线性代数期末考试题及答案

课程考核试题卷 ( A 卷)

试卷编号

（ 2011 至 2012学年 第__2_学期 ）

课程名称： 线性代数A 考试时间：110分钟 课程代码： 7100059 试卷总分： 100 分 考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 否

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B -=-+，则必有（ ）

A A E =；

B B E =；

C A B =.

D AB BA =。 2、设A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC ，则必有（ ）

A. A =0

B. B ≠C 时A=0

C. A ≠0时B=C

D. |A|≠0时B=C

3、设A 是s n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( )

A.A 的行向量组线性无关

B.A 的列向量组线性无关

C.A 的行向量组线性相关

D.A 的列向量组线性相关 4、若1x 是方程=AX B 的解，2x 是方程=AX O 的解，则（）是方程=AX B 的解（c R ∈）

A.12x cx +

B. 12cx cx +

C. 12cx cx -

D. 12cx x + 5、设矩阵A 的秩为r ，则A

中（ ）

A.所有r -1阶子式都不为0

B.所有r -1阶子式全为0

C.至少有一个r

阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为0

二、填空题（每小题3分，共15分）

1、已知向量T )4,2,3,1(=α与T k k )2,3,1,(--=β正交，则=k _.

2、1

1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭

= .

3、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .

4、如果21,X X 都是方程O X A n n =⨯的解，且21X X ≠，则=⨯n n A ；

5、设向量组123100130121T T T (,,),(,,),(,,)==-=-ααα线性 （填相关或无关）

三、（10分）计算行列式

3112513420111

5

3

3

------.

四、（10分）已知2()41f x x x =+-，120210002A -⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，求()f A 。

五、（10分）求齐次线性方程组123412341

23423503240230

x x x x x x x x x x x x ⎧⎪

⎨⎪⎩-++=-++-=--++=的一个基础解系及其

通解.

六、（12分）判定二次型22212

3121323444f x x x x x x x x x =---++-的正定性，并求 该二次型的秩。

七、（10分）求向量组：11211α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--，22521α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，33574α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--，416179α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

-的秩及一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.

八、（12分）已知矩阵相似与⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,00030000300011011x B A （1）求x ；

（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=。

九、（6分）设3阶矩阵A 的特征值为2（二重），-4，求1

12A -*⎛⎫

- ⎪

⎝⎭

。

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 评分标准：选对得3分，不选或选错得0分

1、D ；

2、D ；

3、D ；

4、A ；

5、C

二、填空题（每小题3分，共15分）： 评分标准：填对得3分，不填或填错得0分

1、24；

2、；1101-⎛⎫

⎪

⎝⎭

3、-2；

4、0；

5、无关

三、计算行列式（12分）

1、原式=40； …………10分 四、（10分） 解

：

2340430004A --⎛⎫

⎪=- ⎪

⎪⎝⎭

………4分

4804840008A -⎛⎫

⎪= ⎪

⎪⎝⎭

………………8分

()012012000011f A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭033123110⎛⎫

⎪=- ⎪

⎪⎝⎭

…………10分

五、（12分）

解：齐次线性方程组的系数矩阵A 为：123412341

2342350

3240230

x x x x x x x x x x x x ⎧⎪

⎨⎪⎩-++=-++-=--++=

2315123110113124~0777~0111123107770000A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=------ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭

…4分

一般解为：134

234

33x x x x x x x x =-⎧⎪=+⎪⎨=⎪ （3x 为自由未知量） ……………………6分

故齐次线性方程组的通解为X 1212

1111=k +k (k )1001k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

为常数…………10分 六、（12分）

解：二次型对应的矩阵为

122212221A -⎛⎫

⎪=-- ⎪

⎪--⎝⎭

………4分

110-=-<； ………2分

12

3021

-=-<- ………2分

122

212130221

---=-<-- ………2分 所以矩阵的秩为3，即二次型的秩为3 2分 七、（10分）

解：向量组对应的矩阵为

1234123110502556011

0()~12717000111490000αααα-⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪-

⎪ ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭

………3分 所以矩阵的秩为3 6分

所以124,,ααα为一组极大无关组 8分

3125ααα=-+ ………10分

八、（8分）

解：解：（1）、由于

A 与

B 相似，则()()tr A tr B =。因为()5tr A =，()3tr B x =+，

则2x =。 ………4分

（2）、因为B 的特征值为2,3,0321===λλλ，所以A 的特征值为