线性代数讲义 (1)

1
6
1 0 0
0 3 0
0 1
0 6
1 0 6 0 1 3
0 0
6 0
0 2
0 0.
0 0 1 6 0 0 1
例3 已知同阶方阵A、B、（A B）均为可逆阵， 则（A1 B1）1
( A) B(B1 A1)A (B) B( A B)1 A
(C ) A(B1 A1 )B
一、逆矩阵的概念和性质
定义：对于给定的矩阵 A，如果存在一个矩 阵 B, 满足
AB BA I 则称矩阵 A 是可逆的，并称矩阵 B 是 A 的 逆矩阵，记作 A1= B .
注：只有方阵才可能满足上述等式.
逆阵举例
例：设矩阵
A
1 1
1 Fra Baidu bibliotek1 2
1
,
B
1
2
1 2
1
2
,
计算 AB 和 BA.
对待具体矩阵，有
1待定系数法; 2初等变换法（. 本章第5节介绍）
对待抽象矩阵 A，有
1 凑A( ) ( )A I 法;
2将A表示成已知可逆矩阵乘积的方法
证明：设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，即有 AB BA I , AC CA I ,
那么 B B IB (CA)B C( AB) CI C,
所以 A 的逆矩阵是唯一的.
逆矩阵的性质
性质2 若 A 可逆，则 A1 也可逆，且 ( A1 )1 A .
性质3 若 A 可逆，数 0，则 A 可逆，且 ( A)1 1 A1.
( A1 B1 )1 A( A B)1 B
故而也可选择（D）.
说 明 ： 选择（B、D），并不能说明矩阵乘法 满足交换律！而是使用到了加法的交换律.
称适当乘上单位阵 I并将 I表示成一矩阵与其 逆阵乘积的形式的技巧，叫做 单 位 阵 技 巧 .
四、小结
1、逆矩阵的概念及运算性质. 2、逆矩阵的计算方法：
逆矩阵的性质
性质6 若 A 可逆，且 AB = I，则必有 BA = I . 证明： BA I(BA) ( A1A)(BA)
A1( AB)A A1IA A1A I .
三、逆矩阵的求法
例1 设方阵A满足方程A2 A 2I 0,证明: A, A 2I都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2I 0,
A1
A1
得 AA I A I A 2I A A I I A I A
2
2
A1 1 A I .
2
又由A2 A 2I 0
A 2IA 3I 4I 0
A
2I
1 4
A
3I
I
A
2
I
1
A 2I 1 1 A 3I
4 3I A.
4
例2 设三阶矩阵A, B满足关系:
o 1 2
(D) A( A B)1 B
解 A1 B1 A1I IB1 A1BB1 A1 AB1 A1( A B)B1
(A1 B1)1 (A1(A B)B1)1 B(A B)1 A 故而选择（B）.
同理， A1 B1 B1 A1 B1I IA1
B1 AA1 B1BA1 B1( A B)A1
1.3 逆矩阵
一、概念的引入 二、逆矩阵的概念和性质 三、逆矩阵的求法 四、小结、思考题
一、概念的引入
矩阵乘法不满足消去律，即
AX = AY 一般推不出 X = Y. 如果能找到一个矩阵 B，满足 BA = I，那么
AX AY BAX BAY IX IY X Y.
ax ay (a 0) a1ax a1ay 1 x1 y x y.
解：计算可得 AB = BA = I.
问：是不是每个非零方阵都有逆矩阵呢?
逆阵举例
例：设矩阵
A
1
0
2
0
,
问 A 是否有逆矩阵?
解：对任意两阶方阵 B，都有
AB
* 0
* 0
1 0
0 1
,
所以 A 没有逆阵.
注：含有全零行(列)的矩阵一定没有逆矩阵!
逆矩阵的性质
性质1 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵唯一.
逆矩阵的性质
性质4 若 A , B 为同阶可逆矩阵，则 AB 也可逆，且 ( AB)1 B1 A1.
证明： ( AB)(B1 A1 ) A(BB1 )A1 AIA1
同理可得
AA1 I .
(B1 A1 )( AB) B1( A1 A)B B1IB I .
逆矩阵的性质
注： ( AB)1 B1 A1 类似于 ( AB)T BT AT . 性质5 若 A 可逆，则 AT 也可逆，且 ( AT )1 ( A1)T . 证明留作练习.
A1BA
6A
BA, 且A
14
求B.
o
1 7
2
解
依题意，显然A可逆，且
A1
4
7
A1BA BA 6A A1 I BA 6A
A1 I B 6I B 6 A1 I 1.
即
B 6 A1 I 1
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 0 7 0
0 1 0
0 0 1