[GB][03][地球重力场]

o x
V F cos( F , S ) S
质体(M)
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
离心力位 Q( x, y, z ) 离心力：
2 P
2 2 fM a n n 2 1 ( ) ( C cos k S sin k ) P (cos ) ( x y ) nk nk nk n 2 k 0 2
其中，坐标系原点放在地球质心，Z轴重合于地球的主惯性轴， 又称位系数模型，n总是有限
dm 2 2 f (x y2 ) r 2 (M )
g
4.1 地球重力场 EartБайду номын сангаас Gravity Field
二、地球重力场模型（model of earth gravity field）
W ( x, y , z ) V ( x, y , z ) Q ( x , y , z ) dm 2 2 f (x y2 ) r 2 (M )
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
二、地球重力场模型（model of earth gravity field）
W ( x, y , z ) V ( x, y , z ) Q ( x, y , z ) dm 2 2 f (x y2 ) r 2 (M )
的导数等于力在该方向上的分力。
引力位 V ( x, y, z ) 质体引力：
dm r F f 2 r r (M )
dm 质体引力位：V ( x, y, z ) f r (M )
验证：
质 体 引 力 位
z
m 1
r
dm
( x, y , z )
( , , )
y
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出 • • • • •
相应坐标公式） 画图说明三角测量法原理（要写出 相应坐标公式） 建立国家高程控制网的主要方法 我国的高程起算面及起算点 我国已有的GPS三维网有哪些？ 请思考野外测量可以获得哪些观测值， 点的最终水平坐标和高程怎么得到？
位等于引力位与离心力位之和。
重力位 W ( x, y, z )
地球引力位：
离心力位：
dm V ( x, y , z ) f r (M )
重 力 位
z
Q ( x, y , z )
2
2
( x, y, z )
(x2 y2 )
o x
F
P
y
重力位： W ( x, y , z ) V ( x, y , z ) Q ( x , y , z )
长半轴a，扁率α ，质量M 和绕其短轴旋转的角速度ω 。
正常椭球一般选取原则：①旋转轴与实际地球的自转轴
重合，且两者的旋转角速度相等；②椭球中心与地球质
心重合；③ 质量与实际地球的质量相等；④ 椭球面与 大地水准面最为接近。
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
四、正常椭球与正常重力（normal ellipsoid and gravity）
n 0

1

n 1
(a
k 0
n
nk
cos k bnk sin k ) Pnk (cos )
V ( , , )
fM


n2

1

n 1
(a
k 0
n
nk
cos k bnk sin k )Pnk (cos )
fM a n n 1 ( ) (Cnk cos k S nk sin k )Pnk (cos ) n 2 k 0 fM a n n 1 ( ) (Cnk cos k S nk sin k )Pnk (cos ) n 2 k 0
离 心 力 位
z

x2 y2
m
离心力位： Q( x, y, z )
2
2
( x, y , z )
(x2 y2 )
o x
y
验证：
Q Q Q Px , Py , 0 x y z
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 重力位函数：重力等于引力与离心力之和，重力
n 1 n
P
(M )
O


y
z
x
Y
X
V ( , , )
n 0

1

n 1
(a
k 0
n
nk
cos k bnk sin k ) Pnk (cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an 0 f P (cos 1 )dm (M ) (n k )! ank 2 f 1n Pnk (cos 1 ) cos k 1dm ( n k )! ( M ) ( n k )! n bnk 2 f 1 Pnk (cos 1 )sin k 1dm ( n k )! ( M )
dm 质体对外部点的引力位： V ( x, y, z ) f r (M )
满足拉普拉斯方程：
2V 2V 2V 2 2 0 2 x y z
dm 质体对外部点的引力位： V ( x, y, z ) f r (M )
满足拉普拉斯方程：
2V 2V 2V 2 2 0 2 x y z
质点引力位： V ( x, y, z ) fm r V F cos( F , S ) 验证： S
质 点 引 力 位
z
r
m 1
( x, y , z )
m
( , , )
y
o x
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
引言
自然表面
地球形状 参考椭球面
大小
地 轴
大小
大地水准面
正常椭球面
地心
ω
fM
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
引力位 V ( x, y, z ) 质点引力：
fm r F 2 r r
n 0

1

n 1
(a
k 0
n
nk
cos k bnk sin k ) Pnk (cos )
伴随勒让德多项式
Pnk (cos )
引力位球谐函数
Pn0 ( x) Pn ( x) ,0 n , x 1
递推公式
(n k 1) Pn1,k ( x) (2n 1) xPnk ( x) (n k ) Pn1,k ( x) ,0 k n Pnn ( x) (1 x 2 ) (2n 1) Pn 1,n1 ( x) , k n
C21 S21 0
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
三、水准面的性质（features of level surface）
水准面的不平行性、不相交性
dW g cos( g , dh ) g dh
水准面的重力位值
W
2
dh
dW g cos( g , S ) 0 dS
n 1 n
一 阶项 二 阶项
a10 fMz0 ,
a 11 fMx0 ,
(M )
b11 fMy0
a21 f
(M )

z1 x1dm, b21 f

y1 z1dm, b22
1 f x1 y 2 (M )
若将坐标系原点放在地球质心，Z轴重合于 地球的主惯性轴则上述项消失。
V ( , , )
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出
相应坐标公式） x sin B1 画图说明三角测量法原理（要写出 D13 • D12 , T13 T12 C1 sin A1 P2（X2，Y2） 相应坐标公式） .......... .......... .......... .......... ....... • 建立国家高程控制网的主要方法 T12 B1 D12 A1 • 我国的高程起算面及起算点 P3 C 1 X3 • X 1 我国已有的 D13 cosT13 GPS三维网有哪些？ Y3 Y1 D13 sin T13 P1（X1，Y1） • 请思考野外测量可以获得哪些观测值， .......... .......... .......... . 点的最终水平坐标和高程怎么得到？ o y
W
s
g
1
W ( x, y, z ) const
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
四、正常椭球与正常重力（normal ellipsoid and gravity）
正常椭球及其选择
正常椭球是一个假想的、质量分布规则的旋转椭球体，
用于研究地球重力场及地球形状，它的四个基本参数为：
递推公式的初始值
P0 ( x) 1, P 1 ( x) x
V ( , , )
n 0

1

n 1
(a
k 0
n
nk
cos k bnk sin k ) Pnk (cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an 0 f P (cos 1 )dm (M ) (n k )! ank 2 f 1n Pnk (cos 1 ) cos k 1dm ( n k )! ( M ) Zn ( n k )! bnk 2 f 1 Pnk (cos 1 )sin k 1dm ( n k )! ( M ) dm( 1 ,1 , 1 )
ank (n 请注意 k )! Cnk Cnk , Cnk 2(2n 1)( n k )! fMa n C21 C21 a21 0 bnk (n k )! S nk S nk S nk S 21 S 21 b21 , 0 2(2n 1)( n k )! fMa n
3
2h
第四章 大地水准面与高程系统
4.1 地球重力场
《大地测量学基础》
（FOUNDATION OF GEODESY）
一系大地测量教研室
第四章 大地水准面与高程系统 内容回顾
4.1 地球重力场
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出
相应坐标公式） x P0 •12 T 画图说明三角测量法原理（要写出 T 10 1 .......... .......... 相应坐标公式） T10 • 建立国家高程控制网的主要方法 β2 P2 D β3 12 • 我国的高程起算面及起算点 D 23 β X 2 X 1 D12 cosT12 1 •2 Y 我国已有的 GPS三维网有哪些？ P Y 1 D12 sin T 12 3 P1（X1，Y1） .......... .......... .......... . • 请思考野外测量可以获得哪些观测值， o y 点的最终水平坐标和高程怎么得到？
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出 • • • • •
相应坐标公式） 画图说明三角测量法原理（要写出 相应坐标公式） 建立国家高程控制网的主要方法 我国的高程起算面及起算点 我国已有的GPS三维网有哪些？ 请思考野外测量可以获得哪些观测值， 点的最终水平坐标和高程怎么得到？
Z
x sin cos y sin sin z cos
X
P
(M )
O


y
z
x
Y
2V V 2V V 1 2V 2 2 cot 2 0 2 2 sin
2
V ( , , )