近世代数期末考试试题库

WORD 格式整理世代数模拟试题一一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设 A ＝B ＝R(实数集 ) ，如果 A 到 B 的映射 ：x →x ＋2， x ∈R ，则 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么， A 与 B 的积集合 A ×B 中含有（ d ）个元素。

A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的 ( 两方程解一样 ) 4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（ c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。

5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（ d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合 A1,0,1 ； B 1,2 ，则有B A 。

2、若有元素 e ∈R 使每 a ∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元 。

3、环的乘法一般不交换。

如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环 。

4、偶数环是 整数环的子环。

5、一个集合 A 的若干个 -- 变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换全 。

6、每一个有限群都有与一个置换群 同构 。

7、全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1，元 a 的逆元是 a-1 。

8、设 I 和 S 是环 R的理想且IS R ，如果 I 是 R的最大理想，那么 ---------。

9、一个除环的中心是一个 - 域----- 。

三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设置换 和 分别为：12345678 ，12345678，判断 和 的奇偶性，并把 和6417352823187654写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

奇 1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积：(1653)( 247)(8) (123)( 48)(57)(6)可知 为奇置换， 为偶置换。

和 可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)( 27)(13)(12)(48)(57)B1(A A)C1(A A)2 解：设 A 是任意方阵，令 2， 2，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称专业技术参考资料WORD 格式整理BB1C1C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：BB1，C C1，所以，表示法唯一。

3、设集合M m{ 0,1,2,, m 1, m}( m1)，定义Mm中运算“m”为 a m b=(a+b)(modm), 则（ Mm ， m ）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、设 G 是群。

证明：如果对任意的 x G ，有 x 2 e ，则 G是交换群。

2、假定 R 是一个有两个以上的元的环， F 是一个包含 R 的域，那么 F 包含 1、对于 G 中任意元 x ，y ，由于 ( xy)2 e ，所以 xy ( xy) 1 y 1 x 1yx （对每个 得 x x 1 ）。

2、证明在 F 里R 的一个商域。

x ，从 x 2 e 可ab1b 1aa ( a,b R, b0)bQ所有a(a,b R, b 0)有意义，作 F 的子集bQ显然是 R 的一个商域证毕。

近世代数模拟试题二一、单项选择题二、 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（ c ）是子群。

A 、 aB 、 a, eC 、 e, a 3D 、 e, a, a 32、下面的代数系统（ G ，* ）中，（d ）不是群 A 、G 为整数集合， * 为加法 B 、G 为偶数集合， * 为加法 C 、G 为有理数集合， * 为加法 D、G 为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设1、 2 、 3 是三个置换，其中1=（12）（ 23）（13），2 =（24）（14），3=（1324），则 3 =（ b ）A 、21B、12C 、2 2D 、215、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（ a ）。

A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 --- 变换全 ------- 同构。

2、一个有单位元的无零因子 - 交换环 ---- 称为整环。

3、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 50，则 a 4的阶等于 -25----- 。

WORD 格式整理4、a 的阶若是一个有限整数 n ，那么 G 与-- 模 n 乘余类加群 -----同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A ∩B=---2-- 。

6、若映射 既是单射又是满射，则称 为--- 双射 --------------。

7 、叫做域 F 的一个代数元，如果存在 F的 --不都等于林---a 0, a 1,, an使 得n0 。

a 0 a 1 a n8、 a 是代数系统 ( A,0) 的元素，对任何 x A 均成立 x a x ，则称 a 为---- 单位元 ----- 。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足 G对于乘法 封闭；结合律成立、 -- 消去律成立 ------- 。

10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是---------- 。

三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群， H 是 G 的子群， H={I,(1 2)} ，写出 H 的所有陪 集。

”是 中的运算，（ ， ）是一2、设 E 是所有偶数做成的集合， “ ”是数的乘法，则“EE个代数系统，问（ E ， ）是不是群，为什么？ 1、解： H 的 3 个右陪集为： {I,(1 2)} ，{(1 2 3 ) ，(1 3)} ，{(1 32) ，(23)} H 的 3 个左陪集为： {I,(1 2)} ，{(123) ，(2 3)} ，{(1 3 2 ) ，(1 3 )} 2、答：（E ， ）不是群，因为（ E ， ）中无单位元。

3、解 方法一、辗转相除法。

列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a ×b/17=11339。

然后回代： 17=102-85=102-(b-3 ×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明 设 e 是群 <G ，*> 的幺元。

令 x ＝a －1*b ，则 a*x ＝a*(a －1*b) ＝(a*a －1)*b ＝e*b ＝b 。

所以， x ＝a －1*b 是 a*x ＝b 的解。

若 x ∈G 也是 a*x ＝b 的解，则 x ＝e*x ＝(a －1*a)*x ＝a －1*(a*x ) ＝a －1*b ＝x 。

所以，x ＝a －1*b 是 a*x ＝b 的惟一解。

2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合 Z 记为 Zm ，每个整数 a 所在的等价类记为 [a]= ｛x ∈Z ；m ︱x –a ｝或者也可记为 a ，称之为模 m 剩余类。

若 m ︱a –b 也记为 a ≡b(m) 。

当 m=2时， Z2 仅含 2 个元： [0] 与[1] 。

四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、若 <G ，*> 是群，则对于任意的 a 、b ∈G ，必有惟一的 x ∈G 使得 a*x ＝b 。

2、设 m 是一个正整数，利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系： a? b 当且仅当 m ︱a –b 。

WORD 格式整理近世代数模拟试题三一、单项选择题 1、6 阶有限群的任何子群一定不是（ c ）。

A 、2 阶 B 、3阶 C 、4阶 D 、6 阶2、设 G 是群， G 有（ c ）个元素，则不能肯定 G 是交换群。

A 、4个 B 、5 个 C 、6个D 、7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ d ）。

4、下列哪个偏序集构成有界格（ d ） A 、偶数 B 、奇数 C 、4 的倍数 D 、2 的正整数次幂 A 、（N, ） B、（Z, ） C 、（{2,3,4,6,12},| （整除关系）） D 、 (P(A), )5、设 S3＝{(1) ，(12) ，(13) ，(23) ，(123) ，(132)} ，那么，在 S3 中可以与 (123) 交换 的所有元素有（ a ） A 、(1) ，(123) ，(132) B 、12) ，(13) ，(23) C 、(1) ，(123) D 、S3 中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是 -------- 的，每个元素的逆元素是 -------- 的。

2、如果 f 是 A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f 1f a ----a------ 。

3、区间 [1 ，2] 上的运算 a b {min a,b} 的单位元是 --2----- 。

4、可换群 G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ——— 24———————。

5、环 Z 的零因子有 --------- -------------- 。

86、一个子群 H 的右、左陪集的个数 --- 相等 ------- 。