如何求三角函数的周期解读
初中数学 如何求解三角函数的周期性变换问题
初中数学如何求解三角函数的周期性变换问题在初中数学中，我们经常会遇到求解三角函数的周期性变换问题。
这类问题要求我们根据已知函数的周期，求解相应的变换函数的周期。
在本文中，我们将讨论如何求解三角函数的周期性变换问题，并通过具体的例子来说明。
一、正弦函数和余弦函数的周期性变换1. 正弦函数的周期性变换正弦函数sin(x)的标准周期是2π，即在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像会重复出现。
现在我们来求解正弦函数的周期性变换问题，即求解sin(ax)的周期。
对于正弦函数sin(ax)，我们可以使用以下公式来求解周期：周期= 原函数的周期/ |a|当a>0时，周期= 2π / a。
当a<0时，周期= -2π / a。
2. 余弦函数的周期性变换余弦函数cos(x)的标准周期是2π，即在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像会重复出现。
现在我们来求解余弦函数的周期性变换问题，即求解cos(ax)的周期。
对于余弦函数cos(ax)，我们可以使用以下公式来求解周期：周期= 原函数的周期/ |a|当a>0时，周期= 2π / a。
当a<0时，周期= -2π / a。
二、例题解析现在我们通过具体的例子来求解三角函数的周期性变换问题。
例题1：求解sin(3x)的周期。
根据前面的讨论，我们知道当a为正数时，sin(ax)的周期= 2π / a。
所以，sin(3x)的周期= 2π / 3。
例题2：求解cos(2x)的周期。
根据前面的讨论，我们知道当a为正数时，cos(ax)的周期= 2π / a。
所以，cos(2x)的周期= 2π / 2 = π。
通过这两个例子，我们可以看到，根据三角函数的周期性规律，我们可以很轻松地求解三角函数的周期性变换问题。
三、数学背景和应用三角函数的周期性变换问题在数学中具有重要的意义。
周期性是函数的一种特殊性质，它可以帮助我们理解和分析函数的变化规律。
通过求解三角函数的周期性变换问题，我们可以更好地掌握函数的周期性，从而更好地理解和应用三角函数。
三角函数的周期公式总结
三角函数的的周期是三角函数的重要性质，下面整理了三角函数周期公式和求周期的
方法，希望能帮助到大家。
三角函数的周期公式
三角函数的周期T=2π/ω。
完成一次振动所需要的时间，称为振动的周期。
若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。
在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，
亦称为周期。
周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等
求三角函数的周期，若函数式比较简单，可利用定义或周期公式直接求解，若
函数式比较复杂，则需要把函数式变形后再利用定义或周期公式求解。
三角函数最小正周期
如果一个函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期。
（1）y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h最小正周期T=2π/ω。
（2）y=Acot(ωx+φ)+h或y=Atan(ωx+φ)+h最小正周期T=π/ω。
（3）y=|sinωx|或y=|cosωx|的最小正周期T=π/|ω|。
（4）y=|tanωx|或y=|cotωx|的最小正周期T=π/|ω|。
三角函数的周期
三角函数的周期三角函数是数学中常见的一类函数，其中最为常见的三个三角函数分别是正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数具有周期性的特点，即函数的值在一定的横坐标范围内重复出现。
一、正弦函数的周期正弦函数是最基本的三角函数之一，可表示为y = sin(x)。
正弦函数的周期是2π，这意味着在每个2π的区间内，函数的值会重复出现。
换句话说，sin(x) = sin(x + 2πn)，其中n是任意整数。
二、余弦函数的周期余弦函数是另一个常见的三角函数，它可以用公式y = cos(x)来表示。
余弦函数的周期同样是2π，也就是说在每个2π的区间内，函数的值会周期性地重复。
可以表示为cos(x) = cos(x + 2πn)，其中n是任意整数。
三、正切函数的周期正切函数是三角函数中的另一个重要函数，可以用y = tan(x)来表示。
正切函数的周期为π，也就是说在每个π的区间内，函数的值会重复。
这意味着tan(x) = tan(x + πn)，其中n是任意整数。
在实际应用中，三角函数的周期性非常重要。
它们在物理学、工程学等领域广泛应用。
例如，在交流电中，正弦函数的周期性被用来描述电流和电压的变化。
在音乐中，三角函数的周期性用来表示音调的高低和音色的变化。
需要注意的是，周期性不仅仅局限于上述的三角函数。
其他类型的函数也可能具有周期性，但本文主要关注三角函数的周期性。
总结：1. 正弦函数的周期为2π，可以表示为sin(x) = sin(x + 2πn)，其中n 是任意整数。
2. 余弦函数的周期为2π，可以表示为cos(x) = cos(x + 2πn)，其中n 是任意整数。
3. 正切函数的周期为π，可以表示为tan(x) = tan(x + πn)，其中n是任意整数。
三角函数的周期性是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
理解和掌握三角函数的周期性，有助于我们更好地应用这些函数解决实际问题。
三角函数的周期与频率的计算
三角函数的周期与频率的计算三角函数是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在学习和研究三角函数时，了解其周期与频率的计算是非常重要的。
本文将介绍三角函数的周期与频率的概念以及如何进行计算。
一、周期的概念和计算方法周期是指函数在水平方向上最小的重复单位长度。
在三角函数中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
以正弦函数为例，其周期为2π。
若给定一个正弦函数sin(x)，其中x为自变量，表示角度的弧度值，周期为2π。
若x取依次递增的值，例如0、2π、4π等，对应的函数值都相等，即sin(x)=sin(x+2π)。
计算正弦函数的周期时，可以利用以下公式：T = 2π/ω其中T为周期，ω为角频率。
在正弦函数中，角频率ω=1，因此T=2π。
对于余弦函数和正切函数，其周期的计算方法与正弦函数类似。
二、频率的概念和计算方法频率是指函数单位时间内重复的次数。
在三角函数中，频率与周期之间存在倒数关系。
频率(f)的计算公式为：f = 1/T其中f为频率，T为周期。
以正弦函数为例，其周期T为2π，因此频率f=1/T=1/(2π)。
三、周期与频率在实际问题中的应用周期和频率的概念在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，周期和频率用于描述信号的重复性和变化速度；在物理学中，周期和频率用于描述振动、波动等现象；在电子工程中，周期和频率用于描述电子信号的波动特性等。
四、总结三角函数的周期与频率是计算和描述三角函数重要性质的概念。
周期是函数在水平方向上最小的重复单位长度，可以通过2π/ω来计算；频率是函数单位时间内重复的次数，可以通过1/T计算。
周期和频率在各个学科和领域中都有广泛应用，对于深入理解和应用三角函数至关重要。
通过以上的介绍，我们了解了三角函数的周期与频率的概念及其计算方法。
掌握了这些知识，我们可以更好地理解和分析三角函数及其在实际问题中的应用。
在学习和研究三角函数时，深入理解周期与频率的计算方法将对我们的学习和应用带来很大帮助。
三角函数周期的几种求法.doc
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1.定义法：定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值吋，f (x+T) = f ( X )都成立，那么就把函数y = f (x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数來说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小止周期。
例1.求函数y=3sin (-% + -)的周期3 3解:Vy=f (x) =3sin (-x+—) =3sin (-% + —+2^-)3 3 3 3=3sin (拿+ 2兀 +彳)=3sin[|(x + 3^) + |]二f (x+3兀)这就是说，当自变量由x增加到x+3龙,且必增加至!J x+3龙时,函数值重复出现。
二函数y=3sin (-x + —)的周期是T二3龙。
3 3例2：求f (x) =sin6x+cos6x 的周期解Tf (x+—) = sin b (x+—) + cos6 (x+—)2 2 2二cos h x +sir?x二f (x).•.f （x） =sin6x+cos6x 的周期为T= —2例3：求f （x）二血兀+血3兀的周期cosx + cos3x解：Vf （x+兀）二曲（只+兀）+血如+兀）COS（X + 7l） + COS（X + 71）_ -sinx-sin3x-cox - cos3x_ sinx + sin 3xcos x +cos 3^二f （x）■求f（X）二Siz + sin3兀的周期:T Fcos x +cos 3x2.公式法：（1）如果所求周期函数可化为y二Asin （亦+ ©）、y二Acos （亦+炉）、y = tg （亦 + 0 ）形成（其中X、co、cp为常数，且A H O、®>O、0W R）,则可知道它们的周期分别是：—> —> -Oco co co例4：求函数y=l-sinx+V3 cosx的周期解：Vy=l-2 （- sinx- —cosx）- 2 2= 1-2 （cos —sinx-sin— cosx）3 3= l-2sin （x-—）3这里0二1 ・••周期T二2龙例5：求：y=2 （— sinx--cos3x） -12 2解：Vy=2 （— sinx-—cos3x） -12 2=2sin (3x-— ) -16这里⑵二3 ・•・周期为T二弐3例6：求y二tg (1+—)的周期解：这里g二丸，・•.周期为：T=^-/ —=-5 5 3(2)如果f (x)是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinox、COSGX、tgcox的形式，再确定它的周期。
求三角函数的周期6种方法总结 多个例子详细解答
如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、定义法例1． 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tan x T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 例2. 求函数（m ≠0）的最小正周期。
解：因为所以函数（m ≠0）的最小正周期例3. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
例4.求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2π)｜ ＝)2(π+x f对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π. 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．直接利用周期函数的定义求出周期。
三角函数的周期性怎么求 公式是什么
三角函数的周期性怎么求公式是什么
2021-09-14 10:43:48
三角函数的周期性是数学中常考到的一个知识点，下面是周期性的计算方法及公式，供大家查阅参考，希望可以帮助到大家的复习。
三角函数的周期性怎么求公式是什么
1三角函数的周期性
三角函数的周期T=2π/ω。
完成一次振动所需要的时间，称为振动的周期。
若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。
在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期。
周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。
如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。
2三角函数的周期通式的表达式
正弦三角函数的通式：y=Asin(wx+t）；余弦三角函数的通式：y=Acos(wx+t）；
正切三角函数的通式：y=Atan(wx+t);余切三角函数的通式：y=Actg(wx+t)。
在w>0的条件下：A:表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T:
wx+t表示三角函数的相位；t表示三角函数的初相位。
如何求三角函数的周期
如何求三角函数的周期(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2．解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π． ∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tan ππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin )(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211，(k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期．例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32sin 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9,821==n n ． 所以 函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=⨯==T n T ．函数的周期性--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
三角函数的周期性与像变换
三角函数的周期性与像变换三角函数是数学中常见的函数之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将主要探讨三角函数的周期性和像变换。
一、三角函数的周期性周期性是指函数在一定的间隔内重复出现相同的值。
对于三角函数来说，它们都有自己的周期。
1. 正弦函数的周期正弦函数的周期是2π。
在数学中，我们可以用下面的公式表示正弦函数：y = A*sin(Bx + C) + D其中A是振幅，B是频率（可以理解为周期的倒数），C是相位，D是垂直平移。
当B=1时，正弦函数的周期为2π。
2. 余弦函数的周期余弦函数的周期也是2π。
与正弦函数相比，余弦函数的图像在y轴上有一个平移，即图像上的每个点的纵坐标都比对应的正弦函数的纵坐标高或低一个单位。
3. 正切函数的周期正切函数的周期是π。
正切函数的图像呈现周期性的特点，每个周期出现一个渐进线（即垂直于x轴的直线）。
二、像变换像变换是指对函数的图像进行平移、伸缩、翻转等操作，从而得到新的函数图像。
对于三角函数来说，我们可以通过改变振幅、频率、相位等参数来进行像变换。
1. 平移平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向移动一定的距离。
在正弦函数和余弦函数中，平移可以通过改变相位来实现。
当C>0时，函数图像向右平移C个单位；当C<0时，函数图像向左平移|C|个单位。
2. 伸缩伸缩是指改变函数图像在x轴和y轴方向的尺寸，使其整体变形。
在三角函数中，伸缩可以通过改变振幅和频率来实现。
增大振幅会使函数图像在y轴方向上拉长或压缩，而增大频率会使函数图像在x轴方向上压缩或拉长。
3. 翻转翻转是指将函数图像绕着某个点或某个轴进行镜像反转。
在三角函数中，翻转可以通过改变振幅的正负号来实现。
当振幅为正时，函数图像不发生翻转；当振幅为负时，函数图像在x轴方向上以x轴为对称轴进行垂直翻转。
三、例题分析现在我们以正弦函数为例，来看一个具体的例题：已知函数y = sin(x)在区间[0, 2π]上的图像为A，要求：1. 画出函数y = sin(2x)的图像B；2. 画出函数y = 2sin(x)的图像C；3. 画出函数y = -sin(x + π/2)的图像D。
三角函数的解析式与周期
三角函数的解析式与周期三角函数是数学中非常重要的一类函数，通过解析式可以描述其性质和特点。
本文将介绍常见的三角函数——正弦函数和余弦函数的解析式以及它们的周期。
正弦函数（sin）是最常见的三角函数之一。
它的解析式可以表示为：y = A * sin(B * x + C)其中，A表示振幅，B表示周期，C表示相位。
振幅A决定了正弦函数的峰值和谷值的高度，周期B决定了正弦函数在横坐标方向上的重复性，相位C则决定了正弦函数在横坐标方向上的平移。
余弦函数（cos）与正弦函数非常类似，其解析式可以表示为：y = A * cos(B * x + C)同样地，振幅A、周期B和相位C都显著影响着余弦函数的形状和特点。
正弦函数和余弦函数的周期与解析式的周期密切相关。
对于正弦函数，其周期可以由以下公式计算得出：T = 2π/B其中，T表示周期，π表示圆周率，B为解析式中的周期系数。
可以看出，周期与周期系数的倒数成正比。
当周期系数B增大时，周期T变短；反之，当周期系数B减小时，周期T变长。
同样地，余弦函数的周期也可以用类似的公式计算得到：T = 2π/B正弦函数和余弦函数的周期均为2π/B。
即一个完整的正弦函数或余弦函数的周期为2π除以周期系数B。
需要注意的是，解析式中的参数A、B和C的取值会直接影响函数的形状、位置和基本特性。
通过合理选择参数的值，可以实现对三角函数的灵活控制和调整。
总结起来，正弦函数和余弦函数是常用的三角函数，通过解析式可以准确描述它们的数学性质。
解析式中的振幅、周期和相位是调整函数形状和位置的重要参数。
周期的大小由周期系数决定，周期与周期系数成反比例关系。
通过合理选择参数的值，可以实现对三角函数的灵活控制和调整。
三角函数在数学和物理中有广泛的应用，如波动现象、振动系统、信号处理等。
掌握三角函数的解析式和周期能够帮助我们更好地理解和分析这些现象，并应用于实际问题的求解中。
以上就是关于三角函数解析式与周期的简要介绍。
三角函数求周期的方法
三角函数的的周期是三角函数的重要性质，下面整理了三角函数求周期的方法，希望能帮助到大家。
1、定义法：题目中提到f（x）=f（x+C）,其中C为已知量，则C为这个函数的一个最小周期。
2、公式法：将三角函数的函数关系式化为：y=Asin(wx+B)+C或
y=Acos(wx+B)+C，其中A,w,B,C为常数。
则周期T=2π/w，其中w为角速度，B为相角，A为幅值。
若函数关系式化为：Acot(wx+B)+C或者tan(wx+B)+C，则周期为T=π/w。
3、定理法：如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数
f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1, f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且（P1、P2）=1。
sinx周期为2π/1=2π。
｜sinx｜周期为1/2*(2π )=π。
sin2x周期为2π/2=π。
｜sin2x｜周期为1/2*π=π/2。
sin1/2x周期为2π/(1/2)= 4π。
｜sin1/2x｜周期为1/2*(4π)=2π。
sin(x+π)周期与sinx周期相同（平移不改变周期），为2π。
｜sin(x+π)｜|周期为1/2*(2π)= π。
sin（x+2π）周期与sinx周期相同，为2π。
｜sin（x+2π｜周期为1/2*(2π)= π。
cos周期变化规律与sin完全一样，只是tanx周期为π ，atan（ωx+θ）周期为π/ω，但其绝对值，x轴下方部分翻上去以后与原有x轴上方部分不同，故其周期不变，即｜tanx｜周期为π 。
如何求三角函数的周期解读
如何求三⾓函数的周期解读如何求三⾓函数的周期三⾓函数的的周期是三⾓函数的重要性质，对于不同的三⾓函数式，如何求三⾓函数的周期也是⼀个难点，下⾯通过⼏个例题谈谈三⾓函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三⾓函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到⼀个最⼩正数T ，对于函数定义域内的每⼀个x 值都能使x T x2sin )(2sin ＝+成⽴，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2．解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin=+π．∴当⾃变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到⼀个最⼩正数T ，对于函数定义域内的每⼀个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成⽴，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π．解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π．∴函数32tan x y =的周期是π23．注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的⾃变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，⽽是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于⾃变量x 取定义域内的每个值时，上式都成⽴．2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(?ω或B x A y ++=)cos(?ω的周期公式是||2ωπ=T ，对于函数B x A y ++=)tan(ω或B x y ++=)cot(?ω的周期公式是||ωπ=T ．例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期解： 34232ππ==T ． 3、把三⾓函数表达式化为⼀⾓⼀函数的形式，再利⽤公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ππ==22T ．例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利⽤公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ππ==22T ．例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴函数|cos ||sin |x x y +=的最⼩正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最⼩正周期分别为k T T T ,,21，如果找到⼀个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最⼩正周期．例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期解：∵ x sin 的最⼩正周期是π21=T ， x 21cos的最⼩正周期是π42=T ．∴函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代⼊得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为21,n n 为正整数且互质，所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=?==T n T ．例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期解：∵ x 32s i n 的最⼩正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最⼩正周期是384322ππ==T ，由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=?==T n T ．函数的周期性--函数的周期性不仅存在于三⾓函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习⼀般函数的周期性问题⼀.明确复习⽬标1.理解函数周期性的概念，会⽤定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运⽤函数的周期性处理⼀些简单问题。
怎样求三角函数的周期
怎样求三角函数的周期对于周期函数的定义，同学们应抓住下面两个要点：⑴f(x+T)=f(x)必须对定义域中任何一个x成立．T 是不为0的常数；⑵周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．由y=sinx,y=cosx的最小正周期为2π，可以得知函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的周期T=；由y=tanx,y=cotx的最小正周期为π，可以得知函数y=Atan(ωx+φ),y=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的周期T=．例1求下列函数的周期⑴y=cos(x)cos[(x-1)]；⑵y=tan-cscx．分析先对解析式作适当的恒等变形，化为基本三角函数，然后求解．解⑴∵y=cos(x)cos[(x-1)]=cos(x)sin(x)=sinπx，∴T==2．⑵y=tan-cscx=-=-cotx，∴T=π．例2求f(x)=|sinx+|的最小正周期．错解∵y=|sinx|的周期是y=sinx周期的一半，即T=π．∴y=|sinx+|的周期是π．错因分析f(x+π)=|sin(x+π)+|=|-sinx+|≠f(x)，可见T≠π．正解作出函数y=sinx+的函数，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，就得到y=|sinx+|的图象，由图象可看出y=|sinx+|的周期是T=2π．例3(2003年全国)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)．⑴求函数f(x)的最小正周期和最大值；⑵在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间[-,]上的图象．解⑴f(x)=2sin x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+sin(2x-)故f(x)的最小正周期为π，最大值为1+．此时sin(2x-)=1，2x-=+2kπ．x=+kπ(k∈Z)．⑵由⑴知x--y 1 1- 1 1+ 1故y=f(x)在区间[-,]上的图象如下图．例4函数f(x)=|sinx|+sin|x|的值域是A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,2]D.[0,1]分析可由正弦函数的性质，去掉绝对值符号，将f(x)化简后求解．解∵f(-x)=|sin(-x)|+sin|-x|=|-sinx|+sin|x|=|sinx|+sin|x|=f(x)，可知f(x)是偶函数，故将定义域限制在[0,+∞)上，其值域不变．此时，当x∈[0,+∞)时，f(x)=|sinx|+sinx．∵f(x+2π)=|sin(x+2π)|+sin(x+2π)=|sinx|+sinx=f(x)，可知f(x)是周期为2π的周期函数．故进一步限制定义域为[0,2π)，其值域仍不变，这时，f(x)=显然这时f(x)的值域为[0,2]，即原题答案选C．周期函数在某一个周期上的值域，等于它在整个定义域上的值域．上例中首先确定了f(x)在一个周期上的表达式，从而求得值域．。
三角函数的周期性与变化知识点总结
三角函数的周期性与变化知识点总结三角函数是数学中非常重要的一部分，其周期性和变化规律在解决各种数学问题和实际应用中都具有重要意义。
本文将对三角函数的周期性与变化的相关知识点进行详细总结。
一、三角函数的基本概念在深入探讨周期性和变化之前，我们先来回顾一下三角函数的基本定义。
正弦函数（sin）：对于一个角θ，其正弦值等于该角的对边与斜边的比值。
余弦函数（cos）：余弦值等于该角的邻边与斜边的比值。
正切函数（tan）：正切值是该角的对边与邻边的比值。
二、三角函数的周期性周期性是三角函数的一个显著特征。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π。
这意味着，对于任意实数 x，sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)。
正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。
这种周期性在函数图像上表现得非常明显。
以正弦函数为例，它的图像在 x 轴上每隔2π 就会重复出现相同的波形。
三、三角函数的图像变化1、振幅正弦函数和余弦函数的一般形式可以写成 y ＝ A sin(Bx ＋ C) ＋ D 和 y ＝ A cos(Bx ＋ C) ＋ D，其中 A 称为振幅。
振幅决定了函数图像的波动幅度。
A 的绝对值越大，图像的起伏就越大；A 的绝对值越小，图像的起伏就越小。
2、相位在上述表达式中，Bx ＋ C 称为相位。
相位的变化会导致函数图像在 x 轴上的左右平移。
3、周期变化对于 y ＝ A sin(Bx ＋ C) ＋ D 和 y ＝ A cos(Bx ＋ C) ＋ D，周期 T ＝2π/｜B|。
当 B 的值增大时，周期变小，函数图像在 x 轴上的压缩；B 的值减小时，周期变大，函数图像在 x 轴上的拉伸。
4、垂直平移表达式中的 D 表示垂直平移。
当 D 为正数时，函数图像向上平移 D 个单位；当 D 为负数时，函数图像向下平移｜D| 个单位。
四、三角函数周期性与变化的应用1、物理学中的简谐运动例如弹簧振子的运动，其位移可以用正弦或余弦函数来描述，周期性和变化规律帮助我们分析振子的运动状态。
高中数学三角函数求周期
如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期． 例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32s i n 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以 函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=⨯==T n T ．函数的周期性--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
三角函数周期的几种求法解读
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1．定义法：定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin （332π+x ）的周期解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （332π+x +2π）=3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ]= f （x+3π）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin （332π+x ）的周期是T=3π。
例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π） = cos 6x +sin 6x= f （x ）∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π例3：求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x=x cox xx 3cos 3sin sin ----=xx x x 3cos cos 3sin sin ++ = f （x ）∴求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
三角函数周期
三角函数周期三角函数周期是指函数在其定义域内最小正周期的长度。
常见的三角函数包括正弦函数和余弦函数，它们都是周期函数。
正弦函数的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)，其中x是自变量。
这意味着对于任意实数x，sin(x) = sin(x + 2nπ)，其中n是任意整数。
余弦函数的周期也是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)，其中x是自变量。
同样地，对于任意实数x，cos(x) = cos(x + 2nπ)，其中n是任意整数。
三角函数的周期性质可以通过图像来直观地理解。
以正弦函数为例，我们可以观察到它的图像在每个周期内以曲线形式上下震荡。
同样地，余弦函数的图像也以类似的方式在每个周期内上下震荡。
周期性质使得三角函数在数学和物理领域得到广泛应用。
周期性质还可以帮助我们解决三角函数的相关问题。
例如，当我们需要求解sin(x) = 0的解时，我们可以利用三角函数的周期性质。
因为正弦函数的周期是2π，所以sin(x) = 0的解可以写成x = nπ，其中n是任意整数。
同样地，当我们需要求解cos(x) = 0的解时，可以得到x = (2n + 1)π/2，其中n是任意整数。
在实际应用中，我们经常需要研究三角函数在特定区间内的性质。
通过了解三角函数的周期，我们可以将该区间无限延展，从而更好地理解函数的行为。
例如，如果我们在[0, 2π]区间内研究正弦函数的性质，我们可以将该区间扩展到整个实数轴上，因为sin(x) = sin(x + 2nπ)，其中n是任意整数。
这样，我们可以更全面地了解正弦函数在整个定义域内的行为。
在三角函数的图像中，周期性质还可以帮助我们确定函数的最大值和最小值。
对于正弦函数来说，在每个周期内，它的最大值是1，最小值是-1。
对于余弦函数来说，它的最大值也是1，最小值是-1。
这些最大值和最小值的出现位置可以通过周期性质得到。
三角函数周期性质是理解和应用三角函数的关键。
三角函数如何求解三角函数的周期性
三角函数如何求解三角函数的周期性三角函数是数学中常见的一种函数形式，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在三角函数中，周期性是一个重要的特征。
本文将介绍三角函数的周期性及如何求解三角函数的周期。
一、正弦函数的周期性正弦函数的一般形式为：y = A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数，且B≠0。
正弦函数的周期由参数B决定，具体求解步骤如下：1. 将参数B带入周期公式T = 2π/|B|中，其中|B|表示B的绝对值，可得周期T。
例如，对于正弦函数y = sin(2x)，参数B = 2，带入周期公式可得T = 2π/2 = π。
2. 根据周期T，求出一个完整周期内的特征点。
在一个完整周期内，正弦函数的值将重复出现。
根据周期T，我们可以选择一些特征点进行求解，通常选择从0开始，以周期T分割等间距的点。
例如，对于正弦函数y = sin(2x)，周期T = π，则我们可以选择的特征点为0、π/2、π、3π/2等。
3. 利用特征点，将函数图像进行绘制。
通过将特征点代入函数表达式中，求得对应的函数值，然后将这些点连成曲线，就得到了正弦函数的图像。
二、余弦函数的周期性余弦函数的一般形式为：y = A*cos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D 为常数，且B≠0。
余弦函数的周期也由参数B决定，具体求解步骤如下：1. 将参数B带入周期公式T = 2π/|B|中，其中|B|表示B的绝对值，可得周期T。
例如，对于余弦函数y = cos(3x)，参数B = 3，带入周期公式可得T = 2π/3。
2. 根据周期T，求出一个完整周期内的特征点。
与正弦函数类似，根据周期T，可以选择一些特征点进行求解，通常选择从0开始，以周期T分割等间距的点。
3. 利用特征点，将函数图像进行绘制。
将特征点代入函数表达式中，求得对应的函数值，然后将这些点连成曲线，即得到余弦函数的图像。
三、正切函数的周期性正切函数的一般形式为：y = A*tan(Bx+C)+D，其中A、B、C、D 为常数，且B≠0。
怎么求三角函数周期
怎么求三角函数周期一、定义法定义：一般地ｙ＝c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
二、公式法如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinwx、coswx、tgwx的形式，再确定它的周期。
如果所求周期函数可化为y=Asin（wx+B）、y=Acos（wx+B）、ｙ＝tg（wx+B）形成（其中A、w、B为常数，且A不等于0、＞0、w属于R），则可知道它们的周期分别是：2π/w、2π/w、π/w。
三、定理法如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1,f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2 N，且（P1、P2）=1 事实上，由T1/T2=P1/P2（既约分数），得T=P2T1=P1T2∵f（x+P1T2）=f1（x+P1T2）+f2（x+P1T2）=f1（x+P2T1）+f2（x+P1T2）=f1（x）+f2（x）=f（x）∴P1T2是f（x）的周期，同理P2T1也是函数f（x）的周期。
四、三角函数的周期通式的表达式正弦三角函数的通式：y=Asin(wx+t）；余弦三角函数的通式：y=Acos(wx+t）；正切三角函数的通式：y=Atan(wx+t);余切三角函数的通式：y=Actg(wx+t)。
在w>0的条件下：A:表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T:wx+t表示三角函数的相位；t表示三角函数的初相位。
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如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期． 例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32s i n 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以 函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=⨯==T n T ．函数的周期性--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
二、建构知识网络1.函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非所都有最小正周期。
如常函数f(x)=C；3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。
（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a<b），则2（b-a）是f（x）的一个周期5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a<b），则2（b-a）是f（x）的一个周期。
(证一证)6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a<b）,则4（b-a）是f（x）的周期。
举例:y=sinx,等.三.双基题目练练手1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．22.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时f(x)=x+1，则f(π)的值为（）A．π-5 B.5-π C.4-π D. π-43. 是偶函数，且为奇函数，则f(1992)=4.设存在常数p>0,使，则的一个周期是，f(px)的一个正周期是；5.数列中简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、，；5、；由已知，周期为6。
四.经典例题做一做【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。
）∵x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),∴2-x∈(0,1), ∵T=2,是偶函数∴f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.x∈(1,2).解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.又周期为2，x∈(1,2)时x-2∈（-1，0）∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。
解：周期为8，法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。
方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数;2.注意既得关系式的连续使用.【例3】若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且.①求的周期；②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z );③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y).∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.③设1<x1<x2<2,则-2<-x2<-x1<-1, 0<2-x2<2-x1<1.∵f(x)在(-1,0)上递增, ∴f(2-x1)<f(2-x2)……(*)又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).(*)为f(x2)<f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数.提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。
【研究.欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式.解：∵是以为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴，∴.②当时，由题意可设，由得，∴，∴.③∵是奇函数，∴，又知在上是一次函数，∴可设，而，∴，∴当时，，从而时，，故时，.∴当时，有，∴.当时，，∴∴.五．提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念;2.用周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习2．7 函数的周期性【选择题】1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－）的值为A.0B.C.TD.－2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f（x）=sinx，则f（）的值为A.－B.C.－D.【填空题】3.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间[2，3]上，= ,则=4.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周5.对任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)=6.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈(0，3]时，f(x)=2x，则f(2007)= 。