关于贝特朗悖论

关于贝特朗悖论

从法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）提出“贝特朗悖论”至今，已经过了一个多世纪。在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……

首先来看一下贝特朗悖论：

在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 此问题可以有三种不同的解答:

面对同一问题的三种不同的答案。人们往往这样来解释：

得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。

三个结果都正确！——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。

显然这样的解释是不正确的。

上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的，但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦（或是从圆内任取一条弦），所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心：

第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦（与相应的直径垂直）对应，即一一对应。但是，圆心却与无数条弦（即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意）对应。这样，圆心——这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。

有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。

而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。

由贝特朗奇论谈几何概型中的等价转化

几何概型与古典概型都是概率论中最基础、最简单的概率类型.二者的共同点就是每个基本事件发生的概率都是等可能的;然而前者的基本事件个数只有有限个,后者却是无限的.正是由于几何概型的基本事件有无限多个,人们在解题时总专注于对原始条件进行等价转化,意在建构较简单的基本事件,以期简化概率计算过程.不可否认,有些正确的转化必然达到"事半功倍"的效果;然而,有些看似"等价"的转化,最终却得到了不同的答案,使人们产生困惑.

本文通过对贝特朗问题的五种正误解法进行深入剖析,总结出几何概型

的转化应注意的若干问题.

贝特朗问题:在单位圆的圆周上,任意选取两点M 、N ,连结成弦.记事件

A 为弦长3MN >,求事件A 发生的概率. 1. 由原始条件出发,通法求解 解法一:该圆的周长为2π.在圆上任取一点,规定它的位置是0,而圆上其

余各点的位置按顺时针方向在[0,2)π内相应增长.设M ,N 在圆周上的位

置分别是,x y ,则,[0,2)x y π∈.又如图1所示, 3MN >当且仅当2433

x y ππ<-<

.

如图2,用(,)x y 表示每次实验的结果,则所有基本事件构成正方形区域,

其中阴影部分为事件A 构成的区域,符合几何概型条件,故 22242133P().43

S A S πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===阴正

评注:解法一是将在圆周上选取两点视为等可能事件,从而以面积

作为测度,应用几何概型理论得出答案.此法是从题目中的原始条件出发,没有进行等价转化,不易出错,算作一种通法.然而用通法解题往往比较复杂,况且本题中还涉及到两个变元,计算过程显得不够简便.

2. 适当进行等价转化,化繁为简

解法二:由于圆是具有高度对称性的图形,可认为圆内等长的弦有且只有一条.于是不失一般性,假设M 点就在图1所示位置,问题就转化为另一点N 在半圆周上随机选取时,弦长3>MN 的概率.那么,基本事件构成的区域为半圆周,事件A 构成的区域为从1N 到P 的劣弧长.根据几何概型原理得,

3

1)(=A P .

解法三:与解法二思想一致,认为圆内等长的弦只有一条,进一步地,等长弦所对的圆心角也是相等的.同时注意到,固定点M 在图1位置,点N 在自M 到P 的半圆周上均匀地运动时,圆心角MON ∠也均匀地从0增加到π.因此,我们可以把问题转化为图1中,过圆心O ,在直径MP 的右侧任意做射线ON 交圆

周于点N ,求MON ∠超过π32的概率.此时,基本事件构成的区域为],0[π,而事件A 构成的区域为],3

2(ππ,故 .3

13

2)(=-=ππ

πA P 评注:解法二和解法三是通过合理的等价转化,分别将在半圆周上选取一点和过点O 在MOP ∠内任意做射线ON 视为等可能事件,使得两个变元的问题变成了一个变元的问题,大大简化了概率计算.

3. 转化不慎,陷入误区

然而,贝特朗奇论就告诉我们,有些转化却得到了错误的答案.问题

究竟出现在哪里呢?下文中我们就两种错解的原因给予分析.

忽视等可能性的保持

解法四:视圆上等长的弦为唯一的.不妨假设长度不同的弦的中点

都分布在单位圆的某条半径OP 上,如图3所示.

其中Q 为OP 的中点,故弦MN 在11N M 位置时,长度刚好为3.而此

时每条弦的弦长与该弦中点所处的位置是相互决定的.因此,问题就转

化为弦MN 的中点在半径OP 上随机选取时,中点处于线段OQ 上的

概率.从而求得

1()2

OQ P A OP ==. 辨析:此种解法,在认为圆内等长的弦是唯一的前提下,将研究对象弦的两个端点转化为它的中点.此时,二者确实是一一对应的.然而,解题过程却忽视了另一个考虑要素:当弦的两个端点N M ,分别在从2M 到P 和从2N 到P 的劣弧上等可能地选取时,弦的中点并不会相应等可能地落在半径OP 上.事实上,如果MN 在图3所示位置,不妨设α=∠ON N 2,则2N 到N 的劣弧长即为α,而

αsin sin 2=∠=ON N OE ,二者并不成正比.

因此,此类错误转化的特点是:虽然保证了研究对象的一一对应,但是忽视了等可能性的保持,所以转化是不等价的.我们再举两个类似的例子.

例1 如图4,ACB ∆是一个等腰直角三角形.过顶点C ,在直角ACB ∠的内部任意引射线CP 交斜边AB 于点P ,求AC AP <的概率.

错解:ACB ∠内部的任一射线与射线在AB 边的交点是一一对应

的.如图4中,当交点P 点处于D 位置时AC AP =,故问题可转化为点

P 在AB 边上随机选取时,

AC AP <的概率.于是所求概率为

2

2.