竖曲线高程计算公式推导过程及计算流程

竖曲线高程计算公式推导过程及计算流程

竖曲线高程计算公式推导及计算流程

1. 竖曲线介绍

竖曲线是指在纵断面内，两个坡线之间为了延长行车视距或者减小行车的

冲击力，而设计的一段曲线。一般可以用圆曲线和抛物线来充当竖曲线。由于圆曲线的计算量较大，所以，通常采用抛物线作为竖曲线，以减少计算量。

2. 竖曲线高程计算流程

竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤如下：

a. 计算竖曲线的基本要素：竖曲线长L ；切线长T ；外失距E

b. 计算竖曲线起终点的桩号：竖曲线起点的桩号=变坡点的桩号－T

c. 计算竖曲线上任意点切线标高及改正值： 切线标高=变坡点的标高±（x T -）⨯i 改正值：2

21x R

y =

d. 计算竖曲线上任意点设计标高

某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高+ y 某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－y

3. 竖曲线高程计算公式推导

已知条件：

第一条直线的坡度为1i ，下坡为负值， 第一条直线的坡度为2i ，上坡为正值， 变坡点的里程为K ，高程为H ， 竖曲线的切线长为B A T T T ==, 待求点的里程为X K 曲线半径R

竖曲线特点：

抛物线的对称轴始终保持竖直，即：X 轴沿水平方向，Y 轴沿竖直方向，从而保证了X 代表平距，Y 代表高程。

抛物线与相邻两条坡度线相切，抛物线变坡点两侧一般不对称，但两切线长相等。

竖曲线高程改正数计算公式推导 设抛物线方程为：

()021≠++=a c bx ax y

设直线方程为：

()02≠+=k b kx y

由图可知，抛物线与直线都经过坐标系222Y O X 的原点2O ,所以可得：

00==b c ；

分别对21y y 、求导可得：

b ax y +=2'1

k y ='2

当0=x 时，由图可得：

b i y ==1'1

k i y ==1'2

O

O 2

Y 1

X 1

Y 2

X 2

P

Q

BPD L

T A

T B

x

i 1

i 2

ω

当L x =时，由图可得：

12'12i aL i y +==

由上式可得：

R

L L i i a 21

2212=

=-=

ω 所以抛物线方程为：

x i x R

y 12

121+=

直线方程为：

x i y 12=

对于竖曲线上任意一点P ，到其切线上Q 点处的竖直距离,即高程改正数y 为：

2

1122121X R

X i X i X R y y y P Q =-+=

-= 竖曲线曲线元素推导

竖曲线元素有切线长T 、外失距E 和竖曲线长L 三个元素，推导过程如下： 由图可知：

2

tan ω

=R T 由于转角ω很小，所以可近似认为2

2tan ω

ω=，因此可得：

2

ω

R T = 由图易得：ωR L =

将切线长T 带入到2

21x R

y =

中可得 外失距R

T E 22

=

4. 曲线高程计算示例

已知：

某条道路变坡点桩号为K25+460.00，高程为780.72.m ，i1＝0.8％，i2＝5％，竖曲线半径为5000m 。

问：

（1）判断凸、凹性； （2）计算竖曲线要素；

（3）计算竖曲线起点、K25+400.00、K25+460.00、K25+500.00、终点的设计高程。

解：（1）由于0%2.4%8.0%512>=-=-=i i ω 所以竖曲线为凹曲线 （2）切线长m R T 1052

%

2.450002=⨯==

ω 曲线长m R L 210%2.45000=⨯==ω

外失距m R T E 1025.15000

210522

2=⨯==

（3）起点里程=K25+460.00-105=K25+355

起点至变坡点高程改正数为m T i y 84.0105%8.012=⨯== 所以起点高程779.88m 0.84-780.72== 因为终点里程=K25+460.00+105=K25+565

终点至变坡点高程改正数为m T i y 25.5105%522=⨯== 所以终点高程785.97m 25.5780.72=+=

可以断定D1=K25+400.00、D2=K25+460.00、D3=K25+500.00三个点都在竖曲线上，因此分别计算D1、D2点距起点的平距得：

451=D X 1052=D X

分别计算D1、D2点切线标高及改正值：

m H 24.78045%8.088.7791=⨯+=

m x R y 2025.0455000

2121221=⨯⨯==

m H 72.780105%8.088.7792=⨯+=

m x R y 1025.11055000

2121222=⨯⨯==

所以m H D 4425.7802025.024.7801=+=

m H D 8225.7811025.172.7802=+=

D3点距终点的距离为：

m X D 653=

分别计算D3点切线标高及改正值：

m H 72.78265%597.7853=⨯-=

m x R y 4225.0655000

2121223=⨯⨯==

m H D 1425.7834225.072.7823=+=