离散型随机变量函数的概率分布

Y X
y1 y2 y j P . i
p11 p12 p1 j p 21 p 22 p 2 j pi 1 pi 2 pij
p1. p 2. pi.
x1 x2 xi
P. j
p.1 p.2 p. j
独立性 若(X,Y)的联合概率分布满足 P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )
y 3t 0
6 e
0
x
2 s
ds e
1 2 s x 1 3t y ( 1 e 2 x )( 1 e 3 y ) dt 6( e ) ( e ) 0 3 0 2
即:
(1 e 2 y )(1 e 3 x ) P ( X x,Y y ) 0
y1 p11 p21 … pi1 …
y2 p12 p22 … pi2 …
… … … … … …
yj … p1j … p2j … … … p ij … … …
联合概率分布性质 ① pij≥0 ;i,j=1,2,…
②∑∑pij = 1;
( xi , y j )D
计算P{(X,Y)∈D }= pij
称X与Y独立。 例1 某盒子中有形状相同的2个白球， 3个黑球。从中 一个个取球，令 第i次取白球 1 Yi i 1,2 第i次取黑球 0 分放回或不放回情形
求 : (1)( （Y 1，Y 2） 的联合概率分布 ； ( 2)边缘概率分布 ; ( 3)讨论Y1与Y2的独立性。
不放回 Y1
特别
其中D为任意可度量区域.
在f(x,y)的连续点有
F ( x, y ) f ( x, y ) xy
2
Ae ( 2 x 3 y ) , x 0 , y 0 例5设(X,Y)～f ( x , y ) 0, 其它 试求:(1)常数 A ;(2)P{ X<2, Y<1};
4xy
x 1 X
F(x,y)=
ds
0
x
y
0
2 2 x y 4stdt
2 0 x 0 或 y 0 ds 4stdt x (4)0≤x≤1,y>1时,F(x,y)= 2 20 0 x y 1 0 xy 1,0 y 1 2 2 综合即得 : F ( x , y ) x 0 x 1 , y 1 ds 4 stdt y (5)x>1,0≤y≤1时,F(x,y)= 0 y2 0 x 1 ,0 y 1 1 x 1, y 1
X P Y -1 0.25 0 0 0.4 1 1 0.35 2
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3, P 0.25 0.5 0.25 P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05 P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2 P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4 同理,P(X+Y=2)=0.3, P(X+Y=3)=0.05 所以
6e
( 2 x 3 y )
0
3
X
2 (e
0
3
2 x
e )dx 1 7 e
6
6
(4) F(x, y) P{X x, Y y}
Y
y

x


y
f (s, t ) dtds
所以, 当x≥0,y≥0时,
0
x
X

0
x
y
0
6e ( 2 s 3t ) dtds
应用概率统计
主讲:刘剑平
2.3. 随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的概率分布: X x1 x2 ... … xn ...
g(X) g(x1) g(x2)
g(xn) …
P 注意
p1
p2
...
pn
...
离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求: (1)由y=g(x)计算出随机变量Y的所有取值y1,y2,...,yn,...; (2)P(Y=yn)为yn 对应的随机变量X的取值的概率和.
独立
例2 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
X Y -1 0 0.05 1 0.1 2 0.1
求:(1)常数a的取值;
0
1
0.1
a
0.2
0.2
0.1
0.05
(2)P(X≥0,Y≤1);
(3) P(X≤1,Y≤1)
解 (1)由∑pij=1得: a=0.1 (2)由P{(X,Y)∈D}=
( xi , y j )D
y1
(x1,y1)
x1
(x2,y1)
x2 X
3. 连续型随机向量的联合概率密度
F(x, y) P{X x, Y y}
性质
x


y
f ( s ,t ) dtds
(1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2

D


f ( x , y )dxdy 1
计算 P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy
连续型随机变量函数的概率密度函数 定理1 设X~fX(x),y=g(x)是x的单调可导函数,其导数不为0, 值域为(a,b),-∞<a<b<+∞,记x=h(y)为y=g(x)的反函数,则 Y=g(X)的概率密度函数为:
f X [ h( y )] | h( y ) | fY ( y ) 0 a yb
其它
第3章
随机向量
•随机向量及其概率分布 •随机向量的联合分布函数 •随机变量函数的分布
第3.1节
随机向量及其概率分布
例如射击一次.问击中否?击中几环?击中点的坐标?击中 点到靶心的距离? 1. n 维随机向量 以 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 为分量的向量 X=(X1,X2,…,Xn)称为n维随机向量。
所以,P{ X<2,Y<1}= f(x, y)dxdy
{X 2,Y 1}
dx 6 e
0 0
2
1
( 2 x 3 y )
dy
X
6 e
0
2
2 x
dx e 3 y dy
0
1
1 2 x 2 1 3 y 1 4 3 6( e ) ( e ) (1 e )(1 e ) 2 0 3 0
以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。 2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布 定义 如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限 个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。 易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与Y分别都是一维离散型的。
联合概率分布 称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,)为(X,Y)的联合概率分布.其 中E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下: Y X x1 x2 … xi …
(3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
Y
P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy

2x 3y 6
f(x, y)dxdy
3 1 ( 6 2 x ) 3 0
D
2
2x+3y=6
dx
dy 0 1 3 (6 2 x ) 1 3 y 2 x 6 e ( e ) 3 dx 0 3 0
二维联合分布函数区域演示图:
Y
y
(x,y)
{ X≤x
, Y≤y
}
x
X
联合分布函数性质
(1) 0 F ( x, y) 1;
( 2) F ( ,) 1, F ( ,) F ( , y ) F ( x ,) 0;
(3) P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
x 0, y 0 其它
4 xy 例6 设(X,Y)~ f ( x , y ) 0
0 x 1,0 y 1 其它
求(X,Y)的联合分布函数. 解 (1)x<0,或y<0时,F(x,y)=0
Y 1 y
(2)x≥1,y≥1时,F(x,y)=1
(3)0≤x≤1,0≤y≤1时,
二维随机向量区域概率图: Y
2
1
P(X≤1,Y≤1} P{X≥0,Y≤1}
-1
0
1
X
例3 设(X,Y)的联合概率分布为:
X Y -1 0 1 0 0.05 0.1 0.1 1 0.1 0.2 0.2 2 0.1 0.1 0.05
求:(1)X,Y的边缘分布; (2)X+Y的概率分布. 解 (1)由分析得:
X+Y -1
P
0
1
2
3
0.05 0.2
0.4 0.3 0.05
例4 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整.
X x1 x2
Y
y1
y2
y3
pi
1/24 1/8 1/6
1/8 3/8 1/2
1/12 1/4 1/4 1/3 3/4 1
p j
第3.2节
随机向量的联合分布函数
定义
二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y )=P{X≤x,Y≤y} (x,y)∈R2

x
1

联合分布函数与边缘分布函数的关系 定义 则称 设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),
FX ( x) F ( x,) P( X x, Y ) P( X x)

f (s, t )dtds ( f (s, t )dt )ds f
边缘概率分布 (1) 定义 随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布， 称为X关于Xi的边缘分布。 (2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为 边缘分布列。 若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则
P ( X xi ) P{( X xi ) [ (Y y j )]}
p 得 P(X≥0,Y≤1)=
ij
P(X=0,Y=0)+
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6
(3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)
+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
j j
(i=1,2,...)
P{( X xi ) (Y y j )} P ( X xi , Y y j )
p
j
ij
同理
P (Y y j ) pij
i
j
(j=1,2,...) P(Y=yj) P. j
一般地,记: P(X=xi)
Pi .
概率分布表如下:
a
b
A e dx e
2 x 0 0


3 y
1 2 x 1 3 y dy A( e ) ( e ) 0 0 2 3
=A/6 =1 所以, A=6
(2) P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy
D
Y
1 {X<2, Y<1} 0 2
(4)如果(X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij (i 1,2, , j 1,2,)
则 F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}=
xi x y j y
p
ij
(3) P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) Y y2 (x1,y2) (x2,y2)
Y2 0 1
0
3/10 3/10
1
3/10 1/10
放回
Y2
Y1
0
9/25 6/25 0
1
6/25 4/25 1
0
1 Y1
Y1
0
1
P
Y2
3/5
0
2/5
1
Байду номын сангаас
P
Y2 P
3/5
0 3/5
2/5
1 2/5
P
3/5
2/5
P{X=xi,Y=yj) ≠P(X=xi)P(Y=yj )
不独立
P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )
(3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6. (4) P（X≤x,Y≤y）. 解 (1)

0
b d a c
0
Ae
( 2 x 3 y )
dxdy
d c

0

0
Ae e
2 x 3 y
dxdy
据 dx f ( x )g( y )dy f ( x )dx g( y )dy得