浅谈布朗运动

浅谈布朗运动

吉林大学

物理学院

浅谈布朗运动

摘要: 布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程。本文对应用随机过程中的布朗运动理论进行了介绍，对布朗运动的背景，定义，性质及应用进行了阐述。

关键词: 布朗运动的定义;布朗运动的性质;布朗运动的应用 一、 概述

1827年,英国植物学家布朗(Robert Brown)发现浸没在液体中的花粉颗粒做无规则的运动,此现象后被命名为布朗运动.爱因斯坦(Albert Einstein)于1905年解释了布朗运动的原因,认为花粉粒子受到周围介质分子撞击的不均匀性造成了布朗运动.1918年,维纳(Wiener)在他的博士论文中给出了布朗运动的简明数学公式和一些相关的结论。

如今,布朗运动的模型及其推广形式在许多领域得到了广泛的应用,如经济学中, 布朗运动的理论可以对股票权定价等问题加以描述. 从数学角度来看,布朗运动是一个随机过程。具体的说,是连续时间、连续状态空间的马尔科夫过程。

二、 布朗运动的定义

随机过程}0t t {X ≥），（如果满足：

1、00X =）（

. 2、}0t t {X ≥），（有独立的平稳增量. 3、对每个

t > 0，）（t X 服从正态分布)

t 2,0N(σ

则称}0t t {X ≥），（为布朗运动，也称维纳过程。 常记为B(t),T ≥0或W(t), T ≥0。

如果1=σ，称之为标准布朗运动，标准布朗 运动的定义是一个随机函数()()X t t T ∈，它是维纳 随机函数。

皮兰1908的布朗运动实验

三、布朗运动的性质 1、它是高斯随机函数。

2、它是马尔科夫随机函数。它的转移概率密度是：

{}(,)()()f t s y x P X t y X s x y ∂--=≤=∂21/22

2()2()exp 2()y x t s t s πσσ-⎡⎤-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦-⎣⎦

可以看出它对空间和时间都是均匀的。

3、如()(0)X t t ≤是标准布朗运动，则下列各个随机函数也是标准布朗运动。

（1）、2

1(

)(/)X t c Xtc = （c ＞0为常数，t ≥0）

（2）、2()()()X t Xt h Xh =+- （h ＞0为常数，t ≥0）

（3）、1

3()(0)()0

(0)

tX t t X t t -⎧>

=⎨

=⎩

4、标准布朗运动的协方差函数2

(,)min(,)C s t s t σ=。

5、标准布朗运动非均方可微。

由于布朗运动()X t 是维纳随机函数，而后者按照定义应有

2

2

[()()]

W t s W t h σ+-=。因而令()()X t W t =后，必有：2

2

()()X t h X t h h

σ+-⎛⎫

=

⎪

⎝⎭

，

故 2

()()lim

h X t h X t h →+-⎛⎫=∞ ⎪

⎝⎭

如果布朗运动是可微的，则按均方可微的意义应有

：

2

()()()lim

h X t h X t X t h →+-⎛⎫'-=∞ ⎪⎝⎭

它表明：2

20

()()(())lim

h X t h X t X t h →+-⎛⎫

'= ⎪

⎝⎭

在上面的计算过程中应用了维纳随机函数的第（2）性质。这和前一式相矛盾。故布朗运动不是均方可微的。 四、 布朗运动理论的应用 1、郎之万方程

设布朗粒子的质量为m ，它在水平面x 方向所受到的力分为两个部分。一是与速度成正比的液体阻尼力V α-，一是液体分子对粒子碰撞引起的随机力()F t 。

于是按照牛顿的质点力学定律，布朗粒子在水平面x 方向的运动方程为： ()dV

m

V F t dt

α+= 此方程成为朗之万方程。一般而言方程应该是三维的，为简单起见，只讨论一维的情形。为简化记号可令/m βα=，()()/A t F t m =。于是，上式成为单位质量的算式。即：

()dV

V A t dt

β+= 此方程强烈的依赖于()A t 的性质。对()A t 有下列几个经过实验检验的假设：①()A t 与V 无关；②()0A t =；③()()A t A s ∝()t s δ-。这最后一个条件反映了()V t 的马尔科夫性质。因为V 对时间的一阶微分方程的解完全决定于0t t =时的初始条件。如果方程中的随机加速度()A t （也就是作用于单位质量的随机力）具有所设定的δ函数相关，则0t t <时的随机加速度就不能改变0t t <时的运动。如果()A t 的相关函数有一段时间的延续ε，例如()()A t A s ∝/t s e ε--。即使给

定了0t 时刻的速度0()V t ，在002

t t t ε

-<<。区间内的随机加速度()A t 还会影响到

00/2t t t ε<<+区间内的运动。这样，0t t >时的运动不完全决定于0t 时刻的初始

条件。即后一种相关函数会破坏()V t 的马尔科夫性质。对照可知，这种函数相关的随机力有白噪声随机函数的性质。 2、用布朗运动理论研究仪器的灵敏度

测量仪器中的活动部分(如分析天平的称盘，悬线电流计的线圈等)在气体分子的不平衡碰撞下也会产生布朗运动．随着科技的发展，仪器的灵敏度越来越高，布朗运动对灵敏度的影响已成为现代精密测量中一个不可忽视的素．在近代无线电技术(如卫星通讯)中，由于放大倍数很高，电涨落现象表现得特别显著，引起热噪声，这个问题也需要用布朗运动理论来研究。 3、用布朗运动理论研究各类扩散现象

扩散现象的本质是布朗运动产生的位移，因此布朗运动理论可用于各类扩散现象．例如半导体中载流子(电子或空穴)的扩散，原子核反应堆中中子的扩散等，均可用布朗运动理论来研究。 4、布朗运动理论在分形理论中的应用

由于布朗运动轨线的不规则性是统计自相似的，也就是说，其轨线的某一小部分放大后，在概率分布的意义上，跟某一较大部分具有相同的“形状”，因此布朗运动也成为分形理论的重要研究对象，并发展出了。“分数布朗运动”和“布朗曲面 等理论，后者已非常有效地用于计算机绘制的地貌图。 5、布朗运动理论在现代金融顿域的应用

布朗运动是随机涨落的典型现象，不仅用来作为许多自然现象的模型，而且可以用来作为许多社会现象的模型。早在1900年，法国数学家巴施利叶就已