近世代数期末考试试题库

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世代数模拟试题一

一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无

分。 1、设 A ＝B ＝R(实数集 ) ，如果 A 到 B 的映射 ：x →x ＋2， x ∈R ，则 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么， A 与 B 的积集合 A ×B 中含

有（ d ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的 ( 两方程解一样 ) 4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（ c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（ d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。

1、设集合 A

1,0,1 ； B 1,2 ，则有B A 。 2、若有元素 e ∈R 使每 a ∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元 。 3、环的乘法一般不交换。如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环 。 4、偶数环是 整数环的子环。 5、一个集合 A 的若干个 -- 变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换全 。 6、每一个有限群都有与一个置换群 同构 。 7、全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1，元 a 的逆元是 a-1 。

8、设 I 和 S 是环 R

的理想且

I

S R ，如果 I 是 R

的最大理想，那么 ---------

。

9、一个除环的中心是一个 - 域----- 。

三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）

1、设置换 和 分别为：

12345678 ，

12345678

，判断 和 的奇偶性，并把 和

64173528

23187654

写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇 1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积：

(1653)( 247)(8) (123)( 48)(57)(6)

可知 为奇置换， 为偶置换。

和 可以写成如下对换的乘积：

(13)(15)(16)(24)( 27)

(13)(12)(48)(57)

B

1

(A A)

C

1

(A A)

2 解：设 A 是任意方阵，令 2

， 2

，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称

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B

B

1

C

1

C

，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于

0，即：

B

B

1

，

C C

1

，所以，表示法唯一。

3、设集合

M m

{ 0,1,2,

, m 1, m}( m1)

，定义

M

m

中运算“

m

”为 a m b=(a+b)(modm), 则

（ M

m ， m ）是不是群，为什么？

四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）

1、设 G 是群。证明：如果对任意的 x G ，有 x 2 e ，则 G

是交换群。 2、假定 R 是一个有两个以上的元的环， F 是一个包含 R 的域，那么 F 包含 1、对于 G 中任意元 x ，y ，由于 ( xy)2 e ，所以 xy ( xy) 1 y 1 x 1

yx （对每个 得 x x 1 ）。

2、证明在 F 里

R 的一个商域。x ，

从 x 2 e 可

ab

1

b 1

a

a ( a,

b R, b

0)

b

Q

所有

a

(a,b R, b 0)

有意义，作 F 的子集

b

Q

显然是 R 的一个商域

证毕。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题

二、 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（ c ）是子群。

A 、 a

B 、 a, e

C 、 e, a 3

D 、 e, a, a 3

2、下面的代数系统（ G ，* ）中，（d ）不是群 A 、G 为整数集合， * 为加法 B 、G 为偶数集合， * 为加法 C 、G 为有理数集合， * 为加法 D

、G 为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|

4、设

1

、 2 、 3 是三个置换，其中

1

=（12）（ 23）（13），2 =（24）（14），

3

=（1324），

则 3 =（ b ）

A 、

2

1

B

、

1

2

C 、

2 2

D 、21

5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（ a ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群

二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 --- 变换全 ------- 同构。 2、一个有单位元的无零因子 - 交换环 ---- 称为整环。

3、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 50，则 a 4

的阶等于 -25----- 。