高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(3.2)word学案

2．3.2双曲线的几何性质
[学习目标] 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．
[知识链接]
类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线
x 2
a 2－
y2
b2＝1 (a>0，b>0)的哪些几何性质？
答：(1)范围：x≥a或x≤－a；
(2)对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的；
(3)顶点：双曲线有两个顶点A1(－a,0)，A2(a,0)．
[预习导引]
1．双曲线的几何性质
标准方程
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)
y2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)
图形
性
质
范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±
b
a x y＝±
a
b x
离心率e＝
c
a，e∈(1，＋∞)
2.
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
要点一 已知双曲线的标准方程求其几何性质
例1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解 把方程
9y 2－16x 2＝144
化为标准方程y 242－x 2
3
2＝1.
由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；
c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±4
3
x .
规律方法 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．
跟踪演练1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率． 解 将方程
x 2－3y 2＋12＝0
化为标准方程y 24－x 2
12
＝1，
∴a 2＝4，b 2＝12，
∴a ＝2，b ＝23，∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4. ∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.
焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33
x ，离心率e ＝2.
要点二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为13
5
；
(2)渐近线方程为y ＝±1
2
x ，且经过点A (2，－3)．
解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝13
5，
∴a ＝5，b ＝
c 2－a 2＝12，故其标准方程为
y 252－x 2
122
＝1. (2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2
x ，
若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝1
2.①
∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9
b
2＝1.②
由①②联立，无解．
若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝1
2.③
∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4
b 2＝1.④
由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 2
32
＝1.
方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2
＝λ(λ≠0)，
∵A (2，－3)在双曲线上， ∴22
2
2－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 2
32
＝1.
规律方法 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1 (mn >0)，从而直接求得．若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，还可以将方程设为x 2a
2
－y 2
b
2＝λ (λ≠0)，避免讨论焦点的位置． 跟踪演练2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： (1)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝
103
； (2)过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x . 解
(1)e 2＝
109，得c 2a 2＝10
9
，设a 2＝9k ， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k (k ＞0)． 于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2
k ＝1，①
或y 29k －x 2
k
＝1，② 把(3,92)代入①，得k ＝－161与k >0矛盾，无解； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 2
9
＝1.
(2)方法一 首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P (2，－1)在渐近线y ＝－3x 的上方还是下方．如图所示，x ＝2与y ＝－3x 交点为Q (2，－6)，P (2，－1)在Q (2，－6)的上方，所以焦点在x 轴上． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)．
依题意，得⎩⎨⎧
b
a
＝3，4a 2
－1
b 2
＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝359，
b 2＝35.
∴所求双曲线方程为x 2359－y 2
35＝1.
方法二 由渐近线方程y ＝±3x ， 可设所求双曲线方程为
x 2－
y 2
9
＝λ (λ≠0)，(*) 将点P (2，－1)代入(*)，得λ＝35
9，
∴所求双曲线方程为x 2359－y 2
35＝1.
要点三 直线与双曲线的位置关系
例3 直线l 在双曲线x 23－y 2
2＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求l 的方程．
解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，
由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝2x ＋m x 23－y 22＝1得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由根与系数的关系，
得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝3
10(m 2＋2)．
又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，
∴AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5[3625m 2－4×3
10(m 2＋2)]．
∵AB ＝4，∴36
5
m 2－6(m 2＋2)＝16.
∴3m 2＝70，m ＝±
2103
. 由(*)式得Δ＝24m 2－240， 把m ＝±
210
3
代入上式，得Δ>0， ∴m 的值为±
2103
. ∴所求l 的方程为y ＝2x ±
2103
. 规律方法 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x 或y 的一元二次方程．要注意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解．
跟踪演练3 设双曲线C ：x 2a 2－y 2
＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .
(1)求实数a 的取值范围；
(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若P A →＝512
PB →
，求a 的值．
解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a
2－y 2
＝1(a >0)得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.
依题意⎩
⎪⎨⎪⎧
1－a 2≠0，
Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，
所以0<a <2且a ≠1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)， 因为P A →＝512
PB →，
所以(x 1，y 1－1)＝5
12(x 2，y 2－1)．
由此得x 1＝5
12
x 2.
由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根， 且1－a 2≠0，
所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 2
1－a 2
.
消去x 2得－2a 21－a 2＝28960
.由a >0，解得a ＝1713.
1．双曲线x 24－y 2
12＝1的焦点到渐近线的距离为________．
答案 23
解析 ∵双曲线x 24－y 2
12＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3
x －y ＝0的距离为43
2
＝2 3.
2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为________． 答案 －1
4
解析 由双曲线方程
mx 2＋y 2＝1，知
m <0，则双曲线方程可化为
y 2－
x 2
－1m
＝1，则a 2＝1， a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－1
4
.
3．若在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 距离相等的点有两个，则双
曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)
解析 由于到原点O 和右焦点F 距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上，其方程为x ＝c
2.依
题意，在双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相
等的点有两个，所以直线x ＝c 2与右支有两个交点，故应满足c 2>a ，即c
a
>2，得e >2.
4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________．
答案 x 220－y 2
5
＝1
解析 双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0及点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1
b 2＝0，即a 2＝4b 2，
又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20.
1.渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)右
边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．
一、基础达标
1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________． 答案 4 解析
2x 2－y 2＝8
可变形为x 24－y 2
8
＝1，则a 2＝4，a ＝2,2a ＝4.
2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是____________ 答案 y ＝±3x
解析 双曲线方程可化为标准形式：x 21－y 2
3＝1，
∴a ＝1，b ＝3，
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .
3．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为________． 答案 x 24－y 2
12
＝1
解析 依题意焦点在x 轴上，c ＝4，c
a ＝2，∴a ＝2.
b 2＝
c 2－a 2＝12.故方程为
x 24－y 2
12
＝1. 4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于3
2，则双曲线C 的方程是________．
答案 x 24－y 2
5
＝1
解析 依题意得c ＝3，e ＝32，所以a ＝2，从而a 2＝4，b 2＝c 2－a 2
＝5.故方程为x 24－y 2
5＝1.
5．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交
双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________． 答案
3
解析 如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°. 又F 1F 2＝2c ， ∴MF 1＝
2c cos30°＝43
3
c ， MF 2＝2c ·tan30°＝23
3c .
∴2a ＝MF 1－MF 2＝23
3
c .
∴e ＝c
a
＝ 3.
6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2，则C 的渐近线方程为________．
答案 y ＝±1
2
x
解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝1
4，解得
b a ＝12.故C 的渐近线方程为y ＝±1
2x . 7．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线x 29－y 2
16
＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；
(2)F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，其离心率为2.
解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 2
16＝λ (λ≠0)，
将点(－3,23)代入得λ＝1
4
，
所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即4x 29－y 2
4＝1.
(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．
因为F 1F 2＝2c ，而e ＝c
a ＝2.
由双曲线的定义，得 |PF 1－PF 2|＝2a ＝c . 由余弦定理，得
(2c )2＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos ∠F 1PF 2
＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos60°)， 化简，得4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.
又S △PF 1F 2＝1
2PF 1·PF 2·sin60°＝12 3.
所以PF 1·PF 2＝48.
即3c 3＝48，c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12. 故所求双曲线的方程为x 24－y 2
12＝1.
二、能力提升
8．已知圆C 过双曲线x 29－y 2
16
＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双
曲线中心的距离是________． 答案
163
解析 由双曲线的几何性质，易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为±4.故圆心坐标为(4，±473)或(－4，±473)．易求得它到双曲线中心的距离为16
3.
9．双曲线x 24＋y 2
k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．
答案 (－12,0)
解析 双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c
a ＝4－k 2，
又∵e ∈(1,2)，则1<
4－k
2
<2，解得－12<k <0. 10．已知双曲线C ：x 24－y 2
m ＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是
________． 答案 (4，＋∞)
解析 ∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线的开口更开阔，∴双曲线C ：x 24－y 2
m ＝1的离心率e >2，即4＋m 4
>2.∴m >4.
11．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长． 解 双曲线方程可化为x 21－y 2
3＝1，
c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2. ∴F 2(2,0)，又l 的斜率为1. ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵x 1·x 2＝－7
2<0，
∴A 、B 两点不位于双曲线的同一支上． ∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－7
2，
∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·
(－2)2－4×(－7
2
)＝6.
12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线
的标准方程．
解 椭圆方程为x 264＋y 2
16＝1，可知椭圆的焦距为8 3.
①当双曲线的焦点在x 轴上时， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2
＋b 2
＝48，b a ＝3
3
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝36，
b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 2
12＝1.
②当双曲线的焦点在y 轴上时， 设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1 (a >0，b >0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＋b 2
＝48，a b ＝3
3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝12，
b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 2
36＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为 x 236－y 212＝1或y 212－x 2
36＝1. 三、探究与创新 13．给定双曲线
x 2－
y 2
2
＝1，过点B (1,1)是否能作直线m ，使它与所给的双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的m 如果存在，求出它的方程，如果不存在，请说明理由．
解 方法一 设存在直线m 过B 与双曲线交于Q 1、Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点，当直线m 的斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点； 当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为 y －1＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪
⎧
y －1＝k (x －1)，x 2－y 22＝1
得 (2－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －(k 2－2k ＋3)＝0， 设该方程的两根为x 1、x 2， 由根与系数的关系，
第- 11 -页 共11页 得x 1＋x 2＝2k 2－2k k 2－2
＝2，解得k ＝2. 当k ＝2时，Δ＝(2k 2－2k )2＋4(2－k 2)(k 2－2k ＋3)＝－8<0，因此不存在满足题意的直线．
方法二 假设这样的直线l 存在，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22
＝1. ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2， 两式相减，得(2x 21－2x 22)－(y 21－y 22)＝0， ∴2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，
∴2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0.
若直线Q 1Q 2⊥Ox ，则线段Q 1Q 2的中点不可能是点Q (1,1)，
∴直线Q 1Q 2有斜率，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝2. ∴直线Q 1Q 2的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2 得2x 2－(2x －1)2＝2， 即2x 2－4x ＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.
这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．。