增减性，我们首先需要知道二次函数图像的一些基本特征。
通过观察二次函数的图像，我们可以发现：1. 当a>0时，二次函数的图像开口朝上，形状如一个“U”。
这时，函数的值随着自变量的增加而增加，即函数单调递增。
2. 当a<0时，二次函数的图像开口朝下，形状如一个“∩”。
这时，函数的值随着自变量的增加而减小，即函数单调递减。
简而言之，二次函数的增减性与其开口方向相关，开口朝上时函数单调递增，开口朝下时函数单调递减。
二、像分析要进行像的分析，我们需要考虑二次函数的定义域、值域、顶点以及对称轴等要素。
下面，我们将逐一介绍这些概念及其分析方法。
1. 定义域对于任意二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的定义域通常为全体实数集合R，即所有实数都可以作为自变量x的取值。
2. 值域二次函数的值域可以通过求解极值来确定。
对于开口朝上的二次函数，它的值域是大于或等于顶点纵坐标的所有实数；对于开口朝下的二次函数，它的值域是小于或等于顶点纵坐标的所有实数。
3. 顶点和对称轴二次函数图像的顶点可以通过求解二次函数的导数为零来确定。
使用求导法可以得出：顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
注意，这里的横坐标取反是因为对称轴在y轴左侧。
对称轴是垂直于x轴的一条直线，过顶点，并且将图像分为两个相等的部分。
对称轴的方程为x = -b/2a。
通过计算顶点和求解对称轴的方法，我们可以更好地理解二次函数的形状和位置。
4. 过x轴的情况为了确定二次函数与x轴的交点（即零点），我们需要解二次方程ax^2 + bx + c = 0。
通过求解这个方程，我们可以找到函数与x轴相交的点，即函数的零点或根。
5二次函数的图像与性质
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【详解】∵抛物线开口向下，∴ ，∵抛物线的对称轴为直线 ，∴ ，∵抛物线与 轴的交点在 轴上方，∴ ，
4、b2-4ac的符号由抛物线与x轴（或坐标轴）的交点个数确定：
①与x轴的交点个数
②与坐标轴交点个数
5、根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号：
常见:①x=1时，a +b +c的符号；②x=-1时，a -b+ c的符号；
③x=2时，4a+2b+c的符号；④x=-2时，4a-2b+c的符号；…….
例3：已知函数y=x2﹣2mx+2016（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），其中x1=﹣ +m，x2= +m，x3=m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
【答案】D 【解析】y=x2﹣2mx+2016=（x﹣m）2﹣m2+2016，
综上所述：正确的结论有①②④，共3个，故选B.
考点四：二次函数与方程和不等式
题型1、求一元二次方程解的取值范围
例1.二次函数 y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是()
A.x＜-1B.x＞2 C.-1＜x＜2D.x＜-1或x＞2
（例1图） （变式1） （变式2）
变式练习：
1.如图是二次函数 y＝ax2 ＋bx ＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是()
二次函数图像与参数课件
02
03
通过求导和分析导数的符号变化 ，可以判断高次多项式的单调性 和极值点。
04
感谢您的观看
THANKS
判别式的意义
判别式$Delta$决定了二次函数图像的根的情况。当$Delta > 0$时，方程有两个不相等的实根，抛物 线与$x$轴有两个交点；当$Delta = 0$时，方程有两个相等的实根，抛物线与$x$轴有一个交点；当 $Delta < 0$时，方程无实根，抛物线与$x$轴无交点。
02
二次函数图像特征
二次函数图像与参数课件
汇报人：XXX 2024-01-29
目录
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 参数变化对图像影响 • 典型二次函数图像分析 • 二次函数与实际问题应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
二次函数基本概念
定义与性质
定义
二次函数是一般形式为 $y=ax^2+bx+c$（$a neq 0$） 的函数，它描述了一个变量与另 一个变量的二次关系。
3
注意
以上内容中，$a,b,c,h,k$均为常数，且$aneq 0$。
03
参数变化对图像影响
a值变化对图像影响
当a>0时，二次函数的图像是一个开口向上 的抛物线。随着a值的增大，抛物线的开口逐 渐变窄，函数的增减速度逐渐加快。
当a<0时，二次函数的图像是一个开口向下 的抛物线。随着a值的减小，抛物线的开口逐 渐变宽，函数的增减速度逐渐减慢。
对称中心
对于标准形式的二次函数$y=a(x-h)^2+k$，其对称中心为 点$(h,k)$。
与坐标轴交点情况
1 2
与$x$轴交点
当$Delta=b^2-4ac>0$时，与$x$轴有两个交 点；当$Delta=0$时，与$x$轴有一个交点；当 $Delta<0$时，与$x$轴无交点。
二次函数图表总结
二次函数图表总结二次函数图表总结y＝ax图象2a>0ay＝ax+k图象2a>0a0开口对称性顶点k0ky＝a(x-ｈ)2图象a>0a0开口对称性顶点增减性h0hy＝a(x-ｈ)+k2a>0a0,k>0h>0,k0,kh0顶点是最低点左右平移y=ax2+k上下平移y=a(xh)2+k上下平移y=a(xh)2左右平移y=ax2一般地,抛物线y=a(x-h)+k与y=ax2的形状相同,位置不同。
2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k扩展阅读：二次函数单元总结二次函数单元总结【知识归纳和总结】一、知识网络二次函数的定义yax2bxc(a0)yax2(a0)二次函数的图像ya(xm)2k(a0)yax2bxc(a0)二次函数二次函数的性质开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，二次函数与一元二次方程的关系二次函数的应用最大面积、利润等二、知识要点分布1.二次函数的定义：形如yax2bxc(a、b、c为常数，a0）的函数叫二次函数。
任何一个二次函数的表达式都可以化为yax2bxc的形式，这就是二次函数的一般形式。
2.二次函数表达式的几种形式：（1）y=ax2；（2）y=ax2+k；（3）y=a(x+h)2；（4）（5）y=ax2+bx+c(a0)。
y=a(x+h)2+k；3.二次函数表达式的形式及对称轴、顶点坐标。
（1）一般式：yaxbxc(a、b、c为常数，a0），其对称轴为直线x=-2b，顶点2ab4ac-b2坐标为-,。
2a4a（2）顶点式：y=a(x+h)+k(a、h、k为常数，a0），其对称轴为直线x=-h，顶点坐标为-h,k。
（3）交点式：y=ax-x1x-x2，其中a0，x1、x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标，即一元二次方程ax-x1x-x2=0的两个根。
4.二次函数图像之间的平移关系1向上（k>0）或向下（k0）或向下（k0）或向下（k0a对称轴顶点坐标直线x=-b2a直线x=-b2ab4ac-b2-,2a4a当x-小；当x-大；b4ac-b2-,2a4a 当x-大；性质增减性b时，y随x的增大而减2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而减2a当x-小；最值当x=-b时，y有最小值，2a当x=-b时，y有最大值，2a4ac-b2y最小值=4a","p":{"h":19.298,"w":9.111,"x":407.786,"y":455.644,"z":象而具体了。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
二次函数图像与性质总结(含答案)
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数的性质二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴直线x=-a b 2，二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小；x＞-a b 2时，y 随x 的增大而增大；x=-a b 2时，y 取得最小值a b ac 442-，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-a b 2时，y 随x 的增大而增大；x＞-a b 2时，y 随x 的增大而减小；x=-a b 2时，y 取得最大值a b ac 442-，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax 2的图象向右或向左平移a b 2个单位，再向上或向下平移ab ac 442-个单位得到的．二次函数上点坐标的特征二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-a b 2，ab ac 442-）.①抛物线是关于对称轴x=-a b 2成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析中的c 值．③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x 1，0），（x 2，0），则其对称轴为x=221x x +【例1】已知()()212232m x m x m m y m m +-+-=--是关于x 的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．【例2】下列各式中，一定是二次函数的有（）①y=2x 2﹣4xz +3；②y=4﹣3x +7x 2；③y=（2x ﹣3）（3x ﹣2）﹣6x 2；④y=21x﹣3x +5；⑤y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）；⑥y=（m 2+1）x 2﹣2x ﹣3（m 为常数）；⑦y=m 2x 2+4x ﹣3（m 为常数）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例3】（2017•东莞市一模）在同一坐标系中，一次函数y=ax+b 与二次函数y=bx 2+a 的图象可能是（）A．B．C．D．【例4】（2017•辽阳）如图，抛物线y=x 2﹣2x﹣3与y 轴交于点C，点D 的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为（）A．1+2B．1﹣2C．2﹣1D．1﹣2或1+2【例5】（2017•唐河县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=31x 2经过平移得到抛物线y=ax 2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为38，则a、b 的值分别为（）A．31，34B．31，﹣38C．31，﹣34D．﹣31，34【例6】（2016•北仑区一模）如图，抛物线y=﹣x 2+5x﹣4，点D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD 的面积的最大值是多少？1、（2011秋•无锡期末）下列函数中，（1）y ﹣x 2=0，（2）y=（x +2）（x ﹣2）﹣（x ﹣1）2，（3）x x y 12+=，（4）322-+=x x y ，其中是二次函数的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2、（2015秋•五指山校级月考）函数y=（m ﹣n ）x 2+mx +n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 是常数，且m ≠0B ．m 、n 是常数，且m ≠nC ．m 、n 是常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数3、（2014•葫芦岛二模）在同一直角坐标系中，函数y=mx +m 和函数y=mx 2+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（）A ．B ．CD ．4、（2017•扬州）如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x 2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是（）A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣25、（2012秋•高安市期末）把抛物线y=﹣2x 2﹣4x﹣6经过平移得到y=﹣2x 2﹣1，平移方法是（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位6、（2017•泸州）已知抛物线y=41x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（3，3），P 是抛物线y=41x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．67、（2016•陕西校级模拟）如图，已知点A（8，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=6时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．358C．10D．528、（2010秋•西城区校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线经过点（1，0），则下列结论：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0，其中正确的是．9、（2017•孝感模拟）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有（填序号）．10、（2016•黄冈校级自主招生）方程2x﹣x 2=x 2的正实数根有个．11、（2011•路南区一模）已知二次函数y=（x﹣3a）2﹣（3a+2）（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．图中分别是当a=﹣1，a=﹣31，a=1时二次函数的图象．则它们的顶点所满足的函数关系式为．12、（2015•泗洪县校级模拟）若直线y=m （m 为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是．13、（2017春•昌江区校级期中）记实数x 1，x 2中的最小值为min{x 1，x 2}，例如min{0，﹣1}=﹣1，当x 取任意实数时，则min{﹣x 2+4，3x}的最大值为．14、（2016•锡山区一模）二次函数y=﹣x 2﹣2x 图象x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=21x+b 与该新图象有两个公共点，则b 的取值范围为．15、（2017春•平南县月考）抛物线238942++-=x x y 与y 轴交于点A，顶点为B．点P 是x 轴上的一个动点，当点P 的坐标是时，|PA﹣PB|取得最小值．16、（2014•上城区二模）已知当x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=6（m+n+1）时，多项式x 2+4x+6的值等于．17、（2017•港南区二模）二次函数y=（a﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1的图象经过原点，则a 的值为．18、（2017•西华县二模）已知y=﹣41x 2﹣3x+4（﹣10≤x≤0）的图象上有一动点P，点P 的纵坐标为整数值时，记为“好点”，则有多个“好点”，其“好点”的个数为．19、（2017•鄂州）已知正方形ABCD 中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m 个单位（m＞0）与正方形ABCD 的边（包括四个顶点）有交点，则m 的取值范围是．20、作出下列函数的图象：（1）y=x 2﹣4x +3；（2）y=x 2﹣4|x |+3；（3）y=|x 2﹣4|x |+3|．21、（2017•海安县一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣41x+n 经过点A（﹣4，2），分别与x，y 轴交于点B，C，抛物线y=x 2﹣2mx+m 2﹣n 的顶点为D．（1）求点B，C 的坐标；（2）①直接写出抛物线顶点D 的坐标（用含m 的式子表示）；②若抛物线y=x 2﹣2mx+m 2﹣n 与线段BC 有公共点，求m 的取值范围．22、（2011•泰州）已知二次函数y=x 2+bx ﹣3的图象经过点P （﹣2，5）（1）求b 的值并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；（2）设P 1（m ，y 1）、P 2（m +1，y 2）、P 3（m +2，y 3）在这个二次函数的图象上，①当m=4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．23、（2017•邵阳县模拟）（1）已知函数y=2x+1，﹣1≤x≤1，求函数值的最大值．（2）已知关于x的函数y=（m≠0），试求1≤x≤10时函数值的最小值．（3）己知直线m：y=2kx﹣2和抛物线y=（k2﹣1）x2﹣1在y轴左边交于A、B两点，直线l 过点P（﹣2、0）和线段AB的中点M，求直线1与y轴的交点纵坐标b的取值范围．24、（2015秋•长兴县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，点E在CB边上，以每秒1个单位的速度从点C向点B运动，运动时间为t（s），过点E作AB的平行线，交AC边于点D，以DE为边向上作等边△DEF，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S．（1）当点F恰好落在AB边上时，求t的值；（2）当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？。
二次函数的图像
汇报人：
二次函数图像的形状 二次函数图像的平移 二次函数图像的对称变换 二次函数图像的翻折 二次函数图像的交点 二次函数图像的综合应用
二次函数图像的形状
开口方向
向上开口：二次项系数大于0
垂直于x轴：二次项系数等于0
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向下开口：二次项系数小于0
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水平线：一次项系数等于0
抛物线与坐标轴交点的应 用
抛物线在实际问题中的建 模应用
在数学竞赛中的应用
二次函数图像的综合应用可以解决数学竞赛中的代数问题。 通过分析二次函数图像，可以解决几何问题。 利用二次函数图像的性质，可以解决数列问题。 二次函数图像的综合应用在数学竞赛中具有广泛的应用价值。
在高中数学中的重要性
二次函数图像是高中数学的重要知识点，是理解和掌握函数性质的关键。 通过二次函数图像的综合应用，可以解决各种实际问题，提高数学应用能力。 二次函数图像在高中数学中占有重要地位，是高考数学的必考内容之一。 掌握二次函数图像的综合应用，有助于提高学生的数学素养和思维能力。
变化规律：顶点不变，开口方 向相反，对称轴不变
举例：y=x^2沿x轴翻折后为 y=-x^2
应用：理解次函 数图像在y轴两侧 对称翻转
效果：改变开口 方向和顶点位置
公式：将二次函 数的一般形式 y=ax^2+bx+c 中的a替换为-a， 得到新的二次函 数
上平移和下平移对函数值的影响：上平移会使函数值增大，下平移会使函数值减小。
上平移和下平移的代数表示：向上平移a个单位，函数解析式变为y=f(x+a)；向下平移 a个单位，函数解析式变为y=f(x-a)。
上平移和下平移的实际应用：在解决实际问题时，可以通过平移二次函数的图像来调整 参数，从而得到最优解。
二次函数图像和性质总结(附答案解析)
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=3(x+4)22y=3x 2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数的图像_课件
函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的变换
【问题导思】 1．函数y＝x2的图像与函数y＝(x－1)2的图像有怎样的 关系？如何由y＝x2的图像得到y＝(x－1)2的图像？ 【提示】 它们的形状相同，位置不同．把y＝x2的图 像向右平移1个单位就可得到y＝(x－1)2的图像． 2．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－1的图像？ 【提示】 把y＝x2的图像向下平移1个单位．
(2)把y＝2x2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平 移4个单位长度，就得到函数y＝2(x－3)2＋4，即y＝2x2－ 12x＋22的图像．
(3)y＝4x2＋2x＋1
＝4(x2＋12x)＋1
＝4(x2＋12x＋116－116)＋1
＝4[(x＋14)2－116]＋1
＝4(x＋14)2＋34.
把y＝4x2的图像向左平移
1 4
个单位长度，再向上平移
3 4
个
单位长度，就可得到函数y＝4x2＋2x＋1的图像．
求二次函数的解析式
根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式． (1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)； (3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向右平移 |h| 个单位长度(h<0)，再向 下 平移|k| 个单位长度(k<0)得到．
在二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图
像的开口大小及方向．
3．将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x ＋h)2＋k (a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左
二次函数的图像与性质
学情分析：本节内容是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习的函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节.二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一.喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径.同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等.本节课研究最简单的二次函数y=±x2的图象,是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，既是前面所学知识的延续，又是探究其它二此函数的图象及其性质的基础，起到承上启下的作用.教学目标：1. 知识与技能目标(1）能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y= ax2的性质．（2）猜想并能作出y=- x2的图象，能比较它与y= x2的图象的异同．2.过程与方法目标（1）经历探索二次函数y= x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．（2）由函数y= x2的图象及性质，对比地学习y=- x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．3.情感、态度与价值观目标（1）经历探索的过程发现抛物线的性质，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心．（2）通过小组交流、讨论、比较，研究二次函数y= x2和y=- x2的图象，培养学生合作意识和交流能力．教学重点：经历探索二次函数y=±x2的图象的作法和性质的过程，理解二次函数y=a x2的性质．教学难点：描点法画y= x2的图象，体会数与形的相互联系。
教学过程：一、创设情境，提出问题学生观察：喷泉的水流、篮球的投掷形成的路径，抛物线型拱桥、抛物线型隧道，都与抛掷一个物体形成的路径的曲线类似，由此导入课题.紧接着提出两个问题：1．我们已经学过哪些函数？研究函数问题的一般步骤是怎样的？2．一次函数、反比例函数的图象各是怎样的图形？（设计意图：让学生回顾已学的函数类型、图象及研究函数问题的一般思路，以便学生运用类比的方法研究二次函数的相关问题．）二、合作交流，探究新知1．认识抛物线问题：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先来研究最简单的二次函数y＝x2的图象．大家还记得画函数图象的一般步骤吗？（设计意图：通过这个问题让学生回忆起用描点法画图的一般步骤，以便于学生下一步的画图．）画一画:你能试着用描点法画二次函数y= x2的图象吗?（两名学生上台板演，其他学生在下面尝试画图．在学生画图时，教师溶入到学生中，了解并搜集学生可能出现的各种问题．比如：学生可能会画成折线、半个抛物线、没画出延伸的趋势等情形，这时正好针对问题鼓励小组间互相讨论、相互比较，交流各自的观点．）问题：通过刚才的分析你认为在画y= x2的图象时：（1）列表取值应注意什么问题？(取对称的7或5个点)（2）点和点之间用什么样的线连接? （用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接）（学生尝试描述y= x2的图象,建立和实际问题的联系.再通过投篮的动态演示,形象的描述并体会y= x2的图象的形状是抛物线，并且与开始的引例相呼应.）（设计意图:长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了.事实上，数学学习应该与学生的生活经验融合起来，让他们在生活中去发现数学、发现生活中的数学、探究数学、认识并掌握数学.）2.探究抛物线y= x2的性质议一议:请你观察y=x2的图象,你能得到哪些方面的性质，然后分组讨论．（在学生讨论交流之后,请每组的学生代表一一发表自己的观察结果．在此过程中，教师不能作裁判，而要把评判权交给学生，注意培养学生语言的规范化、条理化 .待学生发表自己的观点之后系统地总结一下y= x2的图象的性质）抛物线y=x2的性质（1）开口：抛物线的开口向上．（2）对称性:它是轴对称图形，对称轴是y轴（或x=0）．（3）增减性：在对称轴的左侧（x<0时），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（x>0），y随着x的增大而增大.（4）顶点：图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）．（5）最值：因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小=0．1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y= 2x2 y=2（设计意图：在此问题上，不再按课本上的问题一一叠列给学生，而是给学生一个开放的空间，给学生一个交流的平台，一个展现自我的空间．仁者见仁，智者见智，不同的学生肯定会有不同的认识，通过小组讨论与交流，学生可以相互学习，共同提高．）3.探究抛物线y=-x2的性质想一想:（1）二次函数y=- x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象．(2) 类似的你能说出它的性质吗?（让学生先猜想再画图验证，在学生画图时可让每一小组部分同学将y= x2与y=-x2的图象画在一个坐标系内,而后学生通过讨论交流得出结论，教师只给以必要的引导．）1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y=- 2x2 y= -2（设计意图：这一问题设计为学生提供思考的空间，培养学生在观察、分析、对比、交流中发展分析能力和从图象中获取信息的能力．）议一议:函数y＝x2与y＝－x2的图象及其性质有何异同？（学生观察图形，通过小组讨论，归纳y＝x2与y＝－x2的图象及其性质的异同,然后回答，学生想不到的，及时给予引导.）不同点：开口方向不同：函数值随自变量的增大的变化趋势而不同：函数的最值不同：相同点：关系：它们的图像关于x轴对称（设计意图：通过比较y＝x2与y＝－x2的性质的异同，让学生更充分地理解y ＝±x2的性质．）三、变式训练，巩固提高（课堂检测）1．在二次函数y= x2的图象上，与点A(-5，25)对称的点的坐标是．顶点为：_____2．点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y=-3x2上，且x1＞ x2＞0，则y1_____y2. 3．设边长为x cm的正方形的面积为y cm2，y是x的函数，该函数的图象是下列各图形中（）（设计意图：通过一组简单的练习题，及时巩固所学知识，使学生品尝到成功的喜悦．）四、总结反思,纳入系统通过今天的学习，你是否对二次函数y=a x2有了一些新的认识？能谈谈你的想法吗？（由学生总结本节课所学习的主要内容.在学生归纳的基础上总结它们的区别与生的素质，并且逐渐培养学生的良好的个性品质.）五、课后延伸,提升能力你能类比地画出函数：12+y的图象吗？动手画一下吧！=x教学反思：针对本节课的特点，采用“创设情境—作图探索—总结归纳—知识运用”为主线的教学方法.把教学的重心放在如何促进学生的“学”上，引导学生采用观察、实验、自主探索、小组活动、集体交流等多样化的学习方式.教学过程中始终坚持学生为主体,教师为主导的方针，使探究知识和培养能力融为一体,让学生不仅学到科学探究的方法,而且体验到探究的甘苦,领会到成功的喜悦.。
2二次函数的图像和性质
函数解析式
开口方向 对称轴 x=0(y轴)
a>0时,开 口向上， a<0时， 开口向下
顶点坐标
(0,0) (0,k) (h,0) (h,k)
y=ax2
y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k Y=ax2+bx+c
二次函数的图像和性质
二次函数现形记 （一）
例1 在同一坐标系中 2、y=x2+1 画出函数y=x 2-1 的图象 与y=x
例1 在同一坐标系中画出函数 y=x2、y=x2+1与y=x2-1的图像 -3 y=x2 9 y=x2+1 10 y=x2-1 8
x
-2 -1 0 4 1 0 5 2 1 3 0 -1
的开口方 向________,对称轴______，顶 点坐标________.
练习：
1 2 3、抛物线y 4 x 3的开口方向 1 y ( x 3) 2 的开口方 4、抛物线 2
________,对称轴______，顶点 坐标________.
向________,对称轴______，顶 点坐标________.
?
1. y 2 x 2 12 x 13; 2. y 5x 2 80 x 319;
1 3. y 2 x x 2; 4. y 32 x 12 x. 2
评讲作业:P66页1—14题
y 2x 2
练习： 根据左边已画好的函数图象填空：
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
二次函数的图像和性质分析
二次函数图像的平移和变换
向上平移：增加常数项b的值 向下平移：减小常数项b的值 向左平移：增加x的系数a的值 向右平移：减小x的系数a的值
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向与二次项系数a有关，当 a>0时，开口向上；当a<0时，开 口向下。
开口方向与一次项系数b和常数项c 无关。
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二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一 元二次方程的
根的关系
ห้องสมุดไป่ตู้
二次函数与一 元二次方程的
图像关系
二次函数与一 元二次方程的
系数关系
二次函数与一 元二次方程在 实际问题中的
应用
二次函数与三角函数的关系
二次函数与三角函数图像的相 似性
二次函数与三角函数的周期性
二次函数与三角函数的对称性
二次函数与三角函数的极值点
添加标题
添加标题
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开口大小与二次项系数a的绝对值有 关，|a|越大，开口越小；|a|越小， 开口越大。
二次函数的开口方向与对称轴的位 置有关，对称轴在y轴左侧时，开口 向上；对称轴在y轴右侧时，开口向 下。
二次函数的对称轴
二次函数图像的对称轴是x=-b/2a
对称轴的性质：当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，抛物线开口向下， 对称轴为x=-b/2a
计算梯形面积：利用二次函数表示梯形的上底、 下底和高，进而求出面积
计算圆和椭圆面积：将圆和椭圆看作是无 数个小的等腰三角形，利用二次函数表示 这些三角形的面积，进而求出整个圆或椭 圆的面积
计算抛物线形物体面积：利用二次函数表示抛物 线形物体的面积，进而求出其表面积或体积
高中数学二次函数图像分析技巧分享
高中数学二次函数图像分析技巧分享高中数学中，二次函数是一个重要的内容，它在各个章节中都有涉及。
掌握二次函数图像的分析技巧，不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以在解题过程中提供有效的思路和方法。
本文将分享一些高中数学二次函数图像分析的技巧，希望对学生和家长有所帮助。
一、二次函数图像的基本形态二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
为了方便分析，我们可以先将二次函数转化为顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
1. a的正负决定图像的开口方向当a > 0时，二次函数图像开口向上；当a < 0时，二次函数图像开口向下。
这一点可以通过对比二次函数的标准形式和顶点形式来理解。
例如，对于函数y =x^2和y = -x^2，前者开口向上，后者开口向下。
2. (h, k)确定图像的位置顶点坐标(h, k)决定了二次函数图像的位置。
当h > 0时，图像向左平移；当h< 0时，图像向右平移；当k > 0时，图像向上平移；当k < 0时，图像向下平移。
这一点可以通过对比不同顶点坐标的二次函数图像来理解。
例如，对于函数y = (x - 2)^2和y = (x + 2)^2，前者的顶点在(2, 0)，图像向右平移；后者的顶点在(-2, 0)，图像向左平移。
二、二次函数图像的特殊情况在分析二次函数图像时，有一些特殊情况需要特别注意，它们可能对解题过程产生重要影响。
1. 对称轴与顶点坐标二次函数的对称轴是x = h，其中h为顶点的横坐标。
对称轴将二次函数图像分为两个对称的部分。
当我们知道对称轴的位置时，可以通过对称轴与顶点坐标的关系来确定顶点坐标。
例如，对于函数y = (x - 2)^2，对称轴为x = 2，顶点坐标为(2, 0)。
2. 零点与交点二次函数的零点是使函数值等于0的x值，即y = 0时的解。
22.1 二次函数的图像和性质(第二课时)(解析版)
22.1 二次函数的图像和性质第二课时【知识梳理】知识点一 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质函数y =ax 2+bx +c （a >0）y =ax 2+bx +c （a <0）开口方向向上向下顶点坐标（2b a -，244ac b a-）（2b a -，244ac b a-）对称轴x =2ba -x =2b a-增减性x >2b a -时，y 随x 的增大而增大；x <2b a -时，y 随x 的增大而减小x >2b a -时，y 随x 的增大而减小；x <2b a -时，y 随x 的增大而增大最大（小）值当x =2b a -时，y 最小值=244ac b a- 当x =2b a -时，y 最大值= 244ac b a-知识点二 二次函数的三种解析式⑴一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0）. 对称轴，顶点坐标（2b a -，244ac ba-）.⑵顶点式：y =a （x -h ）2+k （a ≠0）. 对称轴x= h ，顶点坐标（h ，k ）.⑶交点式：y =a （x -x 1）（x -x 2）. 对称轴，顶点坐标.知识点三 二次函数的平移问题解析式y =a （x +m ）2+n （a 、m 、n 都是常数，a ≠0）分情况讨论m >0，n >0m >0，n <0m <0，n >0m <0，n <0变换过程由y =ax 2向左平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向左平移|m |个单位，向下平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向下平移|n |个单位总结左加右减，上加下减a b x 2-=221x x x +=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2221221x x a x x ，【题型探究】题型一、把一般式化成顶点式1．用配方法将二次函数y =x 2﹣8x ﹣9化为y =a （x ﹣h ）2+k 的形式为（ ）A ．y =（x ﹣4）2+7B ．y =（x +4）2+7C ．y =（x ﹣4）2﹣25D ．y =（x +4）2﹣25【答案】C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=（x -4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．2．学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式2y ax bx c =++（a ≠0）化成2()y a x h k =-+的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式如下：两位同学做法正确的是（ ）A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都不正确【答案】C【分析】此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可．【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确；故答案选：C ．【点睛】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般．3．把二次函数2241y x x =-+-配方成顶点形式()22y x h k =-++，则h ，k 的值分别为（ ）A ．1h =-，1k =B ．1h =-，2k =-C ．1h =，1k =D ．1h =，3k =-【分析】利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，即可得到答案．【详解】解：Q 二次函数()()22224122121211y x x x x x =--=--++-=--++，1h \=-，1k =，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．题型二、二次函数的平移问题4．把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()2y 211x =-++B ．()2y 211x =--+C ．()2y 211x =---D ．()2y 211x =-+-【答案】B【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．5．在平面直角坐标系中，抛物线(2)(4)y x x =+-经变换后得到抛物线(2)(4)y x x =-+，则下列变换正确的是（ ）A ．向左平移6个单位B ．向右平移6个单位C ．向左平移2个单位D ．向右平移2个单位【答案】C【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y =（x +2）（x ﹣4）=（x ﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，9）．y =（x ﹣2）（x +4）=（x +1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，9）．所以将抛物线y =（x +2）（x ﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y =（x ﹣2）（x +4），【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为（ ）A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =+【答案】A【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式2C ，再因为关于x 轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y 互为相反数，由此可直接得出抛物线3C 的解析式．【详解】解：抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ：()()2+12+13=-+y x x ，即抛物线2C ：22y x =+;由于抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为：22y x =--.故选：A ．【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x 轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y 互为相反数．题型三、待定系数法求二次函数解析式7．已知，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()10A -，，与y 轴交于点()03B -，，求该抛物线的解析式和顶点坐标．【答案】2=23y x x --；()14-，【分析】先将抛物线与坐标轴的交点代入解析式，即可求得b c ，的值，从而得出抛物线的解析式，再将其化为顶点式即可得到顶点坐标．【详解】解：Q 抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()10A -，，与y 轴交于点()03B -，，103b c c -+=ì\í=-î，解得23b c =-ì\í=-î，\抛物线的解析式为：2=23y x x --，()222314y x x x =--=--Q ，\顶点坐标为：()14-，，故答案为：2=23y x x --；()14-，．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式和顶点坐标，根据题意将已知点代入进行求解是解本题的关键．8．根据下列已知条件，求二次函数的解析式．(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为；(2)已知二次函数的顶点在y 轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为 ；(3)已知二次函数的顶点在x 轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为 ；(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为 ；(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为；(6)已知二次函数图象经过点A (3，0)，对称轴为直线x ＝1，与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2，则二次函数的解析式为；(7)将抛物线y ＝4x 2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为．解方程组即可得到答案；（7）根据函数图象平移的规律即可得到答案．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为y ＝2ax ，把点(2，－4)代入得，﹣4＝4a ，解得a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为y ＝2x -；故答案为：y ＝2x -（2）解：设二次函数的解析式为y ＝22ax +，把点(1，4)代入得，4＝a ＋2，解得a ＝2，∴二次函数的解析式为y ＝222x +；故答案为：y ＝222x +（3）解：设二次函数的解析式为y ＝()22a x -，把点(1，－4)代入得，﹣4＝()212a -，解得a ＝﹣4，∴二次函数的解析式为y ＝()242x --,即y ＝241616x x -+-；故答案为：y ＝241616x x -+-（4）解：∵二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，∴可设二次函数的解析式为y ＝()()31a x x +-，把点(0，3)代入得，3＝()()0301a +-，解得a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为y ＝()()31x x -+-，即y ＝223x x --+；故答案为：y ＝223x x --+（5）解：设二次函数的解析式为y ＝2ax bx c ++，把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得，541a b c c a b c -+=-ìï=-íï++=î，解得234a b c =ìï=íï=-î，9．已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同，顶点在直线1x =上，且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式为_________．【答案】226y x x =-+或224y x x =--或224y x x =-++或226y x x =-+-【分析】两个抛物线的形状相同，可知1a =±，则抛物线的解析式为2y x bx c =±++；顶点在1x =上，可以求出b 的值；又顶点到x 轴的距离是5，可以得到这个二次函数顶点纵坐标的绝对值是5，分情况讨论即可求出c 的值．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同，∴1a =±，∴抛物线解析式为2y x bx c =±++；，∵抛物线顶点在直线1x =上，∴1a =±，题型四、根据二次函数的图像判断系数符号10．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④30a c +<；⑤1c a ->．其中所有正确结论有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．511．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为=1x -，且过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，有下列结论：①0abc >；②240b ac ->；③2b a =；④420a b c -+=；其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④12．在平面直角坐标系中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②20a b -=；③930a b c ++>；④24b ac >；⑤a c b +<．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个∴2a+b＝0，故②错误；③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b+c＜0，故③错误；④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正确；⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，+<，∴a c b故⑤正确．综上所述，正确的结论是：④⑤．故选：B．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．题型五、一次函数、二次函数的图像综合问题13．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y=-mx-m经过的象限确定m 的正负，对比后即可得出结论．【详解】解：∵y =-mx -m =-m （x +1），∴一次函数图像经过点（-1，0），故C 、D 不合题意；A 、由二次函数y =mx 2的图象开口向上，可知m ＞0，由一次函数y =-mx -m 的图象经过第一、二、三象限可知m ＜0，结论矛盾，A 选项不合题意；B 、由二次函数y =mx 2的图象开口向下，可知m ＜0，由一次函数y =-mx -m 的图象经过第一、二、三象限可知m ＜0，结论一致，B 选项符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据二次函数的图象和一次函数图像找出每个选项中m 的正负是解题的关键．14．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，熟悉相关性质是解答本题的关键．15．一次函数y ＝abx +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角内坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝acx +b 的图像相比较看是否一致，即可判定．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＞0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＞0，c ＞0，故本选项不合题意；B 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，c ＞0，则ab ＞0，由直线可知，ab ＞0，c ＞0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＞0，c ＜0，故本选项不合题意；D 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＜0，c ＜0，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．题型六、根据二次函数的对称性求值16．二次函数21(2)12y x a =--+的图象上有两点()()121,,5,y y -，则12y y -的值是（ ）A ．负数B ．零C ．正数D ．不能确定【答案】B【解析】直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y 1，y 2的值即可.A mB m，则b的值为____________．17．抛物线2y x bx c=++的图象上有两点(1,),(5,)18．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．【答案】－3＜x＜1【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x =﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．故答案为：﹣3＜x ＜1．【点睛】考点：二次函数的图象．题型七、利用二次函数的对称性求最短路径19．如图，在抛物线2y x =-上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2；在y 轴上有一动点C ，当BC AC +最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0.0）B ．（0，1-）C ．（0，2）D ．（0，2-）【答案】D 【详解】解：如图，点A 关于y 轴的对称点A ′的横坐标为﹣1，连接A ′B 与y 轴相交于点C ，点C 即为使AC +BC 最短的点，当x ＝﹣1时，y ＝﹣1，当x ＝2时，y ＝﹣4，所以，点A ′（﹣1，﹣1），B （2，﹣4），设直线A ′B 为y kx b =+124k b k b -+=-ì\í+=-î1k \=- 2b =-2y x \=--当x=0时，y=-2即C （0，-2）故选D【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C 的位置是解题的关键．20．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，点M 的坐标为（3，6），P 是抛物线2114y x =+上一动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．5B ．9C ．11D ．13【答案】C 【分析】如图所示过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，由抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，得到PE =PF ，则△PMF 的周长=FM +PM +PF ，则要使△PMF 周长最小，则PM +PF 最小，即PM +PE 最小，故当P 、M 、E 三点共线时，PM +PE 的值最小，最小为ME ，由此求解即可．【详解】解：如图所示过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∵抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，∴PE =PF ，∴△PMF 的周长=FM +PM +PF ，∴要使△PMF 周长最小，则PM +PF 最小，即PM +PE 最小，∴当P 、M 、E 三点共线时，PM +PE 的值最小，最小为ME ，∵M 坐标为（3，6），∴ME =6，∴PF +PM =6∵F （0，2），【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF．21．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当V ACD的周长最小时，点D的坐标为．\D15 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线对称性求线段和的最小值，掌握对称性是解题的关键．题型八、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质综合问题22．如图，对称轴为直线2x =的抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(10)-，．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在抛物线的对称轴上，求AD CD +的最小值；(3)若点P 是第四象限内抛物线上一个点，求PBC S V 的最大值．（3）解：如图，∵B 点坐标为(50)，，C 点坐标为设直线BC 的解析式为y kx b =+∴505k b b +=ìí=-î，解得：15k b =ìí=-î，∴BC 的解析式为：=5y x -，()2(23．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点()2,3D --在抛物线上：(1)请直接写出A、B、C三点的坐标；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PADV周长最小，若存在，求出P点的坐标；(3)若点M是直线AC下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段AC交于点N，求线段MN的最大值．424．已知抛物线经过点()2,3-，它的对称轴为直线1x =，且函数有最小值为4-．(1)求抛物线的解析式：(2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧），与y轴的交点为C，在第四象限的抛物线上找一点P，使V的一半，求出此时点P的横坐标．BCPV的面积为ABC设直线BC 的解析式为303k b b +=ìí=-î，解得：b ìíî∴直线BC 的解析式为()2【随堂演练】1．平移抛物线y ＝﹣（x ﹣1）（x +3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（ ）A ．向左平移1个单位B ．向上平移3个单位C ．向右平移3个单位D ．向下平移3个单位【答案】B【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解：y ＝﹣（x ﹣1）（x +3）=-（x+1）2+4A 、向左平移1个单位后的解析式为：y ＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；B 、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；C 、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；D 、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.2．如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，下列结论中：①0abc >；②0a b c -+<；③210ax bx c +++=有两个相等的实数根；④4a 2a b -<<-.其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④3．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y=-k x+1经过的象限，对比后即可得出结论．【详解】解:由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．4．如图，直线y34=-x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）A．4B．4.6C．5.2D．5.65．当x ＝x 1和x ＝ x 2（x 1≠x 2）时，二次函数y ＝3x 2﹣3x +4的函数值相等、当x ＝x 1+x 2时，函数值是_________．6．如图，函数2y ax bx c =++经过点()3,0，对称轴为直线1x =：①240b ac ->；②0abc <；③930a b c -+=；④50a b c ++=；⑤若点()11,A a y +、()22,B a y +在抛物线上，则12y y >；⑥2am bm a b +³+（m 为任意实数），其中结论正确的有______．【答案】①④⑥【分析】①根据图象与x 轴有两个交点，0D >即可判断；②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y 轴的交点即可判断；③根据图象可得对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)，则另一个交点为(1,0)-，再根据抛物线增减性即可判断；④根据图象抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，可得930a b c ++=，对称轴为1x =，可得2b a =-，将24b a =-代入930a b c ++=，即可判断；⑤根据图象可得0a >，即可得出112a a <+<+，再结合对称轴为1x =，运用二次函数增减性即可判断；⑥根据1x =和x m =时的y 值，结合抛物线的对称轴和开口方向得出当1x =时，y 取最小值，可得2am bm c a b c ++³++，即可判断．【详解】解：①Q 抛物线与x 轴有两个交点，\0D >，240b ac \->，故①正确；②Q 抛物线开口向上，0a \>，Q 抛物线对称轴在y 轴右侧，b \与a 异号，即0b <，Q 抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c \<，0abc \>，故②错误；③Q 抛物线对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)，\抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0)-，Q 抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x 增大而减小，\当3x =-时，0y >，930a b c \-+>，故③错误；④Q 抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，930a b c \++=，Q 抛物线对称轴为直线1x =，7．已知抛物线223y ax x =-+经过点()2,3A ．若点(),B m n 在该抛物线上，且23m -<<，则n 的取值范围为______．【答案】211n £<【分析】将点()2,3A 代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线1x =，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．【详解】解：将()2,3A 代入223y ax x =-+中得到：3443=-+a ，解得1a =，∴抛物线的对称轴为直线1x =，且开口向上，根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，当2m =-时，对应的n 最大为：=4+4+3=11n ，当1m =时，对应的n 最小为：1232=-+=n ，故n 的取值范围为：211n £<，故答案为：211n £<．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．8．把2288y x x =-+-配方成()2y a x h k =-+的形式为____________，并将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为___________．9．如图，抛物线2520533y x x =-+与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是_____．10．已知二次函数()211y a x a=--+，当122x££时，函数有最大值2a，则=a______．11．已知抛物线y =ax 2－2ax －3+2a 2 （a <0）．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的函数解析式；12．求分别满足下列条件的二次函数解析式：(1)二次函数图像经过(1,2),(0,1),(2,3)-三点．(2)二次函数图像的顶点坐标是()2,3-，并经过点()1,2．13．为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(1,1)--，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．[观察发现]请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．[思考交流]小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y 轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x 轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．[概括表达]小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数2y ax bx c =++的图象与系数a ，b ，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．【答案】[观察发现]2y x =-，图象见解析；[思考交流]∵二次函数的图象不经过第一象限，14．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．,A B Q 关于=1x -轴对称PA PB\=APD △的周长等于AD PA PD ++当,,D P B 三点共线时，APD △的周长取得最小值，最小值为由抛物线解析式223y x x =+-，令0y =，即2230x x +-=解得123,1x x =-=数图象的性质是解题的关键．，．15．如图，已知抛物线23=-与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(30)y x mx++(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；V的面积；(2)求ABC+的值最小时，求点P的坐标．(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∵点()03C ，，点()30B ，，∴033k b b =+ìí=î，解得：13k b =-ìí=î．∴直线BC 的解析式为：3y x =-+，当1x =时，132y =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为：()12，．【点睛】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P 的位置是解此题的关键．【高分突破】一、单选题1．已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数22y x kx k =+-向右平移3个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--；再向上平移1个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴220(03)(03)k k =-+--+1即20310k k +-=解得：5k =-或2k =2．如果把对称轴为直线1x =的抛物线24y ax bx a =++-沿y 轴平移，使得平移后的抛物线与x 轴有且只有一个交点，那么下列平移方式正确的是（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位3．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc <；②20a b +=；③320b c -<；④2+³+（m为实数）．其中正确结论的个数是（）am bm a bA．1个B．2个C．3个D．4个本题正确的结论有：②③④，3个；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当0a >时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0ab >），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0ab <），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于()0,c ．4．在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出0a >，0b >，0c <是解题的关键．5．若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，则一次函数y ＝（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，然后根据一次函数的性质进行判断．【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，∵m +1＜0，m ﹣1＜0，∴一次函数y ＝（m +1）x +m ﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了一次函数的性质．6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>【答案】D 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A 、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0，故该选项不符合题意；B 、根据图像开口向下，对称轴为1x =，当1x >，y 随x 的增大而减小；当1x <，y 随x 的增大而增大，故当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；当1x >，y 随x 的增大而减小，故该选项不符合题意；7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．48．点()112,P y -，()222,P y ，()334,P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．231y y y >>B ．213y y y >=C ．132y y y =>D ．123y y y =>【答案】B【分析】根据二次函数解析式得出的图象的开口向下，对称轴是直线1x =，然后根据二次函数的图象的性质进行判断即可．【详解】∵()22211y x x c x c =-++=--++，∴这个二次函数的图象开口向下，对称轴是直线1x =．∵()112,P y -关于对称轴的对称点为()14,y ，点3P 的坐标是()34,y ，∴13y y =，∵2P ，3P 都在这个二次函数的图象的对称轴的右侧，124<<，∴23y y >，∴213y y y >=，故选：B ．【点睛】本题主要考查对二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的图象的性质等知识点的理解和掌握，能熟练运用二次函数的图象的性质进行推理是解本题的关键．二、填空题9．已知抛物线 y= -x 2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y 的最大值是6，则 m 的值是___________．10．若抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称，则m+n ＝_____．【答案】5．【分析】根据关于y 轴对称的点的坐标规律，将解析式中的x 换成-x ，y 不变，化简即可得出答案.【详解】Q 抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称\x 2+mx+2=（-x ）2-3（-x ）+n= x 2+3x+n\m=3，n=2\m+n=3+2=5故答案为5【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握关于y 轴对称的点的坐标规律是解题的关键.11．如图，二次函数()2=++0y ax bx c a ¹的函数图像经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中 －1＜1x ＜0，1＜2x ＜2，下列结论：①0abc >；②20a b +<；③420a b c -+>；④当()12x m m =<<时，22am bm c <+-；⑤1b > ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．12．如图，把抛物线y=1x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点2x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．为P，它的对称轴与抛物线y=12。
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专题训练1 二次函数图像分析1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ）y y y yx x x x A B C D2、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论 正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜03、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，240b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，240b ac ->4、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则下列结论正确的是 （ ）A 0ab <B 0bc <C 0a b c ++>D 0a b c -+<5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）A 、a ＜0B 、abc ＞0C 、c b a ++＞0D 、ac b 42-＞0yx 0..6、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；•③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，则点M （b，ca ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8、二次函数c bx ax y -+=2图象如图，则点),(ac b a +在（ ） A 第一象限 B 第二象限C 第三象限D 第四象限9、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( )11、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列说法不正确的是（ ）A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02b a -<12、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（ ）（1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜－2b．A ．1B 2C .3 D. 413、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④12b-=a．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )个 个 C. 3个 D. 4个15、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a-b+c>0；③abc<0；④2a-b=0，其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 416、二次函数图象如图所示，当函数值0<y 时，对应x 的取值范围是（ ） A 13<<-x B 1≥x C 3-≤x D 1<<-x k17、如图，抛物线)0(2>++=acbxaxy的对称轴是直线1=x，且经过点P（3，0），则cba+-的值为（）A. 0B. －1C. 1D. 218、已知二次函数22y x x m=-++的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220x x m-++=的解为．【一次函数、反比例函数、二次函数相结合分析图像】1、已知一次函数y ax c=+与2y ax bx c=++，它们在同一坐标系内的大致图象是（）2、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）3、函数2y kx k=-和(0)ky kx=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )y–133O xP1yO134、函数y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则下列选项中正确的是( )A. ab>0,c>0B. ab<0,c>0C. ab>0,c<0D. ab<0,c<05、)0(≠+=abbaxy不经过第三象限，那么bxaxy+=2的图象大致为（）yy y yO x O x O x O xA B C D6、已知函数y=ax2+ax与函数，则它们在同一坐标系中的大致图象是()7、在同一坐标系中，函数)0(2>++=+=bcbxaxycaxy和的图象大致是（）8、函数2y ax b y ax bx c=+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（）9、在同一直角坐标系中，函数y mx m=+和222y mx x=-++（m是常数，且0m≠）的图象可能．．是（）xOyO xyDAOxyOxyOxyyOyOyOyO10、次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ ax 与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝经过平移得到抛物线y ＝，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1612、.如图，抛物线的顶点为(2,2),P -与y 轴交于点(0,3)A ，若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点'(2,2)P -，点A 的对应点为'A ，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为13.如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线y=x 2+k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 ．专题训练2：二次函数与动点问题（难点）通过以下习题的讲解与练习，你将要掌握以下知识： 1、解析式及顶点坐标、与一次函数交点坐标2、函数综合题中线段的表示方法：横向、纵向、斜线段3、二次函数中直角三角形、相似三角形、平行四边形的存在性探索4、二次函数中三角形面积、不规则图形面积的分割技巧及表示方法5、“俩村模型”在二次函数最小值中的运用6、动点问题中线段长度和面积的表示方法及分段策略1.如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为M （-2，-4），与x 轴交于A 、B 两点，且A （-6，0），与x 轴交于点C ． （1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点H ，使bH+CH 最小，并求出点H 的坐标 （2）求△ABC 的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使△APC 的面积最大若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．2.如图所示，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A 、B 两点，点C 是抛物线的顶点． （1）求出点A 、B 的坐标； （2）求出△ABC 的面积；（3）在AB 段的抛物线上是否存在一点P ，使得△ABP 的面积最大若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x 轴交于A 、B 两点，D 是抛物线的顶点，O 为坐标原 点．A 、B 两点的横坐标分别是方程24120x x --=的两根，且22cos DAB ∠=． （1）求抛物线的函数解析式；（2）作AC ⊥AD ，AC 交抛物线于点C ，求点C 的坐标及直线AC 的函数解析式； （3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，使△APC 的面积最大如果存在，请求出点P 的坐标和△APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由．4.如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过A （-1，0）、C （0，4）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线和直线BC 的解析式；（2）如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC 面积最大的点P若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M作MN ∥EF 交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点N 的坐标；若不能，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A （-4，0）、B （-l ，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是第三象限的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+CH 最小，并求出点H 的坐标（2）设点D 的横坐标为m ，△ACD 的面积为量求出S 与m 的函数关系式，并确定m 为何值时S 有最大值，最大值是多少（3）若点P 是抛物线对称轴上一点，是否存在点P 使得∠APC=90°若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），其对称轴与x 轴相交于点M ． （1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知抛物线20y ax bx c a =++≠（）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ，且OC=OB ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标； （3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A ′恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．8.如图，抛物线213222y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，M 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）连接MO 、MC ，并把△MOC 沿CO 翻折，得到四边形MO M ′C ，那么是否存在点M ，使四边形MO M ′C 为菱形若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点M 运动到什么位置时，四边形ABMC 的面积最大，并求出此时M 点的坐标和四边形ABMC 的最大面积．9.如图，已知抛物线1(2)()(0)y x x m m m=-+->与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧．（1）若抛物线过点G （2，2），求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH+CH 最小，并求出点H 的坐标；（3）在第四现象内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ACB 相似若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．10.如图，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ．该抛物线的顶点为M ．（1）求该抛物线的解析式；（2）判断△BCM 的形状，并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCM 相似若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，已知抛物线23y x bx a =+-过点A （1，0），B （0，-3），与x 轴交于另一点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P ，使△PBC 为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；12.如图，抛物线223y x x -=-+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQNM 的周长最大时，求△AEM 的面积；13.如图，已知抛物线2y x bx c =-++与直线AB 相交于A （-3，0），B （0，3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设C 是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C 的坐标；（3）探究在抛物线上是否存在点P ，使得△APB 的面积等于3若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14.二次函数23y ax bx a =+-经过点A （-1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ． （1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线l y ⊥轴于点B （0，-2），A 为OB 的中点，以A 为顶点的抛物线2y cax =+与x 轴交于C 、D 两点，且CD=4，点P 为抛物线上的一个动点，以P 为圆心，PO 为半径画圆．（1）求抛物线的解析式；（2）若⊙P 与y 轴的另一交点为E ，且OE=2，求点P 的坐标；（3）判断直线l 与⊙P 的位置关系，并说明理由．16、如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A ，C 分别是一次函数334y x =-+的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形.(1)试求b ，c 的值、并写出该二次函数表达式；(2)动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问:①当P 运动到何处时，有PQ ⊥AC②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小此时四边形PDCQ 的面积是多少17.如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=10cm ，∠ABC=30°，以BC 所在直线为x 轴，以BC 边上的高所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系．有一动点P 以1cm/s 的速度从点B 开始沿x 轴向其正方向运动，设点P 的运动为t 秒（单位：s ）．现有另一点Q 与点P 同时从点B 开始，以1cm/s 的速度从点B 开始沿折线BAC 运动，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点同时停止运动．试写出△BPQ 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出自变量的取值范围．18.如图，已知二次函数的图象经过点A （6，0）、B （﹣2，0）和点C （0，﹣8）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为M ，若点K 为x 轴上的动点，当△KCM 的周长最小时，点K 的坐标为；xyO B AD C（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．19、如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．20．如图1，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线l：y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线l的解析式及顶点G的坐标．（2）①求证：抛物线l经过点C．②分别连接CG，DG，求△GCD的面积．（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标．专题训练3 二次函数的应用1.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去。