第3章 傅里叶变换

F
[ f (at t0)]
1 a
j t0
F( )e a a
F
[ f (t0 at)]
1 a
F
(
)e
j
t0 a
a
七、 微分和积分特性 1、时域微分特性
若 F() F [ f (t)]
则 F [df (t)] jF(),
dt
F
[ d n f (t)] ( j)n F()
dt n
例如：由于 F[ (t)] 1 所以 F[ ' (t)] j ; F[ (n) (t)] ( j)n
E f (t)
F ()
E
/ 2 / 2
t
f (2t) E
/ 4 / 4 t
4 2 2 4
1
F( ) 22
E / 2
8
4
4
8
f (t)
E
0
t
2
2
f ( t 2)
E
0
t
F () E
4 2
2 4
F()
2E
2 2
尺度变换的仿真波形及频谱
综合时移特性和尺度变换特性，可以证明以下两式：
f (t)
eat 1
e at
t
f1(t) f (t)sgn( t)
sgn(t) 1
1
t
1 f1(t) eat
t
eat
1
F( j) 2
() 2
2
0 0
F( j)
( ) 2
2
3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 一、冲激函数
1/ f1(t)
0
/ 2 / 2 t
1
F1
(
若 f(t) 为实偶函数， 则 F( j) R() R()
对称性为： F [R(t)] 2f ()
例如：
f (t) (t) (1)
F(jω)=R(ω)=1
1
0
t
0
ω
R(t)=1 1
2πf(ω) (2π)
0
t
0
ω
又如：
E f (t)
/ 2 / 2 t
R(t)
E
4 2 2 4
t
F( j) R() E
三、矩形脉冲信号
E f (t)
0
t
2
t
2
F ( j) E Sa( )
2
E f (t)
/2 /2 t
F( j) E
4
2
2
4
F( j) E
4
2
2
4
( )
4 2
2 4
F ( j) E
4 2 2 4
四、符号函数
1 t 0 sgn(t) 1 t 0
时移的仿真波形及频谱图
五、频移特性（调制定理）
若 F() F [ f (t)]
则 F [ f (t) ej 0t ] F 0
g(t)
s(t)
c(t)
调幅的一般模型
g (t ) c(t ) s (t )
调制信号 载波信号 已调制信号
s(t) g(t)c(t)
F
[
f
(t) cos0t]
1 F(
() 是奇函数。
2. 若f(t)是t的实偶函数，则 F ( j ) 必为 的实偶函数。
若f(t)是 t 的实奇函数，则 F ( j )必为 的虚奇函数。
例如：f (t) e t （实偶）
f
(t
)
et
et
t 0（实奇） t0
F
(
j
)
2 2
2（实偶）
F
(
j
)
2
2 j 2
（虚奇）
三、对称性
若F [ f (t)] F( j), 则 F [F(t)] 2 f ()
二、奇偶虚实性
设 F( j) F( j) e j() R() jX ()
其中
F( j) R2 () X 2 (), () arctan X () R( )
若 F [ f (t)] F( j)
则有两种特定关系：
1. 若f(t)是实函数，或虚函数 [f(t)= j g(t)]，则 F ( j) 是偶函数,
3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
一、单边指数信号
f (t) 1
eat t 0
f (t)
t
0 t 0
F ( j) 1 a2 2
() arctan( )
a
1/ a F( j)
二、双边指数信号
f (t) ea t
F ( j) 2a a2 2
( )
/2
/ 2
f (t) 1
t
2 / a F ( j)
f (t) E
E f (t)
t
单边矩形脉冲信号波形
/2 /2 t
对称矩形脉冲信号波形
F
f
(t)
E
Sa
(
)
j
e2
2
F() E
2 2 4 ()
/ 2 幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移 / 2
f (t t0 ) e jt0 F ()
表明信号延时了t0 秒并不会改变其频 谱的幅度，但是使其相位变化了 - t0
2
0 )
F (
0 )
F
[
f
(t ) sin
0t]
j 2
F (
0 )
F (
0 )
例：求矩形调幅信号的频谱函数，已知f(t)=G(t) cosω0t，其中
G(t)为矩形脉冲，脉幅为E, 脉宽为τ。
f (t)
F ()
E
E
2
t
0
2
2
0
0
2
F
()
1 2
G(
0 )
G(
0 )
E
2
{Sa[(
0
)
2
]
Sa[(
j)
Sa( 2
)
0
4 2 2 4
(t) (1)
t
F( j) 1 1
二、冲激函数的傅里叶逆变换
1 f1(t) 2
t
f 2 (t ) 1
t
F1( j) ()
(1)
F2( j) 2 ()
(2 )
1 f1(t)
/ 2 / 2 t
F1
(
j
)
Sa(
2
)
4 2 2 4
f (t) 1
2、时域积分特性
若 F() F [ f (t)]
t
F( j) 2 () (2 )
三、冲激偶函数
F [ (n) (t)] ( j )n
四、阶跃信号
F( j)
F( j) ( ) 1 j
( )
( ) 2
2
3.7 傅里叶变换的基本性质
一、线性（叠加性）
若 F [ f1(t)] F1( j), F [ f2 (t)] F2( j), 则F [a1 f1(t) a2 f2 (t)] a1F1( j) a2F2 ( j)
0
)
2
]}
f (t)
E
0
2
2
2
t
F()
1 2
F
(
o)
F
(
o)
f (t) G (t) cos0t
0.5
0 70 rad / s
矩形调幅信号的仿真波形及频谱图
六、尺度变换特性
若 F() F [ f (t)]
则 F [ f (at)] 1 F( )
aa
信号在时域中压缩等效在频域中扩展；信号在时域中扩展等效在频域中压缩。
4 2 2 4
2f ( )
2E
/ 2 / 2
四、时移特性
若 F() F [ f (t)]
则
F
[ f (t t )] F() e j t0 0
同理 F [ f (t t )] F() e j t0 0
F() e e j() j t0
例：求下图所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数