关于交错级数的一个审敛准则
第7章 第3讲 交错级数和任意项级数审敛法
=1
=1
因为 = ( + 1 − )= + 1 − 1 → ∞( → ∞时),
=1
∞
所以级数 | | 发散.
=1
25
02
任意项级数审敛法
∞
( + 1 − ) .
(−1)
再考察交错级数
=1
由 +1− =
1
+1+
> 0可得:
数列 { + 1 − } 单调递减
2 →∞
∞
可知 lim ≠ 0,
→∞
故级数 (−1)
=1
1
1 2
(1 + ) 发散．
2
24
02
任意项级数审敛法
∞
例8 判别级数 (−1) ( + 1 − ) 的敛散性．
=1
如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛？
∞
∞
解 先考察正项级数 | | = ( + 1 − ) :
=1
∞
1
sin
1
≤ ，当 > 1时， 收敛,
证 因为
=1
∞
∞
=1
=1
sin
sin
故级数
收敛, 从而级数
绝对收敛.
18
02
任意项级数审敛法
注
∞
∞
(1)对于任意项级数 , 如果级数 收敛,
=1
∞
=1
那么级数 一定收敛, 这样可以把一大类级数的敛散
莱布尼茨审敛法
莱布尼茨审敛法
交错级数的审敛法莱布尼茨定理是什么?
交错级数的审敛法莱布尼茨定理也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则，不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数，一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数。
交错级数是正项和负项交替出现的级数，形式满足
a1-a2+a3-a4+…+(-1)^(n+1)an+…，或者
-a1+a2-a3+a4-… +(-1)^(n)an，其中an>0。
在交错级数中，常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛；此外，由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计。
最典型的交错级数是交错调和级数。
02-交错级数及其审敛法PPT
定义：正、负项相间的级数称为交错级数，即
8
8
£ (~1)n an，或 £(-1)-1 an，
n=1
n=1
其中对任意n,有an > 0 .
交错级数审敛法(莱布尼茨判别法):
8
若交错级数£ (-1)"T an (匕> 0)的一般项满足：
n=1
① an+i < an (n = L2,…)；
(ii) lim an = 0 .
nT8 8
£ 则⑴ (-1)n-1 an收敛,且其和s满足：0 < s < a1;
n=1
(2)级数的余项rn = s-sn满足|rn| < an+1.
板书少 证明：⑴..・an_1 - an > 0,
•・• s2 n = （a1 一 a2）+ （a3 一 a4）+ …+ （a2 n-1 一 a 2 n）
数列｛ s2〃｝是单调增加的,
又 s2n = a1 一 （a2 一 a3）-----（a2n-2 一 a2n-1）
一 a2n
< "数列｛S2n ｝是有界的，
lim s2n = s < a1. •/ lim a2n+1 = 0,
n—8
n—B
板 书，・・・ lim 5+i = lim(sn + a2w+1) = s,
竺"ns ns
・级数收敛于和S, 且s < a1.
(2)余项 rn =~(an+1 - an+2 + …)， + rn\ = an+1 - an+2 …，
满足收敛的两个条件，...|" < an+!•
交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛
级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且 余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错 的，从而它可以写成下面的形式： 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
交错无穷级数条件收敛
交错无穷级数条件收敛【实用版】目录1.交错级数定义与性质2.交错级数收敛条件3.交错级数的应用正文一、交错级数定义与性质交错级数是指由一系列正负数交替相加而成的级数，形式如下：a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + a_5 -...或-a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 +...其中，a_n 称为级数的第 n 项。
交错级数可以是有穷的，也可以是无穷的。
二、交错级数收敛条件对于交错级数，有一个著名的收敛定理，即“交错级数收敛当且仅当其任意一项绝对值小于等于级数项数的 1/2”。
具体来说，如果交错级数满足以下条件，则该级数收敛：1.对于任意正整数 n，有 |a_n| <= 1/2^n2.级数项数趋于无穷三、交错级数的应用交错级数在数学中有广泛的应用，以下是一些例子：1.交错级数求和公式：设交错级数 a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + a_5 -...的前 n 项和为 S_n，则有 S_n = (a_1 + a_2 + a_3 +...+ a_n) / 2。
2.交错级数在数列极限中的应用：设数列 {a_n} 的极限为 L，则对于任意ε>0，存在 N，当 n>N 时，有 |a_n - L| < ε。
可以用交错级数的形式表示为：当 n 趋向于无穷时，|a_1 - L| + |a_2 - L| + |a_3 - L| +...< ε。
3.交错级数在函数积分中的应用：设 f(x) 在 [0,1] 上连续，且在(0,1) 内单调，则有积分公式∫[0,1]f(x)dx = (f(0) + f(1)/2) + (f(1/2) + f(3/2)/2) + (f(1/4) + f(3/4)/2) +...通过以上讨论，我们可以看到交错级数在数学中的重要性和应用广泛性。
一类交错级数的审敛法
一类交错级数的审敛法
对一类交错级数求和的审敛法，是一种快速计算一类交错级数总和的数学方法，其历史可以追溯到古希腊时期，当时已有数学家认识到它的重要性并用于求解积分问题。
审敛法使用梯形公式计算一类交错级数的总和，具体的计算步骤如下：
1. 根据一类交错级数的一般项an的表达式，求得中点的值Cn；
2. 计算审核项Sn，Sn=Cn+|An-1|+|An-2|+…+|A1|；
3. 比较Sn和Sn+1，如果Sn<Sn+1，则可以剔除Sn+1，继续往后比较。
比较完所有审核项后，剩下的审核项即为一类交错级数的总和。
审敛法可以很好地求解一类交错级数的总和，且 time complexity 比其他方法低，不易出错。
因此，审敛法在数学中得到了广泛的应用。
例如，它可以被用来求解求解积分问题，也可以被用来计算多元函数的最优值。
本文介绍了一类交错级数求和的审敛法，既简单又有效，在数学中有着重要地位，而且具有很好的可扩展性，一直广泛应用于数学中，是非常有价值的数学方法。
5_3交错级数 绝对收敛与条件收敛
(−1) n 收敛. ∑ n n =1
∞
3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散，即 lim > 1(或 lim n un > 1) ，则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0， 从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2
∴
∑
∞
n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注：绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如， 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和， 但条件收敛级数不具有这条性质.
02-交错级数及其审敛法PPT
( ii
)
lim
n
an
0
.
则 (1) (1)n1 an 收敛,且其和 s满足 : 0 s a1;
n1
(2) 级数的余项 rn s sn 满足 rn an1 .
板书
证明：(1) an1 an 0,
s
a1 .
lim n
a2n1
0,
板书
lim n
Hale Waihona Puke s2n1lim (
n
s2n
a2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s a1.
(2) 余项 rn (an1 an2 ), rn an1 an2 ,
满足收敛的两个条件， rn an1 .
s2n (a1 a2 ) (a3 a4 ) (a2n1 a2n )
数列 s2n是单调增加的 ,
又 s2n a1 (a2 a3 ) (a2n2 a2n1 ) a2n
a1. 数列 s2n是有界的 ,
lim n
s2n
n1
n1
验证：{an } 单调递减且趋于0 , 则级数收敛.
交错级数的审敛法
一、交错级数及其审敛法
定义： 正、负项相间的级数称为交错级数，即
(1)n an , 或 (1)n1an ,
n1
n1
其中对任意 n , 有an 0 .
交错级数审敛法（莱布尼茨判别法）：
若交错级数 (1)n1 an (an 0)的一般项满足:
n1
定理证毕.
二、交错级数及其审敛法
例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
n
n2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
n2 en
绝对收敛.
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
绝对收敛
也收敛.
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且
(n=1,2,3…)
则有
(1) 若级数
收敛 , 则级数
也收敛 ;
(2) 若级数
一、交错级数及其审敛法最全版
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
2
例2
n 1 判定级数 (1) n 1
n 2n
的敛散性.
解 这也是一个交错级数,且 如何比较大小？
(1)un n n 1 , u ,则 n 1 n n 1 2 2 n n 1 n 1 n1 n1 0,(n 1, 2,3, ), n 2 2 2
为什么？
un un1
(2) lim un lim
n
n 0, n 2n
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
3
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级 数.
u n 收敛，则称级数 定义：对于 u n 级数，若 n 1 u n 发散，但本身 u n 收敛，则称 绝对收敛；如果 n 1
(1)un un 1 ( n 1, 2, 3,
n 1
); (2) lim un 0
n
则级数 (1)n1un 收敛，且其和S u1
yrty 1
例1
n 1 1 ( 1) 判定级数 n n 1
的敛散性.
解 这是一个交错级数,且
1 1 1 (1)un , 且un un 1 , n n§9.3
任意项级数
一、交错级数及其审敛法
定义:如果在任意项级数 u n 中，正负号相间出
n 1
现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一
n 1 n ( 1) u 或 ( 1) 般形式为： un n n 1 n 1
(其中un 0)
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
n 1 n 1
交错级数收敛的充分必要条件
交错级数收敛的充分必要条件交错级数是数学中一类特殊的级数，其部分和的正负号交替出现。
交错级数的收敛性是一个重要的问题，在实际问题中也有一些应用。
本文将介绍交错级数收敛的充分必要条件。
我们来定义一下交错级数。
一个交错级数可以表示为以下形式：\[S=a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + a_5 - \ldots \]其中，\(a_1, a_2, a_3, \ldots\)是一列实数。
接下来，我们来介绍交错级数收敛的充分必要条件。
充分条件：一个交错级数如果满足下列两个条件之一，则该级数收敛。
1. 条件一：交错级数的绝对值递减趋于零。
如果交错级数的绝对值递减趋于零，即对于任意正整数\(n\)，都有\(|a_n| \geq |a_{n+1}|\)，并且\(\lim_{n \to \infty} |a_n| = 0\)，则交错级数收敛。
2. 条件二：交错级数的通项趋于零，并且部分和有界。
如果交错级数的通项\(a_n\)趋于零，即\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)，并且部分和序列\(\{S_n\}\)有界，即存在一个实数\(M\)，使得对于任意正整数\(n\)，都有\(|S_n| \leq M\)，则交错级数收敛。
必要条件：一个交错级数如果收敛，则交错级数的绝对值递减趋于零。
即如果交错级数收敛，则对于任意正整数\(n\)，都有\(|a_n| \geq |a_{n+1}|\)，并且\(\lim_{n \to \infty} |a_n| = 0\)。
根据以上充分必要条件，我们可以判断一个交错级数是否收敛。
如果交错级数的绝对值递减趋于零，或者交错级数的通项趋于零并且部分和有界，那么该交错级数收敛；反之，如果交错级数的绝对值不递减或通项不趋于零，或者部分和无界，那么该交错级数发散。
举一个例子来说明交错级数收敛的充分必要条件。
考虑交错级数：\[S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \ldots \]我们可以观察到，该交错级数的绝对值递减趋于零，即\(1 \geq \frac{1}{2} \geq \frac{1}{3} \geq \frac{1}{4} \geq \frac{1}{5} \geq \frac{1}{6} \geq \ldots\)，并且\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)。
1102常数项级数的审敛法-2
n=2
n −1
的收敛性.
x − (1 + x ) ∵ x ≥ 2时, ( 时 < 0, )′ = x −1 2 x ( x − 1)2
x 故x ≥ 2时,函数 单调递减 , x −1
∴ n ≥ 2时, 有 un > un +1 ,
n 又 ∵ lim un = lim = 0, n→ ∞ n→ ∞ n − 1
例1 判定级数 ∑
∞ (−1)n
n=1
n
的收敛性.
1 解 这是一个交错级数 , 且un = , n
1 1 ∵ un = ≥ = un +1 , 且 lim un = 0, n n+1 n→ ∞
由莱布尼茨定理知, 级数收敛. 由莱布尼茨定理知, 原级数收敛.
例2 判定级数 ∑ 解
∞ (−1)n n
练习题
一 .判定下列级数的收敛性 : 判定下列级数的收敛性
1. ∑ n ; n =1 n 1 4. ∑ ; n = 2 ln n 1 7. ∑ arcsin ; n n= 2 n
∞ 1 ∞
∞
1
2. ∑
∞
1 nn n
n =1
;
3. ∑
∞
1
2n
n =1 n
; n
5. ∑
∞
∞ ( −1)n
n = 2 ln n
∞ ∞
∞ ( −1)n
解 由莱布尼茨定理知 ,级数收敛 , 级数收敛
1 又 ∵ ∑ un = ∑ 发散 , n =1 n =1 n + n
故原级数收敛,且为条件收敛. 故原级数收敛,且为条件收敛.
◆说明: (1)若 ∑ un 收敛 , 则 ∑ un也收敛; 说明:
高等数学交错级数审敛法,绝对条件收敛
n 1
un
是否为等比 级数或p级数
不是
是 确定敛散
观察
lim
n
un
0?
是
比值审敛法 nlimuunn1
1
1
收敛
发散
不是 发 散
用它法判别
1 不定 比较审敛法
部分和极限
二、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数
n4
n1
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2)
(1)n
1
n1
n
p级数中p<1的情形
(2) Q
(1)n 1
1
是发散的.
n1
n n1 n
而
un
1 n
1 n 1
un1,
且
lim
n
un
lim
n
1 0 n
所以根据莱布尼兹判别法，原级数收敛,且为条件收敛。
n1
2.绝对收敛与条件收敛的概念。
3.任意项级数敛散性判定思路： 先判断其绝对值级数是否收敛？
1）若收敛，则原级数为绝对收敛；
2）其发散，则若是交错级数，再用莱布尼兹审敛法判 断。若收敛，则原级数为条件收敛；
3）否则发散。
即：原级数可能发散，可能条件收敛。
定理3 . 比值判别法 ( D’alembert 判别法)
设
满足 lim un1 , 则
u n n
(1) 当 1 时, 级数绝对收敛 ;
(2) 当 1 时，级数发散 ；
交错级数的敛散性
阅读教材：P134~136 习题： P138 1、（1）~（6） 预习教材：P136~138
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
分析：只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在.
S2n
S2n1 u1 u2 u3 u4 u2n1 u2n u2n1
S2n u2n1
故前2n 项部分和数列 S2n 单调增加
又SS2n2nuu11 u(u22uu33 )u4 (u2n2u2nu12n1 u) 2nu2n u1
故前2n 项部分和数列 S2n 有上界
lim
n
S2n
S
u1 .
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
0
则交错级数 (1)n1un 收敛 n1
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
例1、判别下列级数的敛散性:
un
1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
解
1 这是一个交错级数： un n
故收敛！
11 又 un n n 1 un1
1
lim
n
un
lim
n
n
0
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
中青年教师教学基本功竞赛
第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
例、判别下列级数的敛散性: 241 1 1 1 1 1 23456
不满足
，但收敛！
返回
(1) un un1 0
(2)
lim
n
un
0
则交错级数 (1)n1un收敛 n1
中青年教师教第二节 交错级数及其审敛法 主讲：
一交错级数及其审敛法
x
由达朗贝尔比值判别法知，
(1)0 x 1时， un 收敛，即绝对收敛，从而收敛.
n 1
1 ,易见级数是条件收敛； n n 1 n n x (3) x 1时，级数为 (1) ,级数是发散的； n n 1 (2) x 1时，级数为 (1)n
为什么？
NOTE：当我们运用达朗贝尔比值判别法或柯西根值
解
sin n 1 2, 2 n n
1 而 2 收敛, n 1 n
n 1
sin n 收敛, 2 n
故由定理知原级数绝对收敛.
例4 解
xn (1) 判定 n n 1
n
( x 0)
级数的敛散性.
xn 记un (1) , 则 n un 1 xn lim lim n u n n n 1
为什么？
un un1
(2) lim un lim
n
n 0, n 2n
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级 数.
u n 收敛，则称级数 定义：对于 u n 级数，若 n 1 u n 发散，但本身 u n 收敛，则称 绝对收敛；如果 n 1
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
例2
n 1 判定级数 (1) n 1
n 2n
的敛散性.
解 这也是一个交错级数,且 如何比较大小？
(1)un n n 1 , u ,则 n 1 n n 1 2 2 n n 1 n 1 n1 n1 0,(n 1, 2,3, ), n 2 2 2
判别法，判断出正项级数 u n 发散，
一,交错级数及其审敛法
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
例 1 判别收敛性：
( 1) (1) p n n 1
n 1
( p 0);
显然单调趋于0，
解
1 (1) un p n
收 敛.
( 1) n n 例 2 判别级数 的收敛性. n1 n 2
又 un ( 2v n un ),
n 1 n 1
un 收敛.
n 1
n 1
该定理的作用：
任意项级数
例3
正项级数
sin n 判别级数 的收敛性. 2 n 1 n
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
解
sin n 2 收敛, n n1
解
x (1 x ) 0 ( x 2) ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)
x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 0. 又 lim un lim 原级数收敛. n n n 1
二、绝对收敛与条件收敛
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
定理（柯西定理）：
若
un绝对收敛于A, vn绝对收敛于B,
则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对 收敛于AB. 例
rn 1 r r2 r3 rn
n 0
1 当 | r | 1, 级数绝对收敛于 , 1 r
rn rn 考察：
n 0 n 0
可得 p q n n
vn pn qn pn qn un s.
交错级数审敛法综述
交错级数是一种数列，它的项是正负交替出现的。
交错级数可以表示成如下形式：
a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + ...
交错级数的求和可以使用审敛法。
审敛法是一种求和公式，它可以用来快速求解交错级数的和。
审敛法的基本思想是，将交错级数的每一项分别乘以一个系数，然后再将所有乘积求和。
具体来说，对于交错级数a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + ...，它的和可以表示为：
S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + ...
= a_1 - (a_2 - a_3) + (a_4 - a_5) + ...
= a_1 - (a_2 - (a_3 - (a_4 - ...)))
这就是审敛法的基本形式。
通常，我们会将交错级数的前几项和后几项分别乘以不同的系数，然后再将乘积求和。
这样就可以得到更为精确的结果。
例如，对于交错级数 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...，我们可以使用审敛法来求它的和。
具体来说，我们可以将前两项和后两项分别乘以不同的系数，得到如下形式：
S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...
= 1 - (1/2 - 1/3) + (1/4 - 1/5) + ...
= 1 - (1/2 - (1/3 - (1/4 - ...)))
= 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...
这样就可以得到更为精确的结果。
总的来说，审敛法是一种非常有效的求和方法，它可以快速求解交错级数的和。
如果使用正确的系数，审敛法的结果可以达到极高的精度。
它在数学和工程领域都有广泛的应用。
交错级数及其审敛法
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
1
例如, p – 级数
lim un1 lim (n1) p 1
n un
n 1 np
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
lim un1 n un
(1)n
n2 en
绝对收敛.
内容小结
1. un 收敛 部分和数列{Sn}有极限
2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
1 不定 部分和极限
用它法判别 积分判别法
3. 任意项级数审敛法
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
证: 据极限定义,
(l ) vn un (l ) vn ( n N )
(1) 当0 < l <∞时,
由定理 2 可知
同时收敛或同时发散 ;
vn
n1
(2) 当l = 0时,
若 vn 收敛 ,
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N N , 对一切 n N ,
例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
1 1 n (n 1) (n 1)2
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关 于 交 错 级 数 的一 个 审 敛 准 则
钱 伟 懿
（ 渤海 大学 数理学院 ，辽宁 锦州 １１ １ ２０ ３）
摘
要 ：关 于交错 级数 的 敛散 性 判 定 ， 出 了一 个 新 的 审敛 准 则 ， 广 了文 南［ ， ］ 于 给 推 尤 １２ 关
交错 级 数 审敛 准则 ， 并选 择 实例 对给 出的审敛 准 则的 可行性 进 行检 验 。 关键 词 ： 交错 级数 ； 审敛 准则 ； 敛散 性
一ｃ＋）＝ ， ，
（ ）若 Ａ＜ １ ０且 ≠ 一∞ ， 则 ｌ当 Ｂ＞ 。 Ａ时 ， 级数 （ ） 敛 ， Ａ＜ １收 且 Ｂ＜ Ｏ时 条件 收敛 ， Ｂ＞０时绝 对 收敛 ， ０时 可能 绝对 收敛也 Ｂ＝
可能条 件 收敛 ；
２当 Ｂ＜ （ 括 Ｂ＝一∞） ， 数发散 ； 。 Ａ 包 时 级
不能判别级数 的发散 。对于这个问题许多学者进行 了深入的研究 本文推广了文［ ］ ２ 的审敛准则 ， １ 和［ ］ 给出了一个新的审敛准则 。 引 理 １４（ 布尼 茨 判别 法 ）若交 错级 数 （ ） 足下 述两 个条 件 ： ［ 莱 １满
（） 列 ｛ 单调 递减 ； ｉ数 ｕ｝
其 中 ： ＞ （， ， ， ）。 Ｍ ０ ／＝１ ２ … ７
（） １
交 错级 数是 数学 分 析和 高等 数学 中的重 要 内容 之 一 ， 多 教 材 中 ， 于 交 错 级 数 （ ） 散 性 判 别 ， 许 关 １敛
只介 绍 了莱 布尼 茨判 别法 ， 个判 别 法 只 能判 别 级 数 （ ） 这 １ 的收 敛 ， 能 判 别 绝 对 收 敛 还是 条 件 收敛 ， 不 也
引理 ３ 当实 数 ＞ 一１ ｉ ， ， ， ） ， ㈩ （ ＝１ ２ … 凡 时 有
（ ＋ ） １ ２ … （ ）兰 ＋ ｌ ２ １ １ （ ＋ ） １＋ 三 １ ＋ ＋… ＋ 。 ＝
收稿 日期 ：００—１ ０ ． ２１ ｌ一 ８
基金项 目： 宁省高等教育 教学改革基金资助项 目（ ｏ ２０ １４ ； 辽 Ｎ ．０ ９ ３ ） 渤海大学教学改革基金资助项 目（ ｏ ２０ ０ ４ Ｎ ：０ ９ ０ ） 作者 简介 ： 钱伟 懿（ ９ ３一） 男 ， １６ ， 教授 ， 博士 ， 从事基础数学教学科研工作．
（ｉ ｌ ＝ ， ｉ ｉ ） ｍｕ ０
， 晓珍等在文 ［ ］ 彭 １ 中给 出了交
错级数的一个新的审敛准则 ， 杨万必在文［ ］ ２ 中改进 了文［ ］ １ 所给的审敛准则 ， 并给出了新 的审敛准则。
则级 数 （ ） １ 收敛 。
引理 ２ （ 默尔判 别 法 ）设 库 ＝ ｃ
２
渤海 大学 学报 （自然科 学版 ）
第３ ２卷
２ 主 要结 果 及 应 用
定理 对交 错级 数 （ ） ｃ， ， ， …是 使级数 １ ， ｃ … ｃ， 发 散 的单 调增 的正数 列 ， 且 （ ） ｃ 一ｃ
＝Ａ Ａ≤ｏ有 限数 或 Ａ ＝一∞ ） 设 ｌ （ ， ｉ ｃ ａ ｒ
ｎ＋１
是正项 级 数 ， ，ｃ， ， ， ｃ， … ｃ …是使 级数 ∑ ：
ｎ
＝ ｌ Ｃｎ
发 散 的正 数 列 。设
一ｃ ， ｌ （ 限或无 限） 那 么 当 川 若 ｍ Ｂ ＝ 有 ｉ ， Ｂ＞ｏ时 级数 收敛 ， Ｂ ＜ 当 ｏ时级数 发散 。
一 一
３ 当 Ｂ＝ 。 Ａ时 ， 级数 可能 条件 收敛也 可能 发散 。
（ ）若 ＝ ， 当 Ｂ＞ ２ ０则 ０时级 数 （ ） １ 绝对 收敛 ， Ｂ＜ 当 ０时级数 （ ） 散 ， １发 当 ＝ ０时级 数 （ ） １ 可能 绝
对收敛 也可 能条 件收敛 还有 可能 发散 。 （ ）若 Ａ＝一∞ ， ３ 则 １当 ≠ 一ａ 时 ， 。 。 级数 （ ） １ 收敛 ， 且 ＞ ０时绝 对 收敛 ， ０时条 件 收敛 ， ０时 可能 绝对 收敛 也 Ｂ＜ Ｂ＝ 可能条 件收敛 ； ２ 当 Ｂ＝一∞时 ， 。 级数 （ ） 能条件 收敛 也可 能发 散。 １ 月 ０１
渤海 大学学报 （自然科 学版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｏａ Ｕ ｉｅｓｙ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｈ ｉ ｎｖｒｉ Ｎ ｔ ａ ｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｂ ｔ ｕ Ｓｅ ｉ
Ｖ １ ３ Ｎｏ １ ｏ． ２ ．
Ｍａ． ２ ｒ ０１１
Ｃ ＜ｎ
－ ｎ１ Ｏ＋ ＜ 丁
。
（ ｚ ２ ）
Ｂ ＋Ａ
Ｂ ＋Ａ
， ．
Ｈ
一 一
＋ ＋丁 １
＝
ｎｌ 。 ＋ ＋一 ｎ 丁
— — — 。一
０
工
十 —
Ｕ
ｌ
Ｃ
Ｃｎ
ｍ Ｃ ５ ｉ ｎ Ｃ＋） Ａ＜ ￣ １ （ － ｎ１ ：
． ＋
＜ ＋ 由保号 性 ， 在 Ⅳ ， ｎ Ⅳ２ Ｂ 丁 Ａ 存 ２当 ≥ 时 ＋ 一ｃ ＞一 。
证 明 （ ）设 Ａ＜ １ ０且 Ａ≠ 一∞。
１ 当 Ｂ＞Ａ时 ， 。 由极 限定义 ， ｓ ： 取 。
＞ ， ０ 存在 自然 数 Ⅳ 当 ｎ ， Ⅳ。 ， 时
ｌ Ｃ 一ｆ０ ’ ｆ －＋Ｂ ８ ， ｎ一Ｉ ： Ｃ ｎ １ 丁 — ＜
即
丁
由式 （ ） 不等 式可 得 ， ｎ 。 ， ２左 当 ＞Ｎ 时
，
。
令 ｒ —－ ｏ ＝ Ａ＞ Ｂ
，
取、 ａ～Ⅳ ，凡 ＞ 寺于 ／ｍ｛，｝ ＞ Ｈ Ｕ ｌ ， ｒ ｘ ２ 当 Ｎ， ｎ ＋ 是 － － － Ｊ ＂ ，
中图分类 号 ： １ ３ １ ０ ７ ． 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ３－０ ６ （ ０ １ ｏ 一０ ０ ０ １７ ５ ９ ２ １ ） ｌ ０ １— ４
１ 问题 与 引理
考 虑 如下交 错 级数
∑（ １ 一 Ｍ一２ …＋ 一） …， 一 ） ＝。 Ｈ＋ （ １ 一 ＋ ｕ Ｍ