振幅型光瞳滤波合成孔径光学超分辨成像新方法

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振幅型光瞳滤波合成孔径光学超分辨成像新方法
赵维谦，邱丽荣，沙定国
北京理工大学 光电学院,北京（100081）
E-mail：zwq669@126.com
摘 要：提出一种新的光瞳滤波合成孔径光学超分辨成像方法，建立了包含子孔径系统口径 大小、子孔径个数、子孔径空间位置、以及子孔径光瞳滤波器特性等参数在内的光瞳滤波合 成孔径光学成像方法的三维点扩展函数（3-D PSF）和三维调制传递函数（3-D MTF）模型， 依据建立的该模型对光瞳滤波合成孔径超分辨成像方法的分辨特性等进行了分析和数值仿 真。 数值仿真表明： 光瞳滤波合成孔径光学超分辨成像方法比现有的光学合成孔径成像方法 具有更高的分辨能力。 关键词：超分辨成像、合成孔径、光瞳滤波 中图分类号：O43
MTF ( f x , f y ) =
1 S0
∑∑ MTF ( f
m=1 n=1 p
M N
M
M
x
−
xm − xn y −y , fy − m n ) λd λd
(4)
其中，S0 为零频调制传递函数 MTF(0, 0)，可用瞳函数的面积表示：
2 2 S0 = π ∑∑ tm ( j ) (am ( j ) − am ( j −1) ) m =1 j =1
= ∑∑ [ hm (ξ ,η ) ⋅ h (ξ ,η ) ⋅ e
* n
]
(8)
其中，子孔径振幅点扩展函数为
1 2 hm (ξ ,η) = ⋅π am ⋅ 2 (λd)
式中 r =
2J1(
2π ram ) λd 2π ram λd
(9)
ξ 2 + η 2 ，J1 为一阶贝塞尔函数。
xm − xn y − yn , fy − m ) λd λd
P ( x, y ) = ∑ circle(
m =1
3
x2 + y 2 ) * δ ( x − xm , y − ym ) am
(7)
由式（2）得其强度点扩散函数 IPSF 为：
IPSF (ξ ,η ) = h(ξ ,η )
3 3 m =1 n =1
2 −i 2π b[(sin ϕ m − sin ϕ n )ξ + (cos ϕ m − cos ϕ n )η ] λd
（fx, fy）为调制传递函数的频谱坐标，MTFp(fx, fy)为具有 N 区光瞳滤波器的子孔径系统的 MTF(fx, fy)，为：
-3-
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MTFp ( fx , f y ) = ∑∑t j ⋅ tk ⋅ e
j =1 k =1 N N
N
N
i (ϕ j −ϕk )
1．引 言
光学合成孔径成像技术是目前光学领域改善大孔径成像系统分辨力的主要技术途径。 光 学合成孔径成像技术可通过易于制造的多个小孔径光学系统的空间匹配和合成组合， 来达到 或超过大孔径光学成像系统的成像分辨能力。 该技术除可用于改善光学系统的成像分辨能力 外，还可大幅降低大型光学系统的制造难度、减小光学系统的体积结构等，因而，近来已开 始用于地基大型望远系统、天基大型望远系统和空间遥感光学系统等成像技术领域[1-9]。 如图 1 所示， 现有的光学合成孔径成像技术主要是通过优选光学系统的子孔径口径大小 am、子孔径个数 m、子孔径之间的位置参数(rm,ϕm)，来改善光学合成孔径系统的成像分辨能 力等[10-15]。
⋅ MTFd (m( j),n(k )) − ∑∑t j ⋅ tk ⋅ e
j =1 k =2 N N
N
N
i (ϕ j −ϕk )
⋅MTFd (m( j),n(k −1)) (5) ⋅ MTFd (m( j−1),n(k −1))
− ∑∑t j ⋅ tk ⋅ e
j =2 k =1
i (ϕ j −ϕk )
图1
合成孔径的子孔径排列示意图
Fig.1 Sub-apertures arrangement of synthetic aperture
但现有合成孔径成像技术，用于光学系统成像时，仍存在以下制约：
1
本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：No.20050213035） 、北京市自然基金（项目编
-2-
(1)
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式中， am ( j ) = ε m ( j ) a m 为第 m 个子孔径第 j 区的半径，εm(j)为第 m 个子孔径光瞳滤波器第 j 区的归一化半径，且 ε m (0源自文库 = 0、ε m ( N ) = 1 ，tm(j)∈[0,1]是第 m 个子孔径光瞳滤波器第 j 区的振 幅透过率函数，ϕm(j)∈[0,2π)是第 m 个子孔径光瞳滤波器第 j 区的相位函数。 根据衍射成像理论[16]，则像面上（ξ,η）处的强度点扩散函数（IPSF）为：
由式(4)~(6)得其调制传递函数 MTF 为：
MTF ( f x , f y ) =
3
1 S0
∑∑ MTF ( f
m =1 n =1 p
3
3
x
−
(10)
2 ，MTFp(fx,fy)为子孔径系统的 MTF(fx,fy)，为 其中， S0 = π ∑ am m =1
2 2 ⎧ π ⋅ min(am , an ) (0 ≤ f r ≤ am − an ) ⎪ 2 2 2 2 2 2 2 an + f r2 − am an + f r2 − am ⎪ −1 an + f r − am 2 a [ arc cos ( ) − ⋅ 1 − ( )2 n ⎪ 2an f r 2an f r 2an f r ⎪ ⎪ 2 2 2 2 2 2 2 MTFp ( f x , f y ) = ⎨ (11) am am + f r2 − an + f r2 − an −1 am + f r − an 2 2 a [ arc cos ( ) 1 ( ) + − ⋅ − ⎪ m 2am f r 2am f r 2am f r ⎪ ⎪ ( am − an < f r < am + an ) ⎪ 0 ( f r ≥ am + an ) ⎪ ⎩
⋅MTFd (m( j−1),n(k )) + ∑∑t j ⋅tk ⋅ e
j =2 k =2
i (ϕ j −ϕk )
MTFd ( m ( j ), n ( k )) ( f x , f y ) 为两不等孔径圆的互相关函数，为：
2 2 ⎧ π ⋅ min(am (0 ≤ fr ≤ am( j ) − an(k ) ) ( j ) , an( k ) ) ⎪ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎪ an an an ( k ) + f r − am( j ) ( k ) + fr − am( j ) ( k ) + f r − am( j ) 2 2 −1 ⎪ an(k ) [arc cos ( )− ) ⋅ 1− ( 2an(k ) fr 2an(k ) fr 2an(k ) fr ⎪ ⎪ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 MTFd (m( j ),n(k )) = ⎨ am am am ( j ) + f r − an( k ) ( j ) + f r − an( k ) ( j ) + f r − an ( k ) 2 2 −1 )− ) ⋅ 1− ( ⎪ +am( j ) [arc cos ( 2am( j ) fr 2am( j ) fr 2am( j ) fr ⎪ ⎪ ( am( j ) − an(k ) < fr < am( j ) + an(k ) ) ⎪ ⎪ ( fr ≥ am( j ) + an(k ) ) ⎩0
IPSF (ξ ,η ) = h (ξ ,η ) = =
2 2π ( ξ x +η y ) λd 2
∑e
m =1 M
M
i
2π ( ξ x m +η y m ) λd
∫∫
∞
−∞
Pm ( x , y ) ⋅ e
2
i
dxdy
(2)
∑e
m =1 M
i
2π ( ξ x m +η y m ) λd
hm (ξ ,η )
hm (ξ ,η) =
1 N am( j ) 2π rρ iϕ 2 tm( j )e m( j ) ρ J0 ( )d ρ 2 ∑ ∫a (λd) j=1 m( j−1) λd
N
1 iϕ 2 = ⋅{ t e m( j ) ⋅[π am ( j) ⋅ 2 ∑ m( j ) (λd) j=1
式中 r =
2J1(
2π ram( j )
2π ra(m, j )
λd
)
−π a
2 m( j −1)
⋅
2J1(
2π ram( j−1)
2π ram( j−1)
λd
) ]}
(3)
λd
ξ 2 + η 2 ，J0、J1 为零阶和一阶贝塞尔函数。
λd
根据调制传递函数 MTF 与瞳函数的关系[18]，可知 N 区圆对称振幅型光瞳滤波 M 个子 孔径光学合成孔径超分辨成像系统的传递函数 MTF 为：
(6)
式中 f r = λ d
f x2 + f y2 为频域的极坐标频率，d 为成像系统的像面距离。
依据上述模型，可优化 N 区超分辨光瞳滤波器的光学参数和结构参数，以及 M 个子孔 径光学系统的子孔径的数量、 孔径大小和位置参数等， 使光学合成孔径超分辨成像系统点扩 散函数和调制传递函数满足设计要求， 继而确定设计的光学合成孔径超分辨成像系统的子孔 径数、光学参数和结构参数等。
号：No.3082016） 、国家自然基金（项目编号：No.60708015）的资助。 -1-
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1） 增加子孔径数 m 可提高系统的成像分辨力，但其必然导致机械结构的复杂化和系 统制造成本的增加； 2） 增大系统位置长度参数 rm 可提高系统的成像分辨力，但其使系统体积增大、相关 技术的成本增加； 3） 仅通过优化子孔径数 m，位置长度参数 rm 和子孔径大小 am 来优化系统传递函数， 但改善的技术途径受限。 为进一步改善现有光学合成孔径成像技术的分辨成像能力， 本文提出将适用于小孔径光 学系统成像的超分辨光瞳滤波技术融入光学合成孔径成像技术中， 使光学合成孔径超分辨成 像系统分辨能力的改善，除了优化“子孔径尺寸 am”、“子孔径个数 m”及其“子孔径空间位置 分布参数(rm,ϕm)”外，还可优化光学系统中光瞳滤波器的超分辨特性等，这样在合成孔径光 学系统综合优化设计时， 便增加光瞳滤波器超分辨这一新手段， 使合成孔径光学系统的设计 更具“灵活性”，综合系统性能易达到最佳，超分辨性能更显著。
* = ∑ ∑ [ hm (ξ ,η ) ⋅ hn (ξ ,η ) ⋅ e − i 2π [( xm − xn )ξ + ( ym − yn )η ] / λ d ] m =1 n =1
M
式中，M 为子孔径数，λ为光波波长，d 为成像系统的像面距离，(xm, ym)和(xn, yn)分别为第 m 个和第 n 个子孔径的位置坐标，hm(ξ,η)为第 m 个子孔径的振幅点扩散函数 PSF，为[17]：
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图 3 中 A、B、C 分别为三个子孔径的中心位置， 并均匀分布在半径 b=50mm 的圆周上。 A 点坐标为(x1, y1)，B 点坐标为(x2, y2)，C 点坐标为(x3, y3)，OA、OB、OC 与 y 轴夹角分别 为ϕ1、ϕ2、ϕ3。图 3a）中各子孔径尺寸分别为 a1=30mm、a2=27.8mm、a3=32mm，图 3b） 中三个子孔径均为 a=30mm。 由式(1)知其瞳函数表示为：
2．原 理
如图 2 所示，将 N 区圆对称振幅型光瞳滤波器置于 M 个不等口径光学合成孔径成像系 统的子孔径系统中。其中，am 为第 m 个子孔径的半径，其中心位置表示为 Om(xm,ym)或者用 极坐标表示为(rm,ϕm)。
图 2 光瞳滤波合成孔径的子孔径排列示意图 Fig.2 Pupil-filtering sub-apertures arrangement of synthetic aperture
对于 N 区圆对称振幅型光瞳滤波 M 个子孔径光学合成孔径超分辨成像系统，其瞳函数 为：
P ( x, y ) = ∑ Pm ( x − xm , y − ym )
m =1 M
M
= ∑ ∑ tm ( j ) e
m =1 j =1
N
iϕ( j )
x2 + y2 x2 + y2 [circle( ) − circle( )]* δ ( x − xm , y − ym ) am ( j ) am ( j −1)
3．仿真验证
3.1 验证不等孔径的合成孔径效果
如图 3 所示，以三个子孔径合成孔径成像系统为例，比较在等集光面积情况下，不等子 孔径合成孔径系统和等孔径合成孔径成像系统的分辨能力。
(a)不等子孔径
(b)等子孔径
图 3 两个等集光面积的三子孔径光学合成示意图 Fig.3 Optical synthetic aperture of three sub-apertures with equal collecting area (a) unequal sub-aperture (b) equal sub-aperture -4-