2019-2020学年金华市三校联考中考数学模拟试卷(3月)(有标准答案)

浙江省金华市三校联考中考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题

1．计算（﹣3）+（﹣9）的结果是（）

A．﹣12 B．﹣6 C．+6 D．12

2．某小区居民王先生改进用水设施，在5年内帮助他居住小区的居民累计节水39400吨，将39400用科学记数法表示应为（）

A．0.394×105B．3.94×104C．39.4×103D．4.0×104

3．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）

A．B．C．D．

4．如图，能判定EB∥AC的条件是（）

A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE

5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．

等边三角形

B．

平行四边形

C．

正方形

D．

正五边形

6．一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（）

A．（0，﹣4）B．（0，4） C．（2，0） D．（﹣2，0）

7．数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（）

A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，3

8．已知反比例函数y=，下列结论不正确的是（）

A．图象经过点（1，1）

B．图象在第一、三象限

C．当x＞1时，0＜y＜1

D．当x＜0时，y随着x的增大而增大

9．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）

A．五棱柱B．六棱柱C．七棱柱D．八棱柱

10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD 沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A．B．C．D．

二、填空题

11．在函数y=中，自变量x的取值范围是．

12．底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于．

13．请你写出一个满足不等式2x﹣1＜6的正整数x的值：．

14．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是分．

15．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是．

16．如图，在由24个边长都为1的小正三角形组成的正六边形网格中，以格点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长．

三、解答题（共66分）

17．计算：|﹣5|+（﹣1）2015+2sin30°﹣．

18．解方程组．

19．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．

①求证：△ABE≌△CBD；

②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

20．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）九（1）班的学生人数为，并把条形统计图补充完整；

（2）扇形统计图中m= ，n= ，表示“足球”的扇形的圆心角是度；（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．

21．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）

（1）求点B距水平面AE的高度BH；

（2）求广告牌CD的高度．

（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）

22．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）试说明DF是⊙O的切线；

（2）若AC=3AE，求tanC．

23．问题探究：

（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．

问题解决：

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由．

24．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

浙江省金华市三校联考中考数学模拟试卷（3月份）

参考答案与试题解析

一、选择题

1．计算（﹣3）+（﹣9）的结果是（）

A．﹣12 B．﹣6 C．+6 D．12

【考点】有理数的加法．

【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解．

【解答】解：（﹣3）+（﹣9）=﹣（3+9）=﹣12，故选：A．

【点评】本题考查了有理数的加法运算，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．

2．某小区居民王先生改进用水设施，在5年内帮助他居住小区的居民累计节水39400吨，将39400用科学记数法表示应为（）

A．0.394×105B．3.94×104C．39.4×103D．4.0×104

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：39400=3.94×104，

故选B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）

A．B．C．D．

【考点】概率公式．

【分析】直接根据概率公式求解即可．

【解答】解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，

∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．

故选：B．

【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．

4．如图，能判定EB∥AC的条件是（）

A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE

【考点】平行线的判定．

【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．

【解答】解：A、∠C=∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意；

B、∠A=∠EBD不能判断出EB∥AC，故B选项不符合题意；

C、∠C=∠ABC只能判断出AB=AC，不能判断出EB∥AC，故C选项不符合题意；

D、∠A=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故D选项符合题意．

故选：D．

【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．

5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．

等边三角形

B．

平行四边形

C．

正方形

D．

正五边形

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；

D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．

6．一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（）

A．（0，﹣4）B．（0，4） C．（2，0） D．（﹣2，0）

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【专题】计算题．

【分析】在解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标．

【解答】解：令x=0，得y=2×0+4=4，

则函数与y轴的交点坐标是（0，4）．

故选：B．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，是一个基础题．

7．数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（）

A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，3

【考点】众数；中位数．

【分析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义即中位数是将一组数据从小到大重新排列后，最中间的那个数即可求出答案．

【解答】解：数据1，2，3，3，5，5，5中，

5出现了3次，出现的次数最多，

则众数是5；

最中间的数是3，

则中位数是3；

故选D．

【点评】此题考查了众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．

8．已知反比例函数y=，下列结论不正确的是（）

A．图象经过点（1，1）

B．图象在第一、三象限

C．当x＞1时，0＜y＜1

D．当x＜0时，y随着x的增大而增大

【考点】反比例函数的性质．

【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．

【解答】解：A、x=1，y==1，∴图象经过点（1，1），正确；

B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；

C、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；

D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．

故选D．

【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．

9．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）

A．五棱柱B．六棱柱C．七棱柱D．八棱柱

【考点】认识立体图形．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据棱锥的特点可得九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，然后分析四个选项中的棱柱棱的条数可得答案．

【解答】解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，

A、五棱柱共15条棱，故A误；

B、六棱柱共18条棱，故B正确；

C、七棱柱共21条棱，故C错误；

D、八棱柱共24条棱，故D错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握棱柱和棱锥的形状．

10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD 沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A．B．C．D．

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】压轴题．

【分析】证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．

【解答】解：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，

又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，

∴∠CPD+∠BPE=90°，

又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，

∴∠BEP=∠CPD，

又∵∠B=∠C，

∴△BPE∽△CDP，

∴，即，则y=﹣x2+x，y是x的二次函数，且开口向下．

故选：C．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键．

二、填空题

11．在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥．

【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x﹣1≥0，解得x的范围．

【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，

解得，x≥．

【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

12．底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于2π．

【考点】圆锥的计算．

【分析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．

【解答】解：圆锥的侧面积=2×2π÷2=2π．

故答案为：2π．

【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式．熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．

13．请你写出一个满足不等式2x﹣1＜6的正整数x的值：1，2，3，填一个即可．

【考点】一元一次不等式的整数解．

【专题】开放型．

【分析】首先确定不等式组的解集，然后再找出不等式的特殊解．

【解答】解：移项得：2x＜6+1，

系数化为1得：x≤3.5，

满足不等式2x﹣1＜6的正整数x的值为：1，2，3．

【点评】正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．另外应掌握正整数的概念．

14．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是88 分．

【考点】加权平均数．

【专题】压轴题．

【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．

【解答】解：∵笔试按60%、面试按40%，

∴总成绩是（90×60%+85×40%）=88分，

故答案为：88．

【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．

15．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．

【考点】根的判别式．

【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：

（1）二次项系数不为零；

（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．

【解答】解：根据题意列出不等式组，

解之得a＜1且a≠0．

故答案为：a＜1且a≠0．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

16．如图，在由24个边长都为1的小正三角形组成的正六边形网格中，以格点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长4，2，，．

【考点】勾股定理；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．

【专题】压轴题；网格型．

【分析】在正六边形网格中，首先找出以点P为直角的直角三角形，然后应用勾股定理求其斜边长．

【解答】解：通过作图，知以点P为直角的三角形由四种情况，

如上图，△PCB、△PCA、△PDB、△PDA，均是以点P为直角的直角三角形，

故：在Rt△PCB中，BC===2；

在Rt△PCA中，AC===；

在Rt△PDB中，BD===；

在Rt△PAD中，AD===4．

故所有可能的直角三角形斜边的长为4，2，，．

【点评】本题主要考查勾股定理的应用，难易程度适中．

三、解答题（共66分）

17．计算：|﹣5|+（﹣1）2015+2sin30°﹣．

【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．

【分析】本题涉及绝对值、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：|﹣5|+（﹣1）2015+2sin30°﹣．

=5+（﹣1）+1﹣5

=0．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握乘方、二次根式、绝对值等考点的运算．

18．解方程组．

【考点】解二元一次方程组．

【专题】计算题．

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：，

①+②得：5x=10，即x=2，

将x=2代入①得：y=1，

则方程组的解为．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．

19．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．

①求证：△ABE≌△CBD；

②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质．

【专题】证明题．

【分析】①利用SAS即可得证；

②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．

【解答】①证明：在△ABE和△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD（SAS）；

②解：∵△ABE≌△CBD，

∴∠AEB=∠BDC，

∵∠AEB为△AEC的外角，

∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，

则∠BDC=75°．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

20．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）九（1）班的学生人数为40 ，并把条形统计图补充完整；

（2）扇形统计图中m= 10 ，n= 20 ，表示“足球”的扇形的圆心角是72 度；

（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．

【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．

【分析】（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可；

（2）分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到m、n的值，用喜欢足球的人数所占的百分比乘以360°即可；

（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．

【解答】解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%=40（人），

喜欢足球的人数为：40﹣4﹣12﹣16=40﹣32=8（人），

补全统计图如图所示；

（2）∵×100%=10%，

×100%=20%，

∴m=10，n=20，

表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°；

故答案为：（1）40；（2）10；20；72；

（3）根据题意画出树状图如下：

一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，

∴P（恰好是1男1女）==．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）

（1）求点B距水平面AE的高度BH；

（2）求广告牌CD的高度．

（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；

（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．

【解答】解：（1）过B作BG⊥DE于G，

Rt△ABH中，i=tan∠BAH==，

∴∠BAH=30°，

∴BH=AB=5；

（2）∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，

∴四边形BHEG是矩形．

∵由（1）得：BH=5，AH=5，

∴B G=AH+AE=5+15，

Rt△BGC中，∠CBG=45°，

∴CG=BG=5+15．

Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，

∴DE=AE=15．

∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．

答：宣传牌CD高约2.7米．

【点评】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．

22．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）试说明DF是⊙O的切线；

（2）若AC=3AE，求tanC．

【考点】切线的判定．

【专题】证明题．

【分析】（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；

（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在RT△BEC中，即可求得tanC的值．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵A B=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，

∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE==2AE，

在RT△BEC中，tanC===．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及直角三角函数等，是一道综合题，难度中等．

23．问题探究：

（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．

问题解决：

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由．

【考点】四边形综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）画出互相垂直的两直径即可；

（2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，则直线EF、OM将正方形的面积四等份，根据三角形的面积公式和正方形的性质求出即可；

（3）当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，连接BP并延长交CD的延长线于点E，证△ABP≌△DEP

求出BP=EP，连接CP，求出S

△BPC =S

△EPC

，作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，求出S

△BPC

﹣S

△CQP

+S

△ABP

=S

△CPE

﹣S

△DEP +S

△CQP

，即可得出S

四边形ABQP

=S

四边形CDPQ

即可．

【解答】解：（1）如图1所示，

（2）连接AC 、BD 交于O ，作直线OM ，分别交AD 于P ，交BC 于Q ，过O 作EF⊥OM 交DC 于F ，交AB 于E ， 则直线EF 、OM 将正方形的面积四等份， 理由是：∵点O 是正方形ABCD 的对称中心， ∴AP=CQ，EB=DF ， 在△AOP 和△EOB 中

∵∠AOP=90°﹣∠AOE，∠BOE=90°﹣∠AOE， ∴∠AOP=∠BOE，

∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°， ∴△AOP≌△EOB， ∴AP=BE=DF=CQ，

设O 到正方形ABCD 一边的距离是d ，

则（AP+AE ）d=（BE+BQ ）d=（CQ+CF ）d=（PD+DF ）d ， ∴S 四边形AEOP =S 四边形BEOQ =S 四边形CQOF =S 四边形DPOF ， 直线EF 、OM 将正方形ABCD 面积四等份；

（3）存在，当BQ=CD=b 时，PQ 将四边形ABCD 的面积二等份， 理由是：如图③，连接BP 并延长交CD 的延长线于点E ， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠EDP， ∵在△ABP 和△DEP 中

∴△ABP≌△DEP（ASA ）， ∴BP=EP， 连接CP ，

∵△BPC 的边BP 和△E PC 的边EP 上的高相等， 又∵BP=EP， ∴S △BPC =S △EPC ，

作PF⊥CD，PG⊥BC，则BC=AB+CD=DE+CD=CE ， 由三角形面积公式得：PF=PG ，

在CB 上截取CQ=DE=AB=a ，则S △CQP =S △DEP =S △ABP ∴S △BPC ﹣S △CQP +S △ABP =S △CPE ﹣S △DEP +S △CQP 即：S 四边形ABQP =S 四边形CDPQ ， ∵BC=AB+CD=a+b，

∴BQ=b，

∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．

【点评】本题考查了正方形性质，菱形性质，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，注意：等底等高的三角形的面积相等．

24．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

【考点】二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

【专题】压轴题．

【分析】（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；

（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ=∠CAB时，△PAQ∽△CAB．此时可证得

△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：