如何在高中数学教学中运用分类与整合思想
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ＩｇＯ ｘｌ ＋ ）￣大小． ｌ ｏ ｌ
解 ：． ０ ＜ｌ‘ ‘ ＜ｘ ，． ‘ ．０＜１ Ｘ＜１ ＋Ｘ ， 一 ＜１ － ， ＞１ １ ０＜１ ．
① 当 ０ ａ 时 ， ｌ ｘ ＞ ， ｇ（＋ ） ０ ＜ ＜ｌ ｏ Ｏ－ ） Ｏｌ １ ＜ ， ｇ ｏ
所 以Ｉ ｇ （一ｘ ｌ ｌｇ （＋ Ｉ ｌ １ ） ～ｌ １ ） ｏ ｏ
分类与整合思想的考查在高考 中占有比较重要的位置。 分类与整合是解决问题的一种逻辑方法 ；是中学数学重要的 思 想 方法 之 一． 分类 与 整合 ， 是当 问题 所给 的对 象 不 能 所谓 就 进 行 统 一 的研 究 时， 们就 需要 对 研 究 的对 象 进 行分 类 ，然 我 后 ，对每一类分别研究， 出每一类的结论， 答 最后综合各类的 结 果得 到整个 问题 的解 答 。 分析 近几 年高 考 中分类 与整合 的试 题可 知 ：分类 与整 合 思想在 高考 中 占有十 分重 要的地 位 ，是一 个热 点 问题 。其 原 因是：分类与整合试题具有 明显的逻辑性、综合性、探索性 的特 点 ，能体现 “ 着重 考 察数学 能力 ”的要求 。 那 么 ，引起分 类 的原 因究 竟有 哪 些 ？分类 与 整合 有何 标 准和 方 法 ？分类 能否 避 免 ？这 都 是我 们 必 须 从 理论 层 面 上 需要 弄清 的 问题 ． 面结 合具 体题 型来 回答这 些 问题 。 下 由数 学概念 引起 的分 类
如 ｌ＂ 高 中 数 学 教 学 中 运 用 分 类 与 整 合 思 想 －在 Ｊ
谢 春 梅
（ 重庆市忠县忠州中学 重庆 中图分类号 ： ４ Ｇ 文献标识码 ： Ａ
４４ ０ ） ０ ３ ０ 文章编号：０ ８ ９ ５ ２ １ ） — ２ ５ ０ １ ０ — ２ Ｘ（０ ２０４ ０ ４ — ２
＝
ｌ 一 Ｉ ｏ （ ］ ｌ ， 一 ＞ ． ｏ （ 一－ ｇ １ ＝ｏ （ ） ０ ｇ１ － ＋ ｌ ｇ１
② 当 ａ １ 时 ， ｌ １ ｘ ＜ ， ｇ （ ＞ ，所 以 ＞ ｏ （－ ） ０ｌ １ ｇ ｏ ＋ ０ Ｉ ｇ（ Ｉ ｌ １ ｘ ｌ ｌ 。 一 ）—Ｉ ｇ （ ） ｏ １ ｏ ＋
＝ 一
例３ 已知Ｙ＝ ＋甜 ＋ 一 在 区间 ［２ ］上 ，恒为非 ： ３ａ ．， ２ 负数， 求实数 ａ 的取值范 围． 解 ：设 厂 ＝ ＋ 一 （ ＋ ３ ａ
ｌｇ （一 ） ｏ １ ） ｏ １ ＞０． ｏ １ 一ｌｇ （＋ ＝一ｌｇ （－ｘ ）
由① 、② 可知 Ｉ ‰（一 ｌｌｇ（ １ ｌ １ ＞ ｏ １ ）． ｏ ｌ ＋
１ ２ ３ ） ， ， …
（ ） ｑ的取值 范 围： １求
解 ÷， 得口 ｊ 这与口 ４ 盾， 去． ＞ 矛 故舍
（ 当． 一 ２ ２ ） ２ 即－≤口≤４ ， ４ 时，
（） ＝ｎ 号 １ 记 ） 前， ２设 ａ ＋ 的 ｌ 一 ， 项和为 试比 ，
较 与 的大小。 分析 ：本题 的两 问都 需要进 行 分类 求解 ，其 分类 的对象 主 要 是等 比数列 的公 比．
又 因为 ＞ ０，且 － ＜ｑ ０ ｑ ，所 以， １ ＜ 或 ＞０
１
当 － ＜ｑ 一 １ ＜ 或 ｑ 时 ， 一 ＞０ ＞２ ，即 ＞ ；
当～ ＜ ＜ 且ｇ ０ 一 ＜ ，即 ； 去 ｑ ２ ≠ 时， ０ ＜ 当ｑ 一 或 ＝ 时， 一 ０ ： ＝ 去 ２ ＝ ，即
＝＋ ３一， ［２ ＋口 ∈２， 一 等 ＿】 ，
评：本题是由对数函数的概念 内涵引发的分类，称为概 由 题意知 厂力 ， Ｅ－， ， ，（ ０Ｉ Ｉ２ 】 ２ 恒成立， 只须／ 在 故 （ 念分 类型 ，由概念 内涵 分类 的还有 很 多，如 ：绝对 值 ；直线 ［ ２ ２ 一 ， ］上 的最小值 为非负即可． 的斜 率 ；指数 函数 等． （ 当一 ＜２ 即口＞ １ 一， ） ４时， （ 在区间 Ｉ ２ ２ 递增， 厂 － ，扯 － 所 二 、 由定理 、公 式 引起 的分 类 上 ｍ ｎ ＿） — ａ 例２设等比数列 ） － 的公比为ｑ前刀 ， 项和 ＞ （ ＝， 以 （ ｉ＝厂（２ ＝７ ３ ≥０． ｏ ｎＯ
厂）＝（） 一 ＞ ｆ２ ３ 等 ０ 血 －： ，
解得： ａ ２ ． ， ６ 又因为－ ≤ ４ ａ≤４所 以一４ ａ ． ， ＞ ， ０
可得 ｏ： ＞ ，ｑ ， ｌ ０ ≠０
当 ９＝ｌ ， 时 当 鼋 时， ≠１
＞０，Ｉ １ ￣ １ ］
评：数列是高考必考 内容之一． 而等差、等比数列 的通 项、前 ｎ 项和是数 列的基础，在研究一个数 列的通项 时， 对 ＝ｌ ｎ 要分别予以研究， 与 ≥２ 而涉及等 比数列或用 错位相减法去求解 时，要对公 比ｑ 是否为零 ，进行分类． 三、由变量或参数 的取值 范围引起的分类
、
例１ 设 ０ ｘ ｌ ＞ 且 ａ １ 比较 Ｉ 一） ： ＜ ＜， ０ ≠ ， ａ ｌ （ ｘ与 ｏ １ Ｉ ｇ
一
解②式，由于 可为奇数、可为偶数，故 一 ＜ｑ １ ｌ ＜． 综上，口 的取值 范 围是 （ １ ）Ｕ （ ，＋ｏ － ，０ ０ ｃ ）．
（ 由 口２丢 ， ： ｇ 詈） ２ ＝ 一 ａ 得 （一 ， ） ＋ 二 ｇ
＝（ ｑ 一ｘｑ Ｓ ， ） ．
二
１
于 －． （一 ｇ１ （ （ ２ 是 Ｓ＝ ｇ 詈 一 ＝ ｇ ｇ ） ） ＋ 一．
－
（ 当 一 ＞２ 即 ａ一 ３ ） ， ＜４时， （ 在区间 １２２ 上递减， 厂 －， １ 所
解 ：． ０ ＜ｌ‘ ‘ ＜ｘ ，． ‘ ．０＜１ Ｘ＜１ ＋Ｘ ， 一 ＜１ － ， ＞１ １ ０＜１ ．
① 当 ０ ａ 时 ， ｌ ｘ ＞ ， ｇ（＋ ） ０ ＜ ＜ｌ ｏ Ｏ－ ） Ｏｌ １ ＜ ， ｇ ｏ
所 以Ｉ ｇ （一ｘ ｌ ｌｇ （＋ Ｉ ｌ １ ） ～ｌ １ ） ｏ ｏ
分类与整合思想的考查在高考 中占有比较重要的位置。 分类与整合是解决问题的一种逻辑方法 ；是中学数学重要的 思 想 方法 之 一． 分类 与 整合 ， 是当 问题 所给 的对 象 不 能 所谓 就 进 行 统 一 的研 究 时， 们就 需要 对 研 究 的对 象 进 行分 类 ，然 我 后 ，对每一类分别研究， 出每一类的结论， 答 最后综合各类的 结 果得 到整个 问题 的解 答 。 分析 近几 年高 考 中分类 与整合 的试 题可 知 ：分类 与整 合 思想在 高考 中 占有十 分重 要的地 位 ，是一 个热 点 问题 。其 原 因是：分类与整合试题具有 明显的逻辑性、综合性、探索性 的特 点 ，能体现 “ 着重 考 察数学 能力 ”的要求 。 那 么 ，引起分 类 的原 因究 竟有 哪 些 ？分类 与 整合 有何 标 准和 方 法 ？分类 能否 避 免 ？这 都 是我 们 必 须 从 理论 层 面 上 需要 弄清 的 问题 ． 面结 合具 体题 型来 回答这 些 问题 。 下 由数 学概念 引起 的分 类
如 ｌ＂ 高 中 数 学 教 学 中 运 用 分 类 与 整 合 思 想 －在 Ｊ
谢 春 梅
（ 重庆市忠县忠州中学 重庆 中图分类号 ： ４ Ｇ 文献标识码 ： Ａ
４４ ０ ） ０ ３ ０ 文章编号：０ ８ ９ ５ ２ １ ） — ２ ５ ０ １ ０ — ２ Ｘ（０ ２０４ ０ ４ — ２
＝
ｌ 一 Ｉ ｏ （ ］ ｌ ， 一 ＞ ． ｏ （ 一－ ｇ １ ＝ｏ （ ） ０ ｇ１ － ＋ ｌ ｇ１
② 当 ａ １ 时 ， ｌ １ ｘ ＜ ， ｇ （ ＞ ，所 以 ＞ ｏ （－ ） ０ｌ １ ｇ ｏ ＋ ０ Ｉ ｇ（ Ｉ ｌ １ ｘ ｌ ｌ 。 一 ）—Ｉ ｇ （ ） ｏ １ ｏ ＋
＝ 一
例３ 已知Ｙ＝ ＋甜 ＋ 一 在 区间 ［２ ］上 ，恒为非 ： ３ａ ．， ２ 负数， 求实数 ａ 的取值范 围． 解 ：设 厂 ＝ ＋ 一 （ ＋ ３ ａ
ｌｇ （一 ） ｏ １ ） ｏ １ ＞０． ｏ １ 一ｌｇ （＋ ＝一ｌｇ （－ｘ ）
由① 、② 可知 Ｉ ‰（一 ｌｌｇ（ １ ｌ １ ＞ ｏ １ ）． ｏ ｌ ＋
１ ２ ３ ） ， ， …
（ ） ｑ的取值 范 围： １求
解 ÷， 得口 ｊ 这与口 ４ 盾， 去． ＞ 矛 故舍
（ 当． 一 ２ ２ ） ２ 即－≤口≤４ ， ４ 时，
（） ＝ｎ 号 １ 记 ） 前， ２设 ａ ＋ 的 ｌ 一 ， 项和为 试比 ，
较 与 的大小。 分析 ：本题 的两 问都 需要进 行 分类 求解 ，其 分类 的对象 主 要 是等 比数列 的公 比．
又 因为 ＞ ０，且 － ＜ｑ ０ ｑ ，所 以， １ ＜ 或 ＞０
１
当 － ＜ｑ 一 １ ＜ 或 ｑ 时 ， 一 ＞０ ＞２ ，即 ＞ ；
当～ ＜ ＜ 且ｇ ０ 一 ＜ ，即 ； 去 ｑ ２ ≠ 时， ０ ＜ 当ｑ 一 或 ＝ 时， 一 ０ ： ＝ 去 ２ ＝ ，即
＝＋ ３一， ［２ ＋口 ∈２， 一 等 ＿】 ，
评：本题是由对数函数的概念 内涵引发的分类，称为概 由 题意知 厂力 ， Ｅ－， ， ，（ ０Ｉ Ｉ２ 】 ２ 恒成立， 只须／ 在 故 （ 念分 类型 ，由概念 内涵 分类 的还有 很 多，如 ：绝对 值 ；直线 ［ ２ ２ 一 ， ］上 的最小值 为非负即可． 的斜 率 ；指数 函数 等． （ 当一 ＜２ 即口＞ １ 一， ） ４时， （ 在区间 Ｉ ２ ２ 递增， 厂 － ，扯 － 所 二 、 由定理 、公 式 引起 的分 类 上 ｍ ｎ ＿） — ａ 例２设等比数列 ） － 的公比为ｑ前刀 ， 项和 ＞ （ ＝， 以 （ ｉ＝厂（２ ＝７ ３ ≥０． ｏ ｎＯ
厂）＝（） 一 ＞ ｆ２ ３ 等 ０ 血 －： ，
解得： ａ ２ ． ， ６ 又因为－ ≤ ４ ａ≤４所 以一４ ａ ． ， ＞ ， ０
可得 ｏ： ＞ ，ｑ ， ｌ ０ ≠０
当 ９＝ｌ ， 时 当 鼋 时， ≠１
＞０，Ｉ １ ￣ １ ］
评：数列是高考必考 内容之一． 而等差、等比数列 的通 项、前 ｎ 项和是数 列的基础，在研究一个数 列的通项 时， 对 ＝ｌ ｎ 要分别予以研究， 与 ≥２ 而涉及等 比数列或用 错位相减法去求解 时，要对公 比ｑ 是否为零 ，进行分类． 三、由变量或参数 的取值 范围引起的分类
、
例１ 设 ０ ｘ ｌ ＞ 且 ａ １ 比较 Ｉ 一） ： ＜ ＜， ０ ≠ ， ａ ｌ （ ｘ与 ｏ １ Ｉ ｇ
一
解②式，由于 可为奇数、可为偶数，故 一 ＜ｑ １ ｌ ＜． 综上，口 的取值 范 围是 （ １ ）Ｕ （ ，＋ｏ － ，０ ０ ｃ ）．
（ 由 口２丢 ， ： ｇ 詈） ２ ＝ 一 ａ 得 （一 ， ） ＋ 二 ｇ
＝（ ｑ 一ｘｑ Ｓ ， ） ．
二
１
于 －． （一 ｇ１ （ （ ２ 是 Ｓ＝ ｇ 詈 一 ＝ ｇ ｇ ） ） ＋ 一．
－
（ 当 一 ＞２ 即 ａ一 ３ ） ， ＜４时， （ 在区间 １２２ 上递减， 厂 －， １ 所