岩土工程数值分析方法重点
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0 N1 y N1 x N 2 x 0 N 2 y 0 N 2 y N 2 x N 3 x 0 N 3 y 0 N 3 y N 3 x
N1 x B LN 0 N 1 y
B3
N i x Bi 0 N i y
0 bi N i 1 0 y 2 ci N i x
0 ci , i 1,2,3 bi
单元应力矩阵
x y D DB S xy
ai bi x ci y N i ( x, y) ( x1 y2 x2 y3 x3 y1 ) ( x2 y1 x3 y2 x1 y3 )
形函数特点：
N ( x , y ) 1, i 1,2,3 i i i ,i j N i ( x j , yi ) 0, i 1,2,3
分析过程：
结构离散化 集成总体特性 确定单元位移模式 接方程求未知量 单元特性分析
概述
工程界比较流行、被广泛使用的大型有限元软件：
MSC(航空航天领域，是目前规模最大的有限元分析 系统)；Marc(非线性分析软件)；Adina(可进行结构、 流体、热的耦合计算，具有隐式和显式两种时间积 分算法，非线性运算功能强大)；ANSYS（可进行 结构、流体、热、电磁场的计算，是有限元分析的 通用软件包）
单元应力矩阵：
S DB DB1
B2
B3 S1 S2
S3
Si DBi
单元刚度矩阵
岩土体或结构体发生虚位移，单元结点的虚位移为 应变为 * ，则根据虚功原理有：
，相应的虚
*
N F tdA N P tds tdA
N1 x B 0 N 1 y
0 N1 y N1 x
N 2 x 0 N 2 y
0 N 2 y N 2 x
N 3 x 0 N 3 y
0 N 3 B1 y N 3 x
B2
N ( x, y ) 1
i 1 i
3
单元应变矩阵
单元应变矩阵(几何矩阵)：
x x y 0 xy y
0 u L N B y v x
为零。推导出总势能的二阶变分为正，所以实际存在的位移 使变形体的总势能取极小值。
E p 0
有限元法的基本方程
单元位移函数
(i,1) | ( x1 , y1 ) | (u1 , v1 )
( j,2) | ( x2 , y2 ) | (u2 , v2 )
假设任意点的位移：
(k ,3) | ( x3 , y3 ) | (u3 , v3 )
或： u
[ N ] v
N1 [N ] 0 0 N1 N2 0 0 N2 N3 0 0 N3
T
u1
v1 u2 v2 u3 v3
插值函数(形函数)
N1 [N ] 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
A Sa
Wi dxቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy
T A
We Wi
最小势能原理
定义1：外力从位移状态退回到无位移的初始状态时所作的功 称为外力势能
T T E* ( F ldxdy F p b S lds) A Sa
定义2：形变势能和外力势能的和称为总势能
1 E p T dxdy ( FbT ldxdy FST lds ) A Sa 2 A 最小势能原理：实际发生的位移总能使对应l的势能一阶变分
优点：可分析几何形状及受荷条件复杂、非均质的
各种实际结构；可在计算中模拟各种复杂的材料本 构关系、边界条件等；前后处理技术先进。
有限单元法的理论基础
虚位移原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充
要条件是，对一切虚位移，外力所作总虚功恒等于内 力总虚功
We FbT ldxdy FST lds
第7章 岩土工程数值分析方法
有限元法
边界元法
有限差分法
离散单元法
概述
1 有限元法
基本思路：将复杂的结构看成由有限个仅在结点处
联结的整体，首先对每一个单元分析其特性，建立 相关物理量之间的相互联系。然后，依据单元之间 的联系再将各单元组装成整体，从而获得整体特性 方程，应用方程相应的解法，即可完成整个问题的 分析
u ( x, y ) a1 a2 x a3 y v( x, y ) a4 a5 x a6 y
单元位移函数： u ( x, y )
v( x, y) N1 ( x, y)v1 N 2 ( x, y)v2 N3 ( x, y)v3
N1 ( x, y)u1 N 2 ( x, y)u2 N3 ( x, y)u3
* T T * T T * T An A An
F F k
* T e * T * T e * T e e
T e B D B tdA A n
单元刚度矩阵：
k B DBtdA B DBt
N1 x B LN 0 N 1 y
B3
N i x Bi 0 N i y
0 bi N i 1 0 y 2 ci N i x
0 ci , i 1,2,3 bi
单元应力矩阵
x y D DB S xy
ai bi x ci y N i ( x, y) ( x1 y2 x2 y3 x3 y1 ) ( x2 y1 x3 y2 x1 y3 )
形函数特点：
N ( x , y ) 1, i 1,2,3 i i i ,i j N i ( x j , yi ) 0, i 1,2,3
分析过程：
结构离散化 集成总体特性 确定单元位移模式 接方程求未知量 单元特性分析
概述
工程界比较流行、被广泛使用的大型有限元软件：
MSC(航空航天领域，是目前规模最大的有限元分析 系统)；Marc(非线性分析软件)；Adina(可进行结构、 流体、热的耦合计算，具有隐式和显式两种时间积 分算法，非线性运算功能强大)；ANSYS（可进行 结构、流体、热、电磁场的计算，是有限元分析的 通用软件包）
单元应力矩阵：
S DB DB1
B2
B3 S1 S2
S3
Si DBi
单元刚度矩阵
岩土体或结构体发生虚位移，单元结点的虚位移为 应变为 * ，则根据虚功原理有：
，相应的虚
*
N F tdA N P tds tdA
N1 x B 0 N 1 y
0 N1 y N1 x
N 2 x 0 N 2 y
0 N 2 y N 2 x
N 3 x 0 N 3 y
0 N 3 B1 y N 3 x
B2
N ( x, y ) 1
i 1 i
3
单元应变矩阵
单元应变矩阵(几何矩阵)：
x x y 0 xy y
0 u L N B y v x
为零。推导出总势能的二阶变分为正，所以实际存在的位移 使变形体的总势能取极小值。
E p 0
有限元法的基本方程
单元位移函数
(i,1) | ( x1 , y1 ) | (u1 , v1 )
( j,2) | ( x2 , y2 ) | (u2 , v2 )
假设任意点的位移：
(k ,3) | ( x3 , y3 ) | (u3 , v3 )
或： u
[ N ] v
N1 [N ] 0 0 N1 N2 0 0 N2 N3 0 0 N3
T
u1
v1 u2 v2 u3 v3
插值函数(形函数)
N1 [N ] 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
A Sa
Wi dxቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy
T A
We Wi
最小势能原理
定义1：外力从位移状态退回到无位移的初始状态时所作的功 称为外力势能
T T E* ( F ldxdy F p b S lds) A Sa
定义2：形变势能和外力势能的和称为总势能
1 E p T dxdy ( FbT ldxdy FST lds ) A Sa 2 A 最小势能原理：实际发生的位移总能使对应l的势能一阶变分
优点：可分析几何形状及受荷条件复杂、非均质的
各种实际结构；可在计算中模拟各种复杂的材料本 构关系、边界条件等；前后处理技术先进。
有限单元法的理论基础
虚位移原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充
要条件是，对一切虚位移，外力所作总虚功恒等于内 力总虚功
We FbT ldxdy FST lds
第7章 岩土工程数值分析方法
有限元法
边界元法
有限差分法
离散单元法
概述
1 有限元法
基本思路：将复杂的结构看成由有限个仅在结点处
联结的整体，首先对每一个单元分析其特性，建立 相关物理量之间的相互联系。然后，依据单元之间 的联系再将各单元组装成整体，从而获得整体特性 方程，应用方程相应的解法，即可完成整个问题的 分析
u ( x, y ) a1 a2 x a3 y v( x, y ) a4 a5 x a6 y
单元位移函数： u ( x, y )
v( x, y) N1 ( x, y)v1 N 2 ( x, y)v2 N3 ( x, y)v3
N1 ( x, y)u1 N 2 ( x, y)u2 N3 ( x, y)u3
* T T * T T * T An A An
F F k
* T e * T * T e * T e e
T e B D B tdA A n
单元刚度矩阵：
k B DBtdA B DBt