高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(3.2)word学案

2．3.2双曲线的几何性质

[学习目标] 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．

[知识链接]

类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线

x 2

a 2－

y2

b2＝1 (a>0，b>0)的哪些几何性质？

答：(1)范围：x≥a或x≤－a；

(2)对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的；

(3)顶点：双曲线有两个顶点A1(－a,0)，A2(a,0)．

[预习导引]

1．双曲线的几何性质

标准方程

x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)

y2

a2－

x2

b2＝1(a>0，b>0)

图形

性

质

范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线y＝±

b

a x y＝±

a

b x

离心率e＝

c

a，e∈(1，＋∞)

2.

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.

要点一 已知双曲线的标准方程求其几何性质

例1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解 把方程

9y 2－16x 2＝144

化为标准方程y 242－x 2

3

2＝1.

由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；

c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±4

3

x .

规律方法 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．

跟踪演练1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率． 解 将方程

x 2－3y 2＋12＝0

化为标准方程y 24－x 2

12

＝1，

∴a 2＝4，b 2＝12，

∴a ＝2，b ＝23，∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4. ∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.

焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33

x ，离心率e ＝2.

要点二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为13

5

；

(2)渐近线方程为y ＝±1

2

x ，且经过点A (2，－3)．

解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝13

5，

∴a ＝5，b ＝

c 2－a 2＝12，故其标准方程为

y 252－x 2

122

＝1. (2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±1

2

x ，

若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝1

2.①

∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9

b

2＝1.②

由①②联立，无解．

若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝1

2.③

∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4

b 2＝1.④

由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 2

32

＝1.

方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2

＝λ(λ≠0)，

∵A (2，－3)在双曲线上， ∴22

2

2－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 2

32

＝1.

规律方法 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1 (mn >0)，从而直接求得．若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，还可以将方程设为x 2a

2

－y 2

b

2＝λ (λ≠0)，避免讨论焦点的位置． 跟踪演练2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： (1)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝

103

； (2)过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x . 解

(1)e 2＝

109，得c 2a 2＝10

9

，设a 2＝9k ， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k (k ＞0)． 于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2

k ＝1，①

或y 29k －x 2

k

＝1，② 把(3,92)代入①，得k ＝－161与k >0矛盾，无解； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 2

9

＝1.