初中数学公式：方差公式

初中数学公式：方差公式

一．方差的概念与计算公式

例1两人的5次测验成绩如下：

X：50，100，100，60，50E(X)=72；

Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。

平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是

消除符号影响

方差即偏离平方的均值，记为D(X)：

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里是一个数。推导另一种计算公式

得到：方差等于平方的均值减去均值的平方。

其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动

二．方差的性质

1．设C为常数，则D(C)=0（常数无波动）；

2．D(CX)=C2D(X)（常数平方提取）；

证：

特别地D(-X)=D(X)，D(-2X)=4D(X)（方差无负值）

3．若X、Y相互独立，则

证：记

则

前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为

当X、Y相互独立时，

，

故第三项为零。

特别地

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=(x1+x2+x3++xn)/n（n表示这组数据个数，x1、x2、x3xn表示这组数据具体数值）

方差公式：Ssup2；=〈(M－x1)sup2；+(M－x2)sup2；+(M －x3)sup2；++(M－xn)sup2；〉╱n

三．常用分布的方差

1．两点分布

2．二项分布

X~B(n，p)

引入随机变量Xi（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布）

，

3．泊松分布（推导略）

4．均匀分布

另一计算过程为

5．指数分布（推导略）

6．正态分布（推导略）

7.t分布：其中X~T（n），E（X）=0；D（X）=n/(n-2)；

8.F分布：其中X~F（m，n），E(X)=n/(n-2)；

~

正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。

例2求上节例2的方差。

解根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

方差的定义：

设一组数据x1，x2，x3xn中，各组数据与它们的平均数x（拔）的差的平方分别是（x1-x拔）sup2；，（x2-x拔）sup2；（xn-x 拔）sup2；，那么我们用他们的平均数s2=1/n（x1-x拔）sup2；+(x2-x 拔)sup2；+(xn-x拔)sup2；】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做

这组数据的方差。