二次微分方程的通解.
二阶微分方程解
二阶微分方程解二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。
在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：ayy'' + by' + cy = 0其中，a、b、c为常数。
求解过程如下：1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。
特征方程为：r^2 - pr - q = 0其中，p、q为常数。
2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。
可以使用公式：r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 23. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。
4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。
举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：yy'' - 2y' + 3y = 01. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 02. 求解特征方程：r1= 1，r2 = 33. 通解：通解= yC1* e^x + yC2* e^-x4. 求解特解：设特解为y = yE(x) = e^(x^2)将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。
需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。
非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。
此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本'''()y ay by f x ++=身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为(1)'''()y ay by f x ++=这里都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程b a 、(2)20k ak b ++=对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根。
则方程(1) 可以写成12k 、k'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记 , 则(1) 可降为一阶方程'2z y k y =-由一阶线性方程的通解公'1()z k z f x -= [5]()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰(3)知其通解为这里表示积分之后的函数是以为自变量的。
1130[()]xk xk tz e f t edt c -=+⎰0()xh t dt ⎰x 再由11230[()]x k xk t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰解得12212()()34012[(())]k k xxuk xk k ue y e ef t dt du c c k k --=++-⎰⎰应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k xxxk xk tk te e y ef t edt f t edt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰(4)1122121200121[()()]x x k x k t k xk t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰2 若特征方程有重根, 这时方程为k 或'''22()y ky k y f x -+='''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'1()xkxkx kt ey key e f t dt c ----=+⎰即10()()x kxkt d e y e f t dt c dx--=+⎰故(5)120()()xkx kt kx kx y ex t e f t dt c xe c e -=-++⎰例1 求解方程'''256xy y y xe -+=解 这里 的两个实根是2 , 32560k k -+=.由公式(4) 得到方程的解是2()x f x xe =332222321200xxx t t x t t x xy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200xxx t x x xe te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132xx x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里.321c c =-例2 求解方程'''2ln x y y y e x-+=解 特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程的解是2210k k -+=()ln x f x e x =120()ln xx t t x xy ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln xxx xe x t tdt c xe c e =-++⎰1200[ln ln ]xxxx xe x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰21213ln 24x x xx e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是, (6)'''()y py qy f x ++= , (7)'''0y py qy ++=其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方p q 、程(7) 的通解。
二阶微分方程解法
第六节二阶常系数齐次线性微分方程之杨若古兰创作教学目的：使先生把握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性有关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看, 能否适当拔取r,使y=e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=e rx代入方程y+py+qy=0得(r2+pr+q)e rx=0.因而可知,只需r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=e rx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时,函数x r e y 11=、xr e y 22=是方程的两个线性有关的解. 这是因为,函数xr e y 11=、xr e y 22=是方程的解,又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 是以方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时,函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性有关的解. 这是因为,x r e y 11=是方程的解,又0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以x r xe y 12=也是方程的解,且x exe y y xr xr ==1112不是常数.是以方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=aib 时,函数y =e (a +ib )x 、y =e (aib )x是微分方程的两个线性有关的复数方式的解.函数y =e ax cos bx 、y =e ax sin bx 是微分方程的两个线性有关的实数方式的解. 函数y 1e (a +ib )x 和y 2e (aib )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y1e(a+ib)x e x(cos x i sin x)y2e(a ib)x e x(cos x i sin x)y 1y22e x cos x)(21cos21yyxe x+=βαy 1y22ie x sin x)(21sin21yyixe x-=βα故e ax cos bx、y2=e ax sin bx也是方程解.可以验证,y1=e ax cos bx、y2=e ax sin bx是方程的线性有关解.是以方程的通解为y=e ax(C1cos bx+C2sin bx).求二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的通解的步调为:第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的两个根r1、r2.第三步根据特征方程的两个根的分歧情况,写出微分方程的通解.例1 求微分方程y-2y-3y=0的通解.解所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0,即(r1)(r3)0其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,是以所求通解为y=C1e-x+C2e3x.例 2 求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r1)20其根r1=r2=1是两个相等的实根,是以所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式,得C2=2.因而所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根是以所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2y(n-2) ++p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,,p n-1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法和方程的通解方式,可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去. 引入微分算子D及微分算子的n 次多项式L (D)=D n +p 1D n -1+p 2 D n -2 ++p n -1D+p n则n 阶常系数齐次线性微分方程可记作 (D n +p 1D n -1+p 2 D n -2 ++p n -1D+p n )y =0或L (D)y 0注 D 叫做微分算子D 0y yD yy D 2yy D 3yyD n yy (n )分析令y e rx 则L (D)y L (D)e rx (r n +p 1r n -1+p 2 r n -2 ++p n -1r +p n )e rx =L (r )e rx是以如果r 是多项式L (r )的根 则y e rx 是微分方程L (D)y 0的解n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L (r )r n +p 1r n -1+p 2 r n -2 ++p n -1r +p n 0称为微分方程L (D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应: 单实根r 对应于一项:Ce rx ; 一对单复根r 1,2=aib 对应于两项:e ax (C 1cos bx +C 2sin bx );k 重实根r 对应于k 项:e rx (C 1+C 2x ++C k x k -1);一对k 反复根r 1,2=a ib 对应于2k 项:e ax [(C 1+C 2x ++C k x k -1)cos bx +(D 1+D 2x ++D k x k -1)sin bx ].例4 求方程y (4)-2y +5y=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0,即r 2(r 2-2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3,4=12i .是以所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解,其中b 0.解 这里的特征方程为r 4+b 4=0.它的根为)1(22,1i r ±=β,)1(24,3i r ±-=β.是以所给微分方程的通解为)2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程:方程y +py +qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程本人的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊方式时,方程的特解的求法:一、f (x )=P m (x )e lx 型当f (x )=P m (x )e lx 时,可以猜测,方程的特解也应具有这类方式.是以,设特解方式为y *=Q (x )e lx ,将其代入方程,得等式Q (x )+(2l +p )Q(x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).(1)如果l 不是特征方程r 2+pr +q =0 的根,则l 2+pl +q 0.要使上式成立,Q (x )应设为m 次多项式:Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1++b m -1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数,可确定b 0,b 1,,b m ,并得所求特解y *=Q m (x )e lx .(2)如果l 是特征方程r 2+pr +q =0 的单根,则l 2+pl +q =0,但2l +p0,要使等式Q(x )+(2l +p )Q(x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).成立,Q (x )应设为m +1 次多项式:Q (x )=xQ m (x ), Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1++b m -1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数,可确定b 0,b 1,,b m ,并得所求特解y *=xQ m (x )e lx .(3)如果l 是特征方程r 2+pr +q =0的二重根,则l 2+pl +q =0,2l +p =0,要使等式Q (x )+(2l +p )Q(x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).成立,Q (x )应设为m +2次多项式:Q (x )=x 2Q m (x ), Q m (x )=b 0x m +b 1x m -1++b m -1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数,可确定b 0,b 1,,b m ,并得所求特解y *=x 2Q m (x )e lx .综上所述,我们有如下结论:如果f (x )=P m (x )e lx ,则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy =f (x )无形如y *=x k Q m (x )e lx的特解,其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式,而k 按l 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根顺次取为0、1或2.例1求微分方程y-2y -3y =3x +1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f (x )是P m (x )e lx 型(其中P m (x )=3x +1,l =0). 与所给方程对应的齐次方程为y -2y -3y =0,它的特征方程为r 2-2r -3=0.因为这里l =0不是特征方程的根,所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程,得 -3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数,得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3,-2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1,311=b .因而求得所给方程的一个特解为31*+-=x y . 例2求微分方程y -5y +6y =xe 2x 的通解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )是P m (x )e lx 型(其中P m (x )=x ,l =2).与所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2,r 2=3.因而所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .因为l =2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程,得 -2b 0x +2b 0-b 1=x .比较两端x 同次幂的系数,得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b -2b 0=1,2b 0-b 1=0.由此求得210-=b ,b 1=-1.因而求得所给方程的一个特解为x e x x y 2)121(*--=.从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=.提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x (b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x ][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0xb 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2x 5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b1x )×2]e 2x 6(b 0x 2+b 1x )e 2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e 2x [2b 0x +2b 0b 1]e 2x方程y+py+qy =e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解方式利用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=,)(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l ,n }.设方程y +py+qy =P (x )e (l +iw )x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (l +iw )x ,则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解,其中k 按l iw 不是特征方程的根或是特征方程的根顺次取0或1.因而方程y +py +qy =e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为 =x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ].综上所述,我们有如下结论:如果f (x )=e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ],则二阶常系数非齐次线性微分方程y +py +qy =f (x )的特解可设为y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式,m =max{l ,n },而k 按l +i w (或l -iw )不是特征方程的根或是特征方程的单根顺次取0或1. 例3求微分方程y +y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )属于e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0,w =2,P l (x )=x ,P n (x )=0）.与所给方程对应的齐次方程为y +y =0,它的特征方程为r 2+1=0.因为这里l +iw =2i 不是特征方程的根,所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程,得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x .比较两端同类项的系数,得31-=a ,b =0,c =0,94=d .因而求得一个特解为x x x y 2sin 942cos 31*+-=.提示 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *=a cos2x 2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x (2cx +a 2d )cos2x +(2ax 2b c )sin2xy *=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax 2b c )c os2x (4ax 4b 4c )cos2x (4cx 4a 4d )sin2xy * y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a ,b =0,c =0,94=d .。
一元二阶微分方程通解
一元二阶微分方程通解
一元二阶微分方程通解的求解方法有多种，下面以常系数齐次线性微分方程为例进行说明。
一般形式的一元二阶齐次线性微分方程可以写成：
a*d^2y/dx^2 + b*dy/dx + c*y = 0
其中，a、b、c都是常数。
首先，我们需要找到该微分方程的特征方程。
假设y=e^(rx)是方程的解，代入微分方程中，得到特征方程：
a*r^2 + b*r + c = 0
解这个特征方程，可以得到两个根r1和r2。
根据根的情况，分为三种情况：
1. 当特征方程有两个不相等的实根r1和r2时，通解形式为：
y = C1*e^(r1*x) + C2*e^(r2*x)
其中C1和C2为任意常数。
2. 当特征方程有一个重根r时，通解形式为：
y = (C1 + C2*x)*e^(r*x)
其中C1和C2为任意常数。
3. 当特征方程有一对共轭复根α±βi时，通解形式为：
y = e^(α*x)*(C1*cos(β*x) + C2*sin(β*x))
其中C1和C2为任意常数。
需要注意的是，以上是针对齐次线性微分方程的通解形式。
如果是非齐次线性微分方程，还需要加上一个特解。
二阶微分方程零点孤立
二阶微分方程零点孤立
二阶微分方程零点的孤立，通常是指在特定条件下，方程的根在不同区间内单调或不单调的现象。
这在数学和工程领域中具有实际意义，因为在某些情况下，我们可能需要关注系统在不同区间内的动态行为。
对于二阶微分方程，其通解可以表示为：
x'' + p(x') + q = 0
其中，p(x')和q是已知函数。
要找到这个方程的零点，我们需要解决以下问题：
x'' + p(x') + q = 0
对于这个方程，我们可以使用数值方法（如欧拉法、龙格库塔法等）求解，从而得到近似解。
而在实际应用中，我们通常关心的是零点的孤立现象，即在不同区间内的动态行为。
。
二阶微分方程解法(参考模板)
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y+py +qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx代入方程 y +py +qy =0得(r 2+pr +q )e rx=0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y+py +qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又xr r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r xr x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y xr xr ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ib 时, 函数y =e(a +ib )x、y =e(a ib )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e axcos bx 、y =e axsin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1e(a +ib )x和y 2e(a ib )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (a +ib )x e x (cos x i sin x )y 2e(aib )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα故e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 也是方程解.可以验证, y 1=e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e ax(C 1cos bx +C 2sin bx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程y +py +qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y-2y -3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为 r 2-2r -3=0, 即(r 1)(r 3)0其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为 y =C 1e -x+C 2e 3x.例2 求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0, 即(r1)20其根r1=r2=1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导, 得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程: 方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + + p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程, 其中p1, p2 , , p n-1, p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n)y=0或L(D)y0注 D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y D n y y(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应: 单实根r 对应于一项: Ce rx;一对单复根r 1, 2=a ib 对应于两项: e ax(C 1cos bx +C 2sin bx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + +C k x k -1); 一对k 重复根r 1, 2=a ib 对应于2k 项:e ax[(C 1+C 2x + +C k x k -1)cos bx +( D 1+D 2x + +D k x k -1)sin bx ]. 例4 求方程y (4)-2y +5y=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0, 它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=12i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x(C 3cos2x +C 4sin2x ). 例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解, 其中b 0.解 这里的特征方程为 r 4+b 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为 )2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y +py +qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法: 一、 f (x )=P m (x )e lx型当f (x )=P m (x )e lx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e lx , 将其代入方程, 得等式 Q(x )+(2l +p )Q(x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).(1)如果l 不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则l 2+pl +q 0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=Q m(x)e lx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根, 则l2+pl+q=0, 但2l+p0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=xQ m(x)e lx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根, 则l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=x2Q m(x)e lx.综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=P m(x)e lx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy =f(x)有形如y*=x k Q m(x)e lx的特解, 其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式, 而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f(x)是P m(x)e lx型(其中P m(x)=3x+1, l=0).与所给方程对应的齐次方程为y-2y-3y=0,它的特征方程为r2-2r-3=0.由于这里l=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y*=b0x+b1.把它代入所给方程, 得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比较两端x同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y . 例2 求微分方程y-5y +6y =xe 2x的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e lx型(其中P m (x )=x , l =2). 与所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于l =2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得 -2b 0x +2b 0-b 1=x . 比较两端x 同次幂的系数, 得 ⎩⎨⎧=-=-0212100b b b -2b 0=1, 2b 0-b 1=0.由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=. 从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=. 提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x (b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2x5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x6(b 0x 2+b 1x )e 2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e 2x[2b 0x +2b 0b 1]e 2x方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式应用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i nx i xi l x ωωωωλ---++=x i nl x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-=x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y+py+qy =P (x )e(l +iw )x的特解为y 1*=x k Q m (x )e(l +iw )x,则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解, 其中k 按l iw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++=)sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= =x k e lx[R(1)m(x )cos wx +R(2)m(x )sin wx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py +qy =f (x )的特解可设为y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],其中R(1)m(x )、R(2)m(x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按l +i w (或l -iw )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 例3 求微分方程y+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )属于e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0, w =2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y +y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里l +iw =2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=. 提示y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *=a cos2x 2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x(2cx +a2d )cos2x +(2ax 2b c )sin2xy *=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax 2b c )cos2x(4ax4b4c )cos2x(4cx 4a 4d )sin2xy *y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
求解二阶微分方程
求解二阶微分方程二阶微分方程是指形式为$y''+f(x)y'+g(x)y=0$的方程，其中$f(x)$和$g(x)$是已知函数。
在下面的讨论中，我们将介绍如何求解这样的微分方程。
首先考虑形如$y''+ay'+by=0$的方程，其中$a$和$b$都是常数。
这样的方程称为常系数齐次线性二阶微分方程。
对于这类方程，我们可以根据特征方程$λ^2+aλ+b=0$的解来求解。
特征方程的解称为特征根。
1.如果特征方程的根是实数，假设为$r_1$和$r_2$，则方程的通解为$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。
2. 如果特征方程的根是共轭复数，假设为$α±βi$（其中$α$和$β$都是实数），则方程的通解为$y=e^{αx}(c_1\cos(βx)+c_2\sin(βx))$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。
注意：如果特征方程的根是重根，那么在通解中还需要考虑相应的$x$的幂函数项。
接下来考虑形如$y''+ay'+by=r(x)$的方程，其中$r(x)$是已知函数。
这样的方程称为非齐次线性二阶微分方程。
对于这类方程，我们可以先求解齐次线性二阶微分方程的通解$y_h(x)$，然后再寻找非齐次解$y_p(x)$，使得方程的通解为$y=y_h+y_p$。
非齐次线性二阶微分方程的非齐次解$y_p(x)$可以通过待定系数法或变异参数法来求解。
1.待定系数法待定系数法适用于$r(x)$为多项式函数、指数函数、三角函数或多个这些函数的线性组合的情况。
- 若$r(x)$为多项式函数，假设为$P_n(x)$（其中$P_n(x)$是$n$次多项式），则$y_p(x)$的形式为$y_p=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，将$y_p$代入方程，确定待定系数的值。
二阶常系数齐次线性微分方程通解
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，特解
1、当p^2-4q大于等于0时，r和k都是实数，y*=y1是方程的特解。
2、当p^2-4q小于0时，r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一对共轭复根，y*=1/2（y1+y2）是方程的实函数解。
扩展资料：
一阶非齐次线性微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)。
研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。
一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为
y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为
y'+p(x)y=Q(x)。
齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。
对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。
就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法引言：在微积分中，二阶微分方程是一种常见的数学工具，用于描述复杂的物理和工程问题。
解决二阶微分方程可以提供对系统的深入理解，并有助于预测和控制其行为。
本文将介绍几种常见的二阶微分方程的解法，包括常系数线性二阶微分方程、非齐次线性二阶微分方程以及常见特殊形式的二阶微分方程。
一、常系数线性二阶微分方程的解法：常系数线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = 0\\]其中，a、b、c为常数，y是未知函数。
这个方程中的三个系数a、b、c决定了方程的性质和解的形式。
1.特征方程法：解决常系数线性二阶微分方程的一种常见方法是通过求解特征方程来获得解的形式。
通过设定y=e^(rx)，将其代入原方程，可以得到特征方程：\\[ar^2 + br + c = 0\\]根据特征方程的解，可以将原方程的通解表示为：\\[y = C_1e^(r_1x) + C_2e^(r_2x)\\]其中，r1和r2是特征方程的解，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有两个不相等的实根的情况。
2.欧拉方程法：对于具有复数解的特征方程，可以使用欧拉方程法来解决。
通过设y=e^(rx)，将其带入原方程，并使用欧拉公式进行变换，可以得到解的形式：\\[y = e^(ax) (C_1cos(bx) + C_2sin(bx))\\]其中，a和b是特征方程的实部和虚部，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有复数解的情况。
二、非齐次线性二阶微分方程的解法：非齐次线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = f(x)\\]其中，f(x)是已知函数。
为了解决这个方程，首先需要求解对应的齐次方程\\(ay'' + by' + cy = 0\\)的通解。
然后，根据待定系数法或常数变易法，找到非齐次方程的一个特解。
二阶偏微分方程的通解
二阶偏微分方程的通解二阶偏微分方程是指包含两个自变量的二阶微分方程，其中每个自变量都有两次导数。
这种方程通常涉及到物理学、工程学和数学等领域。
本文将介绍如何求解二阶偏微分方程的通解。
一、二阶偏微分方程的定义二阶偏微分方程可以写成如下形式：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=f(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}) $$其中，$u(x,y)$是未知函数，$f(x,y,u,\frac{\partial u}{\partialx},\frac{\partial u}{\partial y})$是已知函数。
二、齐次线性偏微分方程齐次线性偏微分方程指的是$f(x,y,u,\frac{\partial u}{\partialx},\frac{\partial u}{\partial y})=0$的情况。
此时，原方程可以写成如下形式：$$a_{11}\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+a_{12}\frac{\partial^2u}{\partial x \ \ \ \ \ \ \ \ \ y}+a_{22}\frac{\partial^2u}{\ \ \ y^2}=0$$其中$a_{11},a_{12},a_{22}$为常数。
对于这种情况，我们可以采用分离变量法求解。
假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则有：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=X''(x)Y(y),\ \\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=X(x)Y''(y)$$将上式代入原方程得到：$$a_{11}X''(x)Y(y)+a_{12}X'(x)Y'(y)+a_{22}X(x)Y''(y)=0$$将$X''(x)/X(x)$和$Y''(y)/Y(y)$分别移到等号左边，可得：$$\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,\ \ \frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda $$其中$\lambda$为常数。
二阶常系数非齐次微分方程的通解
二阶常系数非齐次微分方程的通解要求给出二阶常系数非齐次微分方程的通解，我们先来回顾一下二阶常系数齐次微分方程的通解形式。
对于二阶常系数齐次微分方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=0$$我们可以设其解为$y=e^{rt}$，其中$r$为待定常数。
将$y=e^{rt}$代入上式，得到：$$r^2e^{rt}+are^{rt}+be^{rt}=0$$化简上式，可得：$$r^2+ar+b=0$$这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解得$r_1$和$r_2$。
对于$r_1$和$r_2$为实数的情况，通解形式为：$$y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
对于$r_1$和$r_2$为复数的情况，通解形式为：$$y=e^{at}(c_1\cos(bt)+c_2\sin(bt))$$其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
接下来我们来讨论二阶常系数非齐次微分方程的通解形式。
对于非齐次微分方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=f(t)$$其中$f(t)$为已知函数，我们首先要找到它的一个特解。
特解可以通过猜测的方法或变异参数法求得。
当特解已知时，我们可以将其带入原方程，然后设通解为特解加上齐次方程的通解。
设特解为$y_p$，齐次方程的通解为$y_c$，则原方程的通解可以表示为：$$y=y_c+y_p$$接下来，我们讨论特解的求解方法。
1.猜测方法：根据非齐次项的形式，我们可以猜测特解的形式，然后将其带入原方程，求解得到特解。
常用的猜测形式有：多项式、指数函数、三角函数、幂函数等。
2.变异参数法：假设特解为$y_p=u(t)y_c$，其中$y_c$为齐次方程的通解，$u(t)$为待定函数，代入原方程得到：$$\frac{d^2(u(t)y_c)}{dt^2}+a\frac{d(u(t)y_c)}{dt}+b(u(t)y_c)=f(t)$$化简后，整理得到：$$y_c\left[\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)\right]+\left[\frac{d^2y_c}{dt^2}+a\frac{dy_c}{dt}+by_c\right]u(t) =f(t)$$由于$\frac{d^2y_c}{dt^2}+a\frac{dy_c}{dt}+by_c=0$，所以上式可化简为：$$y_c\left[\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)\right] = f(t)$$我们可以通过选择合适的$u(t)$，使得$\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)$为一常数或一个已知函数。
二阶微分方程齐次解的通解一定有两个
一、引言微分方程是描述自然现象和工程实践中种种关系的数学工具，它的解对于理解和预测这些现象至关重要。
在微分方程的研究中，齐次二阶微分方程是一个非常重要的概念。
本文将对齐次二阶微分方程的齐次解进行深入探讨，探究其通解一定有两个的证明。
二、齐次二阶微分方程的定义齐次二阶微分方程可以写作形式为y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0的微分方程，其中p(x)和q(x)是定义在区间上的连续函数。
如果p(x)和q(x)是常数，则称为常系数齐次二阶微分方程。
三、齐次二阶微分方程的齐次解1. 定义齐次二阶微分方程的齐次解是指对应的齐次线性微分方程的解。
若y1(x)和y2(x)是齐次线性微分方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0的两个解，则它们的线性组合y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)也是这个微分方程的解，其中c1和c2是任意常数。
2. 通解的定义齐次二阶微分方程的通解指包含了其所有解的解集合，通解可以用线性组合的形式表示出来。
对于齐次二阶微分方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0，它的通解可以表示为y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)，其中y1(x)和y2(x)是方程的两个解，c1和c2是任意常数。
四、齐次解的通解一定有两个的证明1. Bernoulli公式对于齐次二阶微分方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0，我们可以通过Bernoulli公式进行变换，令y(x) = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是待定的函数。
带入方程后可以得到一个关于u(x)和v(x)的一阶常系数齐次线性微分方程。
通过适当的选择u(x)和v(x)，我们可以得到这个一阶微分方程的通解，从而得到原方程的通解。
二阶齐次微分方程的通解 统一用复数
二阶齐次微分方程的通解统一用复数引言概述：
二阶齐次微分方程是数学中的重要概念，它描述了许多自然现象和物理问题中的变化规律。
本文将详细介绍二阶齐次微分方程的通解，并统一使用复数进行表示。
正文内容：
1. 二阶齐次微分方程的定义
1.1 二阶齐次微分方程的一般形式
1.2 齐次性质的解释
2. 二阶齐次微分方程的特征方程
2.1 特征方程的推导
2.2 特征方程的解法
2.3 复数解的引入
3. 复数解的表示
3.1 复数解的定义
3.2 复数解的性质
3.3 复数解的通解表示
4. 实数解与复数解的关系
4.1 实数解与复数解的联系
4.2 实数解的特殊情况
4.3 复数解的物理意义
5. 二阶齐次微分方程的通解
5.1 通解的定义
5.2 通解的求解方法
5.3 通解的表示形式
总结：
总结1：二阶齐次微分方程是描述自然现象和物理问题中变化规律的重要工具。
总结2：复数解的引入使得二阶齐次微分方程的解更加丰富多样。
总结3：通过求解特征方程和应用复数解的表示，可以得到二阶齐次微分方程的通解。
通过本文的介绍，我们对二阶齐次微分方程的通解有了更加深入的了解。
复数解的引入使得我们可以更加灵活地求解和表示二阶齐次微分方程的解。
深入研究二阶齐次微分方程的通解，对于解决实际问题具有重要的意义。
二阶常系数非齐次微分方程的通解和特解
二阶常系数非齐次微分方程的通解和特解二阶常系数非齐次微分方程是指形如y''+py'+qy=F(x)的微分方程，其中p和q是常数，F(x)是已知的函数，y是未知函数。
这类微分方程的解法包括通解和特解。
首先考虑非齐次微分方程的通解。
通解一般分为两部分，即其对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解。
对于齐次微分方程y''+py'+qy=0，它的特征方程为r^2+pr+q=0，其中r是未知常数。
根据特征方程的根的情况分为三种情况：1. 当特征根为实数时，即r1≠r2，则齐次微分方程的通解为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。
其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
2. 当特征根为复数时，即r1=r2=α+iβ，实部为α，虚部为β，则齐次微分方程的通解为y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)。
其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
3. 当特征根为重根时，即r1=r2=r，则齐次微分方程的通解为y=(C1+C2x)e^(rx)，其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
对于非齐次微分方程y''+py'+qy=F(x)，我们可以采用常数变易法求出它的特解：设非齐次微分方程的特解为y1(x)，则y1''+py1'+qy1=F(x)令y1=A(x)e^(mx)，其中A(x)是待定函数，m是未知常数将y1代入上式得到A(x)和m的关系式：A''e^(mx)+2Am'e^(mx)+Am^2e^(mx)+pA'e^(mx)+pAm'e^(mx )+qAe^(mx)=(F(x))/e^(mx)整理得到A''+2mA'+(m^2+p)A=(F(x))/e^(mx)此时我们可以令(A(x))'=0，使得A(x)是一个常数，从而得到一个特解y1=C(e^(mx))，其中C是未知常数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y''+py'+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看,能否适当选取r,使y=e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=e rx代入方程y''+py'+qy=0得(r2+pr+q)e rx=0.由此可见,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=e rx就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1qp p r -±+-=求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以x r xe y 12=也是方程的解, 且x exe y y xr xr ==1112不是常数.因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x都是方程的解, 而由欧拉公式,得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α-i β)x =e αx(cos βx -i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα,y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x -=βα.故e αx cos βx 、y 2=e αxsin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αxsin βx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e αx (C1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解.解所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x.例2 求方程y''+2y'+y=0满足初始条件y|x=0=4、y'|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y'=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y'|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y''-2y'+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +⋅⋅⋅+p n-1y'+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n-1,p n 都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y', D2y=y'', D3y=y''',⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+ p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r 对应于一项: Ce rx; 一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项:e αx (C 1cos βx +C 2sin βx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k -1); 一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项:e αx[(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k -1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D kx k -1)sin βx ].例4 求方程y (4)-2y '''+5y ''=0 的通解. 解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0, 它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i . 因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x(C 3cos2x +C 4sin2x ). 例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0. 解 这里的特征方程为 r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为 )2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程:方程y''+py'+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p、q是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和:y=Y(x)+ y*(x).当f(x)为两种特殊形式时,方程的特解的求法:一、f(x)=P m(x)eλx型当f(x)=P m(x)eλx时,可以猜想,方程的特解也应具有这种形式.因此,设特解形式为y*=Q(x)eλx,将其代入方程,得等式 Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).(1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0 的根,则λ2+pλ+q≠0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,b m,并得所求特解y*=Q m(x)eλx.(2)如果λ是特征方程r2+pr+q=0 的单根,则λ2+pλ+q=0,但2λ+p≠0,要使等式Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,b m,并得所求特解y*=xQ m(x)eλx.(3)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则λ2+pλ+q=0, 2λ+p=0,要使等式Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,b m,并得所求特解y*=x2Q m(x)eλx.综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=P m(x)eλx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f(x)有形如y*=x k Q m(x)eλx的特解,其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y''-2y'-3y=3x+1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0).与所给方程对应的齐次方程为y ''-2y '-3y =0,它的特征方程为r 2-2r -3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得 -3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1, 比较两端x 同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=--=-1323310b b b , -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为31*+-=x y .例2 求微分方程y ''-5y '+6y =xe 2x的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m(x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2).与所给方程对应的齐次方程为y ''-5y '+6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得 -2b 0x +2b 0-b 1=x . 比较两端x 同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=-=-021210b b b , -2b 0=1, 2b 0-b 1=0.由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为x e x x y 2)121(*--=.从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=.提示:y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x]'=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x, [(b 0x 2+b 1x )e 2x]''=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x.y *''-5y *'+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]''-5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]'+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x-5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x=[2b 0+4(2b 0x +b 1)-5(2b 0x +b 1)]e 2x =[-2b 0x +2b 0-b 1]e 2x .方程y ''+py '+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式 应用欧拉公式可得 e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ] ]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i n x i xi l x ωωωωλ---++= x i n l x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=, 其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ''+py '+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解,其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.于是方程y ''+py '+qy =e λx[P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++==x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx[P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ''+py '+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω(或λ-i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ''+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e λx[P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）.与所给方程对应的齐次方程为y ''+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=.提示:y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *'=a cos2x -2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x , =(2cx +a +2d )cos2x +(-2ax -2b +c )sin2x ,y *''=2c cos2x -2(2cx +a +2d )sin2x -2a sin2x +2(-2ax -2b +c )cos2x=(-4ax -4b +4c )cos2x +(-4cx -4a -4d )sin2x .y *''+ y *=(-3ax -3b +4c )cos2x +(-3cx -4a -3d )sin2x .由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a , 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .。