导数的几何意义的理解与应用

导数的几何意义的理解与应用

1、几何意义:)(x f 在0x x =处导数)(0'x f 即为)(x f 所表示曲线在0x x =处切线的斜率,即)(0'x f k =,也就是x

x f x x f ∆-∆+)()(00当x ∆无限趋近于0时,比值接近某个常数. 切线方程为:))(()(00'0x x x f x f y -=-.

2、作用:确定0x x =处切线的斜率(在已知)(x f 表达式的情况下),从而确定切线方程.

3、理解导数的几何意义应注意

（1）利用导数求曲线的切线方程：①求出y f (x)=在0x 处的导数0f '(x )；②利用直线方程的点斜式得切线方程000y y f '(x )(x x )-=-

（2）若曲线y f (x)=在点00P(x ,f (x ))处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直。

（3）显然0f '(x )0>时，切线的倾斜角为锐角；0f '(x )0<时，切线的倾斜角为钝角；0f '(x )0=，切线与x 轴平行。

（4）求曲线的切线方程时要注意“过点P 的切线”与“点P 处的切线”的差异：在求过点P 的切线时，点P 不一定是切点，点P 也不一定在曲线上，这时需要设切点。

4、应用举例

例1、求曲线2

y x =在点(1,1)处的切线方程。

分析：要求在点(1,1)处的切线方程，只需求出切线的斜率。由导数的几何意义知，其斜率为f '(1)，为此只需求出曲线在点(1,1)处的导数。 解：因为2y f (1x)f (1)(1x)12x x x x

∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆，当x ∆无限趋近于0时，2x +∆无限趋近于2，即f '(1)2=，所以所求切线的斜率为2，故所求切线方程为y 12(x 1)-=-，即y 2x 1=-。

点评：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤；（1）求出函数y f (x)=在点0x 处的导数0f '(x )；（2）根据直线的点斜式方程，得切线方程为000y y f '(x )(x x )-=-。

变式引申：求曲线2y x =过点5

(,6)2

的切线方程。

分析：由于点5

(,6)2

不在曲线上，需先求出切点，进而求斜率和切线方程。 解：因为点5(,6)2

不在曲线上，所以设切点坐标为200(x ,x )。由例1知y x

∆∴=∆02x x +∆，当x ∆无限趋近于0时，02x x +∆无限趋近于02x ，即00f '(x )2x =。又因切线过点5(,6)2

和点200(x ,x )，所以20005(x 6)/(x )2x 2--=，即200x 5x 60-+=。解得：0x 2=或0x 3=，因此，过切点(2,4),(3,9)的切线方程分别为y 44(x 2)-=-或y 93(x 3)-=-，即所求方程为y 4x 4=-或y 6x 9=-。

点评：求过某点的曲线的切线方程一定要验证该点是否在已知曲线上。

例2、求曲线y=x 3在横坐标分别为0、x 0、x 的点处的切线方程。

错解：设所求切线的斜率为K ，则按导数的几何意义，K= f ‘（x ）=3x 2，根据直线方程的

点斜式，所求切线方程分别为：y-0=3x 2（x-0）……（1） y-30x =3x 2

（x- x 0）……（2） y- x 3=3x 2

（x-x ） (3)

显然，以上得到的三个方程不是直线方程（因为它们均不是x 、y 的一次式），故结果是错误的。究其原因，对方程（1）、（2）错在切线的斜率不应该用任意一点的导数代入，而应该分别用在x=0、x= x 0处的导数值代入，对方程（3）错在没有把切点坐标（x ，y ）（其中

y=x 3）和切线上任意一点的坐标区分开来，均采用了记号x ，y 。

正确解法应为：设所求切线的斜率为K ，则按导数的几何意义，斜率K 分别为：K 1= f ‘（0）

=3x 2│x=0=0， K 2= f ‘（x 0）=3x 2│x= x0=320x ，K 3==3x 2。根据直线方程的点斜式，所求切线方程分别为：y-0=0×（x-0），即y=0......（1，） y-30x =320x （x- x 0），即y=320x x-230x (2)

） y- x 3=3x 2（x-x ），即y=3x 2x-2x 3……（3，）。其中（3，

）式中（x ，y ）的为切线上点的坐标，

（x ，y ）为切点坐标（y=x 3）。

点评：有人认为方程（1，）即y=0（x 轴）穿过曲线y=x 3，不是该曲线在点（0，0）处

的切线方程，你认为这种说法正确吗？

从此例可知，求曲线在某点处的切线方程有两种方法：（1）若曲线对应的函数在某点处的导数存在，则曲线在该点处的切线斜率存在，由点斜式即可求出切线方程；（2）若曲线对

应的函数在某点处的导数不存在，可由切线的定义求出切线的方程。如函数y 在x=0

处的导数不存在，画出函数y 再由切线的定义，不难得出曲线y =在x=0处的切线方程为：x=0（y 轴，斜率不存在）。

例3、,R,a b ∈证明≤||.a b -

证明：若a b =时，不等式显然成立；

若a b ≠时，原不等式等价于 |||

a b -≤1.不妨设()f x =

(P a

()Q b a b ≠.

则问题转化为：在函数()f x =的图象上任取两点,P Q ，求直线PQ 的斜率的范围.

因为函数()y f x =的图象上任意两点连线的斜率的范围，就是曲线上任一点切线斜率的范围.因此将问题进一步转化为：求()y f x =的导数()f x '的值域的问题.这样，问题便轻松获解

.

1212

()()()|()||||1,||1,f x f x x f x f x x x x -''=∴=<=∴<- 即1212|()()|||,f x f x x x -<-综合得原不等式成立.

说明: 我们知道，函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处 的切线的斜率.由这个定义出发，我们可以发现，函数()y f x =图象上任

意两点(P a

(Q b 连线的斜率121212

()y y k x x x x -=≠-的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围.利用这个结论，我们可以证明一类绝对值不等式。本题的证明利用了两次转化，首先是由代数转化成几何，将式1212

()()||1f x f x x x -<-转换成切线的斜率，然后，再由几何到代数，由割线的斜率转换成切线的斜率，再转换成函数的导数.