关于贝特朗悖论
贝特朗概率悖论的解释
贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。
我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。
这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下来，大家可以自己看：百度百科词条解释虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。
概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。
而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题，正是如此，因为其条件不够。
首先我们看第一种“解法”。
解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。
弦与PQ的交点肯定就是落在能分布于以O为圆心，半径为1/2的圆中，而该圆的面积占据大圆的1/4，故概率为1/4.学夫子自己的看法来说，这种解法最牵强，他将弦的分布划归为其中点在圆中的分布，认为“一个中点M只对应于一条弦”，显然这是错误的，因为圆心O所对应的弦有无数条，而对于非圆心的点M，以M为中点的弦只有一条。
所以这本身就不是等可能的，这种解法就是错误，他就跟前两种解法不一样，加上条件就是对的，这种解法无论加什么条件都是错的，因为不是条件缺与不缺的问题，而是犯了概率论中最基本的前提错误——等可能分布。
不过网络上更倾向于第二种方法的答案作为这道题的“标准答案”，因为任意给一条弦，他应该由圆周上的两点决定。
文章。
贝特朗悖论
贝特朗悖论在第一次世界大战时，意大利军队里流行着一种反常的现象：意大利士兵受伤后不去医院治疗，而是要求服用大量的止痛片。
这使人费解，军方将领也莫衷一是。
英国海军少将贝特朗认为，这种看似矛盾的现象有它合理的一面。
因为他发现，如果不进行必要的止痛治疗，很多士兵都会在作战中牺牲。
从20世纪开始，对于贝特朗悖论产生了各种不同的观点和解释。
1909年，爱尔兰数学家波利亚最先提出，士兵因为怕被俘，宁愿死于敌手，也不愿治疗疾病。
这被称为“假死说”。
但是，美国医生杜南和拉斯马丁，为寻找原因，深入研究，终于揭开了这个奥秘：原来，当士兵受伤后，生命特征就已经消失了。
如果去治疗，那么生命活动仅存于人体的某些器官，就不能在行军或作战中发挥积极作用了。
为此，医生们便采取了“假死说”的治疗方法，让士兵不用去接受手术等治疗，可以保存下更多的体力。
1910年，德国医生冯·贝克曼德尔首先向公众宣布了这个奥秘。
这种假死说在医学上被称为“灵魂出壳说”。
这个学说的前提是，人受伤以后，其实就是“灵魂”离开身体。
这种灵魂虽然没有肉体，却仍然具有思维，并且对自己的行为负责任。
由于灵魂与肉体不在一起，当伤愈之后，对自己所造成的伤害，则难以恢复。
为此，在重伤初愈后，我们必须对伤口进行必要的处理。
1912年，英国医生洛伍德正式向公众宣布了这个奥秘，他称之为“拟态说”。
他认为，人体内每一个器官、每一根神经都相当于一个独立的人，每一个器官都有一个生命，即具有特殊性质的“灵魂”。
因此，身体各部位不应该互换，医生只能对受伤的器官进行抢救，而不能移动“灵魂”。
1916年，法国外科医生皮纳尔提出，人体有两种系统在控制人体的正常功能。
一种是靠内部神经来指挥的。
另一种则是依靠来自外界刺激来指挥的。
这两种系统既独立又相互联系，同时也相互转化。
他把这种相互转化叫做“拟态”。
他把人体分成两个不同的部分，即“身体”和“灵魂”。
灵魂处于一种休息状态，通过“拟态”来适应环境，接受指令。
贝特朗悖论
贝特朗悖论著名的数学家弗朗西斯·贝特朗曾提出一个有趣的悖论：如果我们在相同的时间内穿越不同的维度，那么我们将永远也无法到达目的地。
也就是说，我们只能前进而不能后退，既然这样，我们为什么还要向着终点努力呢？其实这个悖论很好理解。
我们先假设现在有两个你，和一个你存在于过去。
如果你进入了过去的某一个时间点，那么这就意味着你来到了另一个你的时空。
而这样的事件在平行宇宙中可能会发生，但几率非常小。
所以说，你只能往前走而无法后退。
然而，这个悖论的前提是在一个四维时空中同时存在两个你。
如果你有三维空间的思想，就会觉得难以接受。
在三维世界中，一切物体都具有长、宽、高三种特性，然而到了第四维世界中，一切物体均具有了时间和速度，因此没有任何运动可言。
物体之间的关系也只能是“瞬间”或者“过去”或者“未来”，没有任何其他联系。
正如网上流传的一句话“时间是最小的距离”，从另一个角度看，“时间就是物体”，当物体消失在另一个空间时，它同时也消失在另一个世界里。
一方面，你希望能够走到更远处；另一方面，你又不能后退。
换做是我们，谁会选择停留在原地，而不前进呢？这个悖论也表明了，在我们面对多维空间时，每个人都会做出不同的选择。
既然生活在三维空间中的我们是如此不自由，那么我们还有必要坚持继续向前吗？1、请思考一下，如果你现在站在广场上，在你面前有两条路，一条通往死亡，一条通往毁灭。
你作何选择？请在其中选择一条通道！假设，我们已经用尽了人生全部的积蓄，并打算把仅剩的钱买一张彩票。
如果买了一张中奖了，就能够改变你的命运，这次冒险是否值得？2、很久以前，我们的太阳系统治了整个银河系，但是今天，银河系却威胁到了太阳系的生存。
为了保护我们自己，我们需要拥有足够的战斗能力。
你愿意做一名军人，还是坐在火山口上悠闲地晒太阳？3、如果你得到了500万美元，会怎么分配？如果继续保留这笔钱，你的钱会随着时间的推移而贬值；如果进行投资，可能你的回报会翻倍；甚至更多……钱还可以购买到不同的商品，带来丰富的收益，这样的机会难道不珍贵吗？。
贝特朗悖论
贝特朗悖论
1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，使我们对概率的定义有了更深的认识。
同一个问题，得出了三种答案，所以该问题一经提出就被人称为“悖论”。
其实，该问题的答案已经被人们证明有无数多个。
现在我们要考虑，同一个问题，为什么答案会有这么多?
之所以被人称之为“悖论”，并不是因为这个问题错了，也不是解答错误，每种答案都对。
但是结果不一样，这是因为人们忽略了概率中的一个定义。
样本空间定义
一个随机试验可能出现不同的结果，这些结果称之为样本点，样本点的全体所构成的集合称之为样本空间Ω，事件A定义为样本空间Ω的一个子集，它包含了若干的样本点。
所以我们要求概率，首先考虑这个试验的样本空间是什么，选择不同的样本空间，会得出不同的答案，我们针对上面三种解法考虑其样本空间：
上面三种解法得出不同答案的实质是因为求解概率的样本空间不同，换句话说就是弦是怎么做出来的，不同的作弦方式会得到不同的样本空间。
该问题之所以称之为悖论，仅仅是因为该问题中并没有阐述圆中的弦是怎么做出来的。
而我们知道，做弦的方式有无数多种，所以贝特朗提出的这个问题有无数种答案。
以下用两题对比来体会样本空间这一概念：
两个题目做出线段CM的方式不同：。
贝特朗悖论
贝特朗悖论贝特朗悖论是一个有关几率论的传统解释会导致的悖论。
约瑟·贝特朗于1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到此悖论，用来举例说明，若产生随机变数的“机制”或“方法”没有清楚定义好的话，几率也将无法得到良好的定义。
贝特朗悖论的内容如下：考虑一个内接于圆的等边三角形。
若随机选圆上的弦，则此弦的长度比三角形的边较长的几率为何？贝特朗给出了三个论证，全都是明显有效的，但导致的结果都不相同：1.“随机端点”方法：在圆周上随机选给两点，并画出连接两点的弦。
为了计算问题中的几率，可以想像三角形会旋转，使得其顶点会碰到弦端点中的一点。
可观察到，若另一个弦端点在弦会穿过三角形的一边的弧上，则弦的长度会比三角形的边较长。
而弧的长度是圆周的三分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为三分之一。
图1 随机的弦，方法1；红=比三角形的边较长，蓝=比三角形的边较短2.“随机半径”方法：选择一个圆的半径和半径上的一点，再画出通过此点并垂直半径的弦。
为了计算问题的几率，可以想像三角形会旋转，使得其一边会垂直于半径。
可观察到，若选择的点比三角形和半径相交的点要接近圆的中心，则弦的长度会比三角形的边较长。
三角形的边会平分半径，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为二分之一。
图2 随机的弦方法23.“随机中点”方法：选择圆内的任意一点，并画出以此点为中点的弦。
可观察到，若选择的点落在半径只有大圆的半径的二分之一的同心圆之内，则弦的长度会比三角形的边较长。
小圆的面积是大圆的四分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为四分之一。
图3 随机的弦方法3上述方法可以如下图示。
每一个弦都可以被其中点唯一决定。
上述三种方法会给出不同中点的分布。
方法1和方法2会给出两种不同不均匀的分布，而方法3则会给出一个均匀的方法。
但另一方面，若直接看弦的分布，方法2的弦会看起来比较均匀，而方法1和方法3的弦则较不均匀。
贝朗特悖论的解决
理学院School of Science课程设计报告学生：凡学生学号：200701121所在班级：07数学1所在专业：数学与应用数学指导教师：樊嵘实习场所：理工大学实习时间：第六学期课程设计成绩总评学习态度报告质量使用SAS统计模拟方法解决Bertrand’s paradoxBertand’s paradox 是法国数学家Bertrand于1889提出的一个概率悖论：在圆任作一弦，其长度超过圆接正三角形边长的概率是多少？他在提出问题之后，给出了三种不同的解法，得到了三个不同的结果，是为悖论。
第一种解法如下：由于弦交圆于两点。
我们先固定弦的一个端点。
以此端点作一个等边三角形(如图)。
显然，只有穿过此三角形的弦才符合要求。
而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。
并且，不论固定的那个1/3。
第二种解法如下：由于弦长只和圆心到它的距离有关。
所以固定圆一条半径。
当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。
并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。
所以结果为1/2。
第三种解法如下；弦被其中点唯一确定（除了圆心）。
当且仅当其中点在半径为1/2的圆时才满足条件。
此小圆面积为大圆的1/4。
所以结果为1/4。
所以被称为悖论。
在以前对这问题的分析中，倾向于认为得到三种结果的原因是因为采用了不同的等可能性假定。
解法一假定端点在圆上均匀分布。
解法二假定半径在圆均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。
解法三假定弦的中点在圆均匀分布。
先不论他们的假设是否合理，从这个问题的提法来看，问题考察的是圆的随机弦问题。
我们应该从弦的本质定义出发，即圆上任意两点的连线为弦。
从这个思路，我们可以使用SAS 进行统计模拟，确定问题的答案。
具体思路如下：1.先进行1000次试验，每次试验进行1000次模拟，每次模拟从圆上随机取两点，计算距离，记录d 1000个数据，数据集为cs ，其中的变量只有一个x 。
对此数据进行分析，得到其方差与均值，可以求出概率。
贝特朗悖论之争的终极原因
贝特朗悖论之争的终极原因贝朗特1.贝特朗悖论的产生背景人们对概率的研究有着悠久的历史。
公元1494年意大利的帕奇欧里（paciuolo）提出了了关于“分赌金”的问题，这个问题直到16世纪才有巴斯卡（1623～1662）、费尔马（1601～1665，费马大定理的提出者）、惠更斯（荷兰数学家1629～1695）联合解决。
转眼到了1812年,法国数学家拉普拉斯撰写了《分析概率论》这一著作,概率的古典定义在书中被首次完整而系统地提出.作为对古典定义的补充和推广,在无限样本空间背景下的几何概率也得到了广泛的应用。
正当古典概率和几何概率在各自的研究领域内迅猛发展时,1899年,法国数学家贝特朗（nsephBertrand,l822-1900）提出一个“简单”的问题:在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率是多少？按照几何概率的定义进行计算,竟然可以求得3个不同的概率,这与概率的性质是背道而驰的.这就是著名的“贝特朗悖论”矛头直指几何概率概念本身.贝特朗悖论说明原来关于概率的定义带有很大的局限性,迫切需要一种公理化体系改造概率论.1933年,前苏联数学家科尔莫戈洛夫提出了概率的公理化体系,迅速获得举世的认可,使得古典概率和几何概率具有了更加严密的逻辑基础,像“贝特朗悖论”这类自相矛盾的问题也得到了合理的解释。
华罗庚说：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要”。
2.相关的概念古典概型2.1古典概型①定义如果一个随机试验所有可能出现的结果只有有限个,即基本事件总数是有限的,并且每个基本事件发生的可能性相同,那么称这样的随机试验为古典概型试验,简称古典概型.古典概型的特点:(i)有限性一试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (ii)等可能性——每个基本事件出现的可能性相等.②概率计算公式P(A)=m/n=(事件A包含的基本事件数)/(基本事件总数)2.2几何概型①定义对于一个随机试验,将基本事件理解为从某个可度量的几何区域G内随机地取一点,该区城中每一个点被取到的机会都一样;而随机事件A的发生则理解为恰好取到区域G内的某个指定区域g中的点,则称这个随机试验为几何概型随机试验,简称几何概型③率计算公式P(A)=(g的度量)/(G的度量)g的度量为构成事件A的区域的长度、面积或体积,G的度量为试验的全部结果所构成的区域的长度、面积或体积.一切推理都必须从观察与实验中得来。
伯特兰悖论的解释
伯特兰悖论的解释伯特兰悖论是一个逻辑悖论，它由英国哲学家伯特兰·罗素在1901年提出。
伯特兰悖论的形式如下: “所有不包含自身的集合都必须包含自身.”这个悖论的本质在于，它似乎违反了常识和逻辑规则。
按照悖论的说法，如果一个集合不包含自身，那么它必须包含自身.但是，如果它真的包含自身，那么它是否还是不包含自身呢?这个悖论陷入了自指的陷阱，无法解决。
伯特兰悖论的应用非常广泛，它可以用于说明语言、思维、逻辑等问题，也可以用来考察人们对现实世界的理解和认知能力。
伯特兰悖论是一个关于概率论的传统解释所导致的悖论，由约瑟·伯特兰于1888年在他的著作《Calcul des probabilites》中提出。
这个悖论描述了在分析涉及无限大样本空间的概率问题时，如果对“每个事件发生的机会皆相同”的原则使用不够谨慎，可能会导致无法得到明确或肯定的结果。
伯特兰悖论的一个经典例子是“圆内接等边三角形的弦长比较问题”。
假设我们在一个圆内随机选择一条弦，那么这条弦的长度比圆内接等边三角形的边较长的概率是多少？伯特兰给出了三种不同的方法来解决这个问题，分别是“随机端点方法”、“随机半径方法”和“随机中点方法”。
这三种方法得出的结论分别是：1/3、1/2 和 1/4。
这就是伯特兰悖论的体现，对于同一个问题，采用不同的随机方法得出的结果竟然不一致。
导致伯特兰悖论的原因在于，当问题涉及到无限大的样本空间时，传统概率论中的“无差别原则”可能会失效。
在伯特兰悖论的例子中，由于圆周上的点有无穷多个，因此在随机选择弦的过程中，不同的随机方法会导致不同的结果。
为了解决这个问题，我们需要对概率论的传统解释进行修正，例如引入测度论等更严格的数学工具来处理无限大的样本空间。
这样，我们才能在处理涉及无限大的概率问题时，得到明确且一致的结果。
贝特朗悖论(几何概型).doc
一个几何概型试题的题源探究《中学教研》2010年第09期 第38页 《福建中学数学》2010年第05期 第23页1 题目点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 .（2009年福建省数学高考文科试题）解：如图1，另一端点B 只能在优弧上运动，因此所求概率为1223B B P ==优弧长圆周长.2 题源2.1 源于历史名题初看此题以为是数学史上得一个经典的悖论——贝特朗悖论，其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论：“在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少？”从不同方向考虑这道试题，可得不同结果：解法1 如图2，满足条件得弦为AP .不失一般性，先固定其中一点A 于圆周上，则另一端点P 只能在弧BC 上运动，因此所求概率1=3BC P =圆周长.2BB1BBB BB B 图1AC图2AB PPPP解法2 如图3，应用对称性.可预先固定直径AB ，点,C D 为AB 的四等分点.作垂直于直径AB的弦，若弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长>12≤，即弦的中点须在线段CD 上运动（弦中点与弦一一对应），故所求概率为12CD P AB ==.解法3 如图4所示，弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长2>，于是弦心距12≤，即弦中点必须在以O 为圆心、半径为12的圆内或圆上，故所求概率21()124P ππ==. 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.同一问题有3中不同的答案，原因在于取弦时采取不同的等可能性假设！解法1假设端点在圆周上是均匀分布的；解法2假设弦中点在直径上是均匀分布的；解法3是假设弦的中点在圆内是均匀分布的.这3种解答是针对3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.因此，在试验术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义，这又因试验而异.几何概率是19世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
贝特朗悖论新说
之外的点是否均匀分布.所以袁为了针对传统的三
种解法的不够野均匀冶性袁文中提出了两大类更加
野均匀冶的解法思路以及相应的解法过程.
2 新模型的准备工作
在介绍文中的两种解法前袁在此先介绍一下文
中两种解法将会用到的一些假设和模型.
2.1 野r类点冶模型
为了让每点都是等
可能的被取到袁 文中假
设每点被取到的概率为
第 35 卷第 11 期 2019 年 11 月
赤 峰 学 院 学 报渊 自 然 科 学 版 冤 JournalofC hifengU niversity渊 N aturalScienceE dition冤
V ol.35 N o.11 N ov.2019
贝特朗悖论新说
陈召召袁 陈 城袁 杨 静
渊安徽理工大学袁 安徽 淮南 232001冤
蓸 蔀 蓸 蔀 =F兹 2仔-arccosRx -F兹 arccosRx
因 arccos(x/R ),2仔-arccos(x/R )沂[0,2仔]从而得
蓸 蔀 蓸 蔀 fX=F忆X(x)=-f兹 2仔-arccosRx
- 1/R 姨1-(x/R )2
蓸 蔀 =-f兹(arccosRx
)
-
1/R 姨1-(x/R )2
. All 文Ri中g将ht问s题R简e化 se一rv下e袁d.在单位圆中任取一条
弦袁弦长长于(也可等于)姨 3 的概率为多少钥 [1] 由于取弦的确切方式并没有交代袁导致了按照
不同取弦方式会有不同的解法袁目前有三种公认的 解法袁分别对应了不同的取弦方式. 1.1 解法一
按照弦的中点必定在某条直径上袁然后取一条 直径袁并认为弦的中点在直径上均匀分布袁按照几 何概型袁概率为 1/2. 1.2 解法二
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贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。
我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。
这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下来，大家可以自己看：百度百科词条解释虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。
概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。
而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题，正是如此，因为其条件不够。
首先我们看第一种“解法”。
解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。
弦与PQ的交点肯定就是落在PQ上的，而NM=1/2PQ，所以此时概率为1/2.这个解法其实有一个重要前提，那就是弦与PQ的交点在PQ 上是均匀分布的。
正正是题目中所缺乏的条件，因为圆中任意的弦，这到底怎么个做法？是像这种解法所说的，使其与PQ交点在PQ上均匀分布么？还是使弦与圆周的交点是任意分布？如果满足后者，就不可能满足前者，满足前者，就不可能满足后者。
一个比较明显的说法就是：做几条平行弦，使其在PQ上均匀分布，也就是相互之间的距离相等，我们可以看见，这些弦之间的弧长并不相等，也就是说，在PQ上均匀分布，一定不会在圆周上均匀分布。
原题中没有给出这样的条件，解法1加了这么一个条件，显然就有不一样的结果了。
再看解法2.解法2的思路是，链接OA，在OA两边做弦AM和AN，使其和AO的夹角为30°。
贝特朗悖论
19世纪末，概率论的广泛应用提出了对概率论的基础概念与原理进行解释的需要．另外，科学家发现的一些概率悖论提示了古典概率论的基本理论所存在的矛盾，其中最著名的是贝特朗悖论．悖论提出后，在数学界引起了很大震动，促使数学家理性反思概率论的基础理论．1932年，这个问题才由前苏联的数学家柯尔莫哥洛夫解决，他在其经典的著作《概率论基础》中建立了在测度论的基础上的概率论公理系统，从而把概率论建立在完全严格的数学基础之上，那么什么是贝特朗悖论呢？下面我将简要向同学们介绍一下．贝特朗悖论是法国数学家贝特朗提出的关于几何概型的悖论．1889年贝特朗在著作《概率计算》中提出：在圆内作任一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率．现按几何概型的计算方法，可毫无计算错误地求得三种不同的结果，从而使几何概型陷入逻辑矛盾之中．（1） 如图1，弦l BC ∥，由ABC △是正三角形知，2R OD OD '==，OE d =，有PQ BC >，2R d <． 由Ｅ点在圆Ｏ直径上的等可能性，因此所求概率为21222RP R ⨯==． （2）如图2，弦l 的弦切角为α，由ABC △是正三角形知，60MAB ∠=°，120MAC ∠=°，有AP AB >，60120α<<°°．由于弦l 在圆内的等可能性，因此所求概率为1206011803P -==°°°． （3）如图3，弦l 的弦心距OE 为d ，ABC △的内切圆半径为，由于弦l 在大圆内和交点Ｅ在小圆内的等可能性，因此所求概率为 22π12π4R P R ⎛⎫ ⎪⎝⎭==． 出现以上三种不同结果的根本原因不是别的，就是本题进行了无穷多个等可能性随机试验，而“等可能”概念缺乏一个明确的客观标准．这一悖论揭示了几何概率在19世纪刚兴盛时期存在着其逻辑基础的脆弱性，也反映出古典概率有着相当的局限．这也推动了20世纪概率论合理化工作的早日到来． 当然这也提醒我们在解决几何概型问题时，必须找准观察角度、明确随机选择的意义、判断好基本事件的等可能性．。
贝特朗悖论与概率论的公理化
贝特朗悖论与概率论的公理化
贝特朗悖论和概率论在数学方面可以说是共同的、交叉的学科，它们有着共同的公理化过程，可以用于描述相近的客观现象。
一、贝特朗悖论
1、首先，必须对Decision Problem进行分析和定义，包括测定可用来解决决策问题的异质变量，以及针对每一异质变量所要考虑的多个取值情况；
2、其次，识别出实际决策中相关概率变化，将决策问题定义成一组事件发生概率的期望值；
3、然后，计算可能的决策方案，通过对每一方案的风险可视化，明确方案的最优化；
4、最后，完成贝特朗悖论的公理化，可以用于描述决策过程中负担的收益和可能的后果。
二、概率论
1、首先，通过对诸如抛硬币的实验的实验分析，可以确定给定实验的概率，并使用数学表示法来估计实验的概率；
2、其次，基于概率或概率分布，可以确定随机变量和确定性变量之间存在的关系；
3、然后，利用数学表达式建模和求解，能够识别出和计算出解决问题所需要的最优解，或者最有价值的解；
4、最后，完成概率论的公理化，可以用于预测要解决问题的范围、成功机率和结果的可能性。
贝特朗悖论和概率论的公理化是进行决策分析的重要基础，因此，在利用它们来解决实际决策问题时，需要充分考虑其以上提到的方面，以满足确定最优选择的要求。
贝朗特悖论
贝朗特悖论贝特朗悖论是法国学者贝特朗于1899年针对几何概念提出的，悖论是：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形的边长的概率是多少？”几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“），矛头直指几何概率概念本身：悖论分析解法一：由于对称性，可预先指定弦的方向。
作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。
所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。
此时假定弦的中心在直径上均匀分布。
解法二：由于对称性，可预先固定弦的一端。
仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。
所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。
此时假定端点在圆周上均匀分布。
解法三：弦被其中点位置唯一确定。
只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。
中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。
此时假定弦长被其中心唯一确定。
这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。
同一问题有三种不同答案，究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体，不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间，具体如下：其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”。
解法一中假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω1.解法二中假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω2.解法三中假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3.可见，上述三个答案是针对三个不同样本空间引起的，它们都是正确的，贝特朗悖论引起人们注意，在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。
贝特朗悖论新说
贝特朗悖论新说作者：陈召召陈城杨静来源：《赤峰学院学报·自然科学版》2019年第11期摘要：先引入单位圆中点的分布实例，论述了原始三种方法的不足，给出两种新的求解方法，构建其求解模型，分别为“r类点”模型以及“？兹弧弦”模型.文中对贝特朗问题，提出基于两种新模型的两种新解法，分别为点弦法和点点法.点弦法最终结果为0.6089977810.點点法最终结果为0.7468300049.文章的末尾，对点弦法与点点法做出相应的评价与分析.点弦法为直接以线构造弦方面做出的解释，而点点法则为以两点确立一条直线的原理来构造弦方面做出的解释.关键词：贝特朗悖论;概率论;点弦法;点点法中图分类号：O211.1; 文献标识码：A; 文章编号：1673-260X（2019）11-0022-041 引言伯特兰悖论也就是贝特朗问题是法国学者贝特朗于1899年针对几何概念提出的理论，内容如下：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形的边长的概率是多少？”由于取弦的确切方式并没有交代，导致了按照不同取弦方式会有不同的解法，目前有三种公认的解法，分别对应了不同的取弦方式.1.1 解法一按照弦的中点必定在某条直径上，然后取一条直径，并认为弦的中点在直径上均匀分布，按照几何概型，概率为1/2.1.2 解法二认为弦的两端点在圆周上等可能分布，取定一端点，让另一段点在圆周上运动，根据弧长比或者角度占比，得出概率为1/3.1.3 解法三认为弦的中点在圆内均匀分布，确定了一个弦的中点就确定了一条弦，根据面积之比，得出概率为1/4.三种解法均有自己的等可能假设，都有自己的样本空间，得出的结论都是对的，准确地说，在各自的样本空间中得出的结论是对的.文中的认为是，三种解法都并没有达到题目最开始、最想要、最原始的那种“理想”“期望“.1.4 三种解法的不足在介绍三种解法的不足之前，先引入一个例子.1.4.1 单位圆中点的分布实例例点随机地落在以坐标原点为圆心、R为半径的圆的圆周上，并且对弧长是均匀分布的，求这点横坐标的概率密度（可理解为弦的中点在直径上分布的情况）[4].1.4.2 三种方法的不足之处利用上例的结果，可以解释为什么文中认为三种解法都没有达到题目的“期望”.实际上，贝特朗问题的三种解法在计算时对“等可能性”做了不同的假设.解法一的假设是假定弦的中点在直径上均匀分布，结果为1/2;解法二的假设是假定弦的端点在圆周上均匀分布，结果为1/3;解法三的假设是假定弦的中点在圆内均匀分布，结果为1/4;而根据本例的结果，若弦的端点在圆周上均匀分布，则弦的中点在直径上就不可能均匀分布.同样，也可以设计其他例子，得出三中解法的三种假设是两两不可同时满足.因此，三种解法的三种结果针对的只是不同的随机实验，对于各自的随机实验及样本空间而言，它们都是正确的，但不足就是，它们三者也都是不足的、不够“均匀”的，并不能照顾到各种假设之外的点是否均匀分布.所以，为了针对传统的三种解法的不够“均匀”性，文中提出了两大类更加“均匀”的解法思路以及相应的解法过程.2 新模型的准备工作在介绍文中的两种解法前，在此先介绍一下文中两种解法将会用到的一些假设和模型.2.1 “r类点”模型为了让每点都是等可能的被取到，文中假设每点被取到的概率为这点的面积与整个圆的面积之比.但由于点没有面积，所以，文中提出了“r类点”这种模型来解决取到每点的概率为零的问题.由于圆的旋转对称性，圆中任一圆周上的点有着几乎完全一样的性质，故将这一圆周上的所有点放在一起形成一个点的集合来讨论.但由于圆周一圈也并没有面积，取到任一圆周的概率仍为零，所以继续往前出发.取距离圆心r处，宽度为dr的细小圆环.由于圆环的环宽度dr极小，可以将圆环看作距离圆心r处的圆周，而圆周上的所有点又有着几乎完全的性质.所以，这个距离圆心r处，宽度为dr的细小圆环上的所有点，在随着dr取极限小的时候将有着几乎相同的性质，故为了研究以及求解的方便，将这一圆环上所有的点用距离圆心为r的一点代替，此点就称作“一类点”或叫“r类点”，而取到这一点的概率就用距离圆心r处，宽度为dr 的细小圆环的面积与整个圆的面积之比来代替，即.2.2 “？兹弧弦”模型为了让过某一点的所有弦，即过某一点每个方向上的弦都是等可能的被取到，文中假设过某一点的每一条弦被取到的概率为这条弦所占的弧度与2？仔之比.但由于过某一点的每一条弦所占的弧度为零，所以，文中提出了“？兹弧度”这种模型来解决取到过某一点每条弦的概率为零的问题.类似于“r类点”模型，取过某一点的小扇形，假设过某一点的每条弦被取到的概率为小扇形所占的弧度×2与2？仔之比（共线反向的两条弦算作两条）.定义过某一点的1弧度上均匀分布着k条弦（k为映射系数，可取大于零的任意值），这样，过某一点每？兹弧度就有k？兹条弦，即取到每？兹弧度弦的概率为k？兹/2？仔k=？兹/2？仔.因此过任一点的弦弦长大于或等于的概率就是一个确定的数.3 模型的求解根据一类点模型的提出以及弧度模型的表述，文中提出两大类贝特朗问题的全新解法，分别为根据一点一方向确定一条弦来建立的点弦法和根据两点确定一条弦而建立的点点法.3.1 新解法一：点弦法任取单位圆中（包含圆周上）一点.每点取到的可能性相等，用“r类点”的模型来解决每点取到的概率问题.事件A：此点在单位圆内接正三角形的内接圆中（后称此圆为小圆，单位圆为大圆），事件B：过此点的弦长大于等于.则4 结论由上面的解法过程可知，点弦法和点点法最终解出的答案并不相同，其原因主要也是因为样本空间的选取有关.点弦法中，弦的构造由线直接构成，点点法中，弦的构造与传统三种解法一样，皆为弦由两点来构造的，即两点确定一条直线.但点点法中，较传统三种解法，两点的选取更加均匀，更加随机，更加贴近原问题中要求在圆中随机选取弦的问题假设.而点弦法更加另辟蹊径，弦的选取直接由线来确定，将每条弦选取概率为零的尴尬转化为选取？兹弧弦.其答案与传统解法一中选取的弦所构成图形的面积相等，即圖8中阴影部分的面积，大小为■/2？仔+1/3.而传统解法一则认为每条弦选到的概率与直径上点的概率有关，而非弦的概率与阴影面积成正比.总而言之，文中提出的两种解法分别在弦的两种构造方式上建立出的样本空间中，更加地接近原问题中那种随机性，均匀性.参考文献：〔1〕赵曼.贝特朗悖论研究及其解悖方案[J].自然辩证法通讯，2018（05）.〔2〕杜国平.伯特兰悖论解析[J].重庆理工大学学报（社会科学），2018（07）.〔3〕黄晶晶，黄世同.关于贝特朗悖论的新思考[J].昆明师范高等专科学校学报，2004（04）.〔4〕安徽理工大学数学系.概率论与数理统计[M].天津：天津科学技术出版社，2018.5.〔5〕Marinoff L . A Resolution of Bertrand"s Paradox[J]. Philosophy of Science， 1994， 61（1）：1-24.〔6〕Di Porto P ， Crosignani B ， Ciattoni A， et al. Bertrand's paradox： a physical solution[J]. Physics， 2010， 121（3）：205–207.〔7〕Gyenis Z，Rédei M. Defusing Bertrand’s Paradox[J]. British Journal for the Philosophy of Science， 2012， 66（2）：349-373.〔8〕Sheynin O. Geometric Probability and the Bertrand Paradox[J]. Historia Scientiarum International Journal of the History of Science Society of Japan， 2003， 1（1）：42-53.。
关于贝特朗悖论
关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗(Joseph Bertrand)提出“贝特朗悖论”至今，已经过了一个多世纪。
在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论:在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 此问题可以有三种不同的解答:面对同一问题的三种不同的答案。
人们往往这样来解释:得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设:在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布;在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。
这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。
三个结果都正确～——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。
显然这样的解释是不正确的。
上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的，但却不合题意:因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦(或是从圆内任取一条弦)，所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。
找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心:第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦(与相应的直径垂直)对应，即一一对应。
但是，圆心却与无数条弦(即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意)对应。
这样，圆心——这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。
有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。
而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。
贝特朗悖论
贝特朗数学悖论在一个圆内随机地画一条弦。
它的长度大于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？算法1：由于对称性，可将弦的方向固定，考虑它与垂直于它的直径的交点。
当这个焦点是半径的中点时，长度小于内接等边三角形边长的弦达到最大长度。
因此所求概率是1/2。
算法2：考虑弦的中点。
对于长度大于内接等边三角形边长的弦，这个中点必定落在一个半径为原来一半的同心圆内。
这个新圆的面积只有原来那个院的1/4，因此所求的概率为1/4。
算法3：由于对称性，可从弦的一个交点以及弦与此点切线的夹角着手。
这条弦必定位于三个60°角的一个角内。
因此这概率必为1/3。
算法4：让我们设想把所有能作为弦的线段放在一起，它的长度从0到d(即圆的直径长度)。
那些符合要求的弦其长度将落在(√3)d/2与d之间。
因此概率是(2-√3)/2。
贝特郎（Joseph Bertrand, 1822-1900, 法国数学家）在1889年提出了这个问题，用以批评连续型概率，并提出了第三种算法。
R. J. Denichou博士提出了第四种算法。
事实上，这道题的答案不是唯一的，除非明确规定了随机变量。
本题中并没有这样做。
几中算法对应于几种不同的随机变量：(1) 弦到圆心的距离；(2) 弦的中心位置；(3) 弦与切线的夹角；(4) 弦的长度。
《世界报》的一位读者证明，如果死抱着导致这种悖论的诡辩推理不放，那么可以使这个概率在0到1之间连续变化。
令ABC为一等边三角形，ON为垂直于OA的半径。
S是OA所在直线上位于O点上方的一点。
SN交AC于C'，交圆在A点的切线于N'。
由于对称性，可仅考虑左半圆。
经过A的一条弦相应于SN上的一个点，因此弦的长度大于这个等边三角形边长的概率是SC'/SN'。
但是S的位置是可以随意变化的，于是这个概率可以取0（S趋于O时）与1（S无限上升时）之间任何值。
贝特朗悖论
贝特朗悖论有一位美国年轻人，毕业后去参军，因训练不合格，退伍回家。
一天，他站在一座桥上，面对滔滔河水，想起自己没有文化、不懂技术，只能靠做苦力赚钱。
为了使自己成为有知识、懂技术的人，他毅然决定从明天起学习。
但是他一没有钱，二没有时间，三没有任何基础。
要实现这一目标谈何容易！他坐在河边思考，又来到河边散步，他看见一位老人在钓鱼，手持钓杆，注视水面，非常专注。
过了一会儿，老人慢慢收起鱼竿，放进鱼篓里，望着水面若有所思地说：“真正想要学会钓鱼，就要像我一样静心观察水面，专心致志。
”年轻人恍然大悟，当即找来笔墨纸砚，把老人的话记录下来，重新坐在河边思考起来。
他目不转睛地盯着水面，专心致志地读书、写字，渐渐地忘记了时间。
后来，他终于用辛勤劳动换得了一笔钱，买了许多书籍和文具。
于是，他废寝忘食地攻读，先后掌握了电工、木工等技术，通过了自学考试。
由于他有一定的文化功底，工作起来得心应手，很快成了单位的技术骨干。
但是他并不满足于现状，一心想寻求更高深的知识。
于是他买了一些专业书，一有空就埋头钻研，逐渐掌握了许多知识，成了远近闻名的专家。
贝特朗这时做了一个奇怪的举动：跳入水中，接受了一次又一次严峻的挑战。
在水中，贝特朗凭借自己过硬的本领和坚强的意志，顽强拼搏，越过一道又一道障碍，终于成为闻名遐迩的游泳健将。
他也再一次证明：自学能使人走向成功，学习是成功之母。
很多科学家、文学家、艺术家都是经过刻苦自学，掌握了精湛的本领。
比如说法国的科学家居里夫人，她自幼父母双亡，后被送进教会学校。
中学毕业后，她考入巴黎大学[gPARAGRAPH3]学医，希望能用学到的知识救治像妈妈一样病重的人们。
为什么会发生这种现象呢？原来，居里夫人选择了一条正确的道路。
在学医的路上，她把许多知识与实践结合起来，使自己成长为世界著名的科学家。
贝特朗和居里夫人都是经过自学才成为优秀的人才。
这也说明：自学能够改变人的命运。
人们在自学的过程中，必须有目标，也就是说你要给自己定好方向。
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关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）提出“贝特朗悖论”至今，已经过了一个多世纪。
在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论：在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 此问题可以有三种不同的解答:面对同一问题的三种不同的答案。
人们往往这样来解释：得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。
这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。
三个结果都正确！——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。
显然这样的解释是不正确的。
上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的，但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦（或是从圆内任取一条弦），所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。
找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心：第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦（与相应的直径垂直）对应，即一一对应。
但是，圆心却与无数条弦（即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意）对应。
这样，圆心——这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。
有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。
而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。
由贝特朗奇论谈几何概型中的等价转化几何概型与古典概型都是概率论中最基础、最简单的概率类型.二者的共同点就是每个基本事件发生的概率都是等可能的;然而前者的基本事件个数只有有限个,后者却是无限的.正是由于几何概型的基本事件有无限多个,人们在解题时总专注于对原始条件进行等价转化,意在建构较简单的基本事件,以期简化概率计算过程.不可否认,有些正确的转化必然达到"事半功倍"的效果;然而,有些看似"等价"的转化,最终却得到了不同的答案,使人们产生困惑.本文通过对贝特朗问题的五种正误解法进行深入剖析,总结出几何概型的转化应注意的若干问题.贝特朗问题:在单位圆的圆周上,任意选取两点M 、N ,连结成弦.记事件A 为弦长3MN >,求事件A 发生的概率. 1. 由原始条件出发,通法求解 解法一:该圆的周长为2π.在圆上任取一点,规定它的位置是0,而圆上其余各点的位置按顺时针方向在[0,2)π内相应增长.设M ,N 在圆周上的位置分别是,x y ,则,[0,2)x y π∈.又如图1所示, 3MN >当且仅当2433x y ππ<-<.如图2,用(,)x y 表示每次实验的结果,则所有基本事件构成正方形区域,其中阴影部分为事件A 构成的区域,符合几何概型条件,故 22242133P().43S A S πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===阴正评注:解法一是将在圆周上选取两点视为等可能事件,从而以面积作为测度,应用几何概型理论得出答案.此法是从题目中的原始条件出发,没有进行等价转化,不易出错,算作一种通法.然而用通法解题往往比较复杂,况且本题中还涉及到两个变元,计算过程显得不够简便.2. 适当进行等价转化,化繁为简解法二:由于圆是具有高度对称性的图形,可认为圆内等长的弦有且只有一条.于是不失一般性,假设M 点就在图1所示位置,问题就转化为另一点N 在半圆周上随机选取时,弦长3>MN 的概率.那么,基本事件构成的区域为半圆周,事件A 构成的区域为从1N 到P 的劣弧长.根据几何概型原理得,31)(=A P .解法三:与解法二思想一致,认为圆内等长的弦只有一条,进一步地,等长弦所对的圆心角也是相等的.同时注意到,固定点M 在图1位置,点N 在自M 到P 的半圆周上均匀地运动时,圆心角MON ∠也均匀地从0增加到π.因此,我们可以把问题转化为图1中,过圆心O ,在直径MP 的右侧任意做射线ON 交圆周于点N ,求MON ∠超过π32的概率.此时,基本事件构成的区域为],0[π,而事件A 构成的区域为],32(ππ,故 .3132)(=-=πππA P 评注:解法二和解法三是通过合理的等价转化,分别将在半圆周上选取一点和过点O 在MOP ∠内任意做射线ON 视为等可能事件,使得两个变元的问题变成了一个变元的问题,大大简化了概率计算.3. 转化不慎,陷入误区然而,贝特朗奇论就告诉我们,有些转化却得到了错误的答案.问题究竟出现在哪里呢?下文中我们就两种错解的原因给予分析.忽视等可能性的保持解法四:视圆上等长的弦为唯一的.不妨假设长度不同的弦的中点都分布在单位圆的某条半径OP 上,如图3所示.其中Q 为OP 的中点,故弦MN 在11N M 位置时,长度刚好为3.而此时每条弦的弦长与该弦中点所处的位置是相互决定的.因此,问题就转化为弦MN 的中点在半径OP 上随机选取时,中点处于线段OQ 上的概率.从而求得1()2OQ P A OP ==. 辨析:此种解法,在认为圆内等长的弦是唯一的前提下,将研究对象弦的两个端点转化为它的中点.此时,二者确实是一一对应的.然而,解题过程却忽视了另一个考虑要素:当弦的两个端点N M ,分别在从2M 到P 和从2N 到P 的劣弧上等可能地选取时,弦的中点并不会相应等可能地落在半径OP 上.事实上,如果MN 在图3所示位置,不妨设α=∠ON N 2,则2N 到N 的劣弧长即为α,而αsin sin 2=∠=ON N OE ,二者并不成正比.因此,此类错误转化的特点是:虽然保证了研究对象的一一对应,但是忽视了等可能性的保持,所以转化是不等价的.我们再举两个类似的例子.例1 如图4,ACB ∆是一个等腰直角三角形.过顶点C ,在直角ACB ∠的内部任意引射线CP 交斜边AB 于点P ,求AC AP <的概率.错解:ACB ∠内部的任一射线与射线在AB 边的交点是一一对应的.如图4中,当交点P 点处于D 位置时AC AP =,故问题可转化为点P 在AB 边上随机选取时,AC AP <的概率.于是所求概率为22.辨析:由题意,射线CP 在ACB ∠内部等可能地选取,而此时对应的交点P 并不会在AB 边上等可能地分布.因此,所犯错误与贝特朗问题的解法四相似.正确的做法应是采用角度作为测度.=-=∠24ππACD π83,故所求概率为43. 例2 如图5,ABC ∆是一个直角三角形, 3π=∠CAB .现以A 为圆心,2为半径做圆弧DG ,且DE 平行于AB ,3=AB .在弧DG 上随机地取点P ,连结AP ,问直线AP 与BE 相交的概率是多少?错解:在弧DG 上取点与A 连结成直线的效果和在线段BC 上取点与A连结成直线的效果是一样.那么,问题可以转化为在线段BC 上任意取点,与A连结所成的直线与BE 相交的概率.因为,3=BE 33=BC ,因此结果就为.31 辨析:所犯错误与上例一样,转化过程中忽视了等可能性的保持.正确解法应该采用弧长或角度作为测度,答案为.21忽视研究对象转化的等价 解法五:以圆内任一点为中点,可以确定一条弦.要使弦长3>MN ,只需该弦的中点落在图6中的阴影小圆内.于是问题转化为以单位圆内任一点为中点作弦MN ,使得3>MN 的概率. 通过计算可知, 当3=MN ,即位于图6中DE 位置时,中点B 到O 的距离为21,于是 22112P()14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭==. 辨析:此法用弦的中点来代替弦的两端点作为研究对象.我们看到,圆内除圆心外的任意一点的确唯一地确定了一条弦.但是,以圆心为中点的弦,即直径,却有无数条.当然相应地,也有无数对的端点.因此,这个对象的转化是不等价的.以下例3的解法也是步入了这个误区.例3 甲,乙,丙三人玩游戏,游戏规则为:在不远处有一小方块,要将一枚铜板扔到这张方块上,已知铜板的直径是方块边长的43,谁能将铜板完整地扔到这块方块上就可以晋级下一轮.现在甲一扔,铜板落在小方块上,且没有掉下来,问他能晋级下一轮的概率有多大?错解:记"甲能晋级下一轮"这个事件为C ,假设小方块的边长为1.过铜板中心O 向最近的小方块的边做垂线OB ,设OB d =.依题意得,甲已将铜板扔到了小方块上,故]21,0[∈d .而要使铜板完整地落入方块,如图7,应使31[,]82d ∈.因此,13128P()142C -==. 辨析: 由已知,铜板的中心等可能地分布在小方块上的任一处.上面解法中,将研究对象铜板的中心转化为铜板中心到小方块边的最短距离.如图7, A 为小方块的中心.我们知道,当OB d =时,铜板的中心位于以A 为中心, 12d -为边长的正方形的边上,随着d 从0增大到21,铜板中心分布的区域长度也呈线性的递减.所以,该转化显然是不合理的.本题正确的思路应该是,如图8,当铜板中心位于图中阴影的正方形时,甲能晋级下一轮.而铜板的中心在小方块内的分布是等可能的,属于几何概型,故22114P()116C ⎛⎫ ⎪⎝⎭==. 综上,在进行几何概型的概率计算时,要明确原始条件,必要时在遵循研究对象合理替换、保持等可能性的原则下,进行等价转化,实现解题过程的简化,优化.参考文献:[1] 普通高中课程标准实验教科书·数学3(必修)[M].北京:人民教育出版社,2007.[2] 三维设计2010新课标高考总复习.数学理科(人教A 版)[M].北京:光明日报出版社,2009.[3] 魏宗舒等编.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1983.[4] 徐明. "几何概型"教学释疑—兼谈"贝特朗悖论" [J].数学通讯,2009(6)(下半月).对“贝特朗悖论”的思考几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，它的出现使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指几何概率概念本身。
贝特朗悖论：在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。