初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题09 二次根式的概念与性质
二次根式的概念和性质ppt课件
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0,
∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。
∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。
∴ 2 a -b + c = 2 × (精-选2 p)pt-课3件+ 4 = -3 。
17
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件,是解题的关键
例 已知 x 1 y 3 0,求x+y的值
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
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6
例1 : 判断,下列各式中那些是二次根式?
a 10, 00..0044,, a a2 , 2 ,
5,
aa , , 3 8 .
成一个数的平方的形式。如 4= 4 2 。
试一试(4)把下列各数写成平方的形式:
2
3=
3 2,
5 2
5 2
0.04
2
0.04
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24
( a)2a (a0) 面积a a
2
(
2 )2 7
7
a
( 2 1 )2 2 1
3
3
( 5)2 5
(
2 )2 -
3
2 3
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25
( 2 x ) 2 ( 3 y ) 2 2 x 3 y 2 x 3 y
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41
练习.在实数范围内分解因式
(1) 3x2 15
(2) 2a24b2
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42
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式(组):尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数,不等号方向改变。
如:-2x>4,不等式两边同除以-2得x<-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如{3、分式有意义的条件:分母≠04、绝对值:|a|=a (a≥0);|a|= - a (a<0)一、二次根式的概念一般地,我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念,要把握以下五点:(1)二次根式的概念是从形式上界定的,必须含有二次根号“”,“”的根指数为2,即“2”,我们一般省略根指数2,写作“”。
如25 可以写作 5 。
(2)二次根式中的被开方数既可以是一个数,也可以是一个含有字母的式子。
(3)式子 a 表示非负数a的算术平方根,因此a≥0, a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
(4)在具体问题中,如果已知二次根式 a ,就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
(5)形如b a (a≥0)的式子也是二次根式,b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数,例如832 可写成8 23,但不能写成 2232 。
练习:一、判断下列各式,哪些是二次根式?(1) 6 ;(2)-18 ;(3)x2+1 ;(4)3-8 ;(5)x2+2x+1 ;(6)3|x|;(7)1+2x (x<-12)X≥-2X<5的解集为-2≤x<5。
二、当x 取什么实数时,下列各式有意义?(1)2-5x ;(2)4x 2+4x+1二、二次根式的性质:二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a (a ≥0)的性质a ≥0 (a ≥0)一个非负数的算术平方根是非负数。
(1)二次根式的非负性(a ≥0,a ≥0)应用较多,如:a+1 +b-3 =0,则a+1=0,b-3=0,即a= -1,b=3;又如x-a +a-x ,则x 的取值范围是x-a ≥0,a-x ≥0,解得x=a 。
八年级数学下册培优讲义(人教版)
2、化简: =
3、已知直角三角形的两直角边分别为 和 ,则斜边长为
【例6】已知 ,则化简 的结果是()
A、 B、 C、 D、
【变式题组】
1、根式 的值是( )A.-3 B.3或-3 C.3 D.9
2、已知a<0,那么│ -2a│可化简为()A.-a B.a C.-3a D.3a
【例7】比较 与 的大小。(用两种方法解答)
【变式题组】
1.比较 与 的大小。2.比较 与 的大小。
3.比较 与 的大小。4.比较 与 的大小
【例8】(2010.福建德化)化简 ﹙ +2﹚- =__________.
【变式题组】
1.(2010.江西中考)化简 - ﹙1- ﹚的结果是﹙﹚
A.3B.-3C. D.-
【变式题组】
1、若 ,则x-y的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.3
2、若x、y都是实数,且y= ,求xy的值
3、当 取什么值时,代数式 取值最小,并求出这个最小值。
4、已知a是 整数部分,b是 的小数部分,求 的值。
5、若 的整数部分是a,小数部分是b,则 。
6、若 的整数部分为x,小数部分为y,求 的值.
C可能取的最大值为﹙﹚A .0B .1C .2D.3
【变式题组】
1.(武汉竞赛)已知实数a满足|2006-a|+ =a,那么a-20062的值是( )
A .2005B .2006C .2007D.2008
2、((华师一中招生)已知实数满足 + +|10-2b|=2,则代数式ab+bc的值为。
演练巩固·反馈提高
4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用 来确定,如: , , 与 等分别互为有理化因式。②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如 与 , , 分别互为有理化因式。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题09 二次根式的概念与性质-精编
专题09 二次根式的概念与性质阅读与思考0)a≥叫做二次根式,二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础,主要有:1≥a、a2一样都是非负数.2.2=a(a≥0).解二次根式问题的基本途径——通过平方,去掉根号有理化.3()()a aaa a≥⎧⎪==⎨-≤⎪⎩揭示了与绝对值的内在一致性.4=(a≥0,b≥0).5=(a≥0,b>0).给出了二次根式乘除法运算的法则.6.若a>b>0>0,反之亦然,这是比较二次根式大小的基础.运用二次根式性质解题应注意:(1)每一性质成立的条件,即等式中字母的取值范围;(2)要学会性质的“正用”与“逆用”,既能够从等式的左边变形到等式的右边,也能够从等式的右边变形到等式的左边.例题与求解【例1】设x,y都是有理数,且满足方程11402332x yπππ⎛⎫⎛⎫+++--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么x y-的值是____________.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:将等式整理成有理数、无理数两部分,运用有理数和无理数的性质解题.【例2】当1≤x≤2___________.解题思路:a≥0的隐含制约.【例3】若a>0,b>0=+的值.(天津市竞赛试题)解题思路:对已知条件变形,求a,b的值或探求a,b的关系.【例4】若实数x,y,m满足关系式:=m的值.(北京市竞赛试题)解题思路:观察发现(x-199+y)与(199-x-y)互为相反数,由二次根式的定义、性质探索解题的突破口.【例5】已知152a b c+-=-,求a+b+c的值.(山东省竞赛试题)解题思路:题设条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABC中,AB,BC,AC学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC (即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上:_________.(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法.若△ABC,(a>0),请利用图2中的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC,并求出它的面积.(3)若△ABC(m>0,n>0,且m≠n)试运用构图法求出这个三角形的面积.(咸宁市中考试题)解题思路:本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识,不规则三角形的面积,可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得.能力训练A级1有意义.则x的取值范围是_____________.(“希望杯”邀请赛试题)2.阅读下面一题的解答过程,请判断是否正确?若不正确,请写出正确的解答.已知a解:原式=(1a a=-3.已知正数a,b,有下列命题:(1)若a=1,b=1≤1;(2)若a=12,b=52≤32;(3)若a=2,b=3≤52;(4)若a=1,b=5≤3.根据以上命题所提供的信息,请猜想:若a=6,b=7≤________.(黄冈市竞赛试题)4.已知实数a,b,c满足21124a b c c--+=,则a g(b+c)的值为_______.图2图15的最小值是().A.0 B.1C.1 D.不存在6.下列四组根式中是同类二次根式的一组是().A B.3和3C D(“希望杯”邀请赛试题)72的结果是().A.6x-6 B.-6x+6 C.-4 D.4(江苏省竞赛试题)8.设a是一个无理数,且a,b满足a b-a-b+l=0,则b是一个().A.小于0的有理数B.大于0的有理数C.小于0的无理数D.大于0的无理数(武汉市竞赛试题)9=,其中ab≠0(山东省中考试颗)10.已知66a,b,求ab的值.(浙江省竞赛试题)11.设a,b,c为两两不等的有理数.(北京市竞赛试题)12.设x,y y=,求y的最大值.(上海市竞赛试题)B级1.已知x,y为实数,y=13x-,则5x+6y=_________.2.已知实数a满足1999a a-=,则a-19992=___________.3.正数m,n满足m+--+4n=3_______.(北京市竞赛试题)4.若a,b满足5b=7,则s=3b的取值范围是________.(全国初中数学联赛试题)5.已知整数x,y+50,那么整数对(x,y)的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3(江苏省竞赛试题)6.已知1aa-=1,那么代数式1aa+的值为()A B C D.(重庆市中考试题)7=x,y,a是两两不同的实数.则代数式22223x xy yx xy y+--+的值为().A.3 B.13C.2 D.5382=).A.3 B.4 C.5 D.69.设a,b,c是实数,若a+b+c=+14,求()()()a b c b c a c a b+++++的值.(北京市竞赛试题)10.已知ax3=by3=cz3,1x+1y+1z=1=11.已知在等式ax bscx d+=+中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数.求:(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数,(2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数.(“希望杯”邀请赛试题)12.设s⋅⋅⋅,求不超过s的最大整数[s].13.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC,EC,已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;(2)请问点C满足什么条件是AC+CE的值最小?(3)根据(2(恩施自治州中考试题)。
八年级数学下册培优讲义(人教版)
2、化简: =
3、已知直角三角形的两直角边分别为 和 ,则斜边长为
【例6】已知 ,则化简 的结果是()
A、 B、 C、 D、
【变式题组】
1、根式 的值是( )A.-3 B.3或-3 C.3 D.9
2、已知a<0,那么│ -2a│可化简为()A.-a B.a C.-3a D.3a
5、(2010.荆门)若a,b为实数,且满足︳a-2︳+ =0,则b-a的值为()
A .2B .0C .-2D.以上都不对
6.已知△ABC三边a,b,c满足a2+b+︳ -2︳=10a+2 -22,则△ABC为()
A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D. .等腰直角三角形
7、(2010.自贡)已知n是一个正整数, 是整数,则n的最小值是()
A.-2b B.2b C.-2a D.2a
【变式题组】
1、实数 在数轴上的位置如图所示:化简: .
2、化简 的结果是2x-5,则x的取值范围是()
(A)x为任意实数 (B) ≤x≤4 (C)x≥1 (D)x≤1
3、若代数式 的值是常数 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
【例8】如果 ,那么a的取值范围是( )
A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1
【变式题组】
1、如果 成立,那么实数a的取值范围是()
2、若 ,则 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
3、化简二次根式 的结果是( )
(A) (B) (C) (D)
4、把二次根式 化简,正确的结果是()
A. B. C. D.
__________。
人教版数学八年级培优竞赛 二次根式的性质与化简求值 专题课件
24 x 8 x 24 x 8 x
2
24 x
2
8x
24 x
8 x 16 又有
24 x 8 x 2 ,可得 24 x 8 x 8 ,将这两式相加可得 24 x 5 ,且
8 x 3 ,将 24 x 5 两边平方可解得 x 请你学习小明的方法,解下面的方程:
1,经检验 x
1是原方程的解.
(1)方程 x2 42 x2 10 16的解是
...
...
求满足 an bn cn 2019 3 2 1 的n可以取得的最小整数.
32
由 a1 + b1 + c1 = 2 + 2 3 + 3 +2+1+ 2 2 =3( 3 + 2 +1),a 2 + b2 + c2 =9( 3
+
2 +1),… an + bn + cn = 3(n
3+
2 +1),而 an+bn+cn ≥2019×(
16.求代数式 x2 4 12 x 2 9 的最小值.
构造如图所示的图形,BD=12,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=2,CD=3,设 PB=
x,则 AP+CP= x2+4 + 12-x2+9 ,当 A,P,C 三点在同一直线上时,上述式
子取最小值,作 AE⊥CD,在△AEC 中,最小值为 AC=13.
(1)这列数,每 6 个数循环,故,第 50 个数是-1;(2)2018 个数中含有 336 个循环还余第 1,第 2 共 2 个数,而一个循环的和是 0,故从第 1 个数开始的前 2018 个数的和是 0;(3)因为一个循环的平方和为 12,而 520 中含有 43 个 12 且余下 4,并且前面 3 个数的平方和恰好是 4,43×6+3=261,共有 261 个数 的平方相加.
初二数学知识点专题讲解与练习9---二次根式的概念与性质(培优版)
x −199 + y ≥ 0 x + y ≥ 199
例4 提示:由二次根式定义得
即
∴ x + y = 199
199 − x − y ≥ 0 x + y ≤ 199
∴ 3x + 5 y − 2 − m + 2x + 3y − m = 0,由非负数及其性质得
3x + 5y − 2 − m=0
解得m = 201
2x + 3y − m=0
( ) ( ) 例5 20 提示 : 将等式整理配方得( a-1 −1)2 +
21 b−2−2 +
2
c−3−3 =0
2
例6
(1) S
ABC
= 3×3−1−3− 3 2
=7 2
(2) 17a可看作两直角边为4a和a的直角三角形的斜边, 5a, 2 2a类似.
ABC如图a所示(位置不唯一),S
,,
b b
,,cccx,,+ ddd
满满足足什什么么条条件件时时,,
s s
是是有无理理数数,.
(“希望杯”邀请赛试题)
.设 = ,求不超过 的最大整数 . 1 1
11
1
1
12 s 1+ 12 + 22 + 1+ 22 + 32 + ⋅⋅⋅ + 1+ 19992 + 20002
s
[s]
1D3E.=如1,图B,DC=为8,线设段CBDD=上x一.动点,分别过点 ,B D 作 AB⊥BD,ED⊥BD,连结 AC,EC,已知 AB=5, ((12))用请含问点x 的C代满数足式什表么示条件AC是+ACCE+的C长E;的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 x2 + 4 + (12− x)2 +9 的最小值.
八年级数学 二次根式的概念 专题讲义
二次根式的概念专题讲义知识准备平方根的性质:正数有个平方根,它们;0的平方根是;负数平方根。
一般地,我们把形如()的式子叫做二次根式,“”称为(二次)根号.注:开平方时,被开方数a的取值范围(为什么?)例1.当x是多少时,2-x在实数范围内有意义?例2、当x+在实数范围内有意义?例3=0,求a2004+b2004的值.练习(1)下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:、x>0)、、、(x≥0,y•≥0)是二次根式的有:不是二次根式的有:(2)当a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?a5二次根式的性质1a≥0)是一个非负数2、理解二次根式的两个性质(2=a(a≥0)和(a≥0)。
探究(—)当a>0a 0;当a=00 0.概括:探究(二)根据算术平方根的意义填空:)2=_______;是4411x+1x1x y+)2=4.)2=_______;2=______;)2=_______.概括:例题与练习:计算(1)2(2)(2(3)()2;)3(2-=;)21(2-= ;。
二次根式的性质:练习:1、数a没有算术平方根,则a的取值范围是(). A、a>0 B、a≥0 C、a<0 D、a=0 2有意义,则x的取值范围为()A、x>3B、x≥3C、x<3 D.x=33、(2=________;=________4x的取值范围是_______5是一个正整数,则正整数m的最小值是________.6、计算(1)2(2)-2(3)()27=0,求x y的值.二次根式的乘法用“>、< 或=”填空.,94⨯094⨯归纳:对二次根式的乘法规定为12反过来:例题与练习计算①2×5②3×12③×④化简④324ba计算(1)14×7(2)35×(3)x3·xy31判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:(1(2=4=4=8计算:(1)24×27(2)6×(—15)(3)18×20×75(4)54332⨯⨯2、下列各等式成立的是().A、、、、二次根式的除法二次根式的除法公式:________________________(_____________________)计算(1)624(2)440(3)23101÷计算:(1(2)39(3)3135÷计算:(1(2(3(4)515(5)a2a6÷(6)5b220ab÷=最简二次根式:二次根式的加减复习、类比1、什么是同类项?2、合并同类项(1)2x+3x ; (2)2x 2-3x 2+5x 2类比回答:(1)2x 4与-5x 4是 项 (2)3532-与是 二次根式。
人教版八年级下册数学《二次根式的概念》二次根式PPT教学课件
巩固练习
3. (1) 已知 =0,求x,y 的值.
因为 ≥0, ≥0,且其和为0,所以x+1=0,x+y-2=0,解得x=-1,y=3.所以x,y 的值分别为-1,3.
总结:a 2, ≥0(a≥0).可利用“若几个非负数之和为零,则这几个非负数同时为零”解决问题.
+
+5,求
的值
+
=0,求a2019+b2104的值.
1.已知y=
2.若
2
2.若 ,则x的取值范围是( ) A.x>1 B.x≥1 C.x<1 D.x≤1
3.在函数y= 中,自变量x的取值范围是( ) A.x≥﹣2且x≠0 B.x≤2且x≠0 C.x≠0 D.x≤﹣2
(x≥0,y≥0).
不是二次根式的有: .
、
、
、
(x>0)、
、
、
(x≥0,y≥0).
、-
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, ≥0
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
3、被开方数 a >0,且 。(双重非负性)
探究点一、二次根式的概念问题1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:
、
、
、
(x>0)、
、
、-
、
、
解:二次根式有:
提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.
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2.什么是一个数的算术平方根?如何表示?
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
1.我们之前学过哪个知识点与今天的知识有关?
一般地,若一个数的平方等于a,则这个数就叫做a的平方根.
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二次根式导学案 第一课时 二次根式复习(1)已知a x =2,那么a 是x 的______;x 是a 的________ 记为______,a 一定是_______数。
(2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
自主学习(1)16的平方根是 ;(2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ,则t = ;(3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。
思考:16,5h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________。
1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么?3,16-,34)0(3≥a a ,12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根.所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 ,a 才有意义.3、根据算术平方根意义计算 :4(1) 2)4((2) (3)2)5.0( (4)2)31(根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a ,4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
二次根式的概念和性质 PPT教学课件(数学人教版八年级下册)
(3)二次根式与算术平方根有什么关系? 二次根式都是非负数的算术平方根,带有根号的算术平方根
是二次根式.
数学初中 二次根式的概念和性质
课堂小结
(4)你知道了二次根式的哪些性质?
( a )2= a(a≥0) a2 =a(a≥0)
a2 a
(5)我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算,你认为 对于二次根式应该进一步研究哪些问题?
数学初中 二次根式的概念
上面问题中,得到的结果分别是: 3, S, 65 , h. 5
1 这些式子分别表示什么意义? 2 这些式子有什么共同特征?
h 分别表示 3,S,65,5 的算术平方根.
这些式子的共同特征是: 都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.
数学初中 二次根式的概念
t
1 含有数或表示数的字母; 2 用基本运算符号连接数或表示数的字母. 用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式.
数学初中
课堂小结
二次根式的概念和性质
1 本节课你学到了哪一类新的式子? 2 二次根式有意义的条件是什么?二次根式的值的范围是什么? 3 二次根式与算术平方根有什么关系?
数学初中 二次根式的概念
变式 a 取何值时,下列二次根式有意义? (1) a2 -2a+1 ;(2) -(a-1)2 .
答案:(1) a为任何实数; (2) a =1.
总结:被开方数不小于零.
数学初中 二次根式的性质
问题1 根据算术平方根的意义填空.
( 4 )2= __4___;( 2 )2= ___2__;
(2)由 x-2≥0,得 x≥2
数学初中 二次根式的性质
初二数学二次根式知识点归纳
初二数学二次根式知识点归纳一、二次根式的概念二次根式是指形如√a的表达式,其中a是一个非负实数。
根号下的数字a称为被开方数,√a称为二次根式的基数。
二、二次根式的化简化简二次根式是指将二次根式写成最简形式的过程。
化简的基本原则是将被开方数a的因数分解,并利用数的乘法法则和开方的运算性质进行合理的变形。
1. 同底合并当两个二次根式的基数相同时,可以将它们合并为一个二次根式,并进行化简。
2. 分解因数当被开方数a是一个完全平方数时,可以将其分解因数,再进行化简。
例如,√16可以分解为√(4×4),再利用根号的运算性质进行合并得到4。
3. 有理化分母当二次根式的分母中含有二次根式时,为了方便计算和比较,需要对分母进行有理化处理。
有理化分母的基本原则是将分母中的二次根式去掉,即将其乘以一个合适的形式为√a的因式。
三、二次根式的运算二次根式可以进行加减、乘除等运算。
在进行二次根式的运算时,需要注意以下几点:1. 加减运算当二次根式的基数和被开方数相同时,可以直接进行加减运算,并保持根号下的数字不变。
2. 乘除运算二次根式的乘法和除法运算可以通过化简和合并同类项的方式进行。
在乘法运算中,可以将二次根式的被开方数相乘,并将基数相乘;在除法运算中,可以将二次根式的被开方数相除,并将基数相除。
四、二次根式的应用二次根式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是二次根式常见的应用场景:1. 长方形的对角线当已知长方形的长和宽时,可以利用勾股定理和二次根式的概念求出长方形的对角线长度。
2. 面积和体积在计算面积和体积时,常常会遇到含有二次根式的公式,如三角形的面积公式、球的体积公式等。
3. 几何图形的边长和面积比较通过比较含有二次根式的几何图形的边长和面积,可以判断它们的大小关系。
五、二次根式的性质二次根式有一些重要的性质,掌握这些性质有助于更好地理解和应用二次根式。
1. 非负性二次根式的基数必须是非负实数,即根号下的数字不能为负数。
(家教培优专用)人教版数学八年级下册--二次根式知识讲解(提高)
二次根式(提高)【学习目标】1、理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进行计算和化简.【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式:一般地,我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数.2.代数式:形如5,a ,a+b ,ab ,,x 3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1、; 2.;3.. 要点诠释:1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式, 即2()(0a a a =≥).2.2a 与2()a 要注意区别与联系:1)a 的取值范围不同,2()a 中a ≥0,2a 中a 为任意值.2)a ≥0时,2()a =2a =a ;a <0时,2()a 无意义,2a =a -.【典型例题】类型一、二次根式的概念1.当x 是__________时,+在实数范围内有意义? 【答案】 x ≥-且x ≠-1 【解析】依题意,得由①得:x ≥-由②得:x ≠-1当x ≥-且x ≠-1时,+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三:【变式】(2015•随州)若代数式11x x +-有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1【答案】D提示:∵代数式+有意义,∴, 解得x ≥0且x ≠1.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件,求字母x 的取值范围:(1); (2). 【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三:【高清课堂:二次根式及其乘除法(上)例1(1)(2)】【变式】x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义?(1)y=x --11+x ,___________________;(2)y=222+-x x ,______________________; 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥,≤且(2)2222(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数.3. (2015•黄冈模拟)已知a <03a b -的结果是【答案】ab --【解析】解:∵a <0,∴3a b ab -=--故答案为:ab --【总结升华】主要考查了二次根式的化简,正确利用二次根式的性质求出是解题关键.【高清课堂:二次根式及其乘除法(上)例4】4.已知c b a ,,为三角形的三边,则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= .【答案】a b c ++【解析】Q c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+-> 即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++【总结升华】重点考查二次根式的性质:的同时,复习了三角形三边的性质.。
八年级数学第9讲.二次根式的概念及运算.尖子班.教师版.docx
9二次根式的概念及运算满分晋级代数式 9 级二次根式的代数式 8 级概念及运算秋分式的概念季及性质暑期班第九讲班第五暑期班第七讲讲代数式 10 级因式分解的常用方法及应用漫画释义看我的新造型?知识互联网模块一二次根式的概念知识导航二次根式形如 a a ≥ 0 的式子.二次根式有意义被开方数大于等于零(即若 a 有意义,则 a0 )夯实基础【例 1】 1当 x 取何值时,下列式子有意义?⑴2⑵1x2x2x ⑶⑷ 2 x 13 xx3⑸1⑹x 1x2若 x, y 为实数,且y 1 4 x 4 x 1 1 .求 xy 的值.3设 y3 x 12x,求使 y 有意义的 x 的取值范围.2x1【解析】 1⑴ x0 ; ⑵ x ≤ 2 且 x2 ,即 x 2 ; ⑶ x2 且 x3 ; ⑷1 ; ⑸ x0 且 x 1;x 32⑹ x 取任意数.2 x1,y1 ,xy 1 .42 32 x ≥ 0 1x ≤ 2 .2x 1,即2题型二 二次根式的性质知识导航① a ≥ 0( a ≥ 0)② ( a )2a( a ≥ 0)③(必考) a2a a ≥ 0aa 0a 夯实基础【例 2】 化简下列各式⑴2522⑵a 32【解析】 ⑴2 5 2 55 2 .⑵a2aa 3 a ≥ 3 33a a33【点评】化简 a 2 类型的二次根式, 先写成绝对值 a ,再确定绝对值内代数式的符号,如果不能确定,则应分类讨论.能力提升【例 3】 ⑴已知数 a 、 b 、 c 在数轴上的位置如图所示:化简: a 2a cc b2c a 0bb 的结果为 ________22⑵已知 0 a 1 ,化简1 4a1 (海淀教研)a4aa⑶化简4 x 2 12x9 1 2x2得()A. 2B. 4x 4C. 2D. 4 x 4⑷若 a2 b 3c 20 ,则 a b c.(湖南怀化中考)4⑸已知实数 x 、y 满足 x4y 80 ,则以 x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ()A . 20 或 16B . 20C . 16D . 以上答案均不对( 2017 攀枝花)⑹若 a 、 b 为实数,且 | a1| ab 2 0 ,求1(a1 1) ( a12)(a12012)的值 .ab 1)(b2)( b 2012)(b【解析】 ⑴ 0221 1 1 12 ⑵ 原式1 1 aaaaaaaaaaaaa⑶注意隐含条件 1 2 x0 , ∴ 1x2∴ 原式221 2x2 x3 1 2 x 3 2x 1 2 x 22 x 3所以选 A .⑷ 3 ; ⑸Ba 1 0,即 a 1 , b 2 ,⑹ 已知得2 0ab原式1 1 111 20131 22 3 3420132014120142014 【探究目的】二次根式性质精讲探究 1:a 2 ,则 a 0 ;【变式 1】化简: 2( x1)25【解析】 ∵(x 1)2≥0 ,∴ (x 1)2 ≤ 0 ,又∵ (x1)2有意义,∴ 2( x 1) ≥ 0 ,(x1)2 0 , x 1 ,原式2 05 2 53 3探究 2:根据根号内的代数式≥ 0,得出字母的取值范围,然后去绝对值符号;【变式 2】 ( 人大附单元测试 ) 已知 a 为实数,且满足 200 aa 201 a ,求 a 2002 的值 .【解析】 由题意可知 a201 ,所以原式可变形为 a 200a 201 a , 所以 a 201200 , a 201 2002 ,即 a 2002201探究 3:a b c, c0;根据c0所得的范围去绝对值符号;【变式 3】解方程:12x x2x3 4 2 x .【解析】1x 2x32x 4 ;1 x x 32x 4 , 2x 4 0 , x2 ;x 1x32x 4 ;x3x 3 ;x13, x 24;经检验, x 3 与 4 均为原方程的解 .探究 4: a a ,则 a0 ;【变式 4】 ( 四川省初中数学联赛题) 已知x,y为实数, y x299x21,求 5 x 6 y .x3【解析】由已知得: x29 ≥0①, 9x2≥ 0即 x29≤0②,由①、②得: x290 , x 3 ,∵ x 3,∴ x 3 , y 1 ,6∴5 x 6 y 5 ( 3) 6 (116 . )6探究 5:a b2n c 0 ,则a b c 0 ;【变式 5】如果实数 a ,b ,c 满足 a2b 2 ,且 ab 3 c210 ,求a c 的值 .24b【解析】 ab 3 c212b22b 3 c2 12(b2 2 b 1 ) 3 c22(b 2 )2 3 c20 , 242428242所以 b20 , a1,ac 2 ., c2b42探究 6:探究 4 与探究 5 的结合;【变式 6】 2 x 3y2z22z 在实数范围成立,那么xyz的值是多少?【解析】此题运用 a (a0) 是一个非负数解题,由 z 2 0, 2z0 ,从而z 2 .这时等式变为 2 x3y20 ,∴ x 3, y 2 , xyz3( 2)26 22模块三 二次根式的运算知识导航乘法与积的算术平方根可互相转化: a b ab (a ≥ 0,b ≥ 0)除法与商的算术平方根可互相转化:a a(a ≥ 0,b0)bb最简二次根式①被开方数不含分母②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 同类二次根式 被开方数相同的两个最简二次根式.加减法 先化为最简二次根式,然后合并同类二次根式混合运算有理式中的运算顺序,运算律和乘法公式等仍然适用乘法公式的推广① a 1 a 2 a 3a n a 1 a 2 a 3a n (a 1 ≥ 0,a 2 ≥ 0, , a n ≥ 0)② ab2a bab a ba b 2 ab ③ 夯实基础【引例】计算:⑴ 23⑵1273⑶ 14× 7⑷213⑸3 1⑹32185【解析】 ⑴ 232 361 27 1 3⑵27933⑶ 14× 7 14 7 7 2 2 7 2 2 7 2⑷ 21217⑸3 1 3 1 3183 9 3 33 3218 2 18 2⑹ 解法一:3 3 3 5 15 15 1555 5 5 5252 5解法二:3 3 515 15555255【点评】老师可以凭借此题的顺序,讲解根式的乘除以及最简二次根式。
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是我们在数学学习过程中常常遇到的一种特殊形式的根式。
在本文中,我们将探讨二次根式的概念以及其重要的性质。
一、二次根式的概念二次根式是指具有“根号下一次方的数”的形式。
具体而言,若a为非负实数,则√a表示其非负平方根,而√(-a)表示其虚数平方根。
因此,二次根式包括了实数根式和虚数根式两种情况。
实数根式的概念是我们初中就已经学习过的,它表示的是可以找到一个非负实数,将其平方得到原始数。
例如,√4=2,√9=3,这些都是实数根式的例子。
虚数根式则是更加复杂一些。
它指的是无法找到一个非负实数来满足平方后得到原始数的情况。
例如,√(-4)=2i,其中i表示虚数单位。
虚数根式在进一步的数学学习中有着重要的应用。
二、二次根式的性质1. 二次根式的有理化:有理化是将含有根号的式子转化成不含根号的形式。
对于二次根式,我们常常利用有理化的方法将其转化为一个更加简洁的形式。
例如,对于√2,我们可以乘以√2/√2得到2/√2,这样就进行了有理化。
2. 二次根式的运算:二次根式在进行运算时有一些特殊的性质。
首先,根号下的数相同的二次根式可以进行加减运算。
例如,√2+√2=2√2,√3-√3=0。
其次,二次根式可以与有理数进行乘法运算。
例如,2√2*3=6√2,√3*4=4√3。
然而,二次根式的乘法运算并不满足交换律。
即,a√b*b√a不一定等于ab。
3. 二次根式的简化:对于二次根式,我们可以将其进行简化,使其表达更加方便。
例如,对于√8,我们可以简化成2√2。
4. 二次根式的大小比较:在进行大小比较时,二次根式也有一些规律。
如果a和b都是非负实数,则当a<b时,√a<√b;当a>b时,√a>√b;当a=b时,√a=√b。
这些规律在解决不等式问题时有着重要的应用。
结语:通过本文的学习,我们了解了二次根式的概念与性质。
二次根式的概念涵盖了实数根式和虚数根式两种情况,而其性质包括有理化、运算、简化以及大小比较等方面。
二次根式的概念及性质课件
当x=9时, x 2 9 2 7.
(3)要使式子
1 x 1
有意义,则x的取值范围是( A)
A. x>1
B. x>-1
C. x ≥1
D. x ≥-1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足被开方数≥0,列不等
式求解即可.若二次根式处在分母的位置,应同时考虑分母不为零.
二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ,我们知道:
a≥0
a→ a→( a )2
a为任意实数
算术平方 根之门
全部都能通过 a→a2→ a2
( a )2 (a≥0)的性质
填一填:
a(a≥0)
0
算术平 方根
1
a
0 0
1 1
1 1 42
平方运算 ( a )2 0
1
观察:两者有什么关系?
活动1 :根据前面得出的结论填一填
4 2 4
1 3
2
1 3
2
(1) a 1
(2) 2a 3
(1) a-1 0,a 1. (2) 2a 3 0,a 3 .
2
(3) a
(4) 2
5a
(3) a 0,a 0.
(4) 5 a>0,a<5.
5.要画一个面积为24cm2的长方形,使它的长与宽之比为3:2,
它的长、宽各应是多少?
A
D
解:设长方形的宽为xcm,根据得意得
x 3 x 24
2
B
C
解得 x 16 4(负值舍去).
所以宽为4cm,长为6cm.
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢?
【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程(培优版)1.二次根式的概念及性质.学生版
模块一二次根式的概念及性质a≥)的式子叫做二次根式,”称为二次根号.二次根式的基本性质:(10(a≥)双重非负性;(22a=(0a≥);(3(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩.对二次根式定义的考察【例1】判下列式子,哪些是二次根式,1x0)x>1x y+x≥0,y ≥0).【巩固】下列式子中,是二次根式的是().A.B CD.x【例2】当x在实数范围内有意义?【例3】当x11x+在实数范围内有意义?有意义的未知数x有()个.A.0 B.1 C.2 D.无数二次根式的概念及性质【巩固】某工厂要制作一批体积为13m 的产品包装盒,其高为0.2m ,按设计需要,•底面应做成正方形,试问底面边长应是多少?【例4】 解答下列题目(1) 已知6y =,求xy的值.(20,求20112011a b +的值.【巩固】已知a 、b 5b +,求a 、b 的值.【巩固】已知实数a 与非零实数x 满足等式:222130x x ⎫⎛-++ ⎪⎝⎭对二次根式性质的考察【例5】 计算(1) 2 (2) 2 (3)2( (4) 2【巩固】计算(1) 2(0)x ≥ (2)2(3)2 (4)2【例6】 在实数范围内分解下列因式:(1)25x - (2)44x - (3) 223x -【例7】 先化简再求值:当a=9时,求a 的值,甲乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=(1)1a a a +=+-=;乙的解答为:原式=(1)2117a a a a ++-=-=.两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________.【巩固】若-3≤x ≤2时,试化简2x -【巩固】如果0a >,0ab<模块二 二次根式的乘除运算(0a ≥,0b ≥)【例8】 =x ,y 必须满足条件 .【例9】 化简:(1)=______;(2=______;(3______.【例10】 如果)3(3-=-⋅x x x x ,那么( ). A .0x ≥ B . 3x ≥C .03x ≤≤D . x 为任意实数【巩固】已知三角形一边长为cm 2,这条边上的高为cm 12,求该三角形的面积.【例11】 把4324根号外的因式移进根号内,结果等于( ). A .11- B .11 C .44- D .44【巩固】把下列各式中根号外的因式移到根号里面:(1);1aa -(2)⋅---11)1(y y【例12】 先化简,再求值:((6)a a a a --,其中215+=a【例13】 已知a ,b 为实数,且01)1(1=---+b b a ,求20112011a b -的值.【巩固】探究过程:观察下列各式及其验证过程.(1)验证:===验证:==同理可得:=……=(0b>)a≥,0【例14】计算:(1)(1(3(4=,的值.a b+【例15】已x为偶数,求(1x( (m >0,n >0)模块三 最简二次根式:0a ≥)中的a 称为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式. (1)被开放数的因数是整数,因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式) (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 (3)分母中不含二次根式注意:二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.【例16】 把下列各式化成最简二次根式:(1______;(2______;(3______;(4______.【例17】 下列各式中是最简二次根式的是( ).A .a 8B .32-bC .2yx - D .y x 23【巩固】把下列各式化成最简二次根式:(1 (2 (3 (4【例18】 计算:(1 (2) (3分母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理化.互为有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,说这两个代数式互为有理化因式.互为有理化因式,原理是平方差公式22()()a b a b a b +-=-;分式有理化时,一定要保证有理化因式不为0.【例19】的有理化因式是 ;y 的有理化因式是 .的有理化因式是 .【例20】 把下列各式分母有理化:(1(22 (3 (4【例21】【例22】 观察规律:32321,23231,12121-=+-=+-=+,……,求值.(1)7221+=______;(2)10111+=______;(3)n n ++11=______.=_______.模块四 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.合并同类二次根式:(a b +.同类二次根式才可加减合并.【例23】有 ;的被开方数相同的有 ;同的有 .【例24】 若____a =.【例25】 化简后,与2的被开方数相同的二次根式是( ).A .12B .18C .41 D .61【例26】 若n m 、n 的值.【巩固】若a a ,b 的值.【巩固】已知最简根式a ,b 的值( )A .不存在B .有一组C .有二组D .多于二组【例27】 化简计算:(1(2)(a b -0a b >>)(3)-【练习1】下列各式中,一定是二次根式的是( ).A .23-B .2)3.0(-C .2-D .x【练习2】已知33x +是二次根式,则x 应满足的条件是( ).A . x >0B . 0x ≤C . x ≥-3D . x >-3【练习3】若m m 32-+有意义,则m = .【练习4】计算下列各式:(1) 2)23( (2)2)32(⨯ (3)2)53(⨯- (4)2)323(【练习5】计算下列各式,使得结果的分母中不含有二次根式:(1)3=______; (2)24______; (3)322=______;(4)6y =______.【练习6】计算 222223333()22m n m n a a a m n-+-÷⨯- (a >0)1.通过本堂课你学会了 .2.掌握的不太好的部分 .3.老师点评:① .② .③ .总结复习课后作业课堂检测1.当a ______时,23-a 有意义;当x______时,31-x 有意义. 当x ______时,x 1有意义;当x ______时,x1的值为1.2.若b <0______.3.3是同类二次根式的是 .4.若3x y m = .5.若a ,b 两数满足b <0<a 且|b |>|a |,则下列各式有意义的是( ). A .b a + B .a b -C .b a -D .ab6. =成立的条件是( )A .2x ≥B .2x ≥-C .22x -≤≤D .2x ≥或2x ≤-7.若3,4a b =-=-,则下列各式求值过程和结果都正确的是( )A . ()3(34)21a a b +=---=B . 15=---C . 15=-D . 15±=±=±±8.计算(1) (2) 781)1)(3) (⋅ (4) 48)832(3xx x x ÷-(5) (1x x +++-9.若最简二次根式a是同类根式,求2ba-的值10.=()ABC D.不同于以上三个答案11。
浙教版八年级下册二次根式及其性质培优讲义
二次根式及其性质命题点一:二次根式的概念例1下列各式一定是二次根式的是( C ) A.x -1(x 是实数) B.-5 C.a 2+1 D.-x 例2下列不是二次根式的是( D ) A.12B.(x -1)2C.0D.-(x 2+1) 命题点二:二次根式有意义的条件例3当x 取什么实数时,下列各式在实数范围内有意义?(1)-1x . (2)x +3x -2. (3)(x -1)0x 2+5. (4)x +13-x . 解:x <0. 解:x ≥-3且x ≠2. 解:x ≠1. 解:0≤x <3.例4已知下列各式有意义,求x 的取值范围.(1)1x -2. (2)1-x 2-||x . (3)x +12-x. (4)x 2-6x +10. 解:x >2. 解:x ≤1且x ≠-2. 解:0≤x <2. 解:x 为任意实数. 命题点三:二次根式双重非负性的应用例5已知x ,y 为实数,且满足y =x -12+12-x +12,求5x +||2y -1-y 2-2y +1的值.解:由⎩⎪⎨⎪⎧x -12≥0,12-x ≥0,得x =12,则y =12. ∴5x +||2y -1-y 2-2y +1=52-14=2.例6已知||a -2 019+a -2 020=a ,则a -2 0192的值是 2020 .命题点四:最简二次根式例7下列二次根式为最简二次根式的是( B )A.45B.x 2+y 2C.b aD. 1.7 例8若a 是正整数,3a +6是最简二次根式,则a 的最小值是 3 .命题点五:运用二次根式的性质化简求值例9先化简,再求值:(1)若-4≤x ≤3,化简x 2+8x +16-x 2-6x +9的结果为( A )A .2x +1B .-2x -1C .1D .7(2)若a =12-1,b =12+1,则ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b -b a 的值为( A ) A .2 B .-2 C. 2 D .2 2例10先化简,再求值:(1)已知x -69-x =x -69-x,且x 为奇数,求(1+x )·x 2-5x +4x 2-1的值. 解:(1)∵x -69-x =x -69-x , ∴⎩⎨⎧x -6≥0,9-x >0,解得6≤x <9. ∵x 为奇数,∴x =7.∴(1+x )·x 2-5x +4x 2-1=(1+x )·(x -4)(x -1)(x +1)(x -1)=(1+x )·x -4x +1= (x -4)(x +1).将x =7代入,原式=(7-4)(7+1)=24=2 6.(2)对于任意的正数m ,n ,定义运算为m ※n =⎩⎪⎨⎪⎧m -n (m >n ),m +n (m <n ).计算(3※2)×(8※12)的结果为 2 . (3)4+15+4-15= 10 .例11较复杂的化简求值:若实数a ,b ,c 满足等式2a +3||b =6,4a -9||b =6c ,则c 可能取得的最大值为( C )A .0B .1C .2D .3【思路点拨】由题意,知x ≥0,y +1≥0,z -1≥0,故x ,y +1,z -1可分别化为(x )2,(y +1)2,z -1)2的形式,然后配成几个完全平方和的形式,再利用非负性可求出x ,y ,z 的值. 例12较复杂的化简求值:若x +y +z +3=2(x +y +1+z -1),求(x +y +z )y -z 的值.解:原式可化为x +(y +1)+(z -1)+3=2x +2y +1+2z -1.由题意,可知x ≥0,y +1≥0,z -1≥0,故有[(x )2-2x +1]+[(y +1)2-2y +1+1]+[(z -1)2-2z -1+1]=0,即(x -1)2+(y +1-1)2+(z -1-1)2=0.又∵(x -1)2≥0,(y +1-1)2≥0,(z -1-1)2≥0, ∴x -1=0,y +1-1=0,z -1-1=0,解得x =1,y =0,z =2.∴(x +y +z )y -z =(1+0+2)0-2=3-2=19. 课后练习1.(2018·绵阳改编)使等式x -3x +1=x -3x +1成立的x 的取值范围是( B ) A .x >-1 B .x ≥3 C .x <-1或x >3 D .x <-1或x ≥32.(2018·孝感)已知x +y =43,x -y =3,则式子⎝⎛⎭⎪⎫x -y +4xy x -y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y -4xy x +y 的值是( D ) A .48 B .12 3 C .16 D .123.若化简|1-x |-x 2-8x +16的结果为2x -5,则x 的取值范围是( B )A .x 为任意实数B .1≤x ≤4C .x ≥1D .x ≤44.已知y =1-8x +8x -1+12,则代数式x y +y x +2-x y +y x-2的值为( B ) A .2 B .1 C .32D .-1 5.若a =7-1,则3a 3+12a 2-6a -12等于( A )A .24B .25C .47+10D .47+126.(2018·烟台)12与最简二次根式5a +1是同类二次根式,则a = 2 .7.已知16-x 2-4-x 2=22,则16-x 2+4-x 2= 3 2 .8.已知a <0,化简4-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 2-4+⎝ ⎛⎭⎪⎫a -1a 2= -2 . 9.若x +1x =3,则x x 2+2 019x +1的值是12 026 . 10.若x 2+y 2=1,则x 2-2x +1+4y 2+4y +1+xy -2x +y -2= 3 .11.阅读材料,并解决问题.定义:将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化.如:将25-3分母有理化. 解:原式=2(5+3)(5-3)(5+3)=5+ 3. 运用以上方法解决问题:(1)将13+2分母有理化. (2)比较大小(在横线上填“>”“<”或“=”):16-5 < 17-6, 1n -n -1 < 1n +1-n(n ≥2,且n 为整数). (3)化简:11+2+12+3+13+4+…+ 12 017+ 2 018. 解:(1)13+2=3-2(3+2)(3-2)=2- 3. (3)原式=2-1+3-2+4-3+…+ 2 018- 2 017= 2 018-1.12.设x =n +1-n n +1+n ,y =n +1+n n +1-n,n 为自然数.如果2x 2+197xy +2y 2=1 993成立,求n 的值.解:∵x=n+1-nn+1+n,y=n+1+nn+1-n,∴x+y=(n+1-n)2+(n+1+n)2(n+1+n)(n+1-n)=4n+2,xy=n+1-nn+1+n×n+1+nn+1-n=1.∵2x2+197xy+2y2=1 993,∴2(x+y)2-4xy+197xy=1 993,代入可得n=7.13.(自主招生模拟题)a,b为有理数,且满足等式a+b3=6×1+4+23,则a+b 的值为( B )A.2 B.4 C.6 D.814.(自主招生真题)方程x+11-6x+2+x+27-10x+2=1的实数根的个数为 0 .15.(1)(自主招生模拟题)设实数x,y满足(x+x2+1)(y+y2+1)=1,求x+y的值.(2)(自主招生模拟题)已知实数x,y满足(x+x2+2 002)(y+y2+2 002)=2 002,求x2-3xy-4y2-6x-6y+58的值.解:(1)x+x2+1=1y2+1+y=y2+1-y(y2+1+y)(y2+1-y)=y2+1-y.①同理,y+y2+1=x2+1-x.②①+②,得2x=-2y,即x+y=0.(2)由题(1),得x=-y,代入原式=y2+3y2-4y2+6y-6y+58=58.。
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2(a ≤ 0 ) 揭示了与绝对值的内在一致性.【例 1】设 x , y 都是有理数,且满足方程 ⎛ 1⎪ x + + ⎪ y - 4 - π = 0 ,那么 x - y 的值 ( a + b )= 3 b ( a + 5 b ),求 2a + 3b +1-y专题 09二次根式的概念与性质阅读与思考式子 a (a ≥ 0) 叫做二次根式,二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础,主要有:1. a ≥ 0 .说明了 a 与 a 、 a 2一样都是非负数.2.( a ) = a ( a ≥0).解二次根式问题的基本途径——通过平方,去掉根号有理化.⎧⎪a (a ≥ 0 ) 3. a 2 = a = ⎨ ⎪⎩-a4. ab = a b ( a ≥0, b ≥0) .5 . a a =b b( a ≥0, b >0).给出了二次根式乘除法运算的法则.6.若 a > b >0,则 a > b >0,反之亦然,这是比较二次根式大小的基础.运用二次根式性质解题应注意:(1)每一性质成立的条件,即等式中字母的取值范围;(2)要学会性质的“正用”与“逆用”,既能够从等式的左边变形到等式的右边,也能够从等式的 右边变形到等式的左边.例题与求解π ⎫ ⎛ 1 π ⎫+ ⎝ 2 3 ⎭ ⎝ 3 2 ⎭是____________. (“希望杯”邀请赛试 题)解题思路:将等式整理成有理数、无理数两部分,运用有理数和无理数的性质解题.【例 2】 当 1≤ x ≤2,经化简, x + 2 x - 1 +x - 2 x - 1 =___________.解题思路:从化简被开方数入手,注意 a 中 a ≥0 的隐含制约.【例 3】若 a >0, b >0,且aab a - b + ab的值.(天津市竞赛试题)解题思路:对已知条件变形,求 a , b 的值或探求 a , b 的关系.【例 4】若实数 x , y , m 满足关系式:3x + 5 y - 2 - m + 2x + 3 y - m = x - 9 9 +y1 9 9-x ,试确定 m 的值.2 n(北京市竞赛试题)解题思路:观察发现( x -199+ y )与(199- x - y )互为相反数,由二次根式的定义、性质 探索解题的突破口.1 【例 5】已知 a + b -2 a - 1 - 4 b - 2 =3 c - 3 -c - 5 ,求 a + b + c 的值.2(山东省竞赛试题)解题思路:题设条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,一个等式才能确定未知量的值呢? 考虑从配方的角度试一试.【例 △6】在 ABC 中,AB ,BC ,AC 三边的长分别为 5 , 10 , 13 ,求这个三角形的面积.小辉 同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为 1),再在网格中画出格点△ABC (即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处),如图 1 所示.这样不需求△ABC 的高,而借用网格 就能计算出它的面积.(△1)请你将 ABC 的面积直接填写在横线上:_________. (△2)我们把上述求 ABC 面积的方法叫作构图法.若△ABC 三边的长分别为 5a , 2a , 17 a ( a >0),请利用图 2 中的正方形网格(每个小正方形的边长为 a )画出相应的△ABC ,并求出它 的面积.(△3)若 ABC 三边的长分别为 m 2 + 16n 2 , 9m 2 + 4n 2 ,2 m 2 + n 2 ( m >0, n >0,且 m ≠ )试运用构图法求出这个三角形的面积. (咸宁市中考试题)解题思路:本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识,不规则三角形的面积,可通过构造直 角三角形、正方形等特殊图形求得.ABC图 1图 2能力训练1.要使代数式 x - 3 - 2x 2 - 4 x + 3A 级有意义.则 x 的取值范围是_____________.(“希望杯”邀请赛试题)( 3x - 5 ) 的结果是(b a + 4 b ⎪ ,其中 ab ≠0,求 的值.2.阅读下面一题的解答过程,请判断是否正确?若不正确,请写出正确的解答.已知 a 为实数,化简 -a 3 - a - 1 a.解:原式= a -a - a 1a-a = (a - 1) -a . 3.已知正数 a , b ,有下列命题: (1)若 a =1, b =1,则 ab ≤ 1;(2)若 a = 1 5 3, b = ,则 ab ≤ ;2 2 25(3)若 a =2, b =3,则 ab ≤ ;2(4)若 a =1, b =5,则 ab ≤ 3.根据以上命题所提供的信息,请猜想:若 a =6, b =7,则 ab ≤ ________.4.已知实数 a , b , c 满足 (黄冈市竞赛试题)1 1a -b + 2b +c + c 2 - c + = 0 ,则 a ( b + c )的值为_______.2 45.代数式 x + x - 1 + x - 2 的最小值是( ).A .0B .1+ 2C .1D .不存在6.下列四组根式中是同类二次根式的一组是( ).A . 2.5 和 2 0.5B .3 a a 和 3 b bC . a 2b 和 ab 2D . ab 7c 3 和c3 ab7.化简 9 x 2- 6 x + 1 -2) .(“希望杯”邀请赛试题)A .6 x -6B .-6 x +6C .-4D .4(江苏省竞赛试题) 8.设 a 是一个无理数,且 a , b 满足 a b - a - b +l =0,则 b 是一个().A .小于 0 的有理数B .大于 0 的有理数C .小于 0 的无理数D .大于 0 的无理数(武汉市竞赛试题)9.已知 a (a +b )= 3 ⎛ 2 ⎫ a - 5b + ab ⎝ 3 ⎭ a + b + ab(山东省中考试颗)10.已知 6 + 11 与 6 - 11 的小数部分分别是 a , b ,求 ab 的值.(浙江省竞赛试题)(a - b )2 (b - c )2 (c - a )2 为有理数.11.设 a , b , c 为两两不等的有理数.求证: 1 + 1 + 1(北京市竞赛试题)12.设 x , y 都是正整数,且使 x - 116 +x + 100 = y ,求 y 的最大值.(上海市竞赛试题)B 级x 2 - 9 + 9 - x 2 + 11.已知 x , y 为实数,y = ,则 5 x +6 y =_________.x - 32.已知实数 a 满足 1999 - a + a - 2000 = a ,则 a -19992=___________.3.正数 m , n 满足 m +4 mn -2 m -4 n +4 n =3,那么m + 2 n - 8m + 2 n + 2002的值为_______.(北京市竞赛试题)4.若 a , b 满足 3 a + 5 b =7,则 s = 2 a - 3 b 的取值范围是________.(全国初中数学联赛试题)5.已知整数 x , y 满足 x +2 y =50,那么整数对( x , y )的个数是()A .0B .1C .2D .3(江苏省竞赛试题)6.已知 1 1- a =1,那么代数式 + a 的值为( )a a5 5A .B .-C .- 5D .52 2(重庆市中考试题)7.设等式 a (x - a ) + a ( y - a ) =x - a - a - y 在实数范围内成立,其中 x , y , a 是两两不同的实数.则代数式 3x 2 + xy - y 2 x 2 - xy + y 2的值为( ) .1 5A .3B .C .2D .3 38.已知 25 - x 2 - 15 - x 2 = 2 ,则 25 - x 2 + 15 - x 2 的值为() .A .3B .4C .5D .69.设 a , b , c 是实数,若 a + b + c =2 a + 1 +4 b + 1 +6 c - 2 -14,求)(c a ba(b+c+b+)a+(c+)的值.10.已知ax3=by3=cz3,1x(北京市竞赛试题)11++=1,求证:3ax2+by2+cz2=3a+3b+3c.y z11.已知在等式ax+bcx+d=s中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数.求:(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数,(2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数.12.设s=1+112(“希望杯”邀请赛试题)11111++1+++⋅⋅⋅+1++,求不超过s的最大整数[s].222232199922000213.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC,EC,已知AB =5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;(2)请问点C满足什么条件是AC+CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式x2+4+(12-x)2+9的最小值.ADB CE(恩施自治州中考试题)。