对梅森素数分布规律的一种猜想
梅森数之谜：MM127是素数吗--漫谈著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想(Catalan-Mersenne number conjecture)
梅森数之谜：MM127是素数吗？周平源E-mail:************************当Mp=2p–1是一个梅森素数时，如果把Mp作为指数就可以生成一个新的梅森数,它称为由已知梅森素数Mp生成的双梅森数。
虽然Mp是已知素数但MMp不一定也是素数，MMp是否也是素数需要证明或检验。
如果MMp是素数，把MMp作为指数可以生成又一个新的梅森数MMMp,它称为由梅森素数MMp生成的双梅森数。
这种生成新的梅森数的方法可以无休止地进行下去，而且相继生成的梅森数的数值成长极为迅猛，在这种序列中通常第几项的数值就会成为巨大的天文数字。
这就是著名的卡特兰-梅森猜想的数学方法基础。
1876年卢卡斯（Lucas）证明梅森数M127=2127–1是素数后，数学家卡特兰（Catalan）便列出了如下一列无穷的数:c1=M2，c2=MM2，c3=MMM2，c4=MMMM2，c5=MMMMM2，….并猜想这些数都是素数。
它就是至今悬而未决的著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想（Catalan’s Mersenne conjecture）。
前4个数c1=M2，c2=M3，c3=M7，c4=M127在卡特兰提出这个猜想时就已经知道它们都是素数，但第5个数c5=MM127的数值实在太大至今没有任何可信的方法证明它是素数，而如果它是合数就需要找出它的一个因子但还必须等待漫长的岁月，这是因为比MM127小得多的双梅森数MM61至今还没有被找出一个因子。
多年以来不乏业余数学家宣布已证明MM127是素数，但这些证明都被指出是不可靠的。
一些专业数学家推测MM127很可能不是素数，主要理由表现在以下两方面：1.在MM127 的数值规模上（位数超过1038），可计算出MM127为素数的概率约为1/2120，这是极小的概率，因而MM127几乎不可能是素数。
2.有许多早期类似的猜想形成普遍的误解都被很快出现的合数项否定了。
第一例：梅森素数（Mersenne prime）。
小学数学数学故事梅森素数：千年不休的探寻之旅2
梅森素数：千年不休的探寻之旅(2)那些手扛肩挑的年头手算笔录的时代，每前进一步，都显得特别艰难。
1772年，在卡塔尔迪提出近200年之后，瑞士数学家欧拉证明白M31的确是一个素数，这是人们找到的第8个梅森素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数，欧拉也因此成为其次个在发觉者名单上留名的人。
让人惊羡的是，这是在他双目失明的状况下，靠心算完成的。
这种超人般的毅力与技巧让欧拉获得了“数学英雄”的美誉。
法国大数学家拉普拉斯（place）说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理，这为梅森素数的探讨供应了有力的工具。
1883年，数学家波佛辛（Pervushin）利用鲁卡斯定理证明白M61也是素数–这是梅森漏掉了的。
梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯（Powers）发觉。
还记得梅森预料的四个素数吗？其中M31已经为欧拉证明，M127则在鲁卡斯提出定理时顺带证明，虽然中间漏掉了3个，但至少还有另外两个：M67和M257是不是素数呢……M67的证明又是一个精彩的故事。
1903年，数学家柯尔在美国数学学会的大会上作了一个报告。
他先是专注地在黑板上算出267－1，接着又算出193707721×761838257287，两个算式结果完全相同！换句话说，他胜利地把267－1分解为两个素数相乘的形式，从而证明白M67是个合数。
报告中，他一言未发，却赢得了现场听众的起立鼓掌，更成了数学史上的佳话。
阅读这段历史，我们懂得了什么叫做“事实胜于雄辩”。
记者新奇地问他是怎样得到这么精彩的发觉的，柯尔回答“三年里的全部星期天”。
他后来当选为美国数学协会的会长，去世后，该协会特地设立了“柯尔奖”，用于嘉奖作出杰出贡献的数学家。
1922年，数学家克莱契克验证了M257并不是素数，而是合数（但他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年头人们才知道它有3个素因子）。
梅森素数
梅森素数维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索梅森数是指形如2n− 1的数，记为M n；如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。
∙梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的，他列出了n≤ 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是素数的M67和M257，而遗漏了M61、M89和M107。
梅森数不一定皆为质数，以下即是梅森质数及非质数梅森数的例子：∙M2 = 22− 1 = 3、M3 = 23− 1 = 7 是素数。
∙M4 = 24− 1 = 15 不是素数。
目录[隐藏]∙ 1 相关命题和定理o 1.1 梅森数和梅森素数的性质o 1.2 梅森数和梅森素数的关系o 1.3 梅森数的素性检验o 1.4 与完全数的关系∙ 2 相关问题和猜想∙ 3 寻找梅森素数o 3.1 梅森素数列表∙ 4 外部链接[∙。
∙q≡ 3 mod 4 为素数。
则2q+1也是素数当且仅当2q+1 整除M q。
∙拉马努金给出：方程M q= 6+x2当q为3、5和7时有三个解；q 为合数时有2个解。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定是1加上一个2p的倍数。
例如，211− 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定与同余。
[编辑]梅森数和梅森素数的关系下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。
▪a≡ 1 mod 2q▪a≡±1 mod 8o欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明：M q是素数当且仅当存在数对（x,y）使得M q= (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。
o最近，Bas jansen 研究了等式Mq = x2 + dy2（0≤d≤48），得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。
o Reix 发现q > 3时，M q可以写成：M q = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。
迈尔森定理
迈尔森定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：迈尔森定理(Mersenne's Theorem)是一条数论定理，它描述了一类形如2^n-1的数是否为素数的情况。
该定理由17世纪法国神父梅森尼(Marin Mersenne)在他的著作中首次提出，并因此而得名。
梅森尼定理在数学中起着重要的作用，它不仅可以帮助人们判断某些特定形式的数是否为素数，还可以辅助解决一些现实生活中的问题。
迈尔森定理的表述很简单，即形如2^n-1的数若为素数，则n必须也是素数。
这个定理的原理是基于素数的定义，即只能被1和自身整除的数。
通过对2^n-1的形式进行分析，可以得出该结论。
根据迈尔森定理，如果我们要判断一个形如2^n-1的数是否为素数，只需要先确定n是否为素数，然后再进行进一步的测试即可。
在数论领域中，迈尔森定理已经被广泛应用于素数的研究和验证领域。
由于素数在密码学、计算机科学等领域具有重要的作用，因此迈尔森定理的研究也成为了学者们关注的焦点之一。
在现代密码学中，大素数的生成和素数测试是非常关键的一步，而迈尔森定理正好为这些工作提供了一个有效的判断方法。
迈尔森定理的重要性不仅在于其理论上的价值，还在于它对于实际问题的帮助。
在寻找梅森素数(Mersenne primes)这一领域中，迈尔森定理也发挥了积极的作用。
梅森素数是一类形如2^p-1的素数，其中p为素数。
由于迈尔森定理的存在，研究人员可以更有效地寻找这类特殊素数，并通过进一步的分析来应用到实际问题中。
在数学的发展历史中，迈尔森定理也曾经引发过一些争议和挑战。
一些数学家曾尝试寻找迈尔森定理的反例，即找到一个n是素数，但2^n-1却不是素数的情况。
至今为止，并没有发现这样的例子，迈尔森定理仍然被认为是成立的。
第二篇示例：迈尔森定理，又称为美尔森定理，是一种用来描述数字的分布规律的定理。
该定理由德国数学家迈尔森在19世纪初提出，被广泛应用于统计学、金融学、生物学等领域。
与Mersensy数相关的若干性质
与Merseny 数相关的若干性质中图文号0156.2摘要：形如12-p 的自然数称作Merseny 数，至今只发现四十几个是素数，而数值却是越来越离奇地增大。
此类数中的素数只有有限个还是有无穷多个？始终是个谜。
本文通过分析若干实例，以及勾股数和完全数的性质与Merseny 数的关系，得到与12-p 相关的一些性质。
或许是研究Merseny 素数的无穷性的一个途径。
前32个Merseny 素数的p 值：2；3；5；7；13；17；19；31；61；89；107；127；521；607；1279；2203；2281；3217；4253；4423；9689；9941；11231；19937；21701；23209；44497；86243；132091；216091；（110503）；796839.关键词：梅森数，性质1，12-p 的素因子全形如12+kp 。
]1[2，21p -=)12)(12(21++p k p k 21q q =，称（1q ,2q ）为21p-的“因子对”。
式中1k ，2k 奇偶异性；且1k ≡2k （mod3）证：)12)(12(1221++=-p k p k p1)2(22121+++=p k k p k k ，21211212k k p k k pp ++=-- （1）上式等号左边是奇数，1k ，2k 必奇偶异性。
另：3︱121--p ，知3︱21212k k p k k ++（2）若3︱1k ，显然3︱1211212k p k k pp +---，必有3︱)3(mod ,122k k k ≡即.另：若)3(mod 2),3(mod 121≡≡k k 而。
则3︱21k k +。
由3︱k p k k +2121+2k 应有3︱21k k 。
但这与假设)3(mod 2),3(mod 121≡≡k k 矛盾。
故知)3(mod 21k k ≡。
又：(212=-q q p k k )12-，由)3(mod 21k k ≡知)6(mod 12p q q ≡。
论Mersenne素数分布规律的一个猜想
２ ０ １ ３年 ９月
广 东工 业大 学学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖｏ １ ． ３ ０ Ｎｏ ． ３
Ｓ ｅ ｐ ｔ ｅ ｍｂ ｅ ｒ ２ ０ ３
１ 问题 的提 出
素 数也 叫质数 ， 是 只能 被 １和 自身整 除 的 正整
且 仅 当 整 除 Ｓ （ Ｐ一１ ） ， 其中Ｓ （ ｎ ） 由Ｓ （ ｎ＋１ ）＝ Ｓ （ ｎ ） 一 ２， Ｓ （ １ ）＝ ４递 归 定 义 ． 迄今为止， 人类 仅 发现 ４ ７个 Ｍ ｅ ｒ ｓ ｅ ｎ ｎ ｅ素数 ； 值 的 一提 的 是 ， 在 所 发现 的４ ７个 Ｍｅ ｒ ｓ ｅ ｎ ｎ ｎ ｅ素 数 中 ， 只确 定 前 ４ １个 素 数 的
数， 如 ２、 ３ 、 ５ 、 ７ 、 １ １等 等． ２ ３ ０ ０年 前 ， 古 希 腊 数 学 家 欧几里 得证 明 了素 数 有 无穷 多个 ， 并 提 出一 些 素数 可写成 “ ２ 一１ ” （ 其 中指 数 Ｐ也 是 素 数 ） 的形 式． 这 种 特殊 形式 的 素数 具 有 独 特 的性 质 和 无穷 的魅 力 ， 千百年 来一 直吸 引着众 多 的数学 家和无 数 的业 余数
ｒ ｅｃ ｔ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： Ｍｅ ｒ ｓ ｅ ｎ ｎ ｅ ｐ ｉ ｒ ｍ ｅ ； ｄ ｉ ｓ ｔ ｉ ｒ ｂ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｍｅ ｒ ｓ ｅ ｎ ｎ ｅ ｐ ｒ ｉ ｍｅ ；ｉ ｎ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｃ ｏ ｎ ｊ ｅ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ
摘要 ： Ｍｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ素数的分布规律是数论研究 中的一大难题． 从 已被 发现 的 Ｍ ｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ素数情 况 出发 ， 通过 数据分析 指 出了一个有关 Ｍｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ素数分布猜想 的错误性 ． 关键词 ： Ｍｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ 素数 ； Ｍｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ 素数分 布规律 ； 错误猜想
实验二 素数问题
练习九 在二维坐标面上标出点列 ( n, π ( n)), n = 1,2,L, N ,(取 不同的 N ,如1000,10000等).也可以用折线将点连 起来.观察 π (n) 趋于无穷的趋势,将它同 y = x , y = x 比较,你会有什们结论?类似地观察点列 ( n, π ( n) / n) 和 ( n, π ( n) / n ) 以及 ( n, π ( n) /( n / Log( n))) .你能据此猜 测趋于无穷的极限的阶吗?
Mersenne素数是极其稀少的.借助大型计算机, 截止96年11月,数学家仅发现了34个Mersenne素数. 它们对应的 n是：
2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203, 2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,19937,21701, 23209,44497,86243,123049,216091,756839,859433, 1257787,1398269.
早在十七十八世纪，数学家Fermat和Ruler等 就研究过这类公式．1640年Fermat在给Mersenne 的信中指出，对所有的整数 n, Fn = 2 2 + 1 永远是素数. 的确F0 = 3, F1 = 5, F2 = 7, F3 = 257, F4 = 65537 ,都是素数. 然而,1732年,大数学家Ruler指出,F5 = 4294967297 不是素数,他并且找到了F5 的因子分解.此后,人们分 别证明了 F6 与 F7都是合数,并得到了它们的素因子分 解．实际上，有人猜测 Fn 当 n > 4时都是合数.
进一步的问题 关于素数,存在许许多多富有挑战性的问题,吸 引众多的数学家及业余爱好者．下面我们介绍几个 供有兴趣的同学参阅. Goldbach猜想 Bertrand猜想 大整数的素因子分解 完全数 孪生素数 青一色数的素性
世界上十大数学难题
世界上十大数学难题【实用版】目录1.世界近代三大数学难题2.世界七大数学难题3.其他著名数学难题4.几何尺规作图问题5.蜂窝猜想正文数学是一门充满挑战和神秘的学科，自古以来，人们一直在探索数学的奥秘。
在世界数学史上，有许多著名的数学难题一直困扰着数学家们。
本文将介绍一些世界上著名的数学难题，包括世界近代三大数学难题、世界七大数学难题以及其他著名数学难题。
首先，我们来了解一下世界近代三大数学难题。
这三大数学难题分别是：费尔马大定理、四色问题和哥德巴赫猜想。
费尔马大定理是法国数学家费尔马在 17 世纪提出的，他猜想对于任何大于 2 的整数 n，方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
这个猜想直到 1994 年才被英国数学家怀尔斯证明。
四色问题则是关于地图染色的问题，数学家们一直在探讨是否存在一种方法，能够用四种或更少的颜色为任何地图上的区域染色，使得相邻的区域颜色不同。
哥德巴赫猜想则是关于质数的猜想，哥德巴赫猜想认为，任何一个大于 2 的偶数都可以表示为两个质数之和。
接下来，我们来看看世界七大数学难题。
这些难题分别是：P（多项式时间）问题对 NP（nondeterministic polynomial time，非确定多项式时间）问题、霍奇 (Hodge) 猜想、庞加莱 (Poincare) 猜想、黎曼(Riemann) 假设、杨米尔斯 (Yang-Mills) 存在性和质量缺口、纳维叶斯托克斯 (Navier-Stokes) 方程的存在性与光滑性以及贝赫 (Birch) 和斯维讷通戴尔 (Swinnerton-Dyer) 猜想。
这些难题都具有很高的难度，目前还没有被解决。
除了上述著名的数学难题外，还有许多其他著名的数学难题有待破解，例如：Abc 猜想、考拉兹猜想、周氏猜测（梅森素数分布猜测）、阿廷猜想（新梅森猜想）、哥德巴赫猜想、孪素数猜想、克拉梅尔猜想、哈代李特尔伍德第二猜想以及六空间理论等。
数论之巅——5个关于素数的“未解之谜”，人类的知识极限之一
数论之巅——5个关于素数的“未解之谜”，人类的知识极限之一数学中研究最多的领域之一是素数的研究。
素数领域存在很多非常困难的问题，即使是最伟大的数学家也没有解决。
今天，我们来看看数学中关于素数的5个最古老的问题，这些问题理解起来很容易，但却没有得到证实。
完美数（完全数、完备数）：奇数完全数是否存在？偶数完全数是无限的吗？看一下6、28、496、8128这些数字.....这些数字有什么特别之处？我建议你试着寻找一个关于数字的美丽的基本性质。
如果你看一下这些数的真因数，你可能会注意到这个“美丽”的性质。
•6 = 1 + 2 + 3,•28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,•496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248•8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064真因数之和等于数字本身的数字被称为完全数。
最早的关于完全数的研究已经消失在历史潮流中。
然而，我们知道毕达哥拉斯人（公元前525年）曾研究过完全数。
我们对这些数字了解多少呢？欧几里德证明，对于一个给定的n，如果（2^n-1）是一个素数，那么是一个完全数。
再做些铺垫。
梅森素数：梅森猜想，当n为素数时，所有形式为2^n-1的数都是素数。
我们知道这不是真的。
例如，2^11-1 =2047 = 23 × 89开放性问题：是否有无限多的梅森素数？目前我们知道47个梅森素数。
•欧拉在18世纪提出，任何偶数完全素数的形式都是2^(n-1)(2^n-1)。
换句话说，偶数完全数和梅森素数之间有一个一一对应的关系。
正如你所看到的，自从欧几里德（约公元前300年）以来，我们就知道偶数完全数以及得到它们的方法。
我们不知道的是，是否存在任何奇数完全数？（实际上，对奇数完全数的研究很少，在这个问题上几乎没有任何进展。
关于梅森素数分布性质的猜想
第38卷 第3期1999年 5月中山大学学报(自然科学版)ACTA SCIENTIARUM NATURALIUMUNIVE RSITATIS SUNYATSE NIVol 38 No 3May 1999文章编号:0529 6579(1999)03 0107 02关于梅森素数分布性质的猜想岑成德(中山大学管理学系,广东广州510275)摘 要:提出了关于梅森素数分布规律的一种猜想:梅森素数的指数p的二阶差分序列的每5项中都有3项非负值与2项负值.并由此推论:在1398269<p<2976221范围内至少还存在1个p值使M p为梅森素数.关键词:素数;梅森素数;猜想;二阶差分中图分类号:O156 1 文献标识码:A形如2p-1(p为素数)的数称为梅森数,记为M p;M p中的素数称为梅森素数(Mersenne prime).近半世纪以来,人们所发现的已知最大素数都是梅森素数.研究梅森素数的分布规律,无疑对寻找新的梅森素数及探索是否存在无穷多的梅森素数都具有十分重要的意义[1].而梅森素数的分布极不规则,使得寻找其分布规律成为一个难题.笔者通过大量的观察、分析及试验,对梅森素数的分布规律提出了一种猜想.表1列出了迄今已发现的所有梅森素数的指数p及其一阶差分 p与二阶差分 2p.由表1可看到,将二阶差分数列{ 2p n}从首项开始依次划分为5项一组,则每组中都有3项为非负值、2项为负值.因此,提出如下猜想.猜想1 梅森素数的指数p所形成数列的二阶差分数列{ 2p n}具有如下性质:如果从首项开始按5项一组来划分,则每组中恰有3项非负值和2项负值.奇妙的是本猜想中涉及的3个数字 2(负值项数)、3(非负值项数)和5(每组项数)恰好是最初的3个素数,也恰是梅森素数的指数p的最初3个.注意到表1中未确定位次的最后2个p值所在组的5项二阶差分中有3项为负值.所以,如果猜想1成立,则可作如下推论.推论1 在1398269<p<3021377范围内,至少存在1个异于2976221的p值使M p为梅森素数.推论2 在1398269<p<2976221范围内,至少存在1个p值使M p为梅森素数.实际上,如果推论2不成立,则按推论1可知在2976221<p<3021377中至少有1个p值使M p为梅森素数.但易看出,这样的p值中的第1个无论取何值,其对应的二阶差分都是负值(因为3021377-2976221=45156小于上1个一阶差分1577952);在此情形下形成的5项一组的二阶差分中就有3项负值,这与猜想1矛盾.108中山大学学报(自然科学版) 第38卷最后要说明的是,对于猜想1对已确定位次的梅森素数都成立这一事实,我们不能完全排除存在巧合的可能性.但笔者经计算得到这种巧合发生的概率不足0 1%.计算的方式是,假设每一个二阶差分取负值或非负值是随机的,其概率均为1/2.按二项分布则可算出已知6组均含2项负值与3项非负值的概率为0 00093.表1 梅森素数的指数及其一、二阶差分Tab 1 Indices and their fint and second order differences of M ersenne primes 位次p p 2p位次p p 2p12--183217936858231-1942531036100204423170-86621968952665096229941252-5014 352123112131272102047202419937872474525136425217011764-69606174-226232091508-2567192-22744497212881978083112102886243417462045896130182911050324260-17486108928-23013204921546-27141110718-1031216091840426249612127202327568395407484567061352139437433859433102594-4381541460786-308341257787398354295760151279672586351398269140482-257872162203924252?29762211577952143747017228178-846?302137745156-1532796参考文献:[1] 周海中 关于M p素数[J] 科技导报(粤版),1991(1,2):8~11A Conjecture at the Distribution of Mersenne PrimesCE N Cheng deAbstract:This paper presents a conjecture at the distribution of Mersenne primes:from the3rd Mersenne prime,there are3non negative values and2negative values under every five terms of a2nd order difference sequence of indices p s of the Mersenne primes And comes the deduction that there is at least a p when1389269<p<2976211,which makes M p the Mersenne prime Keywords:prime;Mersenne prime;conjecture;2nd order difference。
有关梅森素数的预测
第26卷第5期Vol 126 NO.5 重庆工商大学学报(自然科学版)J Chongqing Technol Business Univ 1(Nat Sci Ed ) 2009年10月Oct 12009 文章编号:1672-058X (2009)05-0443-03有关梅森素数的预测张四保(喀什师范学院数学系,新疆喀什844007) 收稿日期:2009-03-18;修回日期:2009-04-20。
作者简介:张四保(1978-),男,江西峡江人,硕士,从事数论研究。
摘 要:梅森素数是一种特殊的素数,探究梅森素数的分布规律历来是数论研究的热点与难点;对梅森素数的分布规律作了简略研究,同时也对梅森素数研究的前景进行了展望。
关键词:素数;梅森素数;梅森素数预测 中图分类号:O156文献标志码:A 梅森素数是指形如2p -1的素数,其中的p 为素数。
因17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人梅森(M.Mersenne )最早深入而系统地研究2p -1型的数而得名,并以M p 记之。
2300多年来,人类仅仅找到了46个梅森素数,由于这种素数珍奇而迷人,因此被人们称为“数学宝山上的璀璨明珠”。
人们一直都在探寻梅森素数的分布规律,但是,要想找到较为一个理想、满意的分布规律可能要比发现单个的梅森素数更为困难。
因为从目前已知的梅森素数来看,这种特殊的素数在正整数中的分布是时疏时密极不规则的。
数学家们在长期的摸索中,提出了一些猜想。
英国数学家Shank 、法国数学家Bertrand 、印度数学家Ra manujan 、美国数学家吉里斯Gillies 和德国数学家B rillhart 等都曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测,但他们的猜测有一个共同点,就是都以近似表达式给出,与实际情况的接近程度均难如人意[1]。
中国数学家及语言学家周海中[2]对梅森素数研究多年,他运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年首次给出了梅森素数分布的精确表达式:当22n <p <22n +1(n =0,1,2,…)时,梅森素数的个数为2n +1-1;并且据此给出了推论:当p <22n +1时,梅森素数的个数为2n +2-n -2。
世界十大数学猜想及其证明情况
世界十大数学猜想及其证明情况一、世界十大数学猜想(难题)世界十大数学猜想：NP 完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD 猜想，费尔马大定、四色问题、哥德巴赫猜想。
其中，世界近代三大数学难题：1、费尔马大定理，2、哥德巴赫猜想，3、四色问题。
世界七大数学难题：一、P(多项式时间)问题对NP(nondeterministicpolynomial time ，非确定多项式时间)问题，二、霍奇(Hodge)猜想，三、庞加莱(Poincare)猜想，四、黎曼(Riemann)假设，五、杨－米尔斯(Yang -Mills)存在性和质量缺口，六、纳维叶－斯托克斯(Navier -Stokes)方程的存在性与光滑性，七、贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton -Dyer)猜想。
这十大数学猜想只证明了两个，庞加莱猜想和四色问题已被解决。
（1）世界近代三大数学难题1、费尔马大定理2、哥德巴赫猜想3、四色问题（2）世界七大数学难题1、P 问题对NP 问题2、霍奇(Hodge)猜想3、庞加莱(Poincare)猜想4、黎曼(Riemann)假设5、杨－米尔斯(Yang -Mills)存在性和质量缺口6、纳维叶－斯托克斯(Navier -Stokes)方程的存在性与光滑性7、贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton -Dyer)猜想（3）有待破解的数学难题除了上述著名数学难题外，还有以下著名数学难题有待破解。
Abc 猜想考拉兹猜想周氏猜测(梅森素数分布猜测)阿廷猜想(新梅森猜想)哥德巴赫猜想孪素数猜想克拉梅尔猜想哈代－李特尔伍德第二猜想六空间理论先来看三大数学猜想(难题)。
（1）费马猜想又称“费马大定理”或“费马问题”，1637年由法国数学家费马提出：形如n n n z y x =+的方程，当n 大于2时没有正整数解。
剑桥大学怀尔斯在1995年彻底解决了这一大难题。
周氏猜测
周氏猜测是中国数学家及语言学家周海中于1992年在《梅森素数的分布规律》一文中提出的猜测。
周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。
主要内容
周氏猜测内容为：当2^（2^n）＜p＜2^（2^（n+1））时，Mp有2^（n+1）－1个是素数。
周海中还据此作出推论：当p＜2^（2^（n+1））时，Mp有2^（n+2）－ n － 2个是素数。
（注：p为素数；n为自然数；Mp为梅森数）
相关猜测
关于梅森素数的分布研究，英国数学家香克斯、法国数学家托洛塔、德国数学家伯利哈特、印度数学家拉曼纽杨和美国数学家吉里斯等曾分别提出过猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以渐近表达式提出；而它们与实际情况的接近程度均难如人意。
唯有周氏猜测是以准确表达式提出，而且颇具数学美；这一猜测至今未被证明或反证，已成了著名的数学难题。
扩展阅读：
1.《科学美国人》（中文版），2000年第6期
2.张景中.“周氏猜测”揭示数学之美.《30年科技成果100例：1978-2008》，湖北长江出版集团，2008年。
数学珍宝梅森素数：迄今人类仅发现47个
数学瑰宝梅森素数：迄今人类仅发现 47个10月13日信息，尽人皆知，素数也叫质数，是只好被和自己整除的数，如2、3、5、7、11等等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无量多个，并提出一些素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
这类特别形式的素数拥有独到的性质和无量的魅力，千百年来向来吸引着众多的数学家(包含数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学喜好者对它进行研究。
而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠定人马林·梅森是此中成就较为卓著的一位，因今后代将“2p-1”型的素数称为“梅森素数”。
迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。
因为这类素数珍异而迷人，它被人们称为“数学瑰宝”。
梅森素数向来是数论研究的一项重要内容，也是此刻科学研究的热门和难点之一。
貌似简单研究极难梅森素数貌似简单，但研究难度却极大。
它不单需要高妙的理论和熟练的技巧，并且还需要进行艰巨的计算。
1772年，有“数学英豪”美誉的瑞士数学大师欧拉在双目失明的状况下，靠默算证了然231-1(即2147483647)是第8个梅森素数。
这个拥有10位的素数，可谓当时世界上已知的第1 页最大素数。
欧拉的坚强毅力与解题技巧令人赞美不已；法国大数学家拉普拉斯说的话，或许能够代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每个人的老师。
”在“手算笔录”的年月，人们千辛万苦，仅找到12个梅森素数。
而计算机的产生加快了梅森素数研究进度。
1952年，美国数学家拉婓尔·鲁滨逊等人使用SWAC型计算机在短短的几个月内，就找到了5个梅森素数：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。
研究梅森素数不单极富挑战性，并且对研究者来说有一种巨大的骄傲感。
1963年6月2日夜晚8点，当第23个梅森素数211213-1经过大型计算机被找到时，美国广播企业(ABC)中止了正常的节目播放，在第一时间公布了这一重要信息。
世界上十大数学难题
世界上十大数学难题（原创实用版）目录1.世界近代三大数学难题2.世界七大数学难题3.其他著名数学难题4.几何尺规作图问题5.蜂窝猜想正文数学是一门充满挑战和神秘的学科，自古以来，人们一直在探索数学的奥秘。
在世界数学史上，有许多著名的数学难题一直困扰着数学家们。
本文将介绍一些世界上著名的数学难题，包括世界近代三大数学难题、世界七大数学难题以及其他著名数学难题。
首先，我们来了解一下世界近代三大数学难题。
这三大数学难题分别是：费尔马大定理、四色问题和哥德巴赫猜想。
费尔马大定理是法国数学家费尔马于 1637 年提出的，他猜想对于任何大于 2 的整数 n，方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
这个猜想经过数学家们长达 358 年的努力，最终在 1994 年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明正确。
四色问题是指在地图上，是否存在一种方法，使得任意两个相邻的国家用四种颜色就可以区分开来。
这个问题在 1852 年被提出，经过数学家们的努力，最终在 1976 年由肯尼思·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯宣告解决。
哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫于 1742 年提出的，他猜想任何一个大于 2 的偶数都可以表示成两个质数之和。
这个猜想至今尚未被证明，但它已经在许多数学研究中得到了验证。
接下来，我们来看看世界七大数学难题。
这些难题是：P（多项式时间）问题对 NP（nondeterministicpolynomialtime，非确定多项式时间）问题、霍奇 (Hodge) 猜想、庞加莱 (Poincare) 猜想、黎曼 (Riemann) 假设、杨米尔斯 (Yang-Mills) 存在性和质量缺口、纳维叶斯托克斯(Navier-Stokes) 方程的存在性与光滑性以及贝赫 (Birch) 和斯维讷通戴尔 (Swinnerton-Dyer) 猜想。
这些难题都是数学领域中久负盛名的难题，它们在数学家的努力下，部分已经得到了解决，但仍有许多问题尚待破解。
素数的分布规律
素数的分布规律陈东平浙江省丽水市中心医院323000E-mail: chen12127@MR 2010主题分类号：A11中图分类号：O156.4摘要：本文找到了素数在自然数中特殊的分布规律，并由此而解决了孪生素数的无限性难题。
关键词：规律素数孪生素数素数在自然数中的分布是有规律的，找到这一规律能为我们系统地研究素数奠定坚实的基石。
1. 梅森素数从梅森素数表中，我们发现，2²-1=3, 2³-1=7, 27-1=127 都是素数，并且，2127-1=A1也是素数，那么，2A1-1=A2是不是素数呢？A3又如何？下文中，我们将证明2, 3, 7, 127, A1, A2……这一组数，构成了素数在自然数中特殊的分布规律，因此，它们必然都是素数，诚如此，我们便论证了偶完全数的无限性。
证：127≡-3 (mod 13)因此，13│26+1A1≡-3(mod 29)因此，29│214+1A2≡-3(mod 509) 因此，509│2254+1A3≡-3(mod 4A1+1) 因此，4A1+1│22A1+1 ……127≡-23-1(mod 17)[17=22)23(2-⨯]因此，17│24+1A1≡-27-1(mod 97)因此，97│224+1A2≡-2127-1(mod 32257) 因此，32257│28064+1 ……24≡2（mod 7）（7=32-2）因此，7│23-1224≡2（mod 47）因此，47│223-128064≡2（mod 16127）因此，16127│28063-1 ……以上均说明2，3，7，127，A1，A2，……这一组数，构成了素数在自然数中特殊的分布规律，因此，它们必然都是素数。
并且，13，29，509，4A1+1……17，97，32257，2129(2126-1)+1……7，47，16127，A12-2，……这三组数，也都是素数。
2. 素数的进一步研究素数规律性的发现，为我们系统地研究素数，奠定了坚实的基石。
梅森素数
梅森数(Mersenne number)是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。
若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime)。
p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。
已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个12,978,189位数。
如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
概念也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个，既然有无穷个，那么就应该有一个素数数列的公式，为了寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血(参见百度百科“素数分布”)。
在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
由来马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。
他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。
虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。
他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。
17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。
梅森素数猜想的那些奇闻趣事
梅森素数猜想的那些奇闻趣事美国中央密苏里大学数学家库珀领导的研究小组通过参加一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目，日前发现了第48个梅森素数——2^57885161-1；该素数也是目前已知的最大素数，有17425170位；如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65公里！素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2^P-1”（其中指数P 也是一个素数）的形式。
由于2^P-1型素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
这种素数被称为“梅森素数”(Mersenne prime)。
迄今为止，人类仅发现48个梅森素数。
梅森素数珍奇而迷人，因此被誉为“数海明珠”。
在梅森素数的探究历程中，曾有不少奇闻趣事，这里仅略举几例。
“梅森猜想”有错漏1644年，法国数学家梅森在《物理数学随感》一书中提出著名的猜想（现称“梅森猜想”）：对于P=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127和257时，2^P-1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2^P-1是合数。
前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。
当时，人们对其猜想深信不疑，连德国数学大师莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。
其实梅森的猜想有若干错漏(错了两个，漏掉三个)；但由于他是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，还是法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，数学界在19世纪末将2^P-1型素数称为“梅森素数”。
“数学英雄”归欧拉梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其探究难度就会很大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，花了两天的时间，靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。
梅森素数mersenneprime
梅森素数mersenne prime梅森素数Mersenne Prime梅森素数(Mersenne Prime)是指形如2^p,1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp。
若Mp是素数，则称为梅森素数。
p=2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11=2047=23×89不是素数，是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
截止2012年7月累计发现47个梅森素数，最大的是p=43,112,609，此时Mp 是一个12,978,189位数。
概述素数是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数(如2、3、5、7等等)，素数有无穷多个。
而形如“2^P,1”(P为素数)的正整数，其中指数P是素数，常记为Mp。
若Mp是素数，则称为梅森素数。
以17世纪法国数学家马林?梅森的名字命名。
梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
截止2012年7月人类仅发现47个梅森素数。
梅森素数由来早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^P,1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出:如果2^P,1是素数，则(2^p,1)2^(p,1)是完美数。
1640年6月，费马在给马林?梅森的一封信中写道:“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。
我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。
这封信讨论了形如2^P,1的数(其中p为素数)。
梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2^P,1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言:对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2^P,1是素数;而对于其他所有小于257的数时，2^P,1是合数。
前面的7个数(即2，3，5，7，13，17和19)属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的;而后面的4个数(即31，67，127和257)属于被猜测的部分。
不过，人们对其断言仍深信不疑。
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第15卷第4期1999年8月
商丘师专学报
JOU RNAL OF SHANGQIU TEACHERS COLLEGE
Vol.15No.4
August,1999
学术争鸣
对梅森素数分布规律的一种猜想
岑 成 德
(中山大学管理学院,广东广州,510275)
摘 要 提出了关于梅森素数分布规律的一种猜想:梅森素数的指数p的二阶差分序列每10项中都有6项非负值与4项负值.
关键词 素数 梅森素数 猜想 二阶差分
中图分类号 O156 1
形如2p-1(p为素数)的数称为梅森数,记为M p;M p中的素数称为梅森素数(Mersenne prime),近半世纪以来,人们所发现的已知最大素数都是梅森素数,研究梅森素数的分布规律,无疑对寻找新的梅森素数及探索是否存在无穷多的梅森素数都具有十分重要的意义.而梅森素数的分布极不规则,使得寻找其分布规律成为一个难题.
笔者通过大量的观察、分析及试验,对梅森素数的分布规律提出了一种猜想.
表1 已发现梅森素数的指数p及一阶差分 p与二阶差分 p2
位次p p 2p 位次p p 2p
12-- 204423170-866
231- 21968952665096
3521 229941252-5014
4720 231121312721020
51364 241993787247452
6174-2 25217011764-6960
7192-2 26232091508-256
8311210 27444972128819780
9613018 28862434174620458
108928-2 2911050324260-17486
1110718-10 3013204921546-2714
12127202 312160918404262496
135******** 32756839540748456706
1460786-308 33859433102594-438154
151279672586 341257787398354295760
162203924252 351398269140482-257872
17228178-846 36*297622115779521437470
183217936858 37*302137745156-1532796
1942531036100
*关于M2976221和M3021377的说明:虽然所有小于3402900的p值都已被至少检查一次,未发现其他梅森素数;
但需要检查两次才能确认其位次.
收稿日期:1999-02-29
表1列出了迄今已发现的所有梅森素数的指数p 及其一阶差分 p 与二阶差分 2p.其中前35个p 值所对应的M p 已被证明依次位于梅森素数的第1至第35位.由于第一、第二个p 值不存在相应的二阶差分,故二阶差分的首项对应于p 值的第三项.
由表1可看出,将二阶差分数列{ 2
p n }从首项开始依次划分为10项一组,则每组中都有6项为非负值、4项为负值.这一结论对已确认梅森素数位次的相应项都正确.因此,提出如下猜想.
猜想1 梅森素数的指数p 所形成数列的二阶差分数列{ 2p n }具有如下性质:如果从首项开始按10项一组来划分,则每组中恰有6项非负值和4项负值.
二阶差分反映 加速度 .由猜想1可见,梅森素数并非 步伐 越来越快地向上,而是以 每十步中快六步慢四步 的方式行进.
奇妙的是本猜想中涉及的3个数字!!!4(负值项数)、6(非负值项数)和10(每组项数)各除以2(梅森素数的底数)之后,恰好是最初的3个素数,也恰是梅森素数的指数p 的最初3个:2、3和5.
如果表1中最后两个梅森素数的位次得到证实,则我们可根据猜想1得到第38~42位梅森素数的分布状况.由于第33~37位梅森素数所对应的二阶差分已有3个负值,故第38~42位所对应的二阶差分仅有一个负值,即这5个梅森素数的指数p 中仅有一个与前一个p 的差小于前2个p 值之差.就是说,5个p 中有4个是 加速 向上的.
最后要说明的是,根据猜想1对已确定位次的梅森素数都成立这一事实,我们不能完全排除存在巧合的可能性.但笔者经计算得到这种巧合发生的概率仅为0 86%.
参 考 文 献
[1] 周海中.关于M p 素数.科技导报(粤版).1991(1、2):8~11[2] 王元.谈谈素数.上海:上海教育出版社.1978
[3] 孙琦,旷京华.素数判定与大数分解.沈阳:辽宁教育出版社,1987
A GUESS AT THE DISTRIBUTION OF MERSENNE PRIMES
Cen Chengde
(Depar tment M anagement,Zhongshan U niversity ,GuangZhao G uang Don,510275)
Abstract The paper presents a guess at the distribution of M ersenne primes:From the 3rd M ersenne prime,there are 6non negative values and 4negative values under every ten terms of a 2nd
order difference sequence of index es ps of the Mersenne Primes.
Key words prime;mersenne prime;guess;2nd order difference
117
第4期 岑成德:对梅森素数分布规律的一种猜想。