数理统计课程设计(一元线性回归)
数理统计课程设计(一元线性回归)
二氧化碳吸附量与活性炭孔隙结构的线性回归分析摘要：本文搜集了不同孔径下不同孔容的活性炭与CO2吸附量的实验数据。
分别以同一孔径下的不同孔容作为自变量，CO2吸附量作为因变量，作出散点图。
选取分布大致呈直线的一组数据为拟合的样本数据。
对样本数据利用最小二乘法进展回归分析，参数确定，并对分析结果进展显著性检验。
同时利用matlab 的regress 函数进展直线拟合。
结果明确:孔径在3. 0～ 3. 5 nm 之间的孔容和CO2吸附量之间存在较好的线性关系。
关键字：活性炭孔容CO2吸附量matlab一、问题分析本文主要研究同一孔径的孔容的活性炭和co2吸附量之间的线性关系，有关实验数据是借鉴双全，罗雪岭等人的研究成果[1]。
以太西无烟煤为原料、硝酸钾为添加剂,将煤粉、添加剂和煤焦油经过充分混合后挤压成条状,在600℃下炭化15 min,然后用水蒸气分别在920℃和860℃下活化一定时间得到2组活性炭,测定了CO2吸附等温线,探讨了2组不同工艺制备的活性炭的CO2吸附量和孔容的关系.数据如下表所示：表1：孔分布与CO2吸附值编号1~12是在不同添加剂量，温度，活化时间处理下的对照组。
因为处理方式不同得到不同结果是互不影响的，可以看出CO2的吸附量的值是互相独立的。
我们将不同孔径下的孔容分为1~7组。
编号孔容/(1110L g μ--⋅)CO2吸附量1/()mL g -⋅1 70 96 115 642 50 913 11 71 65 914 90 76 1225 78 1136 72 56 997 86 1228 13 69 107 9 78 107 10 13 91 137 11 114 110 142 75 12126 114 183作出不同孔径下与CO2吸附量的散点图如下：2468孔容C O 2吸附量10203040506070孔容C O 2吸附量152025303540孔容C O 2吸附量50100150孔容C O 2吸附量406080100120孔容C O 2吸附量5060708090100110孔容C O 2吸附量80100120140160180200孔容C O 2吸附量图1：不同孔容与CO2吸附量的散点图图1中从左往右依次是第1到第7组孔容，从图中可以看出第五、六、七组的点大致分散在一条直线附近，说明两个变量之间有一定的线性相关关系。
《一元线性回归方程》教学设计
《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》教学设计一、 教学内容解析1. “一元线性回归模型参数的最小二乘估计”是人民教育出版社A 版《普通高中教科书选择性必修第三册》第8章“成对数据的统计分析”第2节的内容，是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例。
本节内容渗透了数学建模与转化化归的数学思想方法，在具体方法上有观察法、主元、消元等。
本节课的教学重点是一元线性回归模型参数的最小二乘估计和利用残差分析进行数据曲线拟合程度分析。
2 . 本节内容是在学习了“一元线性回归模型”的基础上，继续对一元线性回归模型参数进行估计，并对模型的刻画效果进行检验，是后续非线性回归模型学习的基础。
因此本节内容可以看作一元线性回归模型的下位学习，非线性回归模型的上位学习。
3.本节教学过程呈现了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的特点。
在学习过程中让学生体会最小二乘的思想，积累数据分析的经验。
围绕“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，完整呈现了从直观寻找与散点整体接近的直线，到用竖直距离i i y bx a --刻画散点与直线的“距离”，再到用()21n i i i Q y bx a ==--∑定量刻画整体接近的程度，最后得到参数估计的数学化过程。
对建立的模型进行应用是利用数学建模解决实际问题的一个重要环节，教学中通过“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，利用经验回归方程进行预测，并对结果进行合理解释，进而进一步介绍残差分析的方法，据此对模型进行评价和改进。
二、教学目标设置统计学习不应只是记住一些概念、公式或方法实施的操作步骤，更重要的是了解概念和方法产生的必要性，以及方法的合理性，了解统计研究问题的思路和特点，进而学会用统计的眼光看问题，培养数据分析素养。
依据“课程目标——单元目标——课堂教学目标”设置本节课的教学目标如下：1.通过小组合作探究问题：“从直观感知与散点在整体上最接近的直线”，学生了解解决这一问题的各种思路，并能判断可行性。
一元线性回归案例教学设计人教课标版(实用教案设计)
一元线性回归案例教学设计人教课标版(实用教案设计)教学目标- 了解一元线性回归的概念和基本原理- 掌握一元线性回归的计算方法和应用技巧- 学会通过实例分析和解决实际问题教学准备- 讲义：提供一元线性回归的讲义，明确概念和公式- 例题：准备适当数量的一元线性回归的实例题目- 计算工具：确保每个学生都有计算器或者电脑可以进行回归计算教学过程1. 引入（5分钟）- 通过一个实际场景，引入一元线性回归的概念和应用- 举例说明回归分析在实际问题中的作用和意义2. 概念讲解（10分钟）- 介绍一元线性回归的基本概念、公式和原理- 解释回归方程的含义和解释- 强调自变量和因变量之间的关系及其影响因素3. 计算方法（15分钟）- 演示一元线性回归的计算步骤和方法- 通过实例展示计算公式的具体应用- 解释残差和拟合优度的概念，说明其意义4. 实例分析（20分钟）- 提供多个一元线性回归的实例题目- 让学生依次进行回归计算和分析- 引导学生思考如何解释回归结果和给出建议5. 讨论与总结（10分钟）- 分享学生对实例分析的解答和思考- 引导学生讨论一元线性回归在其他实际问题中的应用- 总结一元线性回归的重要性和局限性教学扩展- 鼓励学生自行寻找更多的一元线性回归的实例进行分析和讨论- 引导学生了解多元线性回归的概念和应用，拓展研究内容教学评估- 布置作业：要求学生独立完成一元线性回归的实例分析报告- 考察学生对回归分析方法的理解和应用能力- 对学生的作业进行评分，并给予反馈和建议参考资料- 《数学必修3》人教课标版- 网络资源：一元线性回归的教学视频和学习资料。
一元线性回归模型(教学设计)(人教A版2019选择性必修第三册)
8.2.1一元线性回归模型教学设计一、课时教学内容本节的主要内容是一元线性回归模型，它是线性回归分析的核心内容，也是后续研究两变量间的相关性有关问题的基础.通过散点图直观探究分析得出的直线拟合方式不同，拟合的效果就不同，它们与实际观测值均有一定的偏差.在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过程中，解决用数学方法刻画从整体上看各观测点到拟合直线的距离最小的问题，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于他们更好地理解核心概念“经验回归直线”，并最终体现回归方法的应用价值.就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽.了解最小二乘法思想，将其与各种估算方法进行比较，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又是在体会此思想的过程中促进学生对核心概念进一步理解的需要.最小二乘法思想作为本节课的核心思想，由此得以体现，而回归思想和贯穿统计学科的随机思想，也是本节课需要渗透的.二、课时教学目标1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．三、教学重点、难点1．教学重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法.2．难点：回归模型与函数模型的区别，随机误差产生的原因与影响.四、教学过程设计环节一创设情境，引入课题问题1如何求经验回归方程？提示：求经验回归方程的一般步骤如下：(1)画出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系；(2)当两变量具有线性相关关系时，求系数的最小二乘估计书"，写出经验回归方程；(3)进行残差分析，分析模型的拟合效果，不合适时，分析错因，予以纠正.【师生互动】教师让学生举手回答问题，并及时给予纠正.【设计意图】复习上节课所学知识，为本节课解决与线性回归分析有关的实际问题做好铺垫。
教学设计1：§8.2 一元线性回归模型及其应用
§8.2 一元线性回归模型及其应用教学目标1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 教学知识梳理知识点一 一元线性回归模型称⎩⎪⎨⎪⎧Y ＝bx ＋a ＋e ，E (e )＝0，D (e )＝σ2为Y 关于x 的一元线性回归模型．其中Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变量或解释变量，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是Y 与bx ＋a 之间的随机误差，如果e ＝0，那么Y 与x 之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． 知识点二 最小二乘法将y ^＝b ^x ＋a ^称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ^，a ^叫做b ，a 的最小二乘估计，其中b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .思考1 经验回归方程一定过成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的某一点吗？ 答案 不一定．思考2 点(x ，y )在经验回归直线上吗？ 答案 在．知识点三 残差与残差分析 1．残差对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y ^称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 2．残差分析残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 知识点四 对模型刻画数据效果的分析 1．残差图法在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． 2．残差平方和法残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2越小，模型的拟合效果越好．3．R 2法可以用R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n(y i －y )2来比较两个模型的拟合效果，R 2越大，模型拟合效果越好，R 2越小，模型拟合效果越差．思考 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？ 答案 不一定，他只是真实值的一个预测估计值． 教学案例案例一 求经验回归方程例1.某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系：(1)y 与x 是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出经验回归直线方程．(方程的斜率保留一个有效数字)(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(1)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．设经验回归直线为y ^＝b ^x ＋a ^，由题知x ＝42.5，y ＝34， 则求得b ^＝∑i ＝14(x i －x )(y i －y )∑i ＝14(x i －x )2＝－370125≈－3. a ^＝y －b ^x ＝34－(－3)×42.5＝161.5. ∴y ^＝－3x ＋161.5. (2)依题意有P ＝(－3x ＋161.5)(x －30) ＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3⎝⎛⎭⎫x －251.562＋251.5212－4 845. ∴当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426.即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润． 反思感悟 求经验回归方程可分如下四步来完成 (1)列：列表表示x i ，y i ，x 2i ，x i y i . (2)算：计算x ，y，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i . (3)代：代入公式计算a ^，b ^的值． (4)写：写出经验回归方程．跟踪训练1.已知线性经验回归方程为＝2－2.5x ，则x ＝25时，y 的估计值为________． 【答案】－60.5【解析】当x ＝25时，＝2－2.5×25＝－60.5，即y 的估计值为－60.5. 案例二 线性回归分析例2.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )．A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【解析】∵a ^＝y －b ^x ＝49＋26＋39＋544－9.4×4＋2＋3＋54＝9.1，∴经验回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.令x ＝6，得y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 【答案】B反思感悟 刻画回归效果的三种方法(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． (2)残差平方和法：残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2越小，模型的拟合效果越好．(3)R 2法：R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n(y i －y )2越接近1，表明模型的拟合效果越好．跟踪训练2.在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：且知x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的经验回归直线方程，并说明拟合效果的好坏． 解：x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑i ＝15y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327， ∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－4640＝－1.15. ∴a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1，∴经验回归直线方程为y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表为：y i －y ^i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 y i －y4.62.6－0.4－2.4－4.4∴∑i ＝15(y i －y ^i )2＝0.3，∑i ＝15(y i －y )2＝53.2，R 2＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2≈0.994.故R 2≈0.994说明拟合效果较好． 案例三 非线性回归例3.有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：i 1 2 3 4 5 6 7 水深h (厘米)0.71.12.54.98.110.213.5流量Q (升/分钟) 0.082 0.25 1.8 11.2 37.5 66.5 134根据表中数据，建立Q 与h 之间的经验回归方程． 解：由表中测得的数据可以作出散点图，如图．观察散点图中样本点的分布规律，可以判断样本点分布在某一条曲线附近，表示该曲线的函数模型是Q ＝m ·h n (m ，n 是正的常数)．两边取常用对数， 则lg Q ＝lg m ＋n ·lg h ，令y ＝lg Q ，x ＝lg h ，那么y ＝nx ＋lg m ，即为线性函数模型y ＝bx ＋a 的形式(其中b ＝n ，a ＝lg m )．由下面的数据表，用最小二乘法可求得b ^≈2.509 7，a ^＝－0.707 7，所以n ≈2.51，m ≈0.196. ih iQ ix i ＝lg h iy i ＝lg Q ix 2ix i y i10.70.082－0.154 9－1.086 20.0240.168 32 1.10.250.041 4－0.602 10.001 7－0.024 93 2.5 1.80.397 90.255 30.158 30.101 64 4.911.20.690 2 1.049 20.476 40.724 258.137.50.908 5 1.574 00.825 4 1.430 0 610.266.5 1.008 6 1.822 8 1.017 3 1.838 5 713.5134 1.130 3 2.127 1 1.277 6 2.404 3∑41251.332 4.022 5.140 1 3.780 7 6.642于是所求得的经验回归方程为Q＝0.196·h2.51.反思感悟非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型y＝e bx＋a①函数y＝e bx＋a的图象，如图所示；②处理方法：两边取对数得ln y＝ln e bx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(2)对数函数型y＝b ln x＋a①函数y＝b ln x＋a的图象，如图所示；②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.跟踪训练3.在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的经验回归方程．解：画出散点图如图所示．根据散点图可知y 与x 近似地呈反比例函数关系，设y ＝k x ，令t ＝1x，则y ＝kt ，原数据变为：由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y 与t 呈近似的线性相关关系．列表如下：所以t ＝1.55，y ＝7.2.所以b ^＝∑i ＝15t i y i －5t y∑i ＝15t 2i －5t 2≈4.134 4，a ^＝y －b ^t ≈0.8.所以y ^＝4.134 4t ＋0.8.所以y 与x 的经验回归方程是y ^＝4.134 4x＋0.8. 课堂小结 1．知识清单： (1)一元线性回归模型．(2)最小二乘法、经验回归方程的求法．(3)对模型刻画数据效果的分析：残差图法、残差平方和法和R 2法． 2．方法归纳：数形结合、转化化归．3．常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误． 当堂达标1.下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性经验回归方程必过点( )A ．(2,3) C ．(2.5,4) D ．(2.5,5)【答案】C【解析】线性经验回归方程必过样本点的中心(x ，y )，即(2.5,4)，故选C. 2.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得经验回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元【答案】B【解析】样本点的中心是(3.5,42)，则a ^＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1， 所以经验回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5.3.若施化肥量x (kg)与小麦产量y (kg)之间的经验回归直线方程为y ^＝250＋4x ，当施化肥量为50 kg 时，预计小麦产量为________．【解析】将x ＝50代入经验回归方程得y ^＝450 kg. 【答案】450 kg4.若对于变量y 与x 的10组统计数据的回归模型中，相关指数R 2＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么∑i ＝110(y i －y )2的值为______．【解析】依题意有0.95＝1－120.53∑i ＝110(y i －y)2，所以∑i ＝110(y i －y )2＝2 410.6. 【答案】2 410.65.某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070(1)画出散点图；(2)对两个变量进行相关性检验； (3)求经验回归直线方程． 解：(1)散点图如图所示．(2)计算各数据如下：i 1 2 3 4 5 x i 2 4 5 6 8 y i 30 40 60 50 70 x i y i60160300300560x ＝5，y ＝50，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15y 2i ＝13 500，∑i ＝15x i y i ＝1 380 r ＝(145－5×52)(13 500－5×502)≈0.92，查得r 0.05＝0.878，r >r 0.05， 故有95%的把握认为该产品的广告费支出与销售额之间具有线性相关关系．(3)b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5，于是所求的经验回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.。
大学一元线性回归教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解一元线性回归的概念、原理和应用。
2. 掌握一元线性回归模型的建立、参数估计和假设检验方法。
3. 能够运用一元线性回归模型解决实际问题。
教学重点：1. 一元线性回归模型的概念和原理。
2. 一元线性回归模型的参数估计和假设检验方法。
教学难点：1. 一元线性回归模型的参数估计方法。
2. 一元线性回归模型的假设检验方法。
教学准备：1. 多媒体课件2. 数据集3. 统计软件（如SPSS、R等）教学过程：第一课时一、导入1. 提出问题：在实际生活中，我们经常需要了解两个变量之间的关系，如何建立这种关系的数学模型呢？2. 引入一元线性回归的概念。
二、一元线性回归的概念1. 定义：一元线性回归是一种统计分析方法，用于建立自变量和一个因变量之间的线性关系模型。
2. 模型表示：y = β0 + β1x + ε，其中y为因变量，x为自变量，β0和β1为回归系数，ε为误差项。
三、一元线性回归模型的参数估计1. 最小二乘法：利用最小二乘法求解回归系数β0和β1。
2. 公式推导：给出最小二乘法的推导过程，让学生理解其原理。
四、一元线性回归模型的假设检验1. 假设检验方法：介绍一元线性回归模型的假设检验方法，包括t检验和F检验。
2. 公式推导：给出t检验和F检验的公式推导过程，让学生理解其原理。
第二课时一、回顾与巩固1. 回顾一元线性回归的概念、原理、参数估计和假设检验方法。
2. 让学生运用所学知识解决实际问题。
二、案例分析1. 展示一个实际案例，引导学生分析问题并提出解决方案。
2. 分析案例中的变量关系，建立一元线性回归模型。
3. 利用统计软件求解回归系数和进行假设检验。
三、总结与拓展1. 总结一元线性回归模型的应用领域和局限性。
2. 引导学生思考如何在实际问题中运用一元线性回归模型。
3. 拓展一元线性回归模型的应用，如多元线性回归、非线性回归等。
教学评价：1. 学生对一元线性回归的概念、原理和应用的理解程度。
一元线性回归案例教案设计人教课标版(实用教学设计)
一元线性回归案例教案设计人教课标版(实用教学设计)引言教案的目的是帮助学生理解并掌握一元线性回归的基本概念和应用。
本教案设计适用于人教课标版教材，旨在提供实用的教学设计方案。
教学目标- 让学生了解一元线性回归的定义和基本原理。
- 培养学生使用一元线性回归进行数据分析和预测的能力。
- 培养学生运用一元线性回归解决实际问题的能力。
教学内容1. 一元线性回归的概念和原理- 引导学生了解线性回归的基本概念，并重点介绍一元线性回归。
- 讲解一元线性回归的原理和数学表达式。
- 实际案例分析，让学生明确一元线性回归的实际应用。
2. 数据集收集和处理- 引导学生研究如何收集适用于一元线性回归的数据集。
- 教授数据处理和清洗的方法，确保数据的准确性和可靠性。
3. 模型建立和拟合- 讲解如何建立一元线性回归模型。
- 引导学生研究如何进行模型参数拟合，并解读拟合结果。
4. 数据分析和预测- 使用建立好的一元线性回归模型，进行数据分析和预测。
- 引导学生分析预测结果，并讨论模型的准确性和可靠性。
5. 实际问题解决- 引导学生应用一元线性回归解决实际问题。
- 带领学生思考如何调整模型参数以获得更好的结果。
教学方法与手段- 课堂讲授：通过讲解基本概念、原理和方法，帮助学生建立知识框架。
- 案例分析：通过实际案例分析，让学生了解一元线性回归的实际应用。
- 数据实践：引导学生收集数据集并进行分析和预测，让学生亲身体验一元线性回归的过程。
教学评价与反馈- 课堂小测验：通过布置小测验，检查学生对一元线性回归的理解和能力。
- 学生作业：布置作业，让学生运用一元线性回归解决实际问题，并提交报告。
- 教师评价与反馈：根据学生的表现和作业报告，评价学生的理解和能力，并提供反馈建议。
结束语通过本教学设计，学生能够全面了解一元线性回归的概念、原理和应用，并具备运用一元线性回归解决实际问题的能力。
希望本设计能为教师提供实用的教学指导，帮助学生取得良好的学习效果。
一元线性回归案例教学设计
8．5一元线性回归案例（2）一、教学目标（一）知识目标相关系数的概念；线性回归的概念；一元线性回归直线 （二）能力目标熟练利用公式求相关系数；掌握求一元线性回归直线方程a bx y += 的方法 （三）情感目标培养学生分析问题，解决问题的能力，收集数据和处理数据的能力二、教学重点一元线性回归方程的求法三、教学难点回归直线方程四、教学过程（一）引入课题1．相关系数的计算公式：2122121y n yx n xyx n yx r ni ini ini ii xy ---=∑∑∑===利用相关系数，可以判断两组数据{}i x 、{}i y 是否具有相关性，从而判断i x 与i y 的变化趋势。
2．最小二乘法求回归直线的b 、a ：xb y a xn xy x n yx b ni ini ii -=--=∑∑==2121 ， 其中),(2121ny y y y n x x x x nn +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++＝（二）案例讲解若点（i x ，i y ）的分布趋于一条直线，则i x 与i y 满足以下关系式：i i i e a bx y ++=，n i e a bx y i i i ,,2,1,⋅⋅⋅=++=其中的n e e e ,,,21⋅⋅⋅表示随即误差。
这个模型称为一元线性回归模型。
解决模型问题，只要求出一元线性回归直线a bx y +=。
当0>r 时，点呈上升趋势分布，则0>b ；当0<r 时，点呈下降趋势分布，则0<b 。
案例一海牛是一种体型较大的水生哺乳动物，体重可达到700kg ，以水草为食。
美洲海牛生活在美国的佛罗里达洲，在船舶运输繁忙季节，经常被船的螺旋桨击伤致死。
下面是佛罗里达洲记录的1977年至1990年激动船只数目x 和被船只撞死的海牛数y 的数据。
现在问：（1）随着机动船的数量的增加，被撞死的海牛数是否会增加？ （2）当机动船增加到750只，被撞死的海牛会是多少？根据上节课画出的散点图，观察出点分布在一直线的附近，以及求出的相关系数可以知道被撞死的海牛数会随着船只的增加而增加，那么要回答第二个问题，只要构建一元线性回归模型，求出i x 与i y 的回归直线a bx y ＋=即可。
一元线性回归模型教学设计
一元线性回归模型教学设计一、教学目标通过本次教学，学生应该能够：1. 了解一元线性回归模型的基本概念和原理；2. 掌握一元线性回归模型的建立和求解方法；3. 能够运用一元线性回归模型解决实际问题；4. 培养学生的数据分析和模型建立能力。
二、教学内容1. 介绍一元线性回归模型的基本概念- 线性回归模型的基本思想- 回归方程和回归线的含义- 最小二乘法的原理2. 一元线性回归模型的建立和求解方法- 数据收集和变量选择- 模型建立和参数估计- 残差分析和模型检验3. 运用一元线性回归模型解决实际问题- 实际问题的建模方法- 数据处理和分析方法- 结果解释和模型评价三、教学过程1. 导入引入案例通过一个实际案例来引入一元线性回归模型的概念和应用，例如预测房价与房屋面积的关系。
2. 概念讲解- 介绍线性回归模型的基本思想和原理，以及回归方程和回归线的含义；- 解释最小二乘法的原理及其在一元线性回归模型中的应用。
3. 模型建立和参数估计- 数据收集和变量选择：讲解数据收集的方法和重要性，以及对自变量的选择；- 模型建立和参数估计：讲解如何建立一元线性回归模型并通过最小二乘法来估计模型的参数。
4. 残差分析和模型检验- 残差分析：讲解残差的概念及其在回归模型中的含义；- 模型检验：讲解常用的模型检验方法，如回归系数的显著性检验、模型拟合优度检验等。
5. 实际问题的建模和解决- 介绍实际问题的建模方法和步骤，包括数据处理、模型选择和参数估计；- 使用实际数据进行模型的建立和求解，分析结果并给出合理解释。
6. 教学案例练习提供多个一元线性回归的教学案例，供学生进行实践操作和分析讨论。
7. 总结归纳小结一元线性回归模型的基本概念、建立方法和应用步骤，提醒学生需要注意的问题和要点。
四、教学手段教学手段可以采用多种形式，如讲解、示范、案例分析、课堂练习、小组讨论等，通过多种形式的互动与合作，达到知识的传授和能力的培养。
一元线性回归教案
一元线性回归教案引言一元线性回归是统计学中非常重要的一种回归分析方法。
它能够通过建立一个线性模型，根据自变量的值来预测因变量的值。
本教案将介绍一元线性回归的基本概念、原理和应用场景，并通过示例演示如何进行一元线性回归分析。
目录1.什么是一元线性回归？2.一元线性回归的原理3.数据的处理与准备4.拟合一元线性回归模型5.模型评估与预测6.应用案例分析7.总结1. 什么是一元线性回归？一元线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的线性回归模型。
它的数学表达式为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是模型的参数，ε是误差项。
一元线性回归的目标是找到最合适的β0和β1，使得模型对观测数据点的拟合程度最优。
2. 一元线性回归的原理一元线性回归的原理基于最小二乘法，即通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型的参数。
最小二乘法可以通过求解正规方程来获得最优的参数估计值。
3. 数据的处理与准备在进行一元线性回归分析之前，需要对数据进行处理和准备。
这包括数据清洗、变量选择和数据可视化等步骤。
本节将介绍常用的数据处理方法，以及如何选择适当的自变量和因变量。
4. 拟合一元线性回归模型拟合一元线性回归模型是通过最小二乘法来确定模型的参数估计值。
本节将介绍如何使用Python中的scikit-learn库来拟合一元线性回归模型，并分析模型的拟合结果。
5. 模型评估与预测在拟合一元线性回归模型之后，需要对模型进行评估和预测。
本节将介绍常用的评估指标，如均方误差（MSE）和决定系数（R-squared），以及如何使用模型进行预测。
6. 应用案例分析本节将通过一个实际的数据集来展示一元线性回归的应用场景。
通过分析数据集中的自变量和因变量之间的关系，我们可以建立一元线性回归模型，并对模型进行评估和预测。
7. 总结本教案从一元线性回归的基本概念和原理开始，通过示例和实践对一元线性回归进行了详细讲解。
概率论与数理统计课程设计_一元线性回归分析
目录一．设计目的 (1)二．设计问题 (1)三．设计原理 (1)四．方法实现 (5)五．设计总结 (15)参考文献 (15)致谢 (16)一．设计目的了解一元回归方程，回归系数的检验方法及应用一元回归方程进行预测的方法；学会应用MATLAB软件进行一元回归实验的分析方法。
同时更好的了解概率论与数理统计的知识，熟练掌握概率论与数理统计在实际问题上的应用，并将所学的知识结合Excel对数据的处理解决实际问题。
本设计是利用一元线性回归理论对用切削机房进行金属品加工时为了适当地调整机床，测量刀具的磨损速度与测量刀具的厚度间的关系建立数学模型，并用Excel分析工具库中的回归分析软件进行解算。
二．设计问题用切削机床进行金属加工时，为了适当地调节机床，需要测定刀具的磨损速x关于时间y的线性回归方程。
由此，我们利用这些数据做出刀具厚度三．设计原理在实际问题中，经常会出现两个变量之间的相关关系不是线性的（即直线型），而是非线性的（即曲线型）。
设其中有两个变量x 与y ，我们可以用一个确定函数关系式：)(x y x=大致的描述y 与x 之间的相关关系，函数)(x u 称为y 关于x的回归函数，方程)(x u y =成为y 关于x的回归方程。
一元线性回归处理的是两个变量x 与y 之间的线性关系，可以设想y 的值由两部分构成：一部分由自变量x 的线性影响所致，表示x 的线性函数bx a +；另一部分则由众多其他因素，包括随机因素的影响所致，这一部分可以视为随机误差项，记为ε。
可得一元线性回归模型ε++=bx a y (1)式中，自变量x 是可以控制的随机变量，成为回归变量；固定的未知参数a,b成为回归系数；y 称为响应变量或因变量。
由于ε是随机误差，根据中心极限定理，通常假定),0(~2σεN ，2σ是未知参数。
确定y 与x之间的关系前，可根据专业知识或散点图，选择适当的曲线回归方程，而这些方程往往可以化为线性方程或者就是线性方程，因此我们可以用线性方程：bx a y +=大致描述变量y 与x 之间的关系；1)模型回归系数的估计为了估计回归系数，假定试验得到两个变量x与y 的n 个数据对(),3,2,1,,n iy x i i Λ=我们将这n 对观测值代入式（1），得n i bx a y n i i ,3,2,1,Λ=++=ε这里n εεε,,,21K K 互独立的随机变量，军服从正态分布，即n ,1,2,3i ),～N(0,2K =σε回归系数估计的方法有多种，其中使用最广泛的是最小二乘法，即要求选取的a ，b ， 的值使得述随机误差ε 的平方和达到最小，即求使得函数()()∑∑==--==nii i nii bx a y b a Q 1221,ε取得最小值的a ，b 。
一元线性回归教学设计
10.3.4 一元线性回归
【教学目标】
1. 了解相关关系、回归分析、散点图、回归直线方程的概念．
2. 掌握散点图的画法，掌握回归直线方程的求解方法，会求回归直线方程．
3. 让学生参与回归直线的探求，结合身边的实例，发现散点图的线性特征，主动构建线性回归直线方程的模型．
【教学重点】
散点图的画法，回归直线方程的求解方法．
【教学难点】
回归直线方程的求解方法．
【教学方法】
这节课主要采取启发引导和讲练结合的教学方法．通过创设情境、设置问题等手段对学生进行了启发、诱导，结合讨论法、讲授法组织学生自主探究．然后结合例题及课后练习巩固求回归直线方程的步骤．
【教学过程】。
一元回归方程数理统计课程设计.doc
一．设计目的了解一元回归方程，回归系数的检验方法及应用一元回归方程进行预测的方法；学会应用MATLAB软件进行一元回归实验的分析方法。
同时更好的了解概率论与数理统计的知识，熟练掌握概率论与数理统计在实际问题上的应用，并将所学的知识结合Excel对数据的处理解决实际问题。
本设计是利用一元线性回归理论对用切削机房进行金属品加工时为了适当地调整机床，测量刀具的磨损速度与测量刀具的厚度间的关系建立数学模型，并用Excel分析工具库中的回归分析软件进行解算。
二．设计问题用切削机床进行金属加工时，为了适当地调节机床，需要测定刀具的磨损速由此，我们利用这些数据做出刀具厚度x关于时间y的线性回归方程。
三．模型建立在实际问题中，经常会出现两个变量之间的相关关系不是线性的（即直线型），而是非线性的（即曲线型）。
设其中有两个变量x 与y ，我们可以用一个确定函数关系式：)(x y x =大致的描述y 与x 之间的相关关系，函数)(x u 称为y 关于x的回归函数，方程)(x u y=成为y 关于x的回归方程。
一元线性回归处理的是两个变量x 与y 之间的线性关系，可以设想y 的值由两部分构成：一部分由自变量x 的线性影响所致，表示x 的线性函数bxa +；另一部分则由众多其他因素，包括随机因素的影响所致，这一部分可以视为随机误差项，记为ε。
可得一元线性回归模型ε++=bx a y (1)式中，自变量x 是可以控制的随机变量，成为回归变量；固定的未知参数a,b成为回归系数；y 称为响应变量或因变量。
由于ε是随机误差，根据中心极限定理，通常假定),0(~2σεN ，2σ是未知参数。
确定y 与x 之间的关系前，可根据专业知识或散点图，选择适当的曲线回归方程，而这些方程往往可以化为线性方程或者就是线性方程，因此我们可以用线性方程：bxa y +=大致描述变量y 与x之间的关系；3.1模型回归系数的估计为了估计回归系数，假定试验得到两个变量x与y的n 个数据对(),3,2,1,,n iy x i i =我们将这n 对观测值代入式（1），得n i bx a y n i i ,3,2,1, =++=ε这里n εεε,,,21 互独立的随机变量，均服从正态分布，即n ,1,2,3i ),～N(0,2 =σε回归系数估计的方法有多种，其中使用最广泛的是最小二乘法，即要求选取的a ，b， 的值使得述随机误差ε 的平方和达到最小，即求使得函数()()∑∑==--==ni i ini ibx a y b a Q 1221,ε取得最小值的a ，b。
一元线性回归案例实践教案设计人教课标版(实用教案设计)
一元线性回归案例实践教案设计人教课标版(实用教案设计)教学目标- 了解一元线性回归的概念和基本原理- 能够应用一元线性回归模型解决实际问题- 掌握一元线性回归模型的参数估计和模型评价方法教学内容1. 介绍一元线性回归的基本概念和定义2. 讲解一元线性回归模型的建立和假设3. 演示如何进行参数估计和模型拟合4. 分析模型的显著性和置信度5. 实践案例教学，通过实际问题进行一元线性回归分析和解决教学步骤1. 引入一元线性回归的背景和意义，激发学生研究兴趣2. 介绍一元线性回归的基本概念，包括自变量和因变量的关系、回归方程等3. 解释一元线性回归模型的建立和假设，包括线性假设、独立性假设、正态性假设等4. 演示如何进行参数估计和模型拟合，包括最小二乘法和残差分析5. 分析模型的显著性和置信度，介绍 t 检验和置信区间的计算方法6. 进行实践案例教学，选择一个实际问题，引导学生应用一元线性回归进行分析和解决7. 引导学生讨论案例分析结果，并总结一元线性回归的应用范围和局限性教学评价1. 结合实践案例，评价学生对一元线性回归的应用能力和问题解决能力2. 综合考虑学生的参与程度、发言质量和对概念的理解程度进行评价3. 鼓励学生提出问题和改进建议，促进教学反馈和教学质量的提高扩展阅读- 教育部《高中课程标准实验教科书数学》- 曹建民、高树平、刘国梁，《统计学》以上是一份关于一元线性回归案例实践教案设计的简要内容。
本教案设计旨在帮助学生理解一元线性回归的基本概念和应用，通过实践案例的教学，培养学生的问题解决能力和数据分析能力。
教师可以根据实际情况进行相应的调整和改进，以适应学生的学习需求和实际情况。
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二氧化碳吸附量与活性炭孔隙结构的线性回归分析摘要：本文搜集了不同孔径下不同孔容的活性炭与CO2吸附量的实验数据。
分别以同一孔径下的不同孔容作为自变量，CO2吸附量作为因变量，作出散点图。
选取分布大致呈直线的一组数据为拟合的样本数据。
对样本数据利用最小二乘法进行回归分析，参数确定，并对分析结果进行显著性检验。
同时利用matlab 的regress 函数进行直线拟合。
结果表明:孔径在3. 0～ 3. 5 nm 之间的孔容和CO2吸附量之间存在较好的线性关系。
关键字：活性炭 孔容 CO2吸附量 matlab一、问题分析1.1.数据的收集和处理本文主要研究同一孔径的孔容的活性炭和co2吸附量之间的线性关系，有关实验数据是借鉴双全，罗雪岭等人的研究成果[1]。
以太西无烟煤为原料、硝酸钾为添加剂,将煤粉、添加剂和煤焦油经过充分混合后挤压成条状,在600℃下炭化15 min,然后用水蒸气分别在920℃和860℃下活化一定时间得到2组活性炭,测定了CO2吸附等温线,探讨了2组不同工艺制备的活性炭的CO2吸附量和孔容的关系.数据如下表所示：表1：孔分布与CO2吸附值编号1~12是在不同添加剂量，温度，活化时间处理下的对照组。
因为处理方式不同得到不同结果是互不影响的，可以看出CO2的吸附量的值是互相独立的。
我们将不同孔径下的孔容分为1~7组。
编号孔容/(1110L g μ--⋅)CO2吸附量1/()mL g -⋅0.5~0.8nm 0.8~1.2nm 1.2~1.8nm 1.8~2.2nm 2.2~2.2nm 2.5~3.0nm 3.0~3.5nm 1 7.18 16.2 24.4 75.2 70 96 115 64 2 6.59 14.4 18.4 53.7 50 85.6 91 55.1 3 4.54 11 18.9 71 65 78.3 91 53.7 4 5.13 13.4 29.9 10.3 90 76 122 53.7 5 4.16 10.5 18.9 83.8 78 80.5 113 61.7 6 4.92 12.1 23.4 81.6 72 56 99 53.6 7 5.08 12.6 23.8 93.5 86 77.8 122 65.5 8 5.29 13 25.1 88.4 69 66.4 107 57.7 9 7.47 16.9 26.9 46.4 78 93.2 107 58.2 10 5.44 13 21.4 44.1 91 98.6 137 76.6 11 1.81 64.6 18.3 53.1 114 110 142 75 121.2427.739.5 126 114 98.6 183 98.7作出不同孔径下与CO2吸附量的散点图如下：2468孔容C O 2吸附量10203040506070孔容C O 2吸附量152025303540孔容C O 2吸附量50100150孔容C O 2吸附量406080100120孔容C O 2吸附量5060708090100110孔容C O 2吸附量80100120140160180200孔容C O 2吸附量图1：不同孔容与CO2吸附量的散点图图1中从左往右依次是第1到第7组孔容，从图中可以看出第五、六、七组的点大致分散在一条直线附近，说明两个变量之间有一定的线性相关关系。
且自变量的变化导致因变量CO2的浓度变化，因变量变化具有独立性。
我们就选取第七组的数据进行回归分析。
112101()()ˆ()ˆˆni i i ni i x x y y x x y xβββ==⎧--⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑二、问题假设1.假设误差分布服从正态分布。
2.为了简化模型，便于回归分析，我们不考虑实验中各种因素对活性炭吸附的影响，考虑孔容与co2吸附量的数据之间的线性关系。
三、模型建立3.1.回归参数的引进回归函数()(|)y f x E Y X x ===是线性函数的回归分析称为线性回归，当可控制变量只有一个时，即回归函数为01()y f x x ββ==+，那么称为一元线性回归模型，上式称为Y 对x 的一元线性回归方程或者一元线性回归直线，0β、1β称为回归系数，常数0β、1β、2σ均未知。
3.2回归方程的构建由于总体回归方程01()y f x x ββ==+中的参数0β、1β在实际中并不知道，需要通过样本值对它们进行估计，得到估计值0ˆβ，1ˆβ，从而得到样本回归方程01ˆˆY x ββ=+，此样本方程可用作总体回归方程()(|)y f x E Y X x ===的估计。
通常可用最小二乘法估计得到公式由于总体回归方程01()y f x x ββ==+中的参数0β、1β在实际中并不知道，需要通过样本值对它们进行估计，得到估计值0ˆβ，1ˆβ，从而得到样本回归方程01ˆˆY x ββ=+，此样本方程可用作总体回归方程()(|)y f x E Y X x ===的估计。
通常可用最小二乘法估计得到公式012(0,)Y x N ββεεσ=++⎧⎨⎩:(1)(2)2σ=101ˆ/ˆˆxy xx l l y xβββ⎧=⎪⎨=-⎪⎩其11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑,记12112xy i i i l x y x y==-⋅∑= ,1222112xx i i l x x==-∑1222112yy i i l y y ==-∑1ˆ/xy xxl l β=01ˆy x ββ=- 2ˆe T R xx xx S S S l l β=-=- 可得2.3求一定孔容下的CO2的吸附量的回归直线方程利用matlab 对数据进行计算，结果如下表所示:实验编号孔容i xCO2吸附量iy2i x 2i yi i x y1 115 64 13225 4096 73602 91 55.1 8281 3036.01 5014.13 91 53.7 8281 2883.69 4886.74 122 53.7 14884 2883.69 6551.45 113 61.7 12769 3806.89 6972.16 99 53.6 9801 2872.96 5306.47 122 65.5 14884 4290.25 79918 107 57.7 11449 3329.29 6173.9 9 107 58.2 11449 3387.24 6227.4 10 137 76.6 18769 5867.56 10494.2 11 142 75 20164 5625 10650 12 183 98.7 33489 9741.69 18062.1 ∑1429773.517744551820.2795689.3表2：孔容与C02吸附度的回归计算讲结果代入上上述公式可得下列计算表：(3)表3：回归参数的计算表由此可得线性回归方程为：0.49 5.88y x =+四、回归方程的显著性检验对回归方程是否有意义做判断就是对如下的检验问题做出判断：01:0H β=vs 11:0H β≠拒绝域0H 表示回归方程是显著的。
利用F 检验对参数进行检验。
经计算有T yy S l ==63.7711T f =21R xx S l β==48.421R f =e T R S S S =-=15.3510e f =4.1F 值检验取显著水平α=0.05，其拒绝域为：i x ∑=1429.00n=12i y ∑=773.50x =119.08y =64.462ix∑=177445.00i i x y ∑=95689.302iy∑=51820.272nx =2129340.00n x y ⋅⋅=1148271.602ny =621843.24 xx l =7274.92 xy l =3578.34yy l =1961.75e S =201.662σ=63.771/xy xx l l β==0.4901ˆy x ββ=-=5.88（4） （5）（6） （7）（8）1(1,10)F F α-≥查表可得拒绝域的值为： 4.96F ≥ 计算得87.28/(2)Re S F S n ==-，远远大于F 的临界值，说明拒绝原假设，原假设不成立，自变量和因变量有着显著的线性关系。
4.2.p 值检验将（6)(7)(8)中的各平方和和自由度移入方差分析表，继续进行计算可得：这里p 值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。
五、计算方法的涉及和计算机的实现4.1用matlab 拟合直线：先将数据以txt 格式保存，再用dlmread 读取ASCII 码文件。
调用matlab 中的regress 多元线性回归函数（代码见附录），对12个样本数据进行拟合，作出散点图和直线拟合图在一图上如下：9010011012013014015016017018019050556065707580859095100图2：孔容和CO2吸附量的直线拟合孔容C O 2吸附量从图中可以看出样本点大致分布在直线附近,拟合效果比较好。
4.2直线参数的估计值的置信区间以及三种检验利用regess函数求出参数的估计值和置信区间以及参数的检验统计量（设置α=0.05）如下：图3：用matlab计算的参数值和检验值。
其中，R^2=0.8972指因变量（CO2吸附度）有89.7%可由模型确定，F的值远远超过F的临界值。
P远小于α，因而模型从整体上看是可用的。
六、主要的结论孔容和CO2吸附量之间存在线性关系,经过显著性检验,线性方程回归效果较好,即线性方程能基本描述孔径围3. 0～ 3. 5 nm的活性炭孔容和CO2吸附量七、参考文献[1]双全,罗雪岭,郭哲,董明建,岳晓明. CO2吸附量与活性炭孔隙结构线性关系的研究[J]. 中国矿业大学学报. 2008(04)附录Matlab制作散点图：M=dlmread('co2.txt');%读取ASCII码文件for i=1:1:7subplot(4,2,i)x1=M(:,i); y=M(:,8);plot(x1,y, 'bo');xlabel('孔容'),ylabel('CO2吸附量');endMatlab直线拟合：clc; format short g;M=dlmread('co2.txt');%读取ASCII码文件x1=M(:,7); y=M(:,8);plot(x1,y, 'bo');b=regress(y,[ones(size(x1)),x1]); % b=[β0 β1] '，列向量x1=sort(x1); %按升序排序，用于画图y=[ones(size(x1)),x1]*b;%使用矩阵乘法hold on;plot(x1,y, '-r');title('图2：孔容和CO2吸附量的直线拟合')xlabel('孔容');ylabel('CO2吸附量');hold off;Matlab参数估计：clc; format compact; format short g;M=dlmread('co2.txt');%读取ASCII码文件x1=M(:,7); y=M(:,8);[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,[ones(size(x1)),x1],0.05);fprintf('%2s%5s%11s\n','参数','估计值','置信区间');%1个汉字算1个字符for i=1:length(b)fprintf ('β%1d%9.4f [%7.4f, %7.4f]\n',i-1,[b(i,:),bint(i,:)]); end% %d将i当整数输出，%7.4f按实数格式输出，区域宽7个字符，4位小数fprintf('\nR^2=%.4f F=%.4f p<%.4e s^2=%.4f\n',stats);。