哥尼斯堡七桥问题教学实录

“哥尼斯堡七桥问题”教学实录

一、 创设情境，激趣引思

1. 故事引入

师：这节课，我们先来听一个数学小故事吧。（课件播放，如图1，教师相机板书课题）

师：这个问题困扰了当地居民很长时[司，大家纷纷来到小岛上试图找到答案，但都无功而返。因为根据计算，每次都走完七座桥的所有走法共有5040种，这么多怎么走得完呢?后来有人写信向当时公认的“天才数学家”欧拉请教。欧拉亲自来到小岛上实地考察，也未找到答案。但他是一个不向困难低头的人，经过—年的研究，终于解决了这个问题。原来他将七桥问题题转化为一笔画问题，才顺利找到答案的。

(教师板书：一笔画)

2．释疑。

师：谁能根据你的理解，来说一说什么是一笔画？

(教师请一个学生上台画图说明)

师：（利用课件动态演示）像长方形、正方形、三角形等都能够一笔画出。（并结合长方形介绍：两条线相交的点，叫做交点。如图2） 师：哥尼斯堡七桥问题，大家可能觉得有点复杂。我

们先从简单的图形人手，来探究一笔画中的学问。

二、自主探究，合作交流 (—)探究活动一。1．探究。 师：下面请二人小组合作，共同完成探究记录单，首先请看活动要求。(课件出示记录单和活动要求)

图2交点

交点

活动要求：

（1）)试一试，在空白处画一画，判断图形能否一笔画出，并在相应的口里打“√”。

（2）对于能够一笔画出的图形，请沿不同交点出发，探索它有几种不同的画法。

(学生探究，教师巡视指导)

2．交流。

师：很多小组都已经有答案了，谁来汇报一下你们探究的结果？

生1：1号图是不能一笔画出的，因为它们是分开的。

师：谁听懂了他的意思？

生2：他是说1号图中的三个“口”没有连通起来。

师：是啊，像1号图这样，各个部分没有连通起来，就不可能一笔画出。这说明要能够一笔画出，它各个部分之间必须是连通的。

画出。 (板书：必须是连通图)接下来，谁继续汇报?

生3：2号图是可以一笔画出的。

师：是吗？你能到黑板上画一下吗?(学生上台画图，

教师提示他在起点处标上字母“A

”，如图3)

图3

师：很好！他刚才是从A 点出发，一笔画出了这个平行四边形。那么，只能从A 点出发吗？

生4：从其他交点出发也可以。 (大家纷纷赞同)

师：你们都实验过吗？的确，这个平行四边形无论从哪个交点出发，都可以一笔画出来。那么3号图可以一笔画出来吗?

生5：可以的。

(教师请生5上台画图，教师给生5画的图各交点标上字母，如图4)

师：真厉害，他的确是一笔画出的。我发现他是从E 点出发画的。

那么这幅图还能从其他交点出发画出来吗？ 生6：我还可以从F 点出发，也可以一笔画出。

师：还有其他画法吗?

生7：我还可以从A 点出发。 (教师请生7上台画，生7尝试了多种路径，均未成功)

师：(摸着生7的头)我很佩服他，虽然他最后没有成功，但是他这种执着探索的勇气还是可嘉的。从A 点出发不可以，还有哪些点也会出现这样的状况呢?

生8：我认为，从B 、C 、D 点出发也是不能一笔画成的，因为它们和A 点所处的位置是相似的。

师：很好，你真是善于观察！那你们有没有想过，虽然2号图和3号图都能一笔画成，但是2号图可以从任意一点出发，而3号图只能从E 点和F 点出发B

F

才可以一笔画出，这里面有没有什么奥秘呢?

（学生陷入沉思。片刻之后，渐渐地有几只小手举起来）

生9：因为那个”日”字形状的图形里面多了一横。

师：(装糊涂)什么意思？你能具体解释一下吗?

生9：就是说本来画那个“日”字周围边框的时候，是可以一笔成功的：但是中间多了那个一横，就必须从这一横出发才可以成功。

师：你很有数学家的潜质！你的发现对我们接下来的研究意义重大。大数学家欧拉就是这样发现规律的，连通图能否一笔画出。与图中各个交点的连线条数有关。

(二)探究活动二：1．介绍。

师：（出示课件，如图5）像下面的A 点和B 点，连线条数是1、3、5、7等奇数的点，叫作奇点；像下面的C 点和D 点，连线条数是2、4、6、8等偶数的点，叫作偶点。

2．研究。

师：大家回过头来观察2号、3号图形，看看各点的情况。

生：2号图形全部是偶点：

师：欧拉发现，像三号图中全是偶点，不仅可以一笔画，而且沿着任意一点都可以画出。这里的“任意”是什么意思?

生：就是随便从哪个点出发都可以。

师：是的，例如我们很多人都会画的五角星图案(课件出示

图6)，它的各交点也都是偶点，所以也可以从任意一点出

发一笔画出：你们不妨试一试。

（学生尝试 ）

师：那3号图形呢?

生：它有两个交点的连线条数是3，其余各交点都是偶点。

师：3号图形中只有两个奇点，其他都是偶点，欧拉发现这样的图形虽然能够一笔画出，但是——

生：必须，从奇点出发。

师：你和欧拉真是心有灵犀！的确必须从奇点出发。

那么大家看，这个图形能不能一笔画出呢？（课件出示图7）

生：它也可以一笔画出，但是必须从那两个奇点出发才行。

师：你们都能学以致用了，真好!

（三）思维训练，学以致用。

师：下面我们来轻松一下，玩一次智慧大闯关好不好？

偶点D

奇点A

1．夺宝小奇兵：

藏宝庄园里有10个百宝箱（如图8)，每次可以打开宝盒取宝1个。但是不能走重复路线，否则就会触动机关取宝失败。现在蚂蚁宝宝和贝贝站在不同的起点准备出发了，你认为谁能全部取宝成功?为什么?

2、小设计师。

（如图9)小朋友，妙妙游乐园即将开放了。要让游客一次不重复地沿着路线走，游完每一个游乐项目，游乐场的出口和入口应该设在A、B、C哪两个点上?

3．生活中的应用。

以游乐园出口和入口的设置以及快递叔叔送快件的例子，说明一笔画能够解决生活中的实际问题。

（四）探究活动三。

师：那么，是不是所有的连通图都能一笔画呢？我们继续探究。请大家看这幅图(课件出示图10)，数一数，标出它的奇点和偶点，并判断它能否一笔画出。

生：我试了好多次，它不能一笔画出。

师：其他同学有没有不同的看法？

生：我也试了很多次，不能一笔画出。我猜想可能和

它的奇点多了有关系。

师：你很善于推理，欧拉花了一年多时间发现的秘密，你们居然

图10

很快能领悟。欧拉发现，连通图中，如果奇点超过了2个，它就不能一笔画出了。

三、文化渗透，深刻理解

师：现在我们回到之前的“哥尼斯堡七桥问题”，它跟一笔画知识有什么关