2018年中考总复习专题二次函数与相似的结合

二次函数与相似的结合

题型一：动点在线段上

如图，平面直角坐标系xOy 中,已知(1,0)B -,一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别

交于点A 、C 两点,二次函数2

y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ； （1）求这个二次函数的解析式;

（2)点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积;

(3）如果点Q 在线段AC 上,且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标;

如图，抛物线2

2y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点(A 在B 的左侧)，与

y 轴交于点

(0,3)C -，抛物线的顶点为M ；

（1）求a 、c 的值； (2)求tan MAC ∠的值;

（3)若点P 是线段AC 上一个动点,联结OP ；问是否存在点P ,使得以点O 、C 、P 为顶点

的三角形与△ABC 相似?若存在,求出P 点坐标；若不存在，请说明理由;

如图,已知抛物线2

y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，０），顶点为B . 点C （５,ｍ）在抛物线上,直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值;

（3） 点G 为线段A Ｃ上一点，过点G 作C Ｂ的垂线交x 轴于点M (位于点Ｅ右侧）,

当△C ＧＭ与△A ＢE 相似时,求点M 的坐标．

【参考答案】24.(本题满分1２分,第(1)小题4分，第(2）小题3分，第（３）小题5分)

解：(1）∵抛物线2

y ax x c =-+的对称轴为直线x =1,∴12

a =

. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1,0），∴3

2

c =-

. ∴抛物线的表达式为213

22

y x x =

--.………………………………………………(2分） ∴顶点Ｂ(1，-2).…………………………………………………………………（1分） ∵点C (5，m )在抛物线上,∴6m =. ∴C 点坐标为（5,６）．

设直线BC 的表达式为y =ｋx +ｂ(ｋ≠０), 则652k b k b =+⎧⎨

-=+⎩,∴2,

4.

k b =⎧⎨=-⎩即BC 的表达式为ｙ=2x －4.

∴E (2,0).……………………………………………………………………………(1分) （2)作ＣＨ⊥x 轴,垂足为Ｈ,作ＢP ⊥x 轴，垂足为P , ∵C (5,６），A （－1,0),∴CH ＝6=AH . ∴∠CA Ｈ=４５°. ∵B （１，-2)，A （－１，0），∴ＢP ＝2=ＡP ．∴∠BAP ＝４5°.

∴∠C ＡB ＝90°. …………………………………………………………………………（1分) ∵CH =6＝AH ,C Ｈ⊥ｘ轴,∴6 2.

AC =

∵BP =２=AP ，BP ⊥x 轴,∴2 2.

AB =

∴tan 3.AC

B AB

∠=

=…………………………………………………………………（２分) x y

A B

E C O （第24题图）

（3）∵∠CAB=90°,∴∠B +∠ＡCB =90°.

∵GM ⊥ＢC ，∴∠CGM +∠A ＣB =90°.∴∠CG Ｍ=∠B . ………………………………（１分) ∵△ＣGM 与△ABE 相似，∴∠ＢＡE =∠ＣＭＧ或∠BA Ｅ=∠ＭCG . 情况1:当∠BAE =∠ＣMG 时，

∵∠BAE =４5°，∴∠C ＭG =45°. ∵GM ⊥B Ｃ,∴∠M ＣE =45°．∴∠ＭCE =∠EAB .

∵∠ＡEB =∠C ＥＭ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………(1分） ∴

BE AE EM CE =.即535

EM =.∴EM =５. ∴M （7，0）. ……………………………(１分) 情况2：当∠B ＡE =∠ＭCG 时，

∵∠BA Ｅ=∠CA Ｍ，∴∠ＭCG =∠CAM .∴M Ｃ=MA . ………………………………（１分） 设M （x,０)，∵C (5，6）,A (-１,0),∴2

2

2

(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.

∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分）

题型二:动点在线段的延长线上

如图7,已知抛物线32

++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B (点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =,点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E 。 （1）求点D 的坐标;

（2）联结BC CD 、,求DBC ∠的余切值;

（3）设点M 在线段CA 延长线上，如果EBM △和ABC △相似,求点M 的坐标。

【答案】(1）D 1,4（）(2）3(3)

6

3,)55

-（- 【解析】(1）∵抛物线2

y 3x bx =-++与轴的交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧） ，

与y 轴交于点C ，)3,0(C ,且OC OB =，)0,3(B ∴9330,b=b -++=解得2

∴2

23;D 1,4y x x =-++∴（）

（2)OB OC =∵45OCB OBC ∴∠=∠=︒y=45DC 。

∴∠； 180245=90DCB =︒-⨯︒︒∴∠；

cot 3

BC DBC DC ∠=

== (3）由2

23y x x =-++,可得,在AO Ｃ和BCD 中,

3CO BC

AO CD

==, 90AOC DCB ∠=∠=︒AOC BCD ∴∆∆∽，

又ACO CBD ∴∠=∠;ACB ACO OCB E CBD ∠=∠+=∠+∠ 45E OCB ∴∠=∠=︒;

当EBM ABC ∆∆和相似时,可知E CBA ∠=∠;

又点在线段的延长线上,ACB EBA ∠=∠,可得EMB ACB ∠=∠;

MB BC ∴==

由题意,得直线的表达式为y 33x =+;设(,33)M x x +．

2(3)(33)18x x ∴-++=,解得126

,05x x =-=(舍去)

∴点M 的坐标是63

,)55

-（-

题型三：动点在对称轴上

如图，抛物线c bx x y ++-=2

经过点)0,3(B ,)3,0(C ，D 为抛物线的顶点。 （1)求抛物线的解析式及顶点坐标;

（2)点C 关于抛物线c bx x y ++-=2

的对称点为E 点，联结BC ，BE ，求CBE ∠的正切值;

（３）点M 是抛物线对称轴上一点，且△DMB 和△BCE 相似，求点M 的坐标。