要求掌握的几类基本初等函数总结(图像及其性质)

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专题10 基本初等函数(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)

专题10 基本初等函数(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)

专题10 基本初等函数(知识梳理)一、指数与指数函数(一)指数式的化简与求值1、化简原则:①化根式为分数指数幂;②化负指数幂为正指数幂; ③化小数为分数; ④注意运算的先后顺序。

提醒:有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于零,否则不能用性质来运算。

2、结果要求:①题目以根式形式给出,则结果用根式表示;②题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂形式表示;③结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又有负分数指数幂。

例1-1.已知41<a ,则化简42)14(-a 的结果是( )。

A 、a 41-- B 、14--a C 、14-a D 、a 41- 【答案】D【解析】a a a 41)41()14(4242-=-=-,故选D 。

变式1-1.化简3a a ⋅-的结果是( )。

A 、65a - B 、65a -- C 、65a - D 、52a -【答案】B【解析】∵0≤a ,则656565312131213)()()()()(a a a a a a a a a --=--=--=-⋅--=⋅-=⋅-,故选B 。

变式1-2.已知31=+-x x ,求下列各式的值:(1)2121-+xx ;(2)22-+x x ;(3)2323-+xx 。

【解析】(1)∵52)(2)()(1221212122122121=++=+⋅+=+----x x xxx x xx ,∴52121±=+-x x ,又由31=+-x x 得0>x ,∴52121=+-xx ;(2)72)(2122=-+=+--x x x x ; (3)]1))[((])())[(()()(12121221212122121213213212323-++=+⋅-+=+=+-------x x xx xxx x xx xx xx52)13(5=-=。

(二)指数函数的图像和性质1、定义:一般地,函数x a x f =)((0>a 且1≠a )叫做指数函数,其中x 是自变量。

最全高数基本初等函数概念图像及性质完整版

最全高数基本初等函数概念图像及性质完整版

基本初等函数. 幂函数(a 为实数 )要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形..指数函数定义域:,值域:,图形过( 0, 1)点, a>1 时,单调增加; a 时,单调减少。

今后用的较多。

.对数函数定义域:,值域:,与指数函数互为反函数,图形过(1, 0)点, a>1 时,单调增加;a<1 时,单调减少。

.三角函数,奇函数、有界函数、周期函数;,偶函数、有界函数、周期函数;,的一切实数,奇函数、周期函数,的一切实数,奇函数、周期函数;,.反三角函数;;;。

以上是五种基本初等函数,关于它们的常用运算公式都应掌握注:( 1)指数式与对数式的性质由此可知,今后常用关系式,如:( 2)常用三角公式积化和差sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2和差化积sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10 题已知抛物线y x2mx 2m 2 (m 0).( 1)求证:该抛物线与x 轴有两个不同的交点;( 2)过点P(0,n)作y 轴的垂线交该抛物线于点 A 和点 B (点 A 在点 P 的左边),是否存在实数 m,n ,使得 AP2PB ?若存在,则求出m,n 满足的条件;若不存在,请说明理由.答案:解:( 1)证法 1:29 m2,y x2mx 2m2x m24当 m0 时,抛物线顶点的纵坐标为9 m20 ,4顶点总在 x 轴的下方.而该抛物线的开口向上,该抛物线与x 轴有两个不同的交点.(或者,当 m 0 时,抛物线与y 轴的交点(0,2m2)在x轴下方,而该抛物线的开口向上,该抛物线与 x 轴有两个不同的交点.)证法 2:m2 4 1 ( 2m2 ) 9m2,当 m0时, 9m20 ,该抛物线与 x 轴有两个不同的交点.( 2)存在实数m,n,使得AP2PB .设点 B 的坐标为(t,n),由 AP2PB 知,y①当点 B 在点 P 的右边时, t0,点 A 的坐标为(2t, n) ,A PBx 且 t, 2t是关于 x 的方程 x2mx2m2n 的两个实数根.O m24( 2m2n) 9m24n 0 ,即 n9 m2.4且 t ( 2t )m (I), t ( 2)t2(II)m n由( I)得,t m,即m 0.将 t m代入(II)得, n0 .y 当 m0且 n0 时,有 AP2PB .②当点 B 在点 P 的左边时, t0,点 A 的坐标为(2 t,n),且 t,2t 是关于x的方程 x 2mx2m2n 的两个实数根.xOm24( 2m2n) 9m24n 0 ,即 n9 m2.4AB P且 t 2t m (I),t 2t2m2n (II)由( I)得,t m0 .3,即m将 t m代入( II )得,n20 m2且满足 n9 m2.32094当 m0 且n m2时,有AP2PB9第 11 题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下,滑下的距离S (米)与时间t (秒)间的关系式为S 10t t 2,若滑到坡底的时间为 2 秒,则此人下滑的高度为()A.24米B.12米C. 12 3 米D.6米答案:B第 12 题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月 25日起的 180 天内,绿茶市场销售单价y (元)与上市时间t (天)的关系可以近似地用如图( 1)中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z (元)与上市时间t (天)的关系可以近似地用如图(2)的抛物线表示.y (天)z(元 )16060140( 180, 92)5012040100858036020401020140160100120O20 40 6080 100 120150 180t(天)O204060 80110140160 180t(天 )( 1)直接写出图(1)中表示的市场销售单价y (元)与上市时间t (天)(t0)的函数关图 (1)图 (2)系式;( 2)求出图( 2)中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t (天)(t 0)的函数关系式;( 3 )认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?(说明: 市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500 克.)答案:解:( 1)依题意,可建立的函数关系式为:2 t 160 (0t,3 120)y 80 (120 ≤ t,150)2 20 (150 ≤t ≤ .5( 2)由题目已知条件可设za(t 110) 220 .85图象过点 (60, ) ,385 a(60 110) 2 20. a1 . 3300z1(t 110) 2 20 (t 0 ). 300( 3)设纯收益单价为W 元,则 W =销售单价 成本单价.2 1601110) 220 (0 t,t(t120)3300故W 801 (t 220(120 ≤t,300 110)150)2 201 220 (150 ≤ t≤.5300化简得1 2100(0,300W1(t 110)2 60 (120≤ t 150), 30012 56 (150 ≤ t ≤.300①当 W1 (t 10)2 100(0 t 120) 时,有 t 10时, W 最大,最大值为 100;300②当 W1 (t 110)2 60(120 ≤ t 150) 时,由图象知,有 t 120 时, W 最大,最大300值为 59 2 ;3③当 W1 (t 170)2 56(150 ≤ t ≤ 180) 时,有 t 170 时, W 最大,最大值为 56.300综上所述,在 t 10 时,纯收益单价有最大值,最大值为100 元.第 13 题如图,足球场上守门员在O 处开出一高球,球从离地面1 米的 A 处飞出( A 在 y 轴上),运动员乙在距O 点6 米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约 4 米高,球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.( 1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.( 2)足球第一次落地点 C 距守门员多少米?(取 43 7)( 3)运动员乙要抢到第二个落点D ,他应再向前跑多少米?(取26 5)y4 M2 1 AOBCDx答案:解:( 1)( 3 分)如图,设第一次落地时,抛物线的表达式为ya(x6) 2 4.y由已知:当 x 0 时 y 1.即 1 36a 4, a1 . 4M12E FN表达式为 y124. 2 ( x 6)1 A1 x2 12OBCDx(或 yx 1 )12 1( 2)(3 分)令 y0, ( x6)2 4 0.12(x6)2 48. x 4 3 6 ≈ 13,x4 3 6 0 (舍去).12足球第一次落地距守门员约 13 米.( 3)(4 分)解法一:如图,第二次足球弹出后的距离为CD根据题意: CDEF (即相当于将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位)21( x 6) 24解得 x6 2 6,x2 6 26.121CD x 1 x 2 4 6 ≈10.BD 13 6 1017 (米).解法二: 令1( x 6) 2 4 0.12解得x 1 6 4 3 (舍), x 26 4 3 ≈13.点 C 坐标为( 13, 0).设抛物线 CND 为 y1( x k) 2 2.12将 C 点坐标代入得:1(13 k) 2 2 0.12解得:k 1 13 2 613 (舍去),k 2 6 4 3 2 6 ≈ 6 7 5 18.y1( x 18)2 212 令 y0, 01( x 18)2 2.12x 118 2 6 (舍去), x 2 18 2 6≈23.BD 23 6 17 (米).解法三:由解法二知, k 18,所以 CD 2(18 13) 10, 所以 BD(136) 10 17.答:他应再向前跑17 米.第 14 题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜.通过调查得知:平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费 2.7 万元;购置滴灌 设备,这项费用(万元)与大棚面积(公顷)的平方成正比,比例系数为 0.9 ;另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支 0.3 万元.每公顷蔬菜年均可卖7.5 万元.y (万元),( 1)基地的菜农共修建大棚 x (公顷),当年收益(扣除修建和种植成本后)为写出 y 关于 x 的函数关系式.( 2)若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得 5 万元收益,工作组应建议他修建多少公项大棚.(用分数表示即可)( 3)除种子、化肥、农药投资只能当年受益外, 其它设施 3 年内不需增加投资仍可继续使用. 如果按 3 年计算,是否修建大棚面积越大收益越大?修建面积为多少时可以得到最大收益?请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议.答案:( 1) y 7.5x2.7x 0.9x 20.3x0.9x 2 4.5x .( 2)当 0.9x 24.5x5 时,即 9x 245x 50 0 , x 15 , x 2 1033从投入、占地与当年收益三方面权衡,应建议修建5公顷大棚.(3)设3Z (万元)3年内每年的平均收益为Z 7.5x0.9x 0.3x20.3x0.3x2 6.3x20.3 x 10.5 33.075(10分)不是面积越大收益越大.当大棚面积为10.5 公顷时可以得到最大收益.建议:①在大棚面积不超过10.5公顷时,可以扩大修建面积,这样会增加收益.②大棚面积超过10.5公顷时,扩大面积会使收益下降.修建面积不宜盲目扩大.③当 0.3x2 6.3x0时, x10 , x2 21.大棚面积超过21公顷时,不但不能收益,反而会亏本.(说其中一条即可)第 15 题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品,每件的生产成本为18 元,按定价 40元出售,每月可销售 20 万件.为了增加销量,公司决定采取降价的办法,经市场调研,每降价 1元,月销售量可增加 2 万件.(1)求出月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式(不必写x的取值范围);(2)求出月销售利润z(万元)(利润=售价-成本价)与销售单价x(元)之间的函数关系式(不必写 x 的取值范围);(3)请你通过( 2)中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围,使月销售利润不低于 480 万元.答案:略.第 16 题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为8m ,宽为 2m ,隧道最高点P 位于 AB 的中央且距地面6m ,建立如图所示的坐标系(1)求抛物线的解析式;(2)一辆货车高4m,宽2m,能否从该隧道内通过,为什么?(3)如果隧道内设双行道,那么这辆货车是否可以顺利通过,为什么?yPA BO Cx答案:( 1)由题意可知抛物线经过点A0,2 ,P 4,6 ,B 8,2设抛物线的方程为y ax2bx c将 A,P,D 三点的坐标代入抛物线方程.解得抛物线方程为y1x22x 24( 2)令 y4 ,则有 1 x 2 2x2 44解得x 14 2 2, x 2 4 2 2x 2 x 14 2 2货车可以通过.( 3)由( 2)可知1x 2 x 1 2 2 22 货车可以通过.第 17 题如图,在矩形ABCD 中, AB 2 AD ,线段 EF 10 .在 EF 上取一点 M ,分别以EM , MF 为一边作矩形 EMNH 、矩形 MFGN ,使矩形 MFGN ∽ 矩形 ABCD .令 MN x ,当 x 为何值时,矩形 EMNH 的面积 S 有最大值?最大 D C值是多少?ABHN GEMF答案:解:矩形 MFGN ∽ 矩形 ABCD ,MN MF .AD ABAB2 AD , MN x ,MF 2x .EMEFMF 10 2x .Sx(10 2x) 2 x 2 10x22 52 x52.2当 x5时, S 有最大值为25.22第 18 题某企业信息部进行市场调研发现:信息一:如果单独投资A 种产品,则所获利润 y A (万元)与投资金额 x (万元)之间存在正比例函数关系: y A kx ,并且当投资 5 万元时,可获利润 2 万元.信息二:如果单独投资B 种产品,则所获利润y B (万元)与投资金额 x (万元)之间存在二次函数关系:y B ax 2 bx ,并且当投资2 万元时,可获利润 2.4 万元;当投资4 万元时,可获利润 3.2 万元.(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;(2)如果企业同时对A,B两种产品共投资 10 万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少?答案:解:(1)当x 5 时,y1,,0.4 ,2 25k ky A0.4x ,当x 2 时,y B 2.4 ;当x 4 时,y B 3.2.2.44a2b3.216a4ba0.2解得1.6by B0.2x2 1.6 x .( 2)设投资B种商品x万元,则投资 A 种商品(10x) 万元,获得利润W万元,根据题意可得W0.2x2 1.6 x0.4(10 x)0.2 x2 1.2x4W0.2( x3)2 5.8当投资 B 种商品 3 万元时,可以获得最大利润 5.8 万元,所以投资A种商品7万元, B种商品 3 万元,这样投资可以获得最大利润 5.8 万元.第 19 题如图所示,图(1)是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图,拱高为30m ,支柱 A3 B3 50m , 5 根支柱 A1 B1, A2 B2, A3 B3, A4 B4,A5 B5之间的距离均为15m ,B1B5∥ A1 A5,将抛物线放在图( 2)所示的直角坐标系中.(1)直接写出图( 2)中点 B1, B3, B5的坐标;(2)求图( 2)中抛物线的函数表达式;( 3)求图( 1)中支柱 A2 B2, A4 B4的长度.B3yB2B430m B3B1B5B1B5A1A2 A3 A4 A5O l图 (1)图(2)答案:B1 ( 30, 0) , B3 (0,30) , B5 (30,0) ;(1)( 2)设抛物线的表达式为y a(x 30)( x30) ,把 B3 (0,30) 代入得 y a(030)(030)30 .∴ a 1.301( x∵ 所求抛物线的表达式为:y30)( x30) .30( 3)∵B4点的横坐标为15,∴ B4的纵坐标 y41(1530)(1530)45.302∵ A3B350 ,拱高为30,∴立柱 A4B4 204585(m) .2285(m) 。

(完整版)基本初等函数图像及性质大全(初中高中)

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一、一次函数与二次函数 (一)一次函数一次k kxb k 0函数k , bk 0k符号b 0b 0b 0b 0b 0b 0y y y y y y图象OxOxOx性质y 随 x 的增大而增大(二)二次函数(1)二次函数分析式的三种形式 O xOxOxy 随 x 的增大而减小①一般式: f ( x) ax 2 bx c(a0) ②极点式: f (x)a( x h) 2 k (a 0)③两根式: f ( x) a( x x 1)( x x 2 )(a 0)( 2)求二次函数分析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的极点坐标或与对称轴相关或与最大(小)值相关时,常使用极点式.③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,采用两根式求 f (x) 更方便.(3)二次函数图象的性质f xax 2 bx c a0 a 0 a 0图像xbxb2 a2 a定义域,对称轴xb2a极点坐标b 4 ac b 22 a,4 a值域4 ac b 2,,4 acb 24 a4 a, b 递减, b递加2a 单一区间2 ab递加 b, 递减,2 a2 a①. 二次函数f ( x) ax2 bx c(a 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x b , 极点坐标2a是 ( b , 4ac b2 )2a 4a②当 a 0 时,抛物线张口向上,函数在( , b] 上递减,在 [ b , ) 上递加,当 x b 2a 2a 2a4ac b20 时,抛物线张口向下,函数在( b] 上递加,在 [b)时, f min ( x) ;当 a , , 4a 2a 2a上递减,当x4ac b2b时, f max (x)4a.2a二、幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数y x 叫做幂函数,此中x 为自变量,是常数.(2)幂函数的图象过定点:全部的幂函数在(0,) 都有定义,而且图象都经过点(1,1).三、指数函数(1)根式的观点:假如 x na, a R, x R, n 1,且 n N ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.(2)分数指数幂的观点mna m (a①正数的 正分数指数幂 的意义是: a n 0, m, n N , 且 n 1) .0 的正分数指数幂等于 0.m m1)m (a 0, m, n②正数的 负分数指数幂 的意义是: an(1)nn (N , 且 n 1) .0 的负aa分数指数幂没存心义. (3)运算性质①a ra sa r s(a 0, , )r sa rs(a 0, r , s R)r s R ② ( a )③ (ab )rrb r( a 0, b 0, r )a R(4)指数函数函数名称指数函数定义函数 y a x( a且 a 1) 叫做指数函数a 10 a 1yy a xya xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ,即当 x 0 时, y 1.奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数 在 R 上是减函数a x1 ( x 0) a x 1 ( x 0) 函数值的 a x 1 ( x 0)a x1 ( x 0) 变化状况a xa x1 (x 0)1 ( x 0)a 变化对图象的影响 在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.四、对数函数(1)对数的定义: ① 若a xN (a0, 且a1),则 x 叫做以 a为底 N的对数,记作 x log a N ,此中 a 叫做底数, N 叫做真数.② 负数和零没有对数.③ 对数式与指数式的互化:x log a Na xN (a 0, a 1, N0) .(2)几个重要的对数恒等式:log a 1 0 , log a a 1, log a a bb .(3)常用对数与自然对数常用对数: lg N ,即 log 10 N ;自然对数: ln N ,即 log e N (此中 ). (4)对数的运算性质假如 a 0, a 1, M 0, N 0 ,那么①加法: log a M log a Nlog a (MN )②减法: log a M log a Nlog a MN③数乘: n log a M log a M n(n R)④alog aNN⑤ log bMnnlog a M ( b 0, n)⑥换底公式: loga logb N0, 且 b 1)abRN(blog b a(5)对数函数函数名称对数函数定义函数 y log a x( a 0 且 a 1) 叫做对数函数a 10 a 1yx 1yx 1y log a xy log a x图象(1,0)O (1,0)xOx定义域 (0, ) 值域R过定点 图象过定点 (1,0) ,即当 x1 时, y0 .奇偶性非奇非偶单一性在 定义域 上是增函数 在 定义域 上是减函数log a x 0 ( x 1)log a x 0 ( x 1) 函数值的 log a x 0 ( x 1)log a x 0 ( x 1) 变化状况log a x 0 (0x 1)log a x0 (0 x 1)五、反函数 (1)反函数的观点设函数 yf (x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 yf ( x) 中解出 x ,得式子 x ( y) .假如对于 y 在 C 中的任何一个值,经过式子x( y) , x 在 A 中都有独一确立的值和它对应,那么式子 x( y) 表示 x 是 y 的函数, 函数 x( y) 叫做函数 y f (x) 的反函数, 记作 x f1( y) ,习惯上改写成 yf 1 ( x) .( 2)反函数的求法①确立反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 y f ( x) 中反解出 xf 1 ( y) ;③将 x f1( y) 改写成 y f 1 (x) ,并注明反函数的定义域.(3)反函数的性质①原函数 yf ( x) 与反函数 y f1( x)的图象对于直线y x对称.②函数 yf (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1(x) 的值域、定义域.③若 P(a,b) 在原函数 y f ( x) 的图象上,则 P ' (b, a) 在反函数 y f1( x) 的图象上.④一般地,函数 yf ( x) 要有反函数则它一定为单一函数.六、三角函数的图像和性质 (一)正弦与余函数的图像与性质函数y cosxy sin x图像定域义 RR值域1,11,1最值x2k 时 ,y 最大 , k Zx2k 时, y 最大,k Z112x2k 时, y 最小, Zx2k 时, y 最小 ,Z1 k1k2单一性在每个 [2 k, 2k ] 上递加 22在每个 [2k,32 k ] 上递减在每个 [ 2k ,2 k ]上递加在每个 [2 k ,2k ] 上递减奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数, 2 为最小正周期 是周期函数, 2 为最小正周期 对称性对称中心 (k ,0),对称中心 (k ,0) ,2对称轴 : xk ,( k Z )对称轴 : x k ,( kZ )22. 正切与余切函数的图像与性质函数 图像y tan x y cot x定域义{ x | x R 且 xk ,k Z} { x | x R 且xk ,k Z}2值域 RR单一性在每个 (k ,k )上递加 在每个 ( k ,k )上递减2 2k Zk Z奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数, 为最小正周期是周期函数, 为最小正周期对称性对称中心 (k,0)对称中心 (k,0)2 2七、反三角函数的图像与性质1.反正弦与反余函数的图像与性质反正弦函数yarcsin x 反余弦函数 y arccosx函数是y cos x, x 0, 的反函数ysin x , x ,2是 2 的反函数图像定域义1,1 1,1值域,2 0,2单一性在[ 1, 1]上递加在[ 1, 1]上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0) 对称中心 (0, )2 2.反正切与反余切函数的图像与性质函数arctan x 反余切函数 y arccot x反正切函数 y是y tan x, x ( , ) 的反函数是y cot x, x 0,的反函数2 2图像定域义( , , ) ( , , )值域2 2 0,,单一性在 ( , , )上递加在( , , )上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心( 0, 0)对称中心(0,π /2)。

基本初等函数复习课知识总结[1]

基本初等函数复习课知识总结[1]

⑤在R上是增函数.
⑤在R上是减函数.
底数互为
倒数的两个 指数函数
y = ax, y = (1)x a
的函数图像 关于y轴对称。
2、对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质:
a>1
y


o
x
0<a<1
y
o
x
①x∈ (0,+∞) ; ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x> 1时,y> 0, 质 0< x< 1时, y< 0
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
(2)log323与 log565;
【解析】∵y1=40.9=21.8,y2=80.44=21.32, y3=12-1.5=21.5 ,1.8>1.5>1.32.
∴根据指数函数的性质可得,y1>y3>y2.故选D.
知识结构及知识梳理
指数与指数函数
N次方根及其性质 根式及其性质 指数 分数指数幂 有理数指数幂的运算性质
定义
指数函数
图像及性质
基本初等函数
定义 对数 运算性质
对数与对数函数
换底公式
对数函数 定义 图像和性质
定义 幂函数
图像和性质
根式的性质
(1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次
方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号n a 表示.
(2) 已知 log2 3 = a,log3 7 = b,试用a,b表示 log14 56.
指数函数与对数函数 1、指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质:

高考数学中基本初等函数的图像及性质总结

高考数学中基本初等函数的图像及性质总结

高考数学中基本初等函数的图像及性质总结数学作为一门基础学科,在高中阶段的学习中占据非常重要的地位,而在高考数学中,基本初等函数更是赫赫有名。

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等,除了常数函数外,每个函数都有其特点的图像及性质,下面将对其进行总结。

幂函数幂函数是指函数y=x^a,其中a为常数,当a>0时,函数的图像经过(1,1),在第一象限上单调递增;当a<0时,在第一象限上单调递减。

当a=1时,函数为y=x,图像为一条直线。

此外,当a为偶数时,函数在第一象限上为关于y轴对称的,当a为奇数时,函数在第一象限上为关于坐标原点对称的。

指数函数指数函数是指函数y=a^x,其中a为正实数且不等于1。

当a>1时,函数的图像在x轴右侧单调递增,当0<a<1时,在x轴右侧单调递减。

其图像在y轴上通过(0,1),在x轴上不存在渐近线。

对数函数对数函数是指函数y=loga x,其中a为正实数且不等于1,且x>0。

当a>1时,函数在x轴右侧单调递增,当0<a<1时,在x轴右侧单调递减。

其图像在y轴上通过(0,0),在x轴上不存在渐近线。

三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数和余弦函数的图像均为周期函数,其周期为2π,其函数值均在[-1,1]之间。

正弦函数的图像在点(π/2,1)和(3π/2,-1)处取得极值;余弦函数的图像在点(0,1)和(π,-1)处取得极值。

正切函数是一个奇函数,其在点π/2、3π/2、5π/2等处有无穷大趋势。

反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

反正弦函数的定义域为[-1,1],值域为[-π/2,π/2];反余弦函数的定义域为[-1,1],值域为[0,π];反正切函数的定义域为实数集,值域为[-π/2,π/2]。

以上是基本初等函数的图像及性质总结,希望能够对数学学习者有所帮助。

高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1

高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1

高中数学14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种,它们是:1.正比例函数;2.反比例函数;3.根式函数;4一次函数;5.二次函数;6双勾函数.;7..双抛函数;8.指数函数;9对数函数;10.三角函数;11分段函数.;12.绝对值函数;13.超越函数;14.抽象函数。

而函数的性质常见的有:1.定义域;2.值域;3.单调性;4.奇偶性;5.周期性;6.对称性;7.有界性;8.反函数;9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像,再利用函数图像研究其性质,下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。

1.正比例函数解析式图像定义域:值域:单调性:奇偶性:反函数:2.反比例函数解析式图像性质定义域:值域:单调性:奇偶性:反函数:对称性:定义域:值域:单调性:对称性:3根式函数解析式图像定义域:值域:单调性:奇偶性:反函数:4一次函数解析式图像定义域:值域:1 性质性质性质用心爱心专心单调性:反函数:5二次函数解析式图像定义域:值域:单调性:对称性:定义域:值域:单调性:对称性:6.双勾函数解析式图像定义域:值域:单调性:奇偶性:对称性:定义域:值域:单调性:奇偶性:对称性:7.双抛函数解析式图像定义域:值域:单调性:奇偶性:对称性:定义域:性质性质性质用心爱心专心值域:单调性:奇偶性:对称性:8.指数函数解析式图像定义域:值域:单调性:9.对数函数解析式图像定义域:值域:单调性:10.三角函数解析式图像单调性:周期性:奇偶性:有界性:对称性:定义域:值域:单调性:周期性:奇偶性:有界性:对称性:定义域:值域:单调性:周期性:奇偶性:有界性:对称性:定义域:值域:单调性:周期性:奇偶性:有界性:对称性:11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数。

常用函数图像

常用函数图像

函数图形基本初等函数幂函数(1)幂函数(2)幂函数(3)指数函数(1)指数函数(2)指数函数(3)对数函数(1)对数函数(2)三角函数(1)三角函数(2)三角函数(3)三角函数(4)三角函数(5)反三角函数(1)反三角函数(2)反三角函数(3)反三角函数(4)反三角函数(5)反三角函数(6)反三角函数(7)反三角函数(8)双曲函数(1)双曲函数(2)双曲函数(3)双曲函数(4)双曲函数(5)双曲函数(6)双曲函数(7)反双曲函数(1)反双曲函数(2)反双曲函数(3)反双曲函数(4)反双曲函数(5)反双曲函数(6)y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案,原指放书的桌子,后来指在桌子上写字的人。

[高中数学必修4]第一章 基本初等函数(Ⅱ)

[高中数学必修4]第一章  基本初等函数(Ⅱ)
集合 S 的每一个元素都与α 的终边相同,当 k=0 时,对应元素为α . 终边相同的角有无数个,相等的角的终边一定相同,但终边相同的角不一定相等,并 且它们相差 360°的整数倍. (5)象限角 在直角坐标系中讨论角,是使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴正半轴重合. 这时,角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限角,如果终边在坐标轴上,那么这 个角叫做轴线角,并且认为这个角不属于任何象限. 第一象限角:k²360°<α <k²360°+90°,k∈Z;
22

必修四
用公式α =l求圆心角时,应注意其结果是圆心角的弧度数.这个公式在物理学上计算角
r
速度时经常用到,因此要熟练掌握它及其变形后的另外两种形式:l=α ²r 和 r= l(α ≠0).
α
运用这两个变形公式时,如果已知的角以度为单位,则应先把它化成弧度后再计算.可以
看出,这些公式各有各的用处.
切线上,其位置不随 的变化而变化;从图中可以看出,当 的终边在 y 轴上时,角 的
正切不存在;我们规定三角函数线的正方向与 x 轴(或 y 轴)正方向相同.
3. 同角三角函数的基本关系式
(1)基本关系
平方关系: sin2 cos2 1. 商数关系: sin tan .
cos 公式变形: cos tan sin;sin cos .
2
减区间是
(
2k , 3
2k )(k
Z)
.
2
2

必修四
对于函数 f (x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f (x T ) f (x) ,那么函数 f (x) 就叫做周期函数.非零常数 T 叫做这个函数的周期.如果 周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f (x) 的最小

(完整版)六大基本初等函数图像与性质

(完整版)六大基本初等函数图像与性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数) y =C(其中C 为常数);α1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称;2)当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数nm时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1);4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ,n 均为奇数时,跟原点对称;5)当α为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ,1≠a ),定义域是R ;[无界函数]1.指数函数的图象:2.1)当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减; 2)不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方; 3)当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.(选,补充)指数函数值的大小比较*N ∈a ;a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(,xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时,a 值越大,xa y =的图像越靠近y 轴;b.2.当10<<a 时,a 值越大,x a y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则(公式);a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥;(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质; (1)()a a nn= ; (2)当n 为奇数时,a a nn =当n 为偶数时,⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂;(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a ),定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念:如果a(a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,就是 N a b=,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子N a log 叫做对数式。

初等函数

初等函数
设函数 y
f ( u) 的定义域 D ,
而函数 u g( x ) 的值
域为 Z , 若两集合的交集非空(D∩ Z ≠Ф ), 则称函数 y f [ g ( x )] 为 x 的复合函数.
说明:复合函数 y f ( g ( x)) 中,
u 称为中间变量。
信心 爱心 耐心 精心
提一个问题:
分 y 成 u, u 1 2x
2
U = 1-2x²是简单 函数,不必分解
( 2) y lgs
x i
n
x i n
可 以 分 成 y lg u, u s
( 3) y e cos x
可 以 分 成 y e u , u cos x
信心 爱心 耐心 精心
(4) y s

2 2
2 2
sin 2 x 2sin x cos x
2 2
cos 2 x cos x sin x 1 2sin x 2cos x 1
1 cos 2 x 1 cos 2 x 2 sin x cos x 2 2
2
信心 爱心 耐心 精心
注意:
基本初等函数只包括以上六类,形式 是固定的。 例如:y sin x y x 2 y 10x 都是基本初等函数。 而 x
☞ 重点与难点
1
基本初等函数
2
复合函数 的分解
3
初等函数
信心 爱心 耐心 精心
目标定位
认请六类 基本初等函数
掌握分解复合函 数的方法
了解初等函数
信心 爱心 耐心 精心
回顾重要知识点
邻域:
分类:实心、去心
信心 爱心 耐心 精心
回顾重要知识点

(完整)六大基本初等函数图像及其性质

(完整)六大基本初等函数图像及其性质

标准实用文案大全六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数) y =C (其中C 为常数);常数函数(C y =)≠C 0=C 平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R 定义域R二、幂函数αx y=,x 是自变量,α是常数;1.幂函数的图像:2.幂函数的性质;性质函数xy =2xy =3xy =21x y =1-=xy 定义域R R R [0,+[0,+∞∞) {x|x {x|x≠≠0} 值域R [0,+[0,+∞∞) R [0,+[0,+∞∞) {y|y {y|y≠≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+[0,+∞∞) ) 增增增增(0,+(0,+∞∞) ) 减减(-(-∞∞,0] ,0] 减减(-(-∞∞,0) ,0) 减减公共点(1,11,1))xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21x y =O=y xCy =Oxyy1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α,他们的图形都经过原点,并当α>1>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称;2)当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数nm 时,时,n n 为偶数时函数的定义域为(为偶数时函数的定义域为(0, +0, +0, +∞),∞),∞),n n 为奇数时函数的定义域为(为奇数时函数的定义域为(--∞,+,+∞),函数的图形均经过原点和(∞),函数的图形均经过原点和(∞),函数的图形均经过原点和(1 ,11 ,11 ,1););4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,m<n,图形于图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;轴对称;m m ,n 均为奇数时,跟原点对称;5)当α为负有理数时,)当α为负有理数时,n n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。

基本初等函数(一)

基本初等函数(一)

指数函数 第一课时:指数与指数幂的运算 一、学习目标:1.理解分数指数幂的概念 ; 2. 掌握有理指数幂的运算性质;3.会对根式、分数指数幂进行互化; 4.能够应用联系观点看问题二,知识要点: 1.根式的概念:一般地,若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n 次方根na 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数①当n 为奇数时:正数的n 次方根为正数,负数的n 次方根为负数记作: na x =②当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个(互为相反数)记作: na x ±=③负数没有偶次方根,④ 0的任何次方根为02,根式的性质:① 当n 为任意正整数时,(n a )n =a.② 当n 为奇数时,n n a =a ;当n 为偶数时,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a3,分数指数幂:(1)正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m na a m n N n *=>∈>; (2)正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m nm naa m n N n a-*==>∈>.(3),零的正分数指数幂为零,零的负分数指数幂没有意义。

4,有理数指数幂的运算性质: 例题分析:例1.求值: 238, 12100-, 314-⎛⎫ ⎪⎝⎭, 341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 例2. 用分数指数幂的形式表示下列各式()a o >:2a 3a .例3.计算下列各式的值(式中字母都是正数).(1)211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; (2)83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭;课堂小练习:求值:第二课时:指数函数及其性质: 一.教学目标:①通过实际问题了解指数函数的实际背景;②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质.③ 体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想;1.指数函数的定义:函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数定义域是R探究1:为什么要规定a>0,且a ≠1呢①若a=0,则当x>0时,x a =0;当x ≤0时,x a 无意义.②若a<0,则对于x 的某些数值,可使x a 无意义. 如x )2(-,这时对于x=41,x=21,…等等,在实数范围内函数值不存在.③若a=1,则对于任何x ∈R ,x a =1,是一个常量,没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a 1何x ∈R ,x a 都有意义,且x a >0. 因此指数函数的定义域是R ,值域是(0,+∞).探究2:函数x y 32⋅=是指数函数吗指数函数的解析式y=x a 中,x a 的系数是1.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=x a +k (a>0且a ≠1,k ∈Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如y=x a - (a>0,且a ≠1),因为它可以化为y=xa ⎪⎭⎫⎝⎛1,其中a 1>0,且a 1≠1 2.指数函数的图象和性质:例题分析:1,考察指数函数概念:若函数y=(a2-3a+3)a x是指数函数,则有()A,a=1或a=2 B,a=1 C,a=2 D,a>0,且a≠1 2,指数函数的图像过定点的问题;函数y=a x-3+3(a>0,且a≠1)的图像过定点___________3,底数a对指数函数图像的影响:如图是指数函数○1y=a x,○2y=b x,○3,y=c x,○4,y=d则a,b,c,d的与1的大小关系为__________________ 4,与指数函数有关的定义域,值域问题:求下列函数的定义域和值域:(1)y=(2)5,比较指数式的大小:(1)3.37.1和1.28.0;(2)7.03.3和8.04.36,解指数不等式:o(1),已知3x 》,求实数x 的取值范围 (2),已知<25,求实数x 的取值范围 ,课堂小练习: 1,函数1218x y -=的定义域是______;值域是______.2,求函数)5,0[,)31(42∈=-x y x x 的值域。

基本初等函数知识点(一轮复习)

基本初等函数知识点(一轮复习)

基本初等函数中学阶段(初高中)我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。

什么是基本初等函数?就是那些:幂函数(一次二次负一次)、指数、对数、三角等。

力求在这些具体函数中,运用函数的性质(奇偶性、周期、单调等的性质),掌握某些函数的特殊技巧。

一、一次函数初中的一个函数,Primary基本、简单而又很重要。

解析式:y=kx+b或y=ax+b,通常我们会这样设。

那么高中我们在什么地方会用到它呢?解析几何中我们会设直线;线性规划会有好多跟直线;也容易在函数里面作为条件表达一下……画出以下解析式的图像:要求快(1)y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x根据以下条件,设出一次函数的解析式:(1)直线经过(1,2)点(2)直线的斜率是2总结:两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。

因为两个参数,所以要有两个条件才能解得解析式。

二、二次函数二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了,这里补遗强调一下。

十分重要的内容,属于幂函数中最重要的一类。

二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点,题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现,主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用,幂函数的内容要求较低,只要求会简单幂函数的图象与性质.1、二次函数的三种表示形式(1)一般式:y=ax2+bx+c,(a≠0);(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(顶点坐标为(h,k));(3)双根式:y=a(x-x1)(x-x2)(图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0))求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下,没有难度,过场的题目而已Eg:已知二次函数f(x)同时满足条件:(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为15;(3)f(x)=0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式.Ans:f(1+x)=f(1-x)知二次函数对称轴为x=1.∴已知最大值和对称轴,用顶点式,设f(x)=a(x-1)2+15=ax2-2ax+15+a.∵x21+x22=7 即(x1+x2)2-2x1x2=7∴4-2(15+a)a=7,∴a =-6.2、二次函数在特定区间上的最值问题EX :函数y=x 2+4x+3在[-1,0]上的最大值是________,最小值是________.解析:y=x 2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x=-2,在[-1,0]的左侧,所以在[-1,0]上单调递增.故当x=0时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0. 答案:3 0进阶Eg :(建议一做):已知函数f(x)=-x 2+2mx+1-m 在0≤x ≤1时有最大值2, 求m 的值 (1)若(2b x a =-<=0) (2)若(0<2b x a =-<1) (3)若(2bx a=->=1) key:m=-1 or m=2 解析:每种情况分别画出草图。

函数、基本初等函数的图象与性质

函数、基本初等函数的图象与性质

()
A.-1
B.1
C.-2
D.2
解析:∵f(x+5)=f(x)且 f(-x)=-f(x),
∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,
f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,
故 f(3)-f(4)=(-2)-(-1)=-1.
答案:A
题型三 函数的图象及应用
【例 3】 设函数 f(x)=2x2+xb>x+0,c x≤0, 若 f(-4)= f(0),f(-2)=-2,求关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数. 解:方法一:由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
∵f(a)=f(b)=f(c),
由图象可知 0<a<1,1<b<10,10<c<12.
∵f(a)=f(b),∴|lg a|=|lg b|,
∴lg a=-lg b,即 lg a=lg1b⇒a=1b,
∴ab=1,10<abc=c<12,故选 C.
答案:C
题型二 函数的性质及应用
【例 2】 (2010·南京市高三调研阅试)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且满足 f(x+2)=-f(x),又当 0≤x≤1 时,f(x)=12x,则{x|f(x)= -12}=________. 解析:由已知条件,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则 f(x)是以 4 为周期 的周期函数. 当-1≤x≤0 时,0≤-x≤1,f(x)=-f(-x)=12x, 当 1≤x <3 时,-1≤x-2<1,f(x)=-f(x-2)=-12(x-2).

并且有 f (a) f (b) 0,那么,函数 y f (x)在区间a,b内有零点,
即存在c a,b ,使得 f (c) 0,这个c 也就是方程 f (x) 0的根。

基本初等函数经典总结.doc

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基本初等函数经典总结第十二讲基本初等函数一:教学目标1、掌握基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)的基本性质;2、理解基本初等函数的性质;3、掌握基本初等函数的应用,特别是指数函数与对数函数二:教学重难点教学重点:基本初等函数基本性质的理解及应用;教学难点:基本初等函数基本性质的应用三:知识呈现1.指数与指数函数1).指数运算法则:(1);(2);(3);(4);(5)(6)2).指数函数:形如指数函数0四:典型例题考点一:指数函数例1已知,则x的取值范围是___________.分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围.解:∵,∴函数在上是增函数,∴,解得.∴x的取值范围是.评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论.例2函数在区间上有最大值14,则a的值是_______.分析:令可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后的取值范围.解:令,则,函数可化为,其对称轴为.∴当时,∵,∴,即.∴当时,.解得或(舍去);当时,∵,∴,即,∴时,,解得或(舍去),∴a的值是3或.评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等.例3求函数的定义域和值域.解:由题意可得,即,∴,故.∴函数的定义域是.令,则,又∵,∴.∴,即.∴,即.∴函数的值域是.评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响.例4求函数y=的单调区间.分析这是复合函数求单调区间的问题可设y=,u=x2-3x+2,其中y=为减函数∴u=x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)u=x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)解:设y=,u=x2-3x+2,y关于u递减,当x∈(-∞,)时,u为减函数,∴y关于x 为增函数;当x∈[,+∞)时,u为增函数,y关于x为减函数.考点二:对数函数例5求下列函数的定义域(1)y=log2(x2-4x-5);(2)y=logx+1(16-4x)(3)y=.解:(1)令x2-4x-5>0,得(x-5)(x+1)>0,故定义域为{x|x<-1,或x>5}.(2)令得故所求定义域为{x|-1<x<0,或0<x<2}.(3)令,得故所求定义域为{x|x<-1-,或-1-<x<-3,或x≥2}.说明求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑,真数大于零.底数大于零不等于1,若处在分母的位置,还要考虑不能使分母为零.例6比较大小:(1)log0.71.3和log0.71.8.(2)(lgn)1.7和(lgn)2(n>1).(3)log23和log53.(4)log35和log64.解:(1)对数函数y=log0.7x在(0,+∞)内是减函数.因为1.3<1.8,所以log0.71.3>log0.71.8.(2)把lgn看作指数函数的底,本题归为比较两个指数函数的函数值的大小,故需对底数lgn讨论.若1>lgn>0,即1<n<10时,y=(lgn)x在R上是减函数,所以(lgn)1.2>(lgn)2;若lgn>1,即n>10时,y=(lgn)2在R上是增函数,所以(lgn)1.7>(lgn)2.(3)函数y=log2x和y=log5x当x>1时,y=log2x的图像在y=log5x图像上方.这里x=3,所以log23>log53.(4)log35和log64的底数和真数都不相同,须找出中间量“搭桥”,再利用对数函数的单调性即可求解.因为log35>log33=1=log66>log64,所以log35>log64.评析要注意正确利用对数函数的性质,尤其是第(3)小题,可直接利用例2中的说明得到结论.例7已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,及y取最大值时,x的值.分析要求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,要做两件事,一是要求其表达式;二是要求出它的定义域,然后求值域.解:∵f(x)=2+log3x,∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(2+log3x)2+2+2log3x=log23x+6log3x+6=(log3x+3)2-3.∵函数f(x)的定义域为[1,9],∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有定义,就须,∴1≤x≤3.∴0≤log3x≤1∴6≤y=(log3x+3)2-3≤13∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取最大值13.说明本例正确求解的关键是:函数y=[f(x)]2+f(x2)定义域的正确确定.如果我们误认为[1,9]是它的定义域.则将求得错误的最大值22.其实我们还能求出函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为[6,13].例8求函数y=log0.5(-x2+2x+8)的单调区间.分析由于对函数的底是一个小于1的正数,故原函数与函数u=-x2+2x+8(-2<x<4)的单调性相反.解.∵-x2+2x+8>0,∴-2<x<4,∴原函数的定义域为(-2,4).又∵函数u=-x2+2x+8=-(x-1)2+9在(-2,1]上为增函数,在[1,4)上为减函数,∴函数y=log0.5(-x2+2x+8)在(-2,1]上为减函数,在[1,4)上为增函数.评析判断函数的单调性必须先求出函数的定义域,单调区间应是定义域的子集.考点三:幂函数例9.比较大小:(1)(2)(3)(4)解:(1)∵在上是增函数,,∴(2)∵在上是增函数,,∴(3)∵在上是减函数,,∴;∵是增函数,,∴;综上,(4)∵,,,∴例10.已知幂函数()的图象与轴、轴都无交点,且关于原点对称,求的值.解:∵幂函数()的图象与轴、轴都无交点,∴,∴;∵,∴,又函数图象关于原点对称,∴是奇数,∴或.例11、求函数y=+2x+4(x≥-32)值域.解析:设t =x,∵x≥-32,∴t≥-2,则y=t2+2t+4=(t+1)2+3.当t=-1时,ymin=3.∴函数y=+2x+4(x≥-32)的值域为[3,+).点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法.五:课后练习1、若a>1在同一坐标系中,函数y=a和y=log的图像可能是()ABCD2.求值+-()-=3.下列函数在上为减函数的是()A.B.C.D.答案:B4.已知x=,y=,求-的值5.若a<a,则a的取值范围是()A.a≥1B.a>0C.1>a>0D.1≥a≥0解析:运用指数函数的性质,选C.答案:C6.下列式子中正确的是()Alog=log-logB=log-logC=logDlog-log=log-8-。

高一数学基本初等函数

高一数学基本初等函数

2009~2010学年度高三数学(人教版A 版)第一轮复习资料基本初等函数一.【课标要求】1.指数函数(1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14C 的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景;(2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。

(3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点;(4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型 2.对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用;(2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点;3.知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a >0,a ≠1)。

4.幂函数(1)了解幂函数的概念 (2)结合函数y=x, ,y=x2, y=x3,y=x21,y=x1的图象,了解它们的变化情况 二.【命题走向】指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要的地位。

从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。

为此,我们要熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测2010年对本节的考察是:1.题型有两个选择题和一个解答题;2.题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。

同时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加大三.【要点精讲】1.指数与对数运算(1)根式的概念:①定义:若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且,则这个数称a 的n 次方根。

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六大基本初等函数图像及其性质一、常数函数 y =C (其中C 为常数)常数函数(C y =)0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ,x 是自变量,α是常数;1.幂函数的图像:xyOx y =2x y =21xy =1-=x y 3x y =O=y xCy =Oxyy2.幂函数的性质;性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点(1,1)1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称;2)当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数nm时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1);4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ,n 均为奇数时,跟原点对称;5)当α为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ,1≠a ),定义域R1.指数函数的图象:2.指数函数的性质;1=yO(0,1)xyxay =)10(<<axxay =)1(>a1=y O(0,1)y性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R值域(0,+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点 过点(0,1),即0=x 时,1=y单调性在),(∞+∞-是增函数 在),(∞+∞-是减函数1)当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减; 2)不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方; 3)当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

3.(选,补充)指数函数值的大小比较*N ∈a ;a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(,xa x f ⎪⎭⎫⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时,a 值越大,xa y =的图像越靠近y 轴;b.2.当10<<a 时,a 值越大,x a y =的图像越远离y 轴。

yxa x f =)(xa x f ⎪⎭⎫⎝⎛=1)(O(0,1) xxO(0,1)yxx f 2)(=x x h 3)(=O(0,1)yxx q ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(xx g ⎪⎭⎫⎝⎛=31)(4.指数的运算法则(公式);a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥;(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==(4)()n n n b a ab =b.根式的性质;(1)()a a nn= ; (2)当n 为奇数时,a a nn =当n 为偶数时,⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂; (1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a ),定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念:如果a(a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,就是 N a b=,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子N a log 叫做对数式。

对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数,所以x y a log =的图象与x a y =的图象关于直线x y =对称。

2.常用对数:N 10log 的对数叫做常用对数,为了简便,N 的常用对数记作N lg 。

3.自然对数:使用以无理数7182.2=e 为底的对数叫做自然对数,为了简便,N 的自然对数N e log 简记作N ln 。

4.对数函数的图象:5.对数函数的性质;yOx(1,0)1=xx y a log = )1(>aOx(1,0)y1=xx y a log = )10(<<a性质函数x y a log =)1(>ax y a log =)10(<<a定义域 (0,+∞)值域R 奇偶性 非奇非偶公共点过点(1,0),即1=x 时,0=y单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数1)对数函数的图形为于y 轴的右方,并过点(1,0);2)当1>a 时,在区间(0,1),y 的值为负,图形位于x 的下方;在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方,在定义域是单调增函数。

1<a 在实际中很少用到。

6.(选,补充)对数函数值的大小比较*N ∈a ;a.底数互为倒数的两个对数函数x y a log =,x y a1log =的函数图像关于x 轴对称。

b.1. 当1>a 时,a 值越大,x x f a log )(=的图像越靠近x 轴;b.2. 当)10(<<a 时,a 值越大,x x f a log )(=的图像越远离x 轴。

7.对数的运算法则(公式);a.如果a >0,a ≠1,M >0,N >0,那么:()N M MN a a a log log log +=N M N Ma a a log log log -=Mn M a n a log log =yOx(1,0)xy a log =x y a1log =yOx (1,0) xx f 2log )(=xx f 3log )(=yOx(1,0)x x f 21log )(=x x f 31log )(=b.对数恒等式:Na N a=log)01(>≠>Naa,且c.换底公式:(1)bNNaab logloglog=(1,0≠>aa,一般常常换为e或10为底的对数,即bNNb lnlnlog=或bNNb lglglog=)(2)由公式和运算性质推倒的结论:bmnbana nloglog=d.对数运算性质(1)1的对数是零,即01log=a;同理01ln=或01lg=(2)底数的对数等于1,即1log=aa;同理1ln=e或110lg=五、三角函数1.正弦函数xy sin=,有界函数,定义域),(+∞-∞∈x,值域]1,1[+-∈y图象:五点作图法:0,2π,π,23π,π22.余弦函数xy cos=,有界函数,定义域),(+∞-∞∈x,值域]1,1[+-∈y图象:五点作图法:0,2π,π,23π,π23.正、余弦函数的性质;性质函数xy sin=)(Zk∈xy cos=)(Zk∈定义域 R值域[-1,1] [-1,1] 奇偶性 奇函数偶函数周期性 π2=Tπ2=T 对称中心 )0,(πk)0,2(ππ+k对称轴2ππ+=k xπk x =单调性在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈22,22ππππk k x 上是增函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈232,22ππππk k x 上是减函数在[]πππk k x 2,2-∈上是增函数 在[]πππ+∈k k x 2,2上是减函数最值22ππ+=k x 时,1max =y 22ππ+=k x 时,1min -=yπk x 2=时,1max =y ππ+=k x 2时,1min -=y4.正切函数x y tan =,无界函数,定义域{})(,2Z k k x x ∈+≠ππ,值域),(+∞-∞∈yx y tan =的图像5.余切函数x y cot =,无界函数,定义域{}Z k k x x ∈≠,π,),(+∞-∞∈yx y cot =的图像π-2π-O23π-π2-25π-π3- 2ππ23π π2 25ππ3yxπ-2π-O 23π-π2-25π-2ππ23ππ225π yx6.正、余切函数的性质;性质 函数x y tan =)(Z k ∈x y cot =)(Z k ∈定义域 2ππ+≠k xπk x ≠值域RR奇偶性 奇函数 奇函数周期性 π=Tπ=T单调性 在)2,2(ππππk k ++-上都是增函数 在))1(,(ππ+k k 上都是减函数对称中心 )0,2(πk )0,2(πk 零点 )0,(πk)0,2(ππ+k7.正割函数x y sec =,无界函数,定义域{})(,2Z k k x x ∈+≠ππ,值域1sec ≥x8.余割函数xx y sin 1csc ==,无界函数,定义域{})(,Z k k x x ∈≠π,值域1csc ≥xπ-2π-O 23π-π2-25π-2π π23π π225π π3yx-11π- 2π-O 23π-π2-25π-2π π23ππ225π π3yx-11x y sec =的图像9.正、余割函数的性质;性质 函数 x y sec =)(Z k ∈x y csc =)(Z k ∈定义域 {}ππk x x +≠2{}πk x x ≠值域),1[]1(+∞--∞Y ,),1[]1(+∞--∞Y ,奇偶性 偶函数奇函数周期性π2=Tπ2=T单调性)232,2()2,22(πππππππ++-k k k k Y 减)2,22()22,2(πππππππ+++k k k k Y 增)22,232()22,2(πππππππ+++k k k k Y 减)232,2()2,22(ππππππππ++++k k k k Y 增 续表:性质函数x y sec =)(Z k ∈x y csc =)(Z k ∈对称中心 )0,2(ππ+k)0,(πk对称轴 πk x =ππk x +=2渐近线ππk x +=2πk x =六、反三角函数1.反正弦函数x y arcsin =,无界函数,定义域[-1,1],值域],0[πA.反正弦函数的概念:正弦函数x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的反函数称为反正弦函数,记为x y arcsin =2.反余弦弦函数x y arccos =,无界函数,定义域[-1,1],值域],0[πB.反余弦函数的概念:余弦函数x y cos =在区间[]π,0上的反函数称为反余弦函数,记为x y arccos =y-12π y2π πx y csc =的图像x y arcsin =的图像 x y arccos =的图像3.反正、余弦函数的性质;性质 函数 x y arcsin =x y arccos =定义域 [-1,1][-1,1]值域],0[π],0[π奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 单调性增函数减函数4.反正切函数x y arctan =,有界函数,定义域),(+∞-∞∈x ,值域⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππC.反正切函数的概念:正切函数x y tan =在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ上的反函数称为反正切函数,记为x y arctan =5.反余切函数x arc y cot =,有界函数,定义域),(+∞-∞∈x ,值域()π,0D.反余切函数的概念:余切函数x y cot =在区间()π,0上的反函数称为反余切函数,记为x arc y cot =x y arctan =的图像 x arc y cot =的图像6.反正、余弦函数的性质;xyO2π 2π-xyO 2π π函数 性质x y arctan =x arc y cot =定义域R值域⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ ()π,0奇偶性 奇函数 非奇非偶单调性 增函数 减函数三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取..一点),(y x P ,记:22y x r +=。

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